查補(bǔ)培優(yōu)沖刺03.圖形變換與幾何綜合壓軸題型一：圖形變換--折疊類綜合壓軸（選填類）題型二：圖形變換--折疊類綜合壓軸（解答類）題型三：圖形變換--旋轉(zhuǎn)類綜合壓軸（選填類）題型四：圖形變換--旋轉(zhuǎn)類綜合壓軸（解答類）題型五：圖形變換--圖形拼接類綜合壓軸題型一：圖形變換--折疊類綜合壓軸（選填類）翻折和折疊問題其實(shí)質(zhì)就是對(duì)稱問題，翻折圖形的性質(zhì)就是翻折前后圖形是全等的，對(duì)應(yīng)的邊和角都是相等的。以這個(gè)性質(zhì)為基礎(chǔ)，結(jié)合三角形、四邊形、圓的性質(zhì)，三角形相似、三角函數(shù)，勾股定理設(shè)方程思想來考查。解決翻折題型的策略：1）利用翻折的性質(zhì)：①翻折前后兩個(gè)圖形全等；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分；2）結(jié)合相關(guān)圖形的性質(zhì)（三角形，四邊形等）；3）運(yùn)用勾股定理或者三角形相似建立方程。例1．（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別在邊上，將正方形沿著翻折，點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)處，如果四邊形與四邊形的面積比為3∶5，那么線段的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，則，根據(jù)已知條件，分別表示出，證明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵正方形的邊長(zhǎng)為1，四邊形與四邊形的面積比為3∶5，∴，設(shè)，則，則∴即∴∴，∴，∵折疊，∴，∴，∵，∴，又,∴，∴在中，即解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點(diǎn)A、B、D恰好都落在點(diǎn)O處，且點(diǎn)G、O、C在同一條直線上，同時(shí)點(diǎn)E、O、F在另一條直線上．小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=DF；④OC=2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正確的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④【答案】B【分析】由折疊的性質(zhì)知∠FGE=90°，∠GEC=90°，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，設(shè)AD=BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=，然后用勾股定理再求得DF=FO=，據(jù)此求解即可．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=(∠DGO+∠AGO)=90°，同理∠GEC=90°，∴∠FGE+∠GEC=180°∴GF∥EC；故①正確；根據(jù)折疊的性質(zhì)知DG=GO，GA=GO，∴DG=GO=GA，即點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，同理可得點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，設(shè)AD=BC=2a，AB=CD=2b，則DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，∴GC=3a，在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，即(3a)2=a2+(2b)2，∴b=，∴AB=2=AD，故②不正確；設(shè)DF=FO=x，則FC=2b-x，在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，即(2b-x)2=x2+(2a)2，∴x==，即DF=FO=，GE=a，∴，∴GE=DF；故③正確；∴，∴OC=2OF；故④正確；∵∠FCO與∠GCE不一定相等，∴△COF∽△CEG不成立，故⑤不正確；綜上，正確的有①③④，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題，解題時(shí)，我們常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．變式2．（2024·江蘇蘇州·一模）王同學(xué)用長(zhǎng)方形紙片折紙飛機(jī)，前三步分別如圖①、②、③．第一步：將長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)稱軸對(duì)折后展開，折出折痕；第二步：將和分別沿翻折，重合于折痕上；第三步：將和分別沿翻折，重合于折痕上．已知，，則的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)第一、二步折疊易得四邊形為正方形，，以此得出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)第三步折疊可得，進(jìn)而得到，則，于是，即可求解．【詳解】解：∵四邊形為矩形，，∴，由第一步折疊可得，，，由第一步折疊可得，，，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，，∴平行四邊形為正方形，∴，∴，在中，，根據(jù)第三步折疊可得，，∵，∴，∴，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型二：圖形變換--折疊類綜合壓軸（解答類）幾何變換中的翻折（折疊、對(duì)稱)問題是歷年江蘇中考的熱點(diǎn)問題，試題立意新穎，變幻巧妙，主要考查學(xué)生的識(shí)圖能力及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。涉及翻折問題，以矩形、正方形對(duì)稱最常見，變化形式多樣。無論如何變化，解題工具無非全等、相似、勾股以及三角函數(shù)，從條件出發(fā)，找到每種對(duì)稱下隱藏的結(jié)論，往往是解題關(guān)鍵。例1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）綜合與實(shí)踐【問題情境】如圖1，小華將矩形紙片先沿對(duì)角線折疊，展開后再折疊，使點(diǎn)落在對(duì)角線上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，折痕與邊，分別交于點(diǎn)，.【活動(dòng)猜想】（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四邊形是哪種特殊的四邊形？答：_________.【問題解決】（2）如圖3，當(dāng)，，時(shí)，求證：點(diǎn)，，在同一條直線上.【深入探究】（3）如圖4，當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí)，始終有與對(duì)角線平行？請(qǐng)說明理由.（4）在（3）的情形下，設(shè)與，分別交于點(diǎn)，，試探究三條線段，，之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）菱形；（2）證明見解答；（3），證明見解析；（4），理由見解析【分析】（1）由折疊可得：，，再證得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，利用勾股定理可得，再證明，可求得，進(jìn)而可得，再由，可求得，，，運(yùn)用勾股定理可得，運(yùn)用勾股定理逆定理可得，進(jìn)而可得，即可證得結(jié)論；（3）設(shè)，則，利用折疊的性質(zhì)和平行線性質(zhì)可得：，再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案；（4）過點(diǎn)作于，設(shè)交于，設(shè)，，利用解直角三角形可得，，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四邊形是菱形．理由：設(shè)與交于點(diǎn)，如圖，由折疊得：，，，四邊形是矩形，，，，，四邊形是菱形．故答案為：菱形．（2）證明：四邊形是矩形，，，，，，，，，如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，由折疊得：，，，，，，，即，，，，，，，即，，，，，，，，，，點(diǎn)，，在同一條直線上．（3）當(dāng)時(shí)，始終有與對(duì)角線平行．理由：如圖，設(shè)、交于點(diǎn)，四邊形是矩形，，，，設(shè)，則，由折疊得：，，，，，，，，，即，，，，；（4），理由如下：如圖，過點(diǎn)作于，設(shè)交于，由折疊得：，，，設(shè)，，由（3）得：，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，即．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，涉及知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，難度較大．變式1．（2023·江蘇·中考真題）綜合與實(shí)踐定義：將寬與長(zhǎng)的比值為（為正整數(shù)）的矩形稱為階奇妙矩形．（1）概念理解：當(dāng)時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過的黃金矩形，它的寬（）與長(zhǎng)的比值是_________．（2）操作驗(yàn)證：用正方形紙片進(jìn)行如下操作（如圖（2））：第一步：對(duì)折正方形紙片，展開，折痕為，連接；第二步：折疊紙片使落在上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，展開，折痕為；第三步：過點(diǎn)折疊紙片，使得點(diǎn)分別落在邊上，展開，折痕為．試說明：矩形是1階奇妙矩形．

（3）方法遷移：用正方形紙片折疊出一個(gè)2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡(jiǎn)要標(biāo)注．（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)階奇妙矩形都可以通過折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點(diǎn)為正方形邊上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形的周長(zhǎng)與矩形的周長(zhǎng)比值總是定值．請(qǐng)寫出這個(gè)定值，并說明理由．【答案】（1）；（2）見解析；（3），理由見解析【分析】（1）將代入，即可求解．（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，設(shè)，則，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；（3）仿照（2）的方法得出2階奇妙矩形．（4）根據(jù)（2）的方法，分別求得四邊形的周長(zhǎng)與矩形的周長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，故答案為：．（2）如圖（2），連接，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得

設(shè)，則根據(jù)折疊，可得，，在中，，∴，在中，∴解得：∴∴矩形是1階奇妙矩形．（3）用正方形紙片進(jìn)行如下操作（如圖）：第一步：對(duì)折正方形紙片，展開，折痕為，再對(duì)折，折痕為，連接；第二步：折疊紙片使落在上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，展開，折痕為；第三步：過點(diǎn)折疊紙片，使得點(diǎn)分別落在邊上，展開，折痕為．矩形是2階奇妙矩形，理由如下，連接，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)折疊可得，則，設(shè)，則根據(jù)折疊，可得，，在中，，∴，在中，∴解得：∴當(dāng)時(shí)，∴矩形是2階奇妙矩形．（4）如圖（4），連接誒，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，設(shè)，則，設(shè)，則根據(jù)折疊，可得，，在中，，∴，在中，∴整理得，∴四邊形的邊長(zhǎng)為矩形的周長(zhǎng)為，∴四邊形的周長(zhǎng)與矩形的周長(zhǎng)比值總是定值【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的折疊問題，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·江蘇淮安·中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，同學(xué)們對(duì)菱形的折疊問題進(jìn)行了探究．如圖（1），在菱形中，為銳角，為中點(diǎn)，連接，將菱形沿折疊，得到四邊形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】與的位置關(guān)系是______；(2)【思考表達(dá)】連接，判斷與是否相等，并說明理由；(3)如圖（2），延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，請(qǐng)?zhí)骄康亩葦?shù)，并說明理由；(4)【綜合運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)時(shí)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，請(qǐng)寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)；(2)，理由見解析；(3)，理由見解析；(4)，理由見解析．【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)判斷即可；（2）連接，，由可知點(diǎn)B、、C在以為直徑,E為圓心的圓上，則，由翻折變換的性質(zhì)可得，證明，可得結(jié)論；（3）連接，，，延長(zhǎng)至點(diǎn)H，求出，，可得，然后證明，可得，進(jìn)而得到即可解決問題．（4）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)，，解直角三角形求出，，利用勾股定理求出，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)及平行線分線段成比例求出，，再根據(jù)勾股定理列式即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵在菱形中，，∴由翻折的性質(zhì)可知，，故答案為：；（2）解：，理由：如圖，連接，，∵為中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)B、、C在以為直徑,E為圓心的圓上，∴，∴，由翻折變換的性質(zhì)可知，∴，∴；（3）解：結(jié)論：；理由：如圖，連接，，，延長(zhǎng)至點(diǎn)H，由翻折的性質(zhì)可知，設(shè)，，∵四邊形是菱形，

∴，，∴，∴，∴，∵，點(diǎn)B、、C在以為直徑,E為圓心的圓上，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（4）解：結(jié)論：，理由：如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)，，∵，∴，∴，∴，，在中，則有，∴，∴，，∵，∴，∴，∴∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，翻折變換，圓周角定理，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．題型三：圖形變換--旋轉(zhuǎn)類綜合壓軸（選填類）幾何變換中的旋轉(zhuǎn)問題是江蘇歷年中考考查頻率高且考查難度較高，綜合性強(qiáng)，通常有線段、三角形、（特殊）平行四邊形的旋轉(zhuǎn)問題。在解決此類問題時(shí)，要牢牢把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，再結(jié)合幾何圖形本身的性質(zhì)，找到旋轉(zhuǎn)過程中變化的量和不變的量，運(yùn)用三角形全等或相似的有關(guān)知識(shí)，求解有關(guān)角、線段及面積問題。例1．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，和是有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰直角三角形，，點(diǎn)P為射線和射線的交點(diǎn)，若，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，求旋轉(zhuǎn)過程中線段的取值范圍．【答案】【分析】利用特殊位置，當(dāng)在下方與相切時(shí)，的值最??；當(dāng)在上方與相切時(shí)，的值最大，即可求解．【詳解】解：∵和是有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰直角三角形，，∴，∴，∴，，∵，∴，如圖，以A為圓心，為半徑畫圓，當(dāng)在下方與相切時(shí)，此時(shí)最小，，∴四邊形是矩形∴，，∴是直角三角形，∵斜邊為定值，∴最小時(shí)，最小，∵，∴，∴；如圖，以A為圓心，為半徑畫圓，當(dāng)在上方與相切時(shí)，此時(shí)最大，，∴四邊形是矩形，∴，，∴是直角三角形，∵斜邊為定值，∴最大時(shí)，最大，∵，∴，∴；綜上所述，旋轉(zhuǎn)過程中線段的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用特殊位置求出的最大值和最小值是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形和正方形的邊長(zhǎng)分別為6和4，連接，H為的中點(diǎn)，連接．將正方形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，則的取值范圍是；當(dāng)C、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)是．【答案】或【分析】如圖1中，在的上方作正方形，連接，求出的取值范圍，再利用三角形中位線定理求解即可；的長(zhǎng)分兩種情形，分別畫出圖形求解即可．【詳解】解：如圖1中，在的上方作正方形，四邊形和四邊形是正方形，，，H為的中點(diǎn)，，，，，，，，；如圖2中，當(dāng)C，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線時(shí)，連接，過點(diǎn)D作于點(diǎn)J，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，設(shè)交于點(diǎn)O，則，四邊形和四邊形是正方形，，，，，，，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，設(shè)，則，，，或（舍），，，，，，，如圖3，當(dāng)C，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，同理可得，，則，綜上所述，的長(zhǎng)為或，故答案為：，或．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線，解一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思考問題．變式2．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，，，，繞著斜邊AB的中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE、DF分別交AC、BC所在的直線于點(diǎn)P、Q．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為．

【答案】或或【分析】分類討論：①當(dāng)，由，，則，過作與，于，利用三角形的中位線的性質(zhì)得到，，，可得到與的長(zhǎng)，然后利用等腰三角形的性質(zhì)得到，易得，又，利用三角形全等的性質(zhì)得到，則，即，則，然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到：：，代值計(jì)算可得，從而求得；②當(dāng)，則點(diǎn)在點(diǎn)，易證，然后根據(jù)三角形相似的相似比即可得到，從而求得；②當(dāng)，則，而，得到，即，易證，然后根據(jù)三角形相似的相似比即可求得．【詳解】解：①當(dāng)，，，，則，過作與，于，如圖，

為的中點(diǎn)，，，，，，，而，，又，，而，，即，，：：，即：：，，；②當(dāng)，則點(diǎn)在點(diǎn)，如圖，，而，，，：：，即：：，，；③當(dāng)，則，而，，即，如圖，，：：，即：：，．故答案為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：兩腰相等，兩底角相等．也考查了三角形全等的性質(zhì)和三角形相似的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及分類討論思想的運(yùn)用．題型四：圖形變換--旋轉(zhuǎn)類綜合壓軸（解答類）幾何變換中的旋轉(zhuǎn)問題是江蘇歷年中考考查頻率高且考查難度較高，綜合性強(qiáng)，通常有線段、三角形、（特殊）平行四邊形的旋轉(zhuǎn)問題。在解決此類問題時(shí)，要牢牢把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，再結(jié)合幾何圖形本身的性質(zhì)，找到旋轉(zhuǎn)過程中變化的量和不變的量，運(yùn)用三角形全等或相似的有關(guān)知識(shí)，求解有關(guān)角、線段及面積問題。例1．（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）【問題情境】在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含的三角板開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，兩塊三角板分別記作和，設(shè)．【操作探究】如圖1，先將和的邊、重合，再將繞著點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，旋轉(zhuǎn)過程中保持不動(dòng)，連接．

(1)當(dāng)時(shí)，________；當(dāng)時(shí)，________；(2)當(dāng)時(shí)，畫出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；(3)如圖2，取的中點(diǎn)F，將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為________．【答案】(1)2；30或210(2)畫圖見解析；(3)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，與重合，證明為等邊三角形，得出；當(dāng)時(shí)，根據(jù)勾股定理逆定理得出，兩種情況討論：當(dāng)在下方時(shí)，當(dāng)在上方時(shí)，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可；（2）證明四邊形是正方形，得出，求出，得出，求出，根據(jù)求出兩塊三角板重疊部分圖形的面積即可；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出，即，確定將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)F在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，求出圓的周長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：∵和中，∴，∴當(dāng)時(shí)，與重合，如圖所示：連接，

∵，，∴為等邊三角形，∴；當(dāng)時(shí)，∵，∴當(dāng)時(shí)，為直角三角形，，∴，當(dāng)在下方時(shí)，如圖所示：∵，∴此時(shí)；當(dāng)在上方時(shí)，如圖所示：∵，∴此時(shí)；綜上分析可知，當(dāng)時(shí)，或；故答案為：2；30或210．（2）解：當(dāng)時(shí)，如圖所示：∵，∴，∴，∵，又∵，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即兩塊三角板重疊部分圖形的面積為．（3）解：∵，為的中點(diǎn)，∴，∴，∴將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)F在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，確定圓的條件，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是畫出相應(yīng)的圖形，數(shù)形結(jié)合，并注意分類討論．變式1．（2022·江蘇連云港·中考真題）【問題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小昕同學(xué)將一大一小兩個(gè)三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中，，．【問題探究】小昕同學(xué)將三角板繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．(2)若點(diǎn)、、在同一條直線上，求點(diǎn)到直線的距離．(3)連接，取的中點(diǎn)，三角板由初始位置（圖1），旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)、、首次在同一條直線上（如圖3），求點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．(4)如圖4，為的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)到直線的距離的最大值是_____．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）在Rt△BEF中，根據(jù)余弦的定義求解即可；（2）分點(diǎn)在上方和下方兩種情況討論求解即可；（3）取的中點(diǎn)，連接，從而求出OG=，得出點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解；（4）由（3）知，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，過O作OH⊥AB于H，當(dāng)G在OH的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，GH最大，即點(diǎn)到直線的距離的最大，在Rt△BOH中求出OH，進(jìn)而可求GH.【詳解】（1）解：由題意得，，∵在中，，，．∴．（2）①當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，如圖一，過點(diǎn)作，垂足為，∵在中，，，，∴，∴．∵在中，，，，，∴．∵點(diǎn)、、在同一直線上，且，∴．又∵在中，，，，∴，∴．∵在中，，∴．②當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，如圖二，在中，∵，，，∴．∴．過點(diǎn)作，垂足為．在中，，∴．綜上，點(diǎn)到直線的距離為．（3）解：如圖三，取的中點(diǎn)，連接，則．∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上．當(dāng)三角板繞點(diǎn)B順時(shí)針由初始位置旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)、B、首次在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)所經(jīng)過的軌跡為所對(duì)的圓弧，圓弧長(zhǎng)為．∴點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為．（4）解：由（3）知，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，如圖四，過O作OH⊥AB于H，當(dāng)G在OH的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，GH最大，即點(diǎn)到直線的距離的最大，在Rt△BOH中，∠BHO=90°，∠OBH=30°，，∴，∴，即點(diǎn)到直線的距離的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，解直角三角形等知識(shí)，分點(diǎn)在上方和下方是解第（2）的關(guān)鍵，確定點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是解第（3）（4）的關(guān)鍵.變式2．（2024·江蘇揚(yáng)州·一模）綜合與實(shí)踐：【問題情境】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論：如圖，已知等腰和等腰，其中，射線與相交于點(diǎn)，那么和數(shù)量關(guān)系是________，和位置關(guān)系是________；【思考嘗試】如圖，已知四邊形和四邊形都是正方形，是等腰直角三角形，，連接．同學(xué)們發(fā)現(xiàn)若能證明四邊形為平行四邊形，即可找出與的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你根據(jù)以上思路，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系________；【實(shí)踐探究】如圖，四邊形和四邊形都是矩形，若，連接．求出與的數(shù)量關(guān)系；【拓展遷移】如圖，在【實(shí)踐探究】的基礎(chǔ)上，若，，如果所在直線相交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周過程中長(zhǎng)度的最小值________．【答案】問題情境：，；思考嘗試：；實(shí)踐探究：；拓展遷移：．【分析】問題情境：證明，得到，，進(jìn)而推導(dǎo)出，得到，即可得到；思考嘗試：證明四邊形為平行四邊形，得到，由勾股定理得到，即可得到；實(shí)踐探究：過點(diǎn)作，并使得，證明，得到，進(jìn)而得到，即可得到，又由勾股定理得到，即得到；拓展遷移：由作圖可得，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)為圓心的圓上，當(dāng)時(shí)，和相切，點(diǎn)重合，此時(shí)最大，最小，即的長(zhǎng)最小，，由勾股定理求出，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：【問題情境】∵等腰和等腰，，∴，，，，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案為：，；【思考嘗試】∵四邊形是正方形，是等腰直角三角形，∴，，，，∴∠ABE=∠CBH，，∴，∴，，∵四邊形是正方形，∴，，∴，，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：；【實(shí)踐探究】如圖，過點(diǎn)作，并使得，則，連接，∵四邊形為矩形，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∵四邊形為矩形，∴，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∴，∴；【拓展遷移】解：如圖，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)為圓心的圓上，當(dāng)時(shí)，和相切，點(diǎn)重合，此時(shí)最大，∵，∴此時(shí)最小，即的長(zhǎng)最小，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周過程中長(zhǎng)度的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．題型五：圖形變換--圖形拼接類綜合壓軸把一個(gè)幾何圖形按某種要求分成幾個(gè)圖形，就叫做圖形的分割:反過來，按一定的要求也可以把幾個(gè)圖形拼接成一-個(gè)完美的圖形，就叫做圖形的拼接。通常，我們會(huì)將一個(gè)或多個(gè)圖形先分割，再拼接成一種指定的圖形。在拼接過程中注意：1）不重不漏的原則，即在拼接中不能出現(xiàn)空隙或者重疊部分；2）面積不變?cè)瓌t，在拼接中利用面積不變是計(jì)算拼接問題的主要方法；3）拼接中常用的方法是平移或者旋轉(zhuǎn)；4）動(dòng)手操作要讀懂出題人的拼接規(guī)則和方法提示。例1．（2024·浙江溫州·一模）如圖1木工師傅將三塊不全等的的平行四邊形木板拼成了一個(gè)鄰邊長(zhǎng)為5和12的大的平行四邊形木板，然后通過裁剪又拼成了一個(gè)不重疊，無縫隙的大正方形木板如(圖2)，數(shù)據(jù)如圖所示，記圖1中三個(gè)小平行四邊形的中心分別為A，B，C，點(diǎn)A，C的圖2中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為連結(jié)和當(dāng)時(shí),MN的長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)題意，得，,結(jié)合點(diǎn)B是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)C是對(duì)角線的中點(diǎn)，計(jì)算，正方形的面積等于平行四邊形的面積，得到，，設(shè)，則，則，，根據(jù)勾股定理，得，計(jì)算即可，本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，拼圖的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)題意，得，,則，∵點(diǎn)B是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)C是對(duì)角線的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則則，∵，∴,故點(diǎn)C到得距離等于點(diǎn)到得距離，為，設(shè)與的交點(diǎn)是Y，則，∵,故解得，故答案為：．變式1．（2024·江蘇·中考模擬預(yù)測(cè)）如圖是矩形，它由三個(gè)直角三角形和一個(gè)梯形組成，將其重新組成不重疊、無縫隙的正方形（如圖）．連結(jié)，交于點(diǎn)．此時(shí)點(diǎn)，，在同一直線上，若，則正方形邊長(zhǎng)為，連結(jié)交于點(diǎn)，則的值為．

【答案】/【分析】先證明，可得，即，再證明，設(shè)，則，則，計(jì)算的長(zhǎng)，證明，可得的長(zhǎng)，從而計(jì)算正方形邊長(zhǎng)長(zhǎng)；根據(jù)勾股定理計(jì)算和的長(zhǎng)，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得：，計(jì)算的長(zhǎng)，同理可得的長(zhǎng)，從而可得答案．【詳解】解：四邊形是正方形，，，四邊形是矩形，，即，，，即，，，，，，設(shè)，則，，即，，，，，，即，，解得：，（舍，，正方形邊長(zhǎng)為，，，，，，，，，，，，，，即，，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，本題注意圖形的剪拼中相等的線段和角的關(guān)系．變式2．（2023·浙江溫州·三模）如圖1，將一張等腰三角形紙片沿虛線剪開，得到兩個(gè)全等的三角形和兩個(gè)全等的四邊形小紙片．小博按圖2方式拼接，恰好拼成一個(gè)不重疊、無縫隙的矩形；小雅按圖3方式拼接，也拼出一個(gè)矩形，但由于兩個(gè)四邊形紙片有重疊（陰影）部分，整個(gè)面積減少了．若，則，矩形的面積為

【答案】/【分析】設(shè)虛線交于點(diǎn)，根據(jù)題意可知為等腰三角形的高，且//，由設(shè)，由圖2可知，，可得，在結(jié)合勾股定理解得，即可解得的值；由解得，再結(jié)合由圖2與圖3可知，，據(jù)此解出，最后由，代入的值計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)虛線交于點(diǎn)，

根據(jù)題意可得為等腰三角形的高，且//設(shè)由圖2可知，，，，；設(shè)由題意知，如圖，由圖2與圖3可知解得當(dāng)時(shí)，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例性質(zhì)、勾股定理、矩形性質(zhì)、平行四邊形面積等知識(shí)，涉及方程思想，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．課后訓(xùn)練1．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，M是的中點(diǎn)，將四邊形沿翻折得到四邊形，連接，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了正方形與折疊問題，求角的正弦值，勾股定理，等角對(duì)等邊等等，延長(zhǎng)交于G，過點(diǎn)D作于G，先證明得到，設(shè)，則，由勾股定理建立方程，解得，則，利用面積法求出，則，由折疊的性質(zhì)可得，則，可得，則，證明，得到，即可得到．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)交于G，過點(diǎn)D作于G，∵四邊形是正方形，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∴，∴，∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∵，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∴，∴，∴，由折疊性質(zhì)可得，∴，∴，∴，故選：A．2.（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在矩形ABCD中．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AD向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，沿邊BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，連接MN．動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的速度為，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度為，且．當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，M，N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到四邊形．若在某一時(shí)刻，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好在CD的中點(diǎn)重合，則的值為．【答案】【分析】在矩形ABCD中，設(shè)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，得到，利用翻折及中點(diǎn)性質(zhì)，在中利用勾股定理得到，然后利用得到，在根據(jù)判定的得到，從而代值求解即可．【詳解】解：如圖所示：在矩形ABCD中，設(shè)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，在運(yùn)動(dòng)過程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到四邊形，，若在某一時(shí)刻，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好在CD的中點(diǎn)重合，，在中，，則，，,,,,，，，則，，即，在和中，，，即，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于矩形背景下的動(dòng)點(diǎn)問題，涉及到矩形的性質(zhì)、對(duì)稱性質(zhì)、中點(diǎn)性質(zhì)、兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)、勾股定理及兩個(gè)三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定，求出相應(yīng)線段長(zhǎng)是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．如圖，已知三角形紙片，第1次折疊使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)；第2次折疊使點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)．若，則．【答案】6【分析】根據(jù)第一次折疊的性質(zhì)求得和，由第二次折疊得到，，進(jìn)而得到，易得MN是的中位線，最后由三角形的中位線求解．【詳解】解：∵已知三角形紙片，第1次折疊使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)，∴，．∵第2次折疊使點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)，∴，，∴，∴．∵，∴MN是的中位線，∴，．∵，，∴．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)，理解折疊的性質(zhì)，三角形的中位線性質(zhì)是解答關(guān)鍵．4．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在和中，，點(diǎn)M，N，P分別為的中點(diǎn)，若繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，則面積S的取值范圍為．【答案】【分析】連接，根據(jù)三角形中位線定理得到推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，推出是等腰直角三角形．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，推出最大時(shí)，面積最大，最小時(shí)，面積最小，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接并延長(zhǎng)交于G交于O，∵點(diǎn)P，N是的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)P，M是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，即，在與中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形．∴，∴最大時(shí)，面積最大，最小時(shí)，面積最小，∴當(dāng)點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，此時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，最小，此時(shí)，，∴，．面積S的取值范圍為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是判斷出的最大值和最小值．5．（2024·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，在菱形紙片中，點(diǎn)E在邊上，將菱形沿折疊，點(diǎn)A、B分別落在、處，，垂足為F．若，，則．【答案】【分析】本題考查菱形性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，結(jié)合折疊得到，，根據(jù)三角函數(shù)得到，，結(jié)合角度關(guān)系得到，求出，再根據(jù)三角函數(shù)即可得到答案；【詳解】解：過作所在直線于點(diǎn)Q，∵四邊形是菱形，，，∴，，，∵菱形沿折疊，點(diǎn)A、B分別落在、處，∴，，∵，∴，∴，∴，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．6．（2023·浙江嘉興·中考真題）一副三角板和中，．將它們疊合在一起，邊與重合，與相交于點(diǎn)G（如圖1），此時(shí)線段的長(zhǎng)是，現(xiàn)將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），邊與相交于點(diǎn)H，連結(jié)，在旋轉(zhuǎn)到的過程中，線段掃過的面積是．

【答案】【分析】如圖1，過點(diǎn)G作于H，根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，然后由可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得線段的長(zhǎng)；如圖2，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，與交于，連接，，是旋轉(zhuǎn)到的過程中任意位置，作于N，過點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于M，首先證明是等邊三角形，點(diǎn)在直線上，然后可得線段掃過的面積是弓形的面積加上的面積，求出和，然后根據(jù)線段掃過的面積列式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖1，過點(diǎn)G作于H，

∵，，∴，，∵，∴，∴；如圖2，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，與交于，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∴是等邊三角形，∵，∴，∴，∵，∴，即垂直平分，∵是等腰直角三角形，∴點(diǎn)在直線上，連接，是旋轉(zhuǎn)到的過程中任意位置，則線段掃過的面積是弓形的面積加上的面積，∵，∴，∴，作于N，則，∴，過點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于M，則，∵，，∴，∴，∴線段掃過的面積，，，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，二次根式的運(yùn)算，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積計(jì)算等知識(shí)，作出圖形，證明點(diǎn)在直線上是本題的突破點(diǎn)，靈活運(yùn)用各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·浙江溫州·中考真題）圖1是方格繪成的七巧板圖案，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為，現(xiàn)將它剪拼成一個(gè)“房子”造型(如圖2)，過左側(cè)的三個(gè)端點(diǎn)作圓，并在圓內(nèi)右側(cè)部分留出矩形作為題字區(qū)域(點(diǎn)，，，在圓上，點(diǎn)，在上)，形成一幅裝飾畫，則圓的半徑為．若點(diǎn)，，在同一直線上，，，則題字區(qū)域的面積為．

【答案】5【分析】根據(jù)不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓，根據(jù)對(duì)稱性得出圓心的位置，進(jìn)而垂徑定理、勾股定理求得，連接，取的中點(diǎn)，連接，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，依題意，，∵過左側(cè)的三個(gè)端點(diǎn)作圓，，又，∴在上，連接，則為半徑，∵，在中，∴解得：；連接，取的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，，

∵，∴，∴，∵點(diǎn)，，在同一直線上，∴，∴，又，∴∵，∴∴∵∴∴，∵，設(shè)，則在中，即整理得即解得：或∴題字區(qū)域的面積為故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，平行線分線段成比例，勾股定理，七巧板，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，在矩形中，，E為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，連接．若的最大值與最小值之比為2，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題主要考查了一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最值問題，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，則點(diǎn)在以A為圓心，半徑為3的圓上運(yùn)動(dòng)，據(jù)此可得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，最大，據(jù)此表示出的最大值和最小值，再由的最大值與最小值之比為2列出方程求解即可．【詳解】解；如圖所示，連接，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，∴點(diǎn)在以A為圓心，半徑為3的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，∴；∵點(diǎn)E在線段上，∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，最大，最大值即為的長(zhǎng)，∴，∵的最大值與最小值之比為2，∴，∴，∴，解得或，故答案為：．9．（2023·浙江杭州·二模）如圖，一張矩形紙片中，（m為常數(shù)），將矩形紙片沿折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，與交于點(diǎn)P．當(dāng)點(diǎn)H落在的中點(diǎn)時(shí)，且，則．【答案】【分析】本題主要考查了矩形折疊綜合，熟練掌握矩形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，是解題的關(guān)鍵．設(shè)，根據(jù)得到，根據(jù)，得到①，在中，利用勾股定理得到②，解①②即可求解．【詳解】∵，設(shè)（），則，∵點(diǎn)H是的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴①，∵，∴，在中，，∴②，聯(lián)立①②，解得：，∵，∴，∴．故答案為：．10．（2022·浙江寧波·一模）如圖，矩形中，，分別與邊相切，點(diǎn)M，N分別在上，，將四邊形沿著翻折，使點(diǎn)B、C分別落在、處，若射線恰好與相切，切點(diǎn)為G，則線段的長(zhǎng)為．【答案】/【分析】設(shè)與相切于點(diǎn)E，與相切于點(diǎn)H，連接，過點(diǎn)N作于點(diǎn)F，利用切線的性質(zhì)與切線長(zhǎng)定理求得圓的半徑，，利用折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，，通過證明，利用相似三角形的性質(zhì)列出方程，解方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)與相切于點(diǎn)E，與相切于點(diǎn)H，連接，過點(diǎn)N作于點(diǎn)F，如圖，∵分別與邊相切，，∴的直徑為4，∴．∵為的切線，∴，∵，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形．∴．∵為的切線，∴，，．∵四邊形沿著翻折，使點(diǎn)B、C分別落在、處，∴，，，．∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．∴．∵四邊形為直角梯形，，∴，設(shè)，則，，∴，解得：或（不合題意，舍去）．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，條件適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．11．（2024·浙江寧波·一模）如圖，將矩形的邊翻折到，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在邊上，再將邊翻折到，且點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為的內(nèi)心，則．【答案】4【分析】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)心的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角形函數(shù)與解直角三角形、三角形的面積公式等知識(shí)．作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則，由翻折的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)為的內(nèi)心，得，，推導(dǎo)出，，于是得，，由，得，再證明，得，可證明，所以，則，求得，于是得到問題的答案．【詳解】解：作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則，∴，由翻折得，，，點(diǎn)為的內(nèi)心，，，四邊形是矩形，∴，，，，，，∴，，，，，，，，，設(shè)交于點(diǎn)，，，，，，，，，，故答案為：4．12．（2023·浙江臺(tái)州·二模）中，，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，若，則．【答案】【分析】連接，先證，再證四邊形為矩形，再證，得到，設(shè)，，則，得到，從而得到、的關(guān)系．【詳解】解：連接，，，由旋轉(zhuǎn)可知：，，，，，，，，，，在和中，，，，，，又，，四邊形是矩形，，，，，，，設(shè)，，則，即：，整理得：，解得：，（舍去），，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是利用三角形相似構(gòu)建方程解決問題．13．（2023·浙江寧波·三模）如圖，在矩形中，．將矩形沿折疊，使點(diǎn)A落在邊上的E處，得到四邊形，連接，若，，則，．【答案】【分析】過G作于M，過P作，垂足為N，證明，推出，據(jù)此可求得；再根據(jù)三角函數(shù)推出，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理表示，在中，，，求出，即可求出面積．【詳解】解：過G作于M，過P作，垂足為N，∵矩形沿折疊，使點(diǎn)A落在邊上的E處，得到四邊形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴；∵折疊矩形，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，，∴，，解得，，∴；故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形，正方形的性質(zhì)，翻折變換，解直角三角形，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，善于在復(fù)雜的圖形中找出基本圖形是解題關(guān)鍵．14．（2022·浙江杭州·二模）如圖，在平行四邊形中，與交于點(diǎn)，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．連接，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，則．在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)到直線的距離的最大值為．【答案】2【分析】如圖1，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，則AQ＝AB，連接過點(diǎn)Q作OH⊥AB于點(diǎn)H，則∠OHB＝∠OHA＝90°，在Rt△BOH中，BH＝2，OH＝2，在Rt△AOH中，AH＝OH＝2，AO＝2AB＝AQ＝BH＋AH＝2＋2，即可求得AQ－AO＝2＋2－2；如圖2，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作圓，交BD于點(diǎn)S，取的中點(diǎn)為Q1，連接AQ1交BS于點(diǎn)T，由題意知點(diǎn)Q在上運(yùn)動(dòng)，在上，點(diǎn)Q1到直線的距離最大，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q2，作Q2N⊥BD于點(diǎn)N，在上，點(diǎn)Q2到直線的距離最大，分別求解兩個(gè)距離，取最大值即可．【詳解】解：如圖1，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，則AQ＝AB，連接過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，則∠OHB＝∠OHA＝90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，BD＝8，∴OB＝OD＝4，在Rt△BOH中，∠OBH＝，∠OHB＝90°，∴BH＝OB×cos∠OBH＝4×cos60°＝2，OH＝OB×sin∠OBH＝4×sin60°＝2，在Rt△AOH中，∠OAH＝，∠OHA＝90°，∴∠AOH＝90°－∠OAH＝45°，∴AH＝OH＝2，AO＝，∴AB＝AQ＝BH＋AH＝2＋2，∴AQ－AO＝2＋2－2．如圖2，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作圓，交BD于點(diǎn)S，取的中點(diǎn)為Q1，連接AQ1交BS于點(diǎn)T，由題意知點(diǎn)Q在上運(yùn)動(dòng)，在上，點(diǎn)Q1到直線的距離最大，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q2，作Q2N⊥BD于點(diǎn)N，在上，點(diǎn)Q2到直線的距離最大，下面分別求解，∵AB＝AS，∴△ABS是等腰三角形，∵∠ABS＝60°，∴△ABS是等邊三角形，∵的中點(diǎn)為Q1，

∴垂直平分BS于點(diǎn)T，∴AT＝AB×sin∠ABS＝（2＋2）×＝＋3，∴＝－AT＝－1；由題意可知點(diǎn)與點(diǎn)B關(guān)于直線AO對(duì)稱，∴∠AB＝2∠ABO＝90°，AB＝A，

∴∠AB＝∠AB＝45°，，∴∠BN＝∠ABO－∠AB＝15°，如圖3，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，AC＝，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)D，使得AD＝AB＝2，∴∠D＝∠ABD＝∠BAC＝15°，CD＝AC＋AD＝＋2，∴tan15°＝tanD＝，如圖2，在Rt△NB中，∠BN＝∠ABO－∠AB＝15°，設(shè)N＝x，則BN＝，由勾股定理得∴＝，解得x＝2，∴N＝2，∵2＞－1，

∴N＞，∴點(diǎn)到直線的距離的最大值為2．故答案為：，2【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，圓的相關(guān)知識(shí)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和方法是基礎(chǔ)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．15．（2023·浙江杭州·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)分別在邊，上，連接，已知點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．設(shè)，若，則（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）．

【答案】【分析】先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和已知條件證明，再證，推出，通過證明，推出，即可求出的值．【詳解】解：點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，，，．，，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，，又，，，，，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，，，，，在和中，，．在中，，，，，，，，，，．，，解得，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)等，有一定難度，解題的關(guān)鍵是證明．16．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．

(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，設(shè)，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接、，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及已知條件可得為等邊三角形，根據(jù)，可得為等腰直角三角形，則，，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得，，則，；同理，，；進(jìn)而根據(jù)，即可求解；（2）等積法求得，則，根據(jù)三角形的面積公式可得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）如圖，連接、，四邊形為菱形，，，為等邊三角形．為中點(diǎn)，，，，．，為等腰直角三角形，，，翻折，，，，；.同理，，，∴；（2）如圖，連接、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．，，，．∵，，．，則，，，．∵，．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形與折疊問題，勾股定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．17．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，F(xiàn)E，DC為鉛直方向的邊，AF，ED，BC為水平方向的邊，點(diǎn)E在AB，CD之間，且在AF，BC之間，我們稱這樣的圖形為“L圖形”，記作“L圖形ABC﹣DEF”．若直線將L圖形分成面積相等的兩個(gè)圖形，則稱這樣的直線為該L圖形的面積平分線．【活動(dòng)】小華同學(xué)給出了圖1的面積平分線的一個(gè)作圖方案：如圖2，將這個(gè)L圖形分成矩形AGEF、矩形GBCD，這兩個(gè)矩形的對(duì)稱中心O1，O2所在直線是該L圖形的面積平分線．請(qǐng)用無刻度的直尺在圖1中作出其他的面積平分線．（作出一種即可，不寫作法，保留作圖痕跡）【思考】如圖3，直線O1O2是小華作的面積平分線，它與邊BC，AF分別交于點(diǎn)M，N，過MN的中點(diǎn)O的直線分別交邊BC，AF于點(diǎn)P，Q，直線PQ（填“是”或“不是”）L圖形ABCDEF的面積平分線．【應(yīng)用】在L圖形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．（1）如圖4，CD＝AF＝1．①該L圖形的面積平分線與兩條水平的邊分別相交于點(diǎn)P，Q，求PQ長(zhǎng)的最大值；②該L圖形的面積平分線與邊AB，CD分別相交于點(diǎn)G，H，當(dāng)GH的長(zhǎng)取最小值時(shí)，BG的長(zhǎng)為．（2）設(shè)＝t（t＞0），在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，如果只有與邊AB，CD相交的面積平分線，直接寫出t的取值范圍．【答案】【活動(dòng)】見解析；【思考】是；【應(yīng)用】（1）①；②；（2）＜t＜【分析】[活動(dòng)]如圖1，根據(jù)題意把原本圖形分成左右兩個(gè)矩形，這兩個(gè)矩形的對(duì)稱中心O1，O2所在直線是該L圖形的面積平分線；[思考]如圖2，證明△OQN≌△OPM（AAS），根據(jù)割補(bǔ)法可得直線PQ是L圖形ABCDEF的面積平分線；[應(yīng)用]（1）①建立平面直角坐標(biāo)系，分兩種情況：如圖3﹣1和3﹣2，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式和待定系數(shù)法可得面積平分線的解析式，并計(jì)算P和Q的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)的距離公式可得PQ的長(zhǎng)，并比較大小可得結(jié)論；②當(dāng)GH⊥AB時(shí)，GH最小，設(shè)BG＝x，根據(jù)面積相等列方程，解出即可；（2）如圖5，由已知得：CD＝tAF，直線DE將圖形分成上下兩個(gè)矩形，當(dāng)上矩形面積小于下矩形面積時(shí)，在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，只有與邊AB，CD相交的面積平分線，列不等式可得t的取值．【詳解】解：【活動(dòng)】如圖1，直線O1O2是該L圖形的面積平分線；【思考】如圖2，∵∠A＝∠B＝90°，∴AF∥BC，∴∠NQO＝∠MPO，∵點(diǎn)O是MN的中點(diǎn)，∴ON＝OM，在△OQN和△OPM中，，∴△OQN≌△OPM（AAS），∴S△OQN＝S△OPM，∵S梯形ABMN＝SMNFEDC，∴S梯形ABMN﹣S△OPM＝SMNFEDC﹣S△OQN，即SABPON＝SCDEFQOM，∴SABPON+S△OQN＝SCDEFQOM+S△OPM，即S梯形ABPQ＝SCDEFQP，∴直線PQ是L圖形ABCDEF的面積平分線．故答案為：是；【應(yīng)用】（1）①如圖3，當(dāng)P與B重合時(shí)，PQ最大，過點(diǎn)Q作QH⊥BC于H，L圖形ABCDEF的面積=4×6-（4-1）×（6-1）=9，∵PQ是L圖形ABCDEF的面積平分線，∴梯形CDQP的面積=×（DQ+BC）×CD=，即×（DQ+6）×1=，∴DQ=CH=3，∴PH=6-3=3，∵QH=CD=1，由勾股定理得：PQ=；∴PQ長(zhǎng)的最大值為；②如圖4，當(dāng)GH⊥AB時(shí)GH最短，過點(diǎn)E作EM⊥AB于M，設(shè)BG＝x，則MG＝1﹣x，根據(jù)上下兩部分面積相等可知，6x＝（4﹣1）×1+（1﹣x）×6，解得x＝