2025屆甘肅張掖甘州中學九年級數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，AO與⊙O交于點C，若∠BAO=40°，則∠OCB的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．65° D．75°2．二次函數(shù)部分圖象如圖所示，有以下結論：①；②；③，其中正確的是（）A．①②③ B．②③ C．①② D．①③3．2的相反數(shù)是（）A． B． C． D．4．如圖，AB與⊙O相切于點A，BO與⊙O相交于點C，點D是優(yōu)弧AC上一點，∠CDA＝27°，則∠B的大小是（）A．27° B．34° C．36° D．54°5．在中，，若，則的值為()A． B． C． D．6．在平面直角坐標系中，正方形，，，，，按如圖所示的方式放置，其中點在軸上，點，，，，，，…在軸上，已知正方形的邊長為1，，，…，則正方形的邊長是（）A． B． C． D．7．在同一平面上，外有一定點到圓上的距離最長為10，最短為2，則的半徑是（）A．5 B．3 C．6 D．48．已知二次函數(shù)自變量的部分取值和對應函數(shù)值如表：…-2-10123……-503430…則在實數(shù)范圍內(nèi)能使得成立的取值范圍是（）A． B． C． D．或9．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x+＝0 B．a(chǎn)x2+bx+c＝0 C．x2+1＝0 D．x﹣y﹣1＝010．我縣為積極響應創(chuàng)建“省級衛(wèi)生城市”的號召，為打造“綠色樂至，健康樂至”是我們每個樂至人應盡的義務.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)積極開展垃圾分類有效回收，據(jù)統(tǒng)計2017年有效回收的垃圾約1.5萬噸，截止2019年底，有效回收的垃圾約2.8萬噸，設這兩年該鄉(xiāng)鎮(zhèn)的垃圾有效回收平均增長率為x，則下列方程正確的是（）.A．1.5（1+2x）＝2.8 B．C． D．+11．已知，則下列各式不成立的是（）A． B． C． D．12．二次函數(shù)圖象的一部分如圖所示，頂點坐標為，與軸的一個交點的坐標為(-3，0)，給出以下結論：①；②；③若、為函數(shù)圖象上的兩點，則；④當時方程有實數(shù)根，則的取值范圍是．其中正確的結論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P為CD邊上的動點，當△ADP與△BCP相似時，DP=__．14．經(jīng)過點（1，﹣4）的反比例函數(shù)的解析式是_____．15．如圖，在中，、分別是邊、上的點，且∥，若與的周長之比為，，則_____.16．如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中．點A，B，C，D都在這些小正方形的格點上，AB、CD相交于點E，則sin∠AEC的值為_____．17．如圖，點A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，則∠B=_____度．18．某學生想把放置在水平桌面上的一塊三角板(，)，繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)角，轉(zhuǎn)到的位置，其中、分別是、的對應點，在上(如圖所示)，則角的度數(shù)為______．三、解答題（共78分）19．（8分）某汽車零部件生產(chǎn)企業(yè)的利潤逐年提高，據(jù)統(tǒng)計，2015年利潤為2億元，2017年利潤為2.88億元，求該企業(yè)從2015年到2017年利潤的年平均增長率．20．（8分）定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”．理解：（1）如圖1，已知Rt△ABC在正方形網(wǎng)格中，請你只用無刻度的直尺在網(wǎng)格中找到一點D，使四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形（保留畫圖痕跡，找出3個即可）；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，對角線BD平分∠ABC．求證：BD是四邊形ABCD的“相似對角線”；（3）如圖3，已知FH是四邊形EFCH的“相似對角線”，∠EFH=∠HFG=30°，連接EG，若△EFG的面積為2，求FH的長．21．（8分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點E在CB的延長線上，BA平分∠EBD，AE＝AB．（1）求證：AC＝AD．（2）當，AD＝6時，求CD的長．22．（10分）如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，BC＝3CD，分別過點B，D作AD，AB的平行線，并交于點E，且ED交AC于點F，AD＝3DF．（1）求證：△CFD∽△CAB；（2）求證：四邊形ABED為菱形；（3）若DF＝，BC＝9，求四邊形ABED的面積．23．（10分）某校開發(fā)了“書畫、器樂、戲曲、棋類”四大類興趣課程．為了解全校學生對每類課程的選擇情況，隨機抽取了若干名學生進行調(diào)查（每人必選且只能選一類），先將調(diào)查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：（1）本次隨機調(diào)查了多少名學生？（2）補全條形統(tǒng)計圖中“書畫”、“戲曲”的空缺部分；（3）若該校共有名學生，請估計全校學生選擇“戲曲”類的人數(shù)；（4）學校從這四類課程中隨機抽取兩類參加“全市青少年才藝展示活動”，用樹形圖或列表法求處恰好抽到“器樂”和“戲曲”類的概率．（書畫、器樂、戲曲、棋類可分別用字幕表示）24．（10分）某商場購進一種每件價格為100元的新商品，在商場試銷發(fā)現(xiàn)：銷售單價x（元/件）與每天銷售量y（件）之間滿足如圖所示的關系：（1）求出y與x之間的函數(shù)關系式；（2）如果商店銷售這種商品，每天要獲得1500元利潤，那么每件商品的銷售價應定為多少元？（3）寫出每天的利潤W與銷售單價x之間的函數(shù)關系式；若你是商場負責人，會將售價定為多少，來保證每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少？25．（12分）如圖，在中，，以斜邊上的中線為直徑作，分別與交于點.（1）過點作于點，求證：是的切線；（2）連接，若，求的長.26．如圖，頂點為P（2，﹣4）的二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過原點，點A（m，n）在該函數(shù)圖象上，連接AP、OP．（1）求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的表達式；（2）若∠APO＝90°，求點A的坐標；（3）若點A關于拋物線的對稱軸的對稱點為C，點A關于y軸的對稱點為D，設拋物線與x軸的另一交點為B，請解答下列問題：①當m≠4時，試判斷四邊形OBCD的形狀并說明理由；②當n＜0時，若四邊形OBCD的面積為12，求點A的坐標．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【詳解】∵AB是⊙O的切線，∴AB⊥OA，即∠OBA=90°．∵∠BAO=40°，∴∠BOA=50°．∵OB=OC，∴∠OCB=．故選C．2、A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結合圖中信息，一一判斷即可解決問題．【詳解】由圖象可知，a＜0，b＜0，c＞0∴，①正確；圖像與x軸有兩個交點，∴，②正確；對稱軸x=，∴，故③正確；故選A.【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，解題的關鍵是靈活應用圖中信息解決問題，屬于中考?？碱}型．3、D【分析】根據(jù)相反數(shù)的概念解答即可．【詳解】2的相反數(shù)是-2，

故選D．4、C【分析】由切線的性質(zhì)可知∠OAB=90°，由圓周角定理可知∠BOA=54°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可知∠B=36°．【詳解】解：∵AB與⊙O相切于點A，

∴OA⊥BA．

∴∠OAB=90°．

∵∠CDA=27°，

∴∠BOA=54°．

∴∠B=90°-54°=36°．故選C．考點：切線的性質(zhì)．5、C【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠B，再求∠A，即可求解.【詳解】在中，，若，則∠B=30°故∠A=60°，所以sinA=故選：C【點睛】本題考查的是三角函數(shù)，掌握特殊角的三角函數(shù)值是關鍵.6、D【分析】利用正方形的性質(zhì)結合銳角三角函數(shù)關系得出正方形邊長，進而即可找到規(guī)律得出答案．【詳解】∵正方形的邊長為1，，，…同理可得故正方形的邊長為故選：D．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)，利用正方形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)找出規(guī)律是解題的關鍵．7、D【分析】由點P在圓外，易得到圓的直徑為10-2，然后計算圓的半徑即可.【詳解】解：∵點P在圓外∴圓的直徑為10-2=8∴圓的半徑為4故答案為D.【點睛】本題考查了點與圓的位置關系，關鍵是根據(jù)題意確定圓的直徑，是解答本題的關鍵.8、C【分析】根據(jù)y=0時的兩個x的值可得該二次函數(shù)的對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得x=4時，y=5，根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可得圖象的開口方向，進而可得答案.【詳解】∵，∴，∵x=-1時，y=0，x=3時，y=0，∴該二次函數(shù)的對稱軸為直線x==1，∵1-3=-2，1+3=4，∴當時的函數(shù)值與當時的函數(shù)值相等，∵時，，∴時，，∵x>1時，y隨x的增大而減小，x<1時，y隨x的增大而增大，∴該二次函數(shù)的開口向下，∴當時，，即，故選：C.【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，正確提取表中信息并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關鍵.9、C【解析】一元二次方程必須滿足兩個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為1．【詳解】A.該方程不是整式方程，故本選項不符合題意．B.當a＝1時，該方程不是關于x的一元二次方程，故本選項不符合題意．C.該方程符合一元二次方程的定義，故本選項不符合題意．D.該方程中含有兩個未知數(shù)，屬于二元一次方程，故本選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的性質(zhì)和判定，掌握一元二次方程必須滿足的條件是解題的關鍵．10、B【分析】根據(jù)題意可得等量關系：2017年有效回收的垃圾的量×（1+增長率）2=2019年有效回收的垃圾的量，根據(jù)等量關系列出方程即可．【詳解】設這兩年該鄉(xiāng)鎮(zhèn)的垃圾有效回收平均增長率為x，∵2017年有效回收的垃圾約1.5萬噸，截止2019年底，有效回收的垃圾約2.8萬噸，∴1.5(1+x)2=2.8，故選：B.【點睛】此題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關鍵是掌握平均變化率的方法，若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關系為a（1±x）2=b．11、D【分析】利用比例的性質(zhì)進行逐一變形，比較是否與題目一致，即可得出答案.【詳解】A：因為所以ab=cd，故A正確；B：因為所以ab=cd，故B正確；C：因為所以(a+c)b=(d+b)c，化簡得ab=cd，故選項C正確；D：因為所以(a+1)(b+1)=(d+1)(c+1)，化簡得ab+a+b=cd+d+c，故選項D錯誤；故答案選擇D.【點睛】本題考查的是比例的性質(zhì)，難度不大，需要熟練掌握相關基礎知識，重點需要熟練掌握去括號法則.12、D【分析】由二次函數(shù)的圖象可知，再根據(jù)對稱軸為x=-1，得出b=2a<0，進而判斷①，當x=-2時可判斷②正確，然后根據(jù)拋物線的對稱性以及增減性可判斷③，再根據(jù)方程的根與拋物線與x交點的關系可判斷④．【詳解】解：∵拋物線開口向下，交y軸正半軸∴∵拋物線對稱軸為x=-1,∴b=2a<0∴①正確；當x=-2時，位于y軸的正半軸故②正確；點的對稱點為∵當時，拋物線為增函數(shù)，∴③正確；若當時方程有實數(shù)根，則需與x軸有交點則二次函數(shù)向下平移的距離即為t的取值范圍，則的取值范圍是，④正確．故選：D．【點睛】本題考查的知識點是二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)，熟悉二次函數(shù)的圖象上點的坐標特征以及求頂點坐標的公式是解此題額關鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、1或4或2.1．【分析】需要分類討論：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根據(jù)該相似三角形的對應邊成比例求得DP的長度．【詳解】設DP=x，則CP=1-x，本題需要分兩種情況情況進行討論，①、當△PAD∽△PBC時，=∴，解得：x=2.1；②、當△APD∽△PBC時，=，即=，解得：x=1或x=4，綜上所述DP=1或4或2.1【點晴】本題主要考查的就是三角形相似的問題和動點問題，首先將各線段用含x的代數(shù)式進行表示，然后看是否有相同的角，根據(jù)對應角的兩邊對應成比例將線段寫成比例式的形式，然后分別進行計算得出答案．在解答這種問題的時候千萬不能出現(xiàn)漏解的現(xiàn)象，每種情況都要考慮到位.14、﹣【分析】直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得出解析式．【詳解】∵反比例函數(shù)經(jīng)過點（1，﹣4），∴xy＝﹣4，∴反比例函數(shù)的解析式是：y＝﹣．故答案為：y＝﹣．【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，是近幾年中考的熱點問題，要熟練掌握.15、2.【解析】試題分析：因為DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，因為相似三角形的周長之比等于相似比，所以AD:AB=2:3,因為AD=4,所以AB=6，所以DB=AB-AD=6-4=2.故答案為2.考點：相似三角形的判定與性質(zhì).16、【分析】通過作垂線構造直角三角形，由網(wǎng)格的特點可得Rt△ABD是等腰直角三角形，進而可得Rt△ACF是等腰直角三角形，求出CF，再根據(jù)△ACE∽△BDE的相似比為1：3，根據(jù)勾股定理求出CD的長，從而求出CE，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義求出結果即可．【詳解】過點C作CF⊥AE，垂足為F，在Rt△ACD中，CD＝，由網(wǎng)格可知，Rt△ABD是等腰直角三角形，因此Rt△ACF是等腰直角三角形，∴CF＝AC?sin45°＝，由AC∥BD可得△ACE∽△BDE，∴，∴CE＝CD＝，在Rt△ECF中，sin∠AEC＝，故答案為：．【點睛】考查銳角三角函數(shù)的意義、直角三角形的邊角關系，作垂線構造直角三角形是解決問題常用的方法，借助網(wǎng)格，利用網(wǎng)格中隱含的邊角關系是解決問題的關鍵．17、1【分析】如圖，連接OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAC=∠C=20°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】如圖，連接OA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=20°，∴∠OAB=∠OAC+∠BAC=20°+40°=1°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=1°，故答案為1．【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)的應用，熟練掌握圓的半徑相等、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．18、60°【分析】根據(jù)題意有∠ACB＝90，∠A＝30，進而可得∠ABC＝60，又有∠ACA′＝BCB′＝∠ABA′＝，可得∠CBB′＝（180?），代入數(shù)據(jù)可得答案．【詳解】∵∠ACB＝90，∠A＝30，∴∠ABC＝60，∴∠ACA′＝BCB′＝∠ABA′＝，∠CBB′＝（180?），∴＝∠ABC＝60．故答案為：60．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對對應點與旋轉(zhuǎn)中心連線所構成的旋轉(zhuǎn)角相等．要注意旋轉(zhuǎn)的三要素：①定點是旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度．三、解答題（共78分）19、該企業(yè)從2015年到2017年利潤的年平均增長率為20%【解析】設該企業(yè)從2015年到2017年利潤的年平均增長率為x，根據(jù)該企業(yè)2015年及2017年的年利潤，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【詳解】設該企業(yè)從2015年到2017年利潤的年平均增長率為x，根據(jù)題意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去）．答：該企業(yè)從2015年到2017年利潤的年平均增長率為20%．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．20、（1）見解析；（2）證明見解析；（3）FH=2．【解析】（1）先求出AB，BC，AC，再分情況求出CD或AD，即可畫出圖形；（2）先判斷出∠A+∠ADB=140°=∠ADC，即可得出結論；（3）先判斷出△FEH∽△FHG，得出FH2=FE?FG，再判斷出EQ=FE，繼而求出FG?FE=8，即可得出結論．【詳解】（1）由圖1知，AB=，BC=2，∠ABC=90°，AC=5，∵四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形，當∠ACD=90°時，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，∴或，∴CD=10或CD=2.5同理：當∠CAD=90°時，AD=2.5或AD=10，（2）∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=40°，∴∠A+∠ADB=140°∵∠ADC=140°，∴∠BDC+∠ADB=140°，∴∠A=∠BDC，∴△ABD∽△BDC，∴BD是四邊形ABCD的“相似對角線”；（3）如圖3，∵FH是四邊形EFGH的“相似對角線”，∴△EFH與△HFG相似，∵∠EFH=∠HFG，∴△FEH∽△FHG，∴，∴FH2=FE?FG，過點E作EQ⊥FG于Q，∴EQ=FE?sin60°=FE，∵FG×EQ=2，∴FG×FE=2，∴FG?FE=8，∴FH2=FE?FG=8，∴FH=2．【點睛】本題考查了相似三角形的綜合題，涉及到新概念、相似三角形的判定與性質(zhì)等，正確理解新概念，熟練應用相似三角形的相關知識是解題的關鍵.21、（1）證明見解析；（2）CD=1．【分析】（1）利用BA平分∠EBD得到∠ABE＝∠ABD，再根據(jù)圓周角定理得到∠ABE＝∠ADC，∠ABD＝∠ACD，利用等量代換得到∠ACD＝∠ADC，從而得到結論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠E＝∠ABE，則可證明△ABE∽△ACD，然后根據(jù)相似比求出CD的長．【詳解】（1）證明：∵BA平分∠EBD，∴∠ABE＝∠ABD，∵∠ABE＝∠ADC，∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD；（2）解：∵AE＝AB，∴∠E＝∠ABE，∴∠E＝∠ABE＝∠ACD＝∠ADC，∴△ABE∽△ACD，∴＝＝，∴CD＝AD＝×6＝1．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形，靈活運用相似三角形的性質(zhì)表示線段之間的關系；也考查了圓周角定理．22、（1）見解析；（2）見解析；（3）四邊形ABED的面積為1．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和公共角即可得出結論；（2）先證明四邊形ABED是平行四邊形，再證出AD＝AB，即可得出四邊形ABED為菱形；（3）連接AE交BD于O，由菱形的性質(zhì)得出BD⊥AE，OB＝OD，由相似三角形的性質(zhì)得出AB＝3DF＝5，求出OB＝3，由勾股定理求出OA＝4，AE＝8，由菱形面積公式即可得出結果．【詳解】（1）證明：∵EF∥AB，∴∠CFD＝∠CAB，又∵∠C＝∠C，∴△CFD∽△CAB；（2）證明：∵EF∥AB，BE∥AD，∴四邊形ABED是平行四邊形，∵BC＝3CD，∴BC：CD＝3：1，∵△CFD∽△CAB，∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，∴AB＝3DF，∵AD＝3DF，∴AD＝AB，∴四邊形ABED為菱形；（3）解：連接AE交BD于O，如圖所示：∵四邊形ABED為菱形，∴BD⊥AE，OB＝OD，∴∠AOB＝90°，∵△CFD∽△CAB，∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，∴AB＝3DF＝5，∵BC＝3CD＝9，∴CD＝3，BD＝6，∴OB＝3，由勾股定理得：OA＝＝4，∴AE＝8，∴四邊形ABED的面積＝AE×BD＝×8×6＝1．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定、勾股定理、菱形的面積公式，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，證明四邊形是菱形是解題的關鍵．23、（1）（人）；（2）詳見解析；（3）【解析】（1）由器樂的人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)；（2）總?cè)藬?shù)乘以書畫對應百分比求得其人數(shù)，再根據(jù)各類型人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求得戲曲人數(shù)，從而補全圖形；（3）利用樣本估計總體思想求解可得；（4）列表或樹狀圖將所有等可能的結果列舉出來后利用概率公式求解即可．【詳解】解：（1）本次隨機調(diào)查的學生人數(shù)為（人）；（2）書畫的人數(shù)為（人），戲曲的人數(shù)為（人），補全圖形如下：（3）估計全校學生選擇“戲曲”類的人數(shù)約為（人）；（4）列表得：∵共有種等可能的結果，其中恰好抽到“器樂”和“戲曲”類的有2種結果，∴恰好抽到“器樂”和“戲曲”類的概率為【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率的知識．解題關鍵在于注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．24、(1)；(2)每件商品的銷售價應定為元或元；(3)售價定為元/件時，每天最大利潤元．【分析】（1）待定系數(shù)法求解可得；

（2）根據(jù)“每件利潤×銷售量=總利潤”列出一元二次方程，解之可得；

（3）根據(jù)以上相等關系列出函數(shù)解析式，配方成頂點式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解可得．【詳解】(1)設與之間的函數(shù)關系式為，

由所給函數(shù)圖象可知：

，

解得：．

故與的函數(shù)關系式為；(2)根據(jù)題意，得：，

整理，得：，

解得：或，

答：每件商品的銷售價應定為元或元