微專題3平面對量的數(shù)量積?？汲Ｓ媒Y論設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，θ為a與b的夾角．(1)a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(3)|a|＝＝.(4)cosθ＝＝.1.[2024·遼寧遼陽一模]已知兩個單位向量a，b滿意a＋b與a－7b垂直，則a·b＝()A．B．－C．D．－2．[2024·山東淄博二模]已知向量a，b滿意a·b＝10，且b＝(6，－8)，則a在b上的投影向量為()A．(－6，8)B．(6，－8)C．D．3．[2024·山西晉中三模]設向量a與向量b的夾角為θ，定義a與b的向量積：a×b是一個向量，它的模＝|a||b|sinθ.若m＝(1，0)，n＝(－1，)，則|m×n|＝()A．－1B．1C．－D．(1)[2024·吉林東北師大附中模擬]在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AC與BD相交于點O，過點A作AE⊥BD于E，則·＝()A．B．C．D．3.(2)[2024·河南鄭州一模]如圖所示，△ABC是邊長為8的等邊三角形，點P為AC邊上的一個動點，長度為6的線段EF的中點為點B，則·的取值范圍是________．技法領悟求平面對量的數(shù)量積的方法：(1)定義法；(2)基向量法，基底應是已知模長和夾角的向量；(3)坐標法：①已知向量坐標，②建立合適的坐標系，運用坐標法求解．[鞏固訓練3](1)[2024·河南安陽三模]已知正方形ABCD的邊長為1，O為正方形的中心，E是AB的中點，則·＝()A．－B．C．D．1(2)[2024·山東省試驗中學一模]若平面對量a，b，c滿意|a|＝1，b·c＝0，a·b＝1，a·c＝－1，則|b＋c|的最小值為________．微專題3平面對量的數(shù)量積保分題1．解析：依題意可得·(a－7b)＝＝0，即1－a·b－＝－a·b－＝0，則a·b＝－.故選B.答案：B2．解析：因為向量b＝(6，－8)，且a·b＝10，那么|b|＝＝10，所以向量a在向量b上的投影向量為|a|cos〈a，b〉·＝·＝.故選D.答案：D3．解析：∵|m|＝＝1，|n|＝＝2，∴cosθ＝＝－，又θ∈[0，π]，∴sinθ＝＝，∴|m×n|＝|m||n|sinθ＝.故選D.答案：D提分題[例3]解析：建立如圖所示直角坐標系：則A(0，1)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，1)，設E(x，y)，則＝(x，y－1)，＝(x，y)，＝(2，1)∵AE⊥BD，∴⊥且∥，∴，解得，∴E＝＝，在矩形ABCD中，O為BD的中點，所以O，由A(0，1)，所以＝，·＝×1＋＝.故選D.(2)解析：由線段EF的中點為點B，得出＝－.·＝()·()＝()·()＝||2－||2＝||2－9.當點P位于點A或點C時，||取最大值8.當點P位于AC的中點時，||取最小值，即||min＝8sin＝4，∴||的取值范圍為，∴·的取值范圍為[39，55].答案：D(2)[39，55][鞏固訓練3](1)解析：如圖，以A為坐標原點，AB，AD所在直線為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，則D(0，1)，E，O，所以＝＝，所以·＝＝.故選C.(2)解析：在平面直角坐標系內，令a＝(1，0)，設b＝(x1，y1)，c＝(x2，y2)，由a·b＝1，得x1＝1，由a·c＝－1，得x2＝－1，由b·c＝0，得x1x2＋y1y2＝0，即y1y2＝1，b＋c＝(x1＋x