復(fù)變函數(shù)卷答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)定理1函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件：（1）u(x,y)，v(x,y)在D內(nèi)可微，定理2函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件：（1）ux,uy,vx,vy在D內(nèi)連續(xù)，定理3函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件：f(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，若閉曲線C及內(nèi)部包含于D，則Cf(z)dz=0。（3分）定理4函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件：f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)a，都能展2．?dāng)⑹鰟⒕S爾定理：復(fù)平面上的有界整函數(shù)必為常數(shù)。（3分）2y2EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(δ),δ)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(u),x)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(δ),δ)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up13(2),x)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(u),2)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(δ),δ)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(u),y)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(δ),δ)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(2u),y2)由于EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up8(δ2),δy)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(u),2)+EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(δ),δ)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(2u),x2)=0，所以u(píng)(x,y)為復(fù)平面上的調(diào)和函數(shù)。（4分）（2）因?yàn)閒(z)為解析函數(shù)，則u(x,y)與v(x,y)滿(mǎn)足C.-R.方程，則有2y2y由于f(i)=一1+2i，所以C=0。即f(z)=x22（8分）2009z2009+2109z29+10=0在單位圓z<1內(nèi)有幾個(gè)根？為什么8解：有29個(gè)根，因?yàn)樵趫A周z=1上，z2010一2009z2009+10<2109z29，由儒歇定理知三、計(jì)算題（每題6分，共18分，用復(fù)z=4(zEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up14(3),1)42)2dz。解：原式=z一1=1(zEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up12(3),1)(EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up12(+),z)42)2dz+z2=1(zEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up12(3),1)(EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up12(+),z)π5EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(d),4)sθ2dxdx（1分）))偽n偽n=πiΣResImak>0z=ak2z(z2+1)(z2+9)（3分）(z2+2+2z(z2（5分）解1）f(z)=-=.-.（2分）n-n（5分）-1-1偽+-2n.z-n-1+-2-n-1.znn=-偽（2）f(z)=-=-（2分）=-(-1)n.(z-3)nz-3<11-z6-cos(z3)解由于cosz3=1-z6+z12-z18+…2分）EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up11(z6),2)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(z