圓與圓的位置關系教學設計

教學目標：①復習初中所學的兩圓的五種位置關系及其幾何判斷方法

②用坐標法判斷兩圓的位置關系，一方面是把幾何關系代數化，另一方面是通過

方程組的研究判斷兩圓的位置關系；進一步體會坐標法的思想，用代數方法解

決幾何問題。

③會求公共弦的直線方程，以及弦長

④兩圓相交時，能把圓與圓的位置關系轉化為直線與圓的位置關系

⑤經歷利用圖形性質簡化計算的過程，滲透數形結合，分類討論，轉化化歸等思

想，培養(yǎng)學生的觀察，分析，發(fā)現，歸納等邏輯思維能力.

教學重點：用坐標法判斷圓與圓的位置關系。

教學難點：求公共弦所在直線方程，求弦長

教學方法：自主、探究、合作交流

教學理念：

學生已經知道兩圓有五種位置關系，以及判斷的依據，而且經過前面的學習，

直線、圓可以用方程表示，可以通過它們的方程組成的方程組有沒有實數解來判

斷位置關系，直接提出如何用方程研究圓與圓的位置關系，開門見山。

問題是數學的心臟。以問題為載體，引導學生分析、研究問題，制定解決問

題的策略，選擇解決問題的方法。通過問題的解決，讓學生參與教學過程，在這

個過程中，尊重學生的思維過程，充分發(fā)揮學生在學習中的主動性以及他們之間

的合作交流。

筆者認為，課堂是景，學生要身臨其境，教師要觸景生情，打造生成型課堂，

摒棄給予型課堂，讓課堂煥發(fā)出生命的活力。

教學過程

一.開門見山、引出課題

前面我們運用直線與圓的方程，研究了直線與圓的位置關系。今天我們運用

圓的方程，研究圓與圓的位置關系

設計意圖：開門見山，直奔主題，突出方程這個角度，用代數方法研究幾何

問題。

1

二、復習舊知，充滿自信

問（1）兩圓的位置關系有哪幾種？

問（2）在初中，我們怎樣判斷圓與圓的位置關系？

問（3）上一節(jié)課，是怎樣研究直線與圓的位置關系的？

設計意圖：由（1）（2）學生非常熟悉這些結論與方法，通過回答，有了自信；

而且初中方法通過利用高中學習的方程的知識煥發(fā)出新的生命，完美實現了數形

七在口A口0

問題⑶則引導學生利用已有的解決問題的經驗類比研究今天的圓與圓的位

置關系。

三、問題驅動，合作探究

1、問題1:我們如何根據圓的方程來判斷它們之間的位置關系呢？

已知圓3:x2+y2+2x+8y-8=0和圓Cz：x-+y2-4x-4y-2=0,試判斷圓G與圓G的

位置關系.

讓學生互相討論、解答?？梢哉垘讉€學生板演，給學生解決問題的時間。

過一段不時間后，交流解法，或者評論板演的同學的不同的解法各自的

特點，并請板演同學說明理由。

如果在板演的同學中只出現一種解法，則詢問其他同學有沒有其他不同

的解法。

在上述過程中，關注一下有多少同學畫出了圖形，并表揚畫圖的同學，

強調解析幾何是一門數與形結合的學科，加強數形結合的意識。

設計意圖：在每個人的內心深處都有一種根深蒂固的需要，那就是渴望自己

是一個探索

者，發(fā)現者！這里提供一個微探究的平臺，通過問題解決使學生得到滿足，產生

成就感。

另外，發(fā)現方程組的解的個數和圓與圓的公共點的個數相同，發(fā)現判別式的符號

決定了位置關系，這些都是靠講授不能很好接受的，而讓學生發(fā)現，充分尊重學

生學習的主體地位，大大提升課堂效率。

最后，合作是21世紀公民的一項基本技能?；ハ嘈蕾p，互相指出存在的問題，一

起成長，也培養(yǎng)了學生團隊精神，交流能力。

2

2、問題1的兩種解法:

問題1圖示

解法一：把圓G和圓G的方程化為標準方程：

C):(X+1)2+(J+4)2=52

222

C2:(x-2)+(y-2)=(Vl(j)

C的圓，E-1,-4)泮徑為「5

G的圓心(2,2),半徑為弓=V10

連心線長為1(-1-2)2+(一4-2f=3亞

"+弓|=5+而1^-7；1=5-710

ffi]5-V10<3V5<5+VT0

A

即\rx-r2\<3/5<\rx+r2

所以圓G與圓C2相交，它們有兩個公共點A,B.

這種解法方便快捷，不但確定有幾個公共點，還明確是外切還是內切，是外

離還是內含，是做題中最常用的方法。注意的是相交時，連心線的長既要小于半

徑和，還要大于半徑差的絕對值。

解法二：圓C與圓C?的方程聯立，得

X2+/+2X+8；；-8=0(1)

X2+y2-4x-4y-2=0⑵

3

(1)-(2),得x-2y+l=0⑶

由⑶得好寧代入⑴，整理得

X2-2X-3=0(4)

則△=(—2)2-4x1x(—3)=16>0

所以，方程(4)有兩個不相等的實數根x“x”把xrx?分別代入方程(3)：

x-2y+l=0得到%，力.

因此圓G與圓G有兩個不同的公共點A(Xi,y),B(Xz,y2).

由于本題只要判斷兩圓的位置關系，并不要求求出公共點的坐標，因此不

必解方程(4),

求出兩個實數根。

3、問題2：畫出兩個圓及方程(3)表示的是直線，你有什么發(fā)現？你能說

明為什么嗎？

問題2圖示

設計意圖：發(fā)現在相交情況下，兩圓的方程相減得到的恰好是公共弦所

在的直線方程。因為方程(1)(2)的解必是方程(3)的解，如果方程組有

兩組解，即兩圓有兩個公共點，這兩個公共點必在方程(3)確定的直線上，

兩點確定一條直線，方程(3)表示的直線就是兩圓的公共弦所在的直線。

4、問題3：由(3)代入(1)實際上是什么問題？你又有什么發(fā)現？

4

設計意圖：實際上就是聯立直線與圓的方程，判斷轉化為上節(jié)課研究的

直線與圓的位置關系問題?？梢源鷶捣?，還可以利用圓心到直線的距離，幾何法

解決。這是典型的轉化化歸的思想。學生的發(fā)現很高興，使得課堂引向高潮。

5、問題5：兩圓如果沒有公共點或者相切時，兩圓的方程相減又得到的是什

么直線呢？這時能不能把兩圓的位置關系轉化為直線與圓的位置關系來研究呢？

作為一個研究性學習課題，大家課下試一試。

設計意圖：事實上通過解方程組的過程可以發(fā)現，只要兩圓的方程相減

得到直線的方程，就可以把兩圓的位置關系轉化為直線與圓的位置關系來研

究。只是直線表示的含義不很明確，需要進一步研究。特殊的，兩圓相切時

表示切線，兩等圓外離時表示對稱軸直線。另外，除相交情況，并不能直接

確定是外離還是內含，是外切還是內切。

6、問題6：如何求出公共弦的弦長呢？

設計意圖：一種方法代數法，是剛才的基礎上求出

兩個公共點的坐標，利用距離公式；另一種方法是

利用幾何法，問題已經轉化為直線與圓的位置關系，

在一個圓內，利用半弦長，半徑，弦心距構成的

直角三角形可以求解。

5

問題6圖示

7、總結：歸納兩種方法及其步驟

一種是幾何法，一種是代數法

六、練習達標，鞏固提升

練習1、已知圓與G：f+y2-6x-8y+21=0圓。2：%2+9+2X—2了-7=0,

試判斷兩圓的位置關系。

練習2、已知圓a：/+y2=i與圓6：工2+y2-4工+8〉+加=0外離，求m的取

值范圍。

設計意圖：一是鞏固判斷方法，熟練判斷圓與圓的位置關系；二是反過來,

已知位置關系，解決簡單問題。三是研究了相交，練習相切與相離，而且代數法

判斷相切時則必須結合圖形確定外切還是內切，研究無公共點是也要借助圖形確

定外離和內含。

七、回顧課堂，感悟收獲

讓學生自愿談談一節(jié)課的收獲，不限制知識技能，思想方法，情感態(tài)度，什

么都可以談，什么都可以說，發(fā)散思維，表達心聲，互相啟發(fā)，把數學課堂引向

生活大課堂！

設計意圖：只有學生說好才是真的好，只要學生有收獲,哪怕是一點點感悟，

教學就是有效的，教師的價值就得以體現。不求人人一節(jié)課得到多大提升，但求

實現互相啟迪思維，體驗數學快樂，快樂數學。

八、課下思考，布置作業(yè)

1、課下思考

與點A(2,2)的距離為麗，且與點B(T,-4)的距離為5的直線有幾條？

設計意圖：本題把圓的定義，直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系綜合

在一起，本質考查圓的公切線的條數，培養(yǎng)學生數形結合的能力，轉化化歸的能

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力，分析問題解決問題的能力，利于學生思維發(fā)散。可以進一步引導學生利用幾

何圖形求出切線長。

2、作業(yè)布置：

必做：Pw練習，Pl33A組9

選做：P133A組10、11

設計意圖：必做：練習題鞏固位置關系判斷，9題鞏固求弦長。選做：10、

11題利用圓與圓的位置關系，求圓的方程代數法較為繁瑣，幾何法相對簡潔要充

分利用圖形性質解題，為學有余力的同學提供提升平臺。