高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省七校聯(lián)合體2024屆高三上學(xué)期開學(xué)第一次聯(lián)考（8月）數(shù)學(xué)試題一．單選題1.已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，則A∩B的子集個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝{0，1}，則A∩B的子集個數(shù)為22＝4．故選：D．2.若復(fù)數(shù)滿足（i是虛數(shù)單位），則的模長等于（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知，，所以，則，.故選：D.3.已知向量，且，則等于（）A.5 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以，解得.所以，，.故選：A.4.函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則有，即，故選：B5.已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)橢圓的對稱性，不妨設(shè)焦點在橫軸上的橢圓標準方程為：，設(shè)，設(shè)，，點在橢圓內(nèi)部，有，要想該不等式恒成立，只需，而，故選：B.6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由而，，所以.故選：C7.在等比數(shù)列中，公比為.已知，則是數(shù)列單調(diào)遞減的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分又不必要〖答案〗C〖解析〗，當時，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，故充分性成立，若數(shù)列單調(diào)遞減，則，即，故必要性成立，所以是數(shù)列單調(diào)遞減的充要條件.故選：C.8.已知函數(shù)（，）在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)正弦和角與差角公式化簡函數(shù)式可得，（，）.根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間可知，（）上單調(diào)遞增，化簡得，；∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，（）.∵在上單調(diào)遞減，可得，解得，（）又，當時，可得；當時，可得.故選：D.二．多選題9.下列說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的平均數(shù)和中位數(shù)相同B.數(shù)據(jù)6，5，4，3，3，3，2，2，1的眾數(shù)為3C.有甲、乙、丙三種個體按3：1：2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個體數(shù)為9，則樣本容量為30D.甲組數(shù)據(jù)的方差為4，乙組數(shù)據(jù)為5，6，9，10，5，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙組〖答案〗AB〖解析〗對于A，平均數(shù)為，中位數(shù)為，故A正確；對于B，數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3，故B正確；對于C，設(shè)樣本容量為x，由題知，解得，即樣本容量為18，故C錯誤；對于D，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，又，所以兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲組，故D錯誤.故選：AB10.盡管目前人類還無法準確預(yù)報地震，但科學(xué)家經(jīng)過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為，則下列說法正確的是（）A.地震釋放的能量為焦耳時，地震里氏震級為七級B.八級地震釋放的能量為七級地震釋放的能量的6.3倍C.八級地震釋放的能量為六級地震釋放的能量的1000倍D.記地震里氏震級為，地震釋放的能量為，則〖答案〗ACD〖解析〗對于A，當時，由題意得，解得，即地震里氏震級為七級．故A正確；對于B,八級地震即時，由，解得，所以．故B不正確；對于C，六級地震即時，由，解得，所以，即八級地震釋放的能量為六級地震釋放的能量的1000倍．故C正確；對于D，由題意得，則．故D正確.故選：ACD.11.若函數(shù)同時滿足：（1）對于定義域內(nèi)的任意，有；（2）對于定義域內(nèi)的任意，，當時，有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．給出下列四個函數(shù)是“理想函數(shù)”的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由（1）可知，為奇函數(shù)，由（2）可知，在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，對于A，定義域為R，又，故為偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，定義域為R，又，故為奇函數(shù)，又在R上單調(diào)遞減，滿足要求，B正確；對于C，分別在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞減，C錯誤；對于D：，，所以是奇函數(shù)；根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，易知在和都是減函數(shù)，且在處連續(xù)，所以在上是減函數(shù)，所以是“理想函數(shù)”，D正確.故選：BD12.已知四面體的所有棱長均為，則下列結(jié)論正確的是（）A.異面直線與所成角為B.點到平面的距離為C.四面體的外接球體積為D.動點在平面上，且與所成角為，則點的軌跡是橢圓〖答案〗BC〖解析〗取中點,連接,可得面,則,故A錯誤；在四面體中，過點作面于點,則為為底面正三角形的重心，因為所有棱長均為,,即點到平面的距離為,故B正確；設(shè)為正四面體的中心則為內(nèi)切球的半徑，為外接球的半徑，因為，所以，即,所以四面體的外接球體積,故C正確；建系如圖：,設(shè)，則因為，所以，即，平方化簡可得：，可知點的軌跡為雙曲線,故D錯誤.故選：BC．三．填空題13.某醫(yī)院傳染病科室有5名醫(yī)生．4名護士，現(xiàn)從這9名醫(yī)護人員中選取5名參加醫(yī)院組織的運動會，要求其中至少有2名醫(yī)生．2名護士，則不同的選取方法有______種．〖答案〗〖解析〗符合題意的情況有兩種：名醫(yī)生、名護士和名醫(yī)生、名護士．選取名醫(yī)生、名護士的方法有：種；選取名醫(yī)生、名護士的方法有：種；綜上所述：滿足題意的選取方法共有種．故〖答案〗為：.14.在正方體中，點為側(cè)棱上一點，且，平面將該正方體分成兩部分，其體積分別為，則__________．〖答案〗〖解析〗由題意，延長線段與的延長線交于點，連接交于，連接，故平面延展開后即為平面，將該正方體分成兩部分一部分是三棱臺，另一部分是剩余的部分.由于，故，不妨設(shè)正方體棱長為3，，，即.故〖答案〗：.15.已知函數(shù)y＝的圖象與函數(shù)y＝kx－2的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是________．〖答案〗(0,1)∪(1,4)〖解析〗y(tǒng)＝函數(shù)y＝kx－2的圖象恒過定點M(0，－2)，kMA＝0，kMB＝4.k＝1時，直線y＝kx－2在x＞1或x≤－1時與直線y＝x＋1平行，此時有一個公共點，∴k∈(0,1)∪(1,4)時，兩函數(shù)圖象恰有兩個交點．16.已知點在線段上，是的角平分線，為上一點，且滿足，設(shè)則在上的投影向量為__________．（結(jié)果用表示）．〖答案〗〖解析〗建立如圖所示的直角坐標系，由，可設(shè)，，得點的軌跡是以為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支（不含右頂點）．因為是的角平分線，且，所以也為的角平分線，為的內(nèi)心．如圖，設(shè)，則由雙曲線與內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，，又，所以，，在上的投影長為，則在上的投影向量為，故〖答案〗為：四．解答題17.已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為，．（1）求；（2）若，求面積的取值范圍．（1）解：由正弦定理可得，又由，因為，可得，因為，可得，所以，又因為，所以；（2）解：因為是銳角三角形，由（1）知且，可得，因為，所以，由三角形面積公式得，又由正弦定理且，所以，因為，所以，所以，所以，即面積的取值范圍為．18.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，D為棱上的點．（1）證明：；（2）當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?（1）證明：[方法一]：幾何法因為，所以．又因為，，所以平面．又因為，構(gòu)造正方體，如圖所示，過E作的平行線分別與交于其中點，連接，因為E，F(xiàn)分別為和的中點，所以是BC的中點，易證，則．又因為，所以．又因為，所以平面．又因為平面，所以．[方法二]【最優(yōu)解】：向量法因為三棱柱是直三棱柱，底面，，，，又，平面．所以兩兩垂直．以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖．，．由題設(shè)（）．因為，所以，所以．[方法三]：因為，，所以，故，，所以，所以．（2）解：[方法一]【最優(yōu)解】：向量法設(shè)平面的法向量為，因為，所以，即．令，則因為平面的法向量為，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則．當時，取最小值為，此時取最大值為．所以，此時．[方法二]：幾何法如圖所示，延長交的延長線于點S，聯(lián)結(jié)交于點T，則平面平面．作，垂足為H，因為平面，聯(lián)結(jié)，則為平面與平面所成二面角的平面角．設(shè)，過作交于點G．由得．又，即，所以．又，即，所以．所以．則，所以，當時，．[方法三]：投影法如圖，聯(lián)結(jié)，在平面的投影為，記面與面所成的二面角的平面角為，則．設(shè)，在中，．在中，，過D作的平行線交于點Q．在中，．在中，由余弦定理得，，，，，當，即，面與面所成的二面角的正弦值最小，最小值為．19.設(shè)為實數(shù)，函數(shù)，．（1）求的極值；（2）對于，，都有，試求實數(shù)取值范圍．（1）解：函數(shù)的定義域為，，令，可得或，列表如下：增極大值減極小值增故函數(shù)的極大值為，極小值為.（2）解：對于，，都有，則.由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當時，，因為，且，則且不恒為零，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，由題意可得，故.20.記為等差數(shù)列的前項和，已知．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，（2）因為，令，解得，且，當時，則，可得；當時，則，可得；綜上所述：.21.已知橢圓焦距為2，且經(jīng)過點．（1）求橢圓C的方程；（2）經(jīng)過橢圓右焦點F且斜率為的動直線l與橢圓交于A、B兩點，試問x軸上是否存在異于點F的定點T，使恒成立？若存在，求出T點坐標，若不存在，說明理由．（1）解：由橢圓的焦距為2，故，則，又由橢圓經(jīng)過點，代入得，解得，所以橢圓的方程為．（2）解：根據(jù)題意，直線l的斜率顯然不為零，令，由橢圓右焦點，故可設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，設(shè)，，且，設(shè)存在點，設(shè)點坐標為，由，可得，又因為，所以，所以，所以直線和關(guān)于軸對稱，其傾斜角互補，即有，則，所以，所以，整理得，即，即，解得，符合題意，即存在點滿足題意．22.規(guī)定抽球試驗規(guī)則如下：盒子中初始裝有白球和紅球各一個，每次有放回的任取一個，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪．如果每一輪取到的兩個球都是白球，則記該輪為成功，否則記為失敗．在抽取過程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中再放入一個紅球，然后接著進行下一輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功．（1）某人進行該抽球試驗時，最多進行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進行抽球試驗的輪次數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）為驗證抽球試驗成功的概率不超過，有1000名數(shù)學(xué)愛好者獨立的進行該抽球試驗，記表示成功時抽球試驗的輪次數(shù)，表示對應(yīng)的人數(shù)，部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：1234523298604020求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測成功的總?cè)藬?shù)（精確到1）；（3）證明：．附：經(jīng)驗回歸方程系數(shù)：，；參考數(shù)據(jù)：，，（其中，）．（1）解：由題知，的取值可能為1，2，3,所以；；；所以的分布列為：123所以數(shù)學(xué)期望為.（2）解：令，則，由題知：，，所以，所以，，故所求的回歸方程為：，所以，估計時，；估計時，；估計時，；預(yù)測成功的總?cè)藬?shù)為.（3）證明：由題知，在前輪就成功的概率為又因為在前輪沒有成功的概率為，故.廣東省七校聯(lián)合體2024屆高三上學(xué)期開學(xué)第一次聯(lián)考（8月）數(shù)學(xué)試題一．單選題1.已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，則A∩B的子集個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝{0，1}，則A∩B的子集個數(shù)為22＝4．故選：D．2.若復(fù)數(shù)滿足（i是虛數(shù)單位），則的模長等于（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知，，所以，則，.故選：D.3.已知向量，且，則等于（）A.5 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以，解得.所以，，.故選：A.4.函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則有，即，故選：B5.已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)橢圓的對稱性，不妨設(shè)焦點在橫軸上的橢圓標準方程為：，設(shè)，設(shè)，，點在橢圓內(nèi)部，有，要想該不等式恒成立，只需，而，故選：B.6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由而，，所以.故選：C7.在等比數(shù)列中，公比為.已知，則是數(shù)列單調(diào)遞減的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分又不必要〖答案〗C〖解析〗，當時，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，故充分性成立，若數(shù)列單調(diào)遞減，則，即，故必要性成立，所以是數(shù)列單調(diào)遞減的充要條件.故選：C.8.已知函數(shù)（，）在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)正弦和角與差角公式化簡函數(shù)式可得，（，）.根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間可知，（）上單調(diào)遞增，化簡得，；∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，（）.∵在上單調(diào)遞減，可得，解得，（）又，當時，可得；當時，可得.故選：D.二．多選題9.下列說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的平均數(shù)和中位數(shù)相同B.數(shù)據(jù)6，5，4，3，3，3，2，2，1的眾數(shù)為3C.有甲、乙、丙三種個體按3：1：2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個體數(shù)為9，則樣本容量為30D.甲組數(shù)據(jù)的方差為4，乙組數(shù)據(jù)為5，6，9，10，5，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙組〖答案〗AB〖解析〗對于A，平均數(shù)為，中位數(shù)為，故A正確；對于B，數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3，故B正確；對于C，設(shè)樣本容量為x，由題知，解得，即樣本容量為18，故C錯誤；對于D，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，又，所以兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲組，故D錯誤.故選：AB10.盡管目前人類還無法準確預(yù)報地震，但科學(xué)家經(jīng)過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為，則下列說法正確的是（）A.地震釋放的能量為焦耳時，地震里氏震級為七級B.八級地震釋放的能量為七級地震釋放的能量的6.3倍C.八級地震釋放的能量為六級地震釋放的能量的1000倍D.記地震里氏震級為，地震釋放的能量為，則〖答案〗ACD〖解析〗對于A，當時，由題意得，解得，即地震里氏震級為七級．故A正確；對于B,八級地震即時，由，解得，所以．故B不正確；對于C，六級地震即時，由，解得，所以，即八級地震釋放的能量為六級地震釋放的能量的1000倍．故C正確；對于D，由題意得，則．故D正確.故選：ACD.11.若函數(shù)同時滿足：（1）對于定義域內(nèi)的任意，有；（2）對于定義域內(nèi)的任意，，當時，有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．給出下列四個函數(shù)是“理想函數(shù)”的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由（1）可知，為奇函數(shù)，由（2）可知，在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，對于A，定義域為R，又，故為偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，定義域為R，又，故為奇函數(shù)，又在R上單調(diào)遞減，滿足要求，B正確；對于C，分別在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞減，C錯誤；對于D：，，所以是奇函數(shù)；根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，易知在和都是減函數(shù)，且在處連續(xù)，所以在上是減函數(shù)，所以是“理想函數(shù)”，D正確.故選：BD12.已知四面體的所有棱長均為，則下列結(jié)論正確的是（）A.異面直線與所成角為B.點到平面的距離為C.四面體的外接球體積為D.動點在平面上，且與所成角為，則點的軌跡是橢圓〖答案〗BC〖解析〗取中點,連接,可得面,則,故A錯誤；在四面體中，過點作面于點,則為為底面正三角形的重心，因為所有棱長均為,,即點到平面的距離為,故B正確；設(shè)為正四面體的中心則為內(nèi)切球的半徑，為外接球的半徑，因為，所以，即,所以四面體的外接球體積,故C正確；建系如圖：,設(shè)，則因為，所以，即，平方化簡可得：，可知點的軌跡為雙曲線,故D錯誤.故選：BC．三．填空題13.某醫(yī)院傳染病科室有5名醫(yī)生．4名護士，現(xiàn)從這9名醫(yī)護人員中選取5名參加醫(yī)院組織的運動會，要求其中至少有2名醫(yī)生．2名護士，則不同的選取方法有______種．〖答案〗〖解析〗符合題意的情況有兩種：名醫(yī)生、名護士和名醫(yī)生、名護士．選取名醫(yī)生、名護士的方法有：種；選取名醫(yī)生、名護士的方法有：種；綜上所述：滿足題意的選取方法共有種．故〖答案〗為：.14.在正方體中，點為側(cè)棱上一點，且，平面將該正方體分成兩部分，其體積分別為，則__________．〖答案〗〖解析〗由題意，延長線段與的延長線交于點，連接交于，連接，故平面延展開后即為平面，將該正方體分成兩部分一部分是三棱臺，另一部分是剩余的部分.由于，故，不妨設(shè)正方體棱長為3，，，即.故〖答案〗：.15.已知函數(shù)y＝的圖象與函數(shù)y＝kx－2的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是________．〖答案〗(0,1)∪(1,4)〖解析〗y(tǒng)＝函數(shù)y＝kx－2的圖象恒過定點M(0，－2)，kMA＝0，kMB＝4.k＝1時，直線y＝kx－2在x＞1或x≤－1時與直線y＝x＋1平行，此時有一個公共點，∴k∈(0,1)∪(1,4)時，兩函數(shù)圖象恰有兩個交點．16.已知點在線段上，是的角平分線，為上一點，且滿足，設(shè)則在上的投影向量為__________．（結(jié)果用表示）．〖答案〗〖解析〗建立如圖所示的直角坐標系，由，可設(shè)，，得點的軌跡是以為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支（不含右頂點）．因為是的角平分線，且，所以也為的角平分線，為的內(nèi)心．如圖，設(shè)，則由雙曲線與內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，，又，所以，，在上的投影長為，則在上的投影向量為，故〖答案〗為：四．解答題17.已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為，．（1）求；（2）若，求面積的取值范圍．（1）解：由正弦定理可得，又由，因為，可得，因為，可得，所以，又因為，所以；（2）解：因為是銳角三角形，由（1）知且，可得，因為，所以，由三角形面積公式得，又由正弦定理且，所以，因為，所以，所以，所以，即面積的取值范圍為．18.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，D為棱上的點．（1）證明：；（2）當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?（1）證明：[方法一]：幾何法因為，所以．又因為，，所以平面．又因為，構(gòu)造正方體，如圖所示，過E作的平行線分別與交于其中點，連接，因為E，F(xiàn)分別為和的中點，所以是BC的中點，易證，則．又因為，所以．又因為，所以平面．又因為平面，所以．[方法二]【最優(yōu)解】：向量法因為三棱柱是直三棱柱，底面，，，，又，平面．所以兩兩垂直．以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖．，．由題設(shè)（）．因為，所以，所以．[方法三]：因為，，所以，故，，所以，所以．（2）解：[方法一]【最優(yōu)解】：向量法設(shè)平面的法向量為，因為，所以，即．令，則因為平面的法向量為，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則．當時，取最小值為，此時取最大值為．所以，此時．[方法二]：幾何法如圖所示，延長交的延長線于點S，聯(lián)結(jié)交于點T，則平面平面．作，垂足為H，因為平面，聯(lián)結(jié)，則為平面與平面所成二面角的平面角．設(shè)，過作交于點G．由得．又，即，所以．又，即，所以．所以．則，所以，當時，．[方法三]：投影法如圖，聯(lián)結(jié)，在平面的投影為，記面與面所成的二面角的平面角為，則．設(shè)，在中，．在中，，過D作的平行線交于點Q．在中，．在中，由余弦定理得，，，，，當，即，面與面所成的二面角的正弦值最小，最小值為．19.設(shè)為實數(shù)，函數(shù)，．（1）求的極值；（2）對于，，都有，試求實數(shù)取值范圍．（1）解：函數(shù)的定義域為，，令，可得或，列表如下：增極大值減極小值增故函數(shù)的極大值為，極小值為.（2）解：對于，，都有，則.由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當時，，