成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性教學(xué)設(shè)計(jì)

課題成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性單元第八單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二

本節(jié)內(nèi)容主要是成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性，由常見的函數(shù)問題導(dǎo)入，探究成對(duì)數(shù)據(jù)間的關(guān)系，學(xué)習(xí)

教材

變量間的相關(guān)關(guān)系與樣本的相關(guān)系數(shù)，并使用其解決一些實(shí)際問題.

分析

1、數(shù)學(xué)抽象利用生活中的實(shí)際問題，為了尋求成對(duì)數(shù)據(jù)間的關(guān)系，引入相關(guān)系數(shù)；

教學(xué)

2、邏輯推理通過導(dǎo)入及課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力；

目標(biāo)

3、數(shù)學(xué)建模掌握成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系，計(jì)算樣本的相關(guān)系數(shù)；

與核

4、數(shù)學(xué)運(yùn)算能夠正確判斷相關(guān)關(guān)系，計(jì)算相關(guān)系數(shù)；

心素

5、數(shù)學(xué)分析通過經(jīng)歷提出問題一推導(dǎo)過程一得出結(jié)論一例題講解一練習(xí)鞏固的過程，讓

養(yǎng)

學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)【學(xué)知識(shí)的邏輯性和嚴(yán)密性.

重點(diǎn)掌握相關(guān)關(guān)系的判斷，計(jì)算相關(guān)系數(shù).

難點(diǎn)利用樣本的相關(guān)關(guān)系，解決一些實(shí)際問題.

教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

導(dǎo)入新課新知導(dǎo)入：

情景一：1、將汽油均勻的速度倒入桶里，注入的

時(shí)間t與注入的油量y的函數(shù)關(guān)系是：

mt12345學(xué)生思考問設(shè)置問題情境，

246810

題，引出本節(jié)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興

y=2x

新課內(nèi)容。趣，并引出本節(jié)

2、甲、乙兩地相距150千米，某人騎車從甲地到

新課。

乙地，則他的速度V與時(shí)間t的函數(shù)圖像大致是怎

樣的？

v=150/t

3、小麥的產(chǎn)量y與施肥量x的關(guān)系如下：

施肥量X2030405060

產(chǎn)《y440460470480510

情景二：

在對(duì)人體的脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，

科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡(jiǎn)單隨機(jī)

樣本數(shù)據(jù)，如表所示。表中每一個(gè)序號(hào)下的年齡

和脂肪含量數(shù)據(jù)都是對(duì)同一個(gè)體的觀測(cè)結(jié)果，它

們構(gòu)成了成對(duì)數(shù)據(jù)。

■號(hào)1234567

年“/歲23273941454950

■貼含■/%9.S17..21.225.927.526.328.2

JR號(hào)891011121314

年535456586061

匿防含■30.33.35.34.

29.630.231.4

/%8526

思考：根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可以判斷人體的脂肪含量

與年齡之間存在怎樣的關(guān)系？

分析：為了更加直觀的描述脂肪含量與年齡之間

的關(guān)系，用橫軸表示年齡，縱軸表示脂肪含量，

則表中的每一個(gè)序號(hào)下的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可用直

角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成了如圖

所示的統(tǒng)計(jì)圖。我們把這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)

圖。

送

嘲

和

卷

sg

觀察圖，可以發(fā)現(xiàn)，這些散點(diǎn)大致落在一條從左

下角到右上角的直線附近，表明隨年齡值的增

加，相應(yīng)的脂肪含量值呈現(xiàn)增高的趨勢(shì).這樣，由

成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以推斷脂肪含

量變量和年齡變量之間存在著相關(guān)關(guān)系.

講授新課新知講解：

變量相關(guān)關(guān)系的分類：

從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變

量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，我們就稱這兩個(gè)

變量正相關(guān);如果當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)

變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)，則稱這兩個(gè)變量

負(fù)相關(guān)。

例如：

(1)商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)之間的關(guān)系

(正相關(guān))

(2)糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系(正相關(guān))

(3)人體內(nèi)脂肪含量與年齡之間的關(guān)系(正相學(xué)生根據(jù)情境

關(guān))問題，探究變

量的相關(guān)關(guān)系

思考：兩個(gè)變量正相關(guān)、負(fù)相關(guān)時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)與樣本的相關(guān)

據(jù)的散點(diǎn)圖有什么特點(diǎn)？系數(shù)利用情境問題，

探究變量的相關(guān)

關(guān)系與樣本的相

8??

M????關(guān)系數(shù)，培養(yǎng)學(xué)

??

?生探索的精神.

??

810y408%S%

散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域

40

????

?

10?

?

15*

?

府”90A1toM

散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域

變量相關(guān)關(guān)系的分類：

一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相

關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)

變量線性相關(guān)。

如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那我

們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)。

問題：如何引入一個(gè)恰當(dāng)?shù)摹皵?shù)字特征”，對(duì)成

對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進(jìn)行定量分析？

根據(jù)散點(diǎn)圖特征，初步構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量。

N/9

一般地，如果變量x和變量y正相關(guān)，那么均值平移

后的大多數(shù)點(diǎn)將分布在第一、三象限，對(duì)應(yīng)的成

對(duì)數(shù)據(jù)同號(hào)居多；

■

??

???

?*

??

*

如果變量X和變量y負(fù)相關(guān)，那么關(guān)于均值平移后

的大多數(shù)點(diǎn)將分布在第二、四象限，對(duì)應(yīng)的成對(duì)

數(shù)據(jù)異號(hào)居多.

利用散點(diǎn)（xi--x,yi-'y）（i=l,2,...,n）的橫縱坐標(biāo)是

否同號(hào)，可以構(gòu)造一個(gè)量

4=：［（±-，）（乂3）+（X「7）（>23）+-+（xj［）（%；）］

一般情形下，Lxy>0表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；

Lxy<0表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).

思考：你認(rèn)為L(zhǎng)xy的大小一定能度量出成對(duì)樣本

數(shù)據(jù)的相關(guān)程度嗎？

因?yàn)長(zhǎng)xy的大小與數(shù)據(jù)的度量單位有關(guān)，所以不

宜直接用它度量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度的大小。

￡卜「可（y「9）ixiyi-nxy

宓:T*（一）2座、酒

我們稱r為變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)。

樣本相關(guān)系數(shù)r是一個(gè)描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特

征，它的正負(fù)性和絕對(duì)值的大小可以反映成對(duì)數(shù)據(jù)

的變化特征：

當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)數(shù)據(jù)正相關(guān)。

當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)。

思考：樣本相關(guān)系數(shù)r的大小與成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相

關(guān)程度有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？

我們先考察一下r的取值范圍：

觀察r的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到二維（平面）向量、三維（空

間）向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，我們將向量的維數(shù)推

廣到n維，n維向量a,b的數(shù)量積仍然定義為

a,b=|a||b|cos0,

其中0為向量a,b的夾角.類似于平面或空間向量

的坐標(biāo)表示，對(duì)于向量

a=（a”a2，an）和b=（bi，bz，...?bn）,

我們有a?b=a1bi+a2b3+anbn

設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化處理后的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)：

（芭，X），（/，％），…，（X"，K）

其第一分量為％=（X]…，怎）

其第二分量為y=（x，%，???，、"）

11

r==—x?y=—|x|\y\cos0

nn

因?yàn)閮H所以樣本相關(guān)系數(shù)

r=cose由/Wcos。Wl,可知-iKrWl

思考：當(dāng)田=1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間具有怎樣的

關(guān)系？

成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的兩個(gè)分量之間滿足一種線性關(guān)系.

由此可見，樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[-1,1],

樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值的大小可以反映成對(duì)數(shù)據(jù)

之間的線性相關(guān)的程度：

當(dāng)1r|越接近1時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越

強(qiáng)；

當(dāng)1rI越接近0時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越

弱。

線性相關(guān)程度的判斷：

兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性可以通過散點(diǎn)圖對(duì)成對(duì)樣

本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，而樣本相關(guān)系數(shù)r可以反映兩

個(gè)隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度：r的符號(hào)反映相

關(guān)關(guān)系的正負(fù)性，的大小反映兩個(gè)變量線性相

關(guān)的程度，即散點(diǎn)集中于一條直線的程度.

例題講解：

例1：根據(jù)脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù)，判斷兩個(gè)

變量是否線性相關(guān)，計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)，并刻畫它加深學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)

們的相關(guān)程度。知識(shí)的掌握，并

能夠靈活運(yùn)用基

礎(chǔ)知識(shí)解決具體

問題

利用例題引導(dǎo)

學(xué)生掌握并靈

解：

活運(yùn)用變量的

畫出散點(diǎn)圖如右。

相關(guān)關(guān)系與樣

由散點(diǎn)圖，可以看出樣本點(diǎn)都集中在一條直線附

本的相關(guān)系數(shù)

近，由此可以判斷脂肪含量和年齡線性相關(guān)。

解決實(shí)際相關(guān)

問題

40

35

30

25

20

15

10

5

0

O8

204060

年齡/歲

根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的定義:

S?=1?_x)(yi-y)

扭1(Xi)2j昭(力一乃2

=_________—i-1孫_______

JXi=ixf-14x2卜￡療-1492

14

W%以=19403.2

t=i

14

E煩=34181

i=l

14

￡*=11051.77

由樣本相關(guān)系數(shù)r^0.97,可以推斷脂肪含量和年齡

這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng).

例2：有人收集了某城市居民年收入（即所有居民

在一年內(nèi)收入的總和）與A產(chǎn)品銷售額的10年數(shù)

據(jù)，如圖所示

1酬年112|3|456789101

居民年

收入/32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0

億元

A商品

第■■25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0

行元

畫出散點(diǎn)圖，判斷成樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)，并通

過樣本相關(guān)系數(shù)，判斷居民年收入與A商品銷售額

的相關(guān)程度和變化趨勢(shì)的異同。

解：

畫出成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖

從散點(diǎn)圖來看，A商品的銷售額與居民年收入的樣

本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出線性相關(guān)關(guān)系。

由此推斷,A商品銷售額與居民年收入正線性相關(guān),

且相關(guān)性很強(qiáng)。

60

H

g

/

W

-XEI50

-S蒼

<

40

30

20

10

0

05101520253035居怏年收放,元50

例3在某校高一年級(jí)中隨機(jī)抽取25名男生，測(cè)得

他們的身高，體重，臀展等數(shù)據(jù)，如表所示。

編號(hào)身高/cm體重/kg臂展/cm

117355169

217971170

317552172

417962177

518282174

617363166

718055174

817081169

916954166

1017754176

1117759170

1217867174

1317456170

編號(hào)身高/cm體重/kg臂展/cm

1416666161

1517661166

1617649165

1717560173

1816948162

1918486189

2016958164

2118254170

2217158164

2317761173

2417358165

2517351169

體重與身高，臀展與身高分別具有怎樣的相關(guān)性？

解：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)分別畫出體重與身高，臀展與身

高的散點(diǎn)圖。兩個(gè)散點(diǎn)圖都呈現(xiàn)線性相關(guān)的特征。

身高與體重散點(diǎn)圖

70

60

40

30

20

10

0

165170175180185

身高/cm

諭臀展與身高散點(diǎn)圖

歆

195通過練習(xí)，鞏固

190

儂

180基礎(chǔ)知識(shí)，發(fā)散

175

170

165

160學(xué)生思維，培養(yǎng)

1515

65

學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)

性和對(duì)數(shù)學(xué)的探

通過計(jì)算得到體重與身高，臀展與身高的樣本相關(guān)

系數(shù)分別約為0.34利0.78,都為正線性相關(guān)。其中索精神。

臀展與身高的相關(guān)程度更高。

通過課堂練

課堂練習(xí)：習(xí)，檢驗(yàn)學(xué)生

1、下列圖形中兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的是（C）對(duì)本節(jié)課知識(shí)

(A)(BI,1點(diǎn)的掌握程

度，同時(shí)加深

J

學(xué)生對(duì)本節(jié)課

/?1?"知識(shí)點(diǎn)的掌握

…..◎[.???.

及運(yùn)用

o??,*?

2、觀察下列散點(diǎn)圖，①正相關(guān)，②負(fù)相關(guān)，③不相

關(guān)，與下列圖形相對(duì)應(yīng)的是（D）

y

?L*???

產(chǎn),*???

UXU1oS

A.①②③B.②③①

C.②①③D.①③②

3.對(duì)四組變量X,y進(jìn)行線性相關(guān)實(shí)驗(yàn)，己知n是觀

測(cè)值指數(shù)，r是相關(guān)系數(shù)，且已知：

則變量y與x具有線性相關(guān)關(guān)系的是（B）

A.(l)和(2)B.⑴和(4)

C.(2)和(4)D.⑶和(4)

4.下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系不具有線性關(guān)系的是

(B)

拓展提高：

5.在一組樣本數(shù)據(jù)（xi,yi）,（X2,y2）（xn,

yn）（n22,xi，x2，…，x1,互不相等）的散點(diǎn)圖中，

若所有樣本點(diǎn)（Xi,yi）,（i=l,2,3,…）都在直線y=1/2-1

上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為（D）

A.-1B.0C.1/2D.1

鏈接高考：

6.（2009年寧夏理）對(duì)變量x,y有觀測(cè)數(shù)據(jù)

（xi,yi）（i=l,2,3,