圓錐曲線復(fù)習(xí)題

工2y2

1.已知拋物線Ci：V=2px(p>0)和右焦點(diǎn)為尸的橢圓C2：—+y=1.如圖，過橢圓

C2左頂點(diǎn)T的直線交拋物線Ci于A,8兩點(diǎn)，且而=22.連接A尸交C2于兩點(diǎn)M,

N,交。于另一點(diǎn)C,連接8C,。為3c的中點(diǎn)，7Q交AC于。.

(I)證明：點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為定值;

若尚=噂，求拋物線的方程.

(II)記△COT,△QMN的面積分別為Si，S2,

【分析】(I)設(shè)直線TA的斜率，寫出TA的方程，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及向量

的坐標(biāo)運(yùn)算，即可證明A的橫坐標(biāo)為定值：

(II)由(I)寫出A尸的方程，與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及弦長公式求得|MN，與拋

物線聯(lián)立求得C點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得。，求得7。的方程，與4尸聯(lián)立，求得

。點(diǎn)坐標(biāo)，可得|CO|;分別求得T到4尸的距離，。到A5的距離，根據(jù)三角形的面積公

式，即可表示出勤，根據(jù)關(guān)系式，求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程，即可求得p的值.

解：(I)證明；由題意可知，7(-2,0),直線的斜率存在設(shè)為匕A(xi，yi),B

(X2，”)，

不妨設(shè)直線以的方程為曰(x+2)a>0),與拋物線方程聯(lián)立得圣;黑：2),

整理得信之+(4Z?-2p)X+4F=0,則％1+r=2=,冗1X2=4,

k

——Vi1Xiy?1

2

因?yàn)?B=2771,所以一=則一=V=一,設(shè)xi=a(a>0),則x2^9a,x1x2=9a=4,

y23x29

則￡1=彳或￡1=一'|(舍去)，

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所以Xi=I，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為定值;

(II)由(I)可知,裾，|fc),B(6,8k),則直線AF的方程為y=-8k(x-1),

y=-8fc(x—1)

與橢圓聯(lián)立得2，整理得(3+256F)工2-512必x+256必-12=0,

(彳+3y=1

設(shè)M(X3，”)，N(X4，＞4)，則%3+/4=512/C2,=256k12

3+256/c3+256/c

貝+64k2J(%3+辦)2—4土工4=

直線A尸與拋物線聯(lián)立得=個(gè)公整理得64必7-(128好+22)犬+64祥=0,

ly=-8fc(x-1)

設(shè)C(%5,鄧)，則%54\=1,則%5=.C(|,_4k),則Q(苧,2k),

所以直線TQ的方程為、=第。+2),與直線A尸聯(lián)立得y=^(*+2),

—(y=-8fc(x—1)

解得X]衣，則。(分，k),即|CD|=得|1)2+(-5/0)2=Jill+25k2,

T到AF的距離心=51"—叫=~~4k,

J1+64k2Jl+64/c2

|8/cx4+2/c-8kl24k

Q到AF的距禺d2='-J=-7----,

Jl+64/c2J1+64/

11

由Si=]|CD|d「S2=]|MN|d2，

125?25^2

所以自=黑=■'因此噂;Mg=噂'整理得5X2562^+358必必79=0,

3+256k2

解得%2=亳，則八春

所以4(|,1),由A在拋物線上，則])2=2px|,解得p=表，

則拋物線的方程為y2=加.

【點(diǎn)評】本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，思路清晰，結(jié)合韋達(dá)定理，弦長公式,

點(diǎn)到直線的距離公式等知識點(diǎn)，考查計(jì)算能力，屬于難題.

2.已知拋物線C：￡=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,且點(diǎn)F與圓M：(x+4)2+y2=l上點(diǎn)的距

離的最大值為VI7+1.

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（1）求p;

（2）若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/：y=丘+4與C相交于4,B兩點(diǎn)，問：OA<OF-BF^

是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由.

【分析】（1）由點(diǎn)F到圓M上的點(diǎn)最大值為舊+1建立關(guān)于〃的方程，解出即可；

（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理即可求出&?（d-晶）=OAOB=0

解：（1）點(diǎn)尸（0,§到圓M上的點(diǎn)的距離的最大值為尸M+l="+1,

即116+弓=后,解得p=2；

（2）由（1）得爐=4y,設(shè)A（xi，y\）,B（必》2），

聯(lián)立[，2=個(gè)+4,得犬-4日-16=0,

=4y

則△=16K+64>0,且XI+X2=4A,x[X2=-16,

TT11TX2.%2[Z2

所以。4?（。尸—BF）=OA-OB=x\X2+y\yz=x\X2-\-1^.2=—l6+^~=0,

1loio

故&?（后一屆）的值為定值0.

【點(diǎn)評】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查直線與拋物線的綜合，韋達(dá)定理得應(yīng)用，屬于中

檔題.

3.已知直線y=2r與拋物線「：/=2px交于Gi，G2兩點(diǎn)，且但道2|=6，過橢圓G：卷+

吟=1的右頂點(diǎn)Q的直線/交于拋物線「于A,2兩點(diǎn).

（I）求拋物線r的方程；

（2）若射線04OB分別與橢圓。交于點(diǎn)。，E,點(diǎn)。為原點(diǎn)，△OCE,△OAB的面

積分別為Si，S2,問是否存在直線/使S2=3SI?若存在求出直線/的方程，若不存在，

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請說明理由；

（3）若P為x=-2上一點(diǎn)，PA,PB與x軸相交于M,N兩點(diǎn)，問“，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)

的乘積XM*XN是否為定值？如果是定值，求出該定值，否則說明理由.

【分析】（1）根據(jù)題意，聯(lián)立求得交點(diǎn)，由|6道2|=強(qiáng)，即可求得夕的值；

（2）聯(lián)立求得|0A|,\0B\,同理可得|0D|,\0E\,分別表示出△ODE,△OAB的面積，

利用基本不等式即可表示出包>3,因此不存在直線/使S2=3SI；

S2

（3）根據(jù)題意，求得XM，XN，即可表示出化簡可得是否為定值.

p

-oJX--

解得

解：⑴聯(lián)立方程組｛:短-或I2所以IG1G2I=勺+p2=（V5）2,

oVy=P

所以/?—21

所以拋物線「的方程J=4x；

（2）設(shè)OA的方程為產(chǎn)心x,聯(lián)立方程組圣二￡，所以4節(jié)，5，

y—kxx

聯(lián)立方程組x2產(chǎn)

+T=1

S2\OA\\OB\16j（l+代）（1+必）J（3+4好）（3+4嫁）4J（3+4好）（3+4必）

=甌IOEI"國'12"演1+狀）"&,國

設(shè)直線/：x="LV+2,代入f=4x方程，得）2-8/ny-8=0,設(shè)4（xi，yi）,B（必”）,

所以yi+y2=4m,y\yi=-8,

因此k也=空?9=谷=-2，貝必+/ci>2%也1=%

4J9+16X4+123+狀）I1

-------------------=--

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所以，不存在直線/使S2=3SI.

（3）由（2）可知，