6.1等差數(shù)列（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一等差中項【例1】（2022·青海）已知等差數(shù)列中，，是方程的兩根，則的前21項的和為（

）A．6 B．30 C．63 D．126【一隅三反】1．（2022·海南?？凇ざ＃┰O(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項和為，已知，則（

）A．9 B．8 C．7 D．62．（2022·江西）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，則（

）A．56 B．63 C．67 D．723．（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若則的值是（

）A． B．1 C．2 D．44.（2022·安徽滁州）已知是公差不為零的等差數(shù)列，若，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10考點二等差數(shù)列的前n項和性質(zhì)【例2-1】（2022·青海）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（

）A．－10 B．－20 C．－120 D．－110【例2-2】．（2022·全國·高三專題練習(xí)）兩個等差數(shù)列和的前項和分別為、，且，則等于（

）A． B． C． D．【例2-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的前項和為，若且，則(

)A． B．C． D．【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．8 B．12 C．14 D．202．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為，，則（

）A． B．-1 C．1 D．3．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項和分別為，.若對于任意的正整數(shù)n都有，則（

）A． B． C． D．4．（2022·廣東習(xí)）等差數(shù)列中，，前項和為，若，則（

）A．1011 B．2022 C． D．考點三等差數(shù)列的最值【例3-1】（2022·北京）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，，則當(dāng)取最大值n等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7【例3-2】．（2022·陜西）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，，則當(dāng)（

）時，最大.A． B． C． D．【例3-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則下面結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．與均為的最小值【一隅三反】1．（2022·內(nèi)蒙古包頭·高一期末）等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，已知且．則使成立的最小正整數(shù)n的值為（

）A．4 B．5 C．8 D．92．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））在等差數(shù)列中，為的前n項和，，，則無法判斷正負的是（

）A． B． C． D．3．（2022·河南許昌）已知是等差數(shù)列的前n項和，若對任意的，均有．成立，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．4．（2022·湖北·荊州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的公差不等于0．其前為項和為．若，則的最大值為（

）A．18 B．20C．22 D．24考點四等差數(shù)列的綜合運用【例4】（2022·廣東深圳·高三期末）（多選）已知d為等差數(shù)列的公差，為其前n項和，若為遞減數(shù)列，則下列結(jié)論正確的為（

）A．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．，，依次成等差數(shù)列 D．若，，則【一隅三反】1．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測）（多選）記數(shù)列是等差數(shù)列，下列結(jié)論中不恒成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則2．（2022·廣東湛江·高三階段練習(xí)）（多選）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)時， D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）在等差數(shù)列中，其前的和是，若，，則（

）A．是遞增數(shù)列 B．其通項公式是C．當(dāng)取最小值時，的值只能是 D．的最小值是4．（2022·福建漳州·三模）（多選）已知數(shù)列{}的前n項和為，則下列說法正確的是（

）．A．是遞增數(shù)列 B．是遞減數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列的最大項為和考點五等差數(shù)列的實際運用【例5-1】（2022·湖北·模擬預(yù)測）（多選）在新加坡舉行的2020世界大學(xué)生辯論賽中，中國選手以總分230.51分獲得冠軍．辯論賽有7位評委進行評分，首先7位評委各給出某隊選手一個原始分數(shù)，評定該隊選手的成績時從7個原始分數(shù)中去掉一個最高分、去掉一個最低分，得到5個有效評分．若某隊選手得到的7個原始分成等差數(shù)列，且公差不為零，則5個有效評分與7個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（

）A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．方差 D．極差【例5-2】（2021·全國·高二單元測試）數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一個問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二(除以3余2)，五五數(shù)之剩三(除以5余3)，問物幾何？”現(xiàn)將同時滿足“三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三”的正整數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則滿足的正整數(shù)的最小值為（

）A．132 B．135 C．136 D．138【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下中的“物不知數(shù)”問題，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二問物幾何？現(xiàn)有一個相關(guān)的問題：將1到2022這2022個自然數(shù)中被3除余2且被5除余4的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個數(shù)列14，29，44，…，則該數(shù)列的項數(shù)為（

）A．132 B．133 C．134 D．1352．（2022·福建·莆田華僑中學(xué)模擬預(yù)測）2022年4月26日下午，神州十三號載人飛船返回艙在京完成開艙．據(jù)科學(xué)計算，運載“神十三”的“長征二號”遙十三運載火箭，在點火第一秒鐘通過的路程為2千米，以后每秒鐘通過的路程都增加2千米，在達到離地面380千米的高度時，火箭與飛船分離，則這一過程需要的時間大約是（

）A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒3．（2022·廣西·貴港市高級中學(xué)三模（理））5G基站建設(shè)是眾多“新基建”的工程之一，截至2021年7月底，A地區(qū)已經(jīng)累計開通5G基站300個，未來將進一步完善基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)體系，加快推進5G網(wǎng)絡(luò)建設(shè)．已知2021年8月該地區(qū)計劃新建50個5G基站，以后每個月比上一個月多建40個，預(yù)計A地區(qū)累計開通4640個5G基站要到（

）A．2022年10月底 B．2022年9月底C．2022年8月底 D．2022年7月底4．（2022·陜西·寶雞中學(xué)模擬預(yù)測）“中國剩余定理”是關(guān)于整除的問題.現(xiàn)有這樣一個問題“將1~2030這2030個自然數(shù)中，能被3整除余1且能被4整除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則該數(shù)列共有（

）A．170項 B．171項 C．168項 D．169項6.1等差數(shù)列（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一等差中項【例1】（2022·青海）已知等差數(shù)列中，，是方程的兩根，則的前21項的和為（

）A．6 B．30 C．63 D．126【答案】C【解析】，是方程的兩根，由韋達定理得：，所以等差數(shù)列的前21項的和．故選：C【一隅三反】1．（2022·海南?？凇ざ＃┰O(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項和為，已知，則（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【解析】因為，又，所以，所以，即，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，又，所以，所以．故選：C.2．（2022·江西）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，則（

）A．56 B．63 C．67 D．72【答案】B【解析】設(shè)的公差為，則，所以，所以.故選：B3．（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若則的值是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】由等差中項的性質(zhì)可得，由等比中項的性質(zhì)可得，因此，.故選：B.4.（2022·安徽滁州）已知是公差不為零的等差數(shù)列，若，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，所以,即故選:A考點二等差數(shù)列的前n項和性質(zhì)【例2-1】（2022·青海）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（

）A．－10 B．－20 C．－120 D．－110【答案】C【解析】，，則.故選：C【例2-2】．（2022·全國·高三專題練習(xí)）兩個等差數(shù)列和的前項和分別為、，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】兩個等差數(shù)列和的前項和分別為、，且，所以.故選：A【例2-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的前項和為，若且，則(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)的公差為d，∵∴，即{}為等差數(shù)列，公差為，由知，故故選：A﹒【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．8 B．12 C．14 D．20【答案】D【解析】等差數(shù)列的前n項和為，，則，，，構(gòu)成首項為2，公差為2的等差數(shù)列則+()+()+()=2+4+6+8=20故選：D2．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為，，則（

）A． B．-1 C．1 D．【答案】C【解析】在等差數(shù)列中，，，故，又，故，則，故.故選：C.3．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項和分別為，.若對于任意的正整數(shù)n都有，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，.則，，所以.故選：B.4．（2022·廣東習(xí)）等差數(shù)列中，，前項和為，若，則（

）A．1011 B．2022 C． D．【答案】B【解析】數(shù)列公差為，，，所以，則，故選：B．考點三等差數(shù)列的最值【例3-1】（2022·北京）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，，則當(dāng)取最大值n等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】設(shè)公差為則，因此，所以當(dāng)時，取最大值故選：B【例3-2】．（2022·陜西）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，，則當(dāng)（

）時，最大.A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，即，因為，所以，即，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，因為，即，又因為，即；所以得且，所以等差數(shù)列為遞減的數(shù)列，所以當(dāng)時，最大.故選：B.【例3-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則下面結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．與均為的最小值【答案】C【解析】對于A選項，由可得，A選項正確；對于C選項，由可得，∴，C選項錯誤；對于D選項，由可得，且，，，所以，當(dāng)且時，，且，則與均為的最小值，D選項正確；對于B選項，∵，，當(dāng)時，，所以，，B選項正確．故選：C．【一隅三反】1．（2022·內(nèi)蒙古包頭·高一期末）等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，已知且．則使成立的最小正整數(shù)n的值為（

）A．4 B．5 C．8 D．9【答案】D【解析】因為，，所以，又，由，可得，即，所以使成立的最小正整數(shù)n的值為9.故選：D.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））在等差數(shù)列中，為的前n項和，，，則無法判斷正負的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)公差為，因為，，可知：，且，，所以，從而，不確定正負，，故選：B3．（2022·河南許昌）已知是等差數(shù)列的前n項和，若對任意的，均有．成立，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【解析】由題意，等差數(shù)列，對任意的，均有成立，即是等差數(shù)列的前n項和中的最小值，必有，公差，當(dāng)，此時，、是等差數(shù)列的前n項和中的最小值，此時，即，則.當(dāng)，，此時是等差數(shù)列的前n項和中的最小值，此時，，即，則，則有，，，，，綜合可得，所以的最小值為.故選：D.4．（2022·湖北·荊州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的公差不等于0．其前為項和為．若，則的最大值為（

）A．18 B．20C．22 D．24【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，因，即，顯然，否則，矛盾，于是得，又，否則，公差，矛盾，因此，，解得，而，則公差，，由得，，于是有等差數(shù)列是遞減數(shù)列，其前5項都是非負的，從第6項起為負，當(dāng)或時，，所以的最大值為20.故選：B考點四等差數(shù)列的綜合運用【例4】（2022·廣東深圳·高三期末）（多選）已知d為等差數(shù)列的公差，為其前n項和，若為遞減數(shù)列，則下列結(jié)論正確的為（

）A．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．，，依次成等差數(shù)列 D．若，，則【答案】BD【解析】由題意可知數(shù)列是等差數(shù)列，且遞減，則，不妨舉例如：則，這三項不構(gòu)成遞減數(shù)列，故A錯；而,這三項不構(gòu)成等差數(shù)列，說明C錯；對于B，，是關(guān)于n的一次函數(shù)，因此是等差數(shù)列，故B正確；對于D，，則，，則，故，故D正確，故選：BD.【一隅三反】1．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測）（多選）記數(shù)列是等差數(shù)列，下列結(jié)論中不恒成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則對于A，由數(shù)列是等差數(shù)列及，所以可取，所以不成立，故A正確；對于B，由數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以恒成立，故B不正確；對于C,由數(shù)列是等差數(shù)列，可取，所以不成立，故C正確；對于D，由數(shù)列是等差數(shù)列，得，無論為何值，均有所以若，則恒不成立，故D正確.故選：ACD.2．（2022·廣東湛江·高三階段練習(xí)）（多選）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)時， D．【答案】BC【解析】等差數(shù)列的前項和為，若，可得，可得B正確；故數(shù)列為遞減數(shù)列，故A錯誤；因為，，因為數(shù)列是遞減數(shù)列，當(dāng)時，，故當(dāng)時，，C是正確的；，故D錯誤；故選：BC3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）在等差數(shù)列中，其前的和是，若，，則（

）A．是遞增數(shù)列 B．其通項公式是C．當(dāng)取最小值時，的值只能是 D．的最小值是【答案】ABD【解析】由，可知等差數(shù)列為遞增數(shù)列，A正確；由題設(shè)，，B正確；，故當(dāng)或時，取最小值且為，故C錯誤，D正確.故選：ABD4．（2022·福建漳州·三模）（多選）已知數(shù)列{}的前n項和為，則下列說法正確的是（

）．A．是遞增數(shù)列 B．是遞減數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列的最大項為和【答案】BCD【解析】因為，所以數(shù)列的最大項為和，故D正確；當(dāng)時，，當(dāng)時，由，得，兩式相減得：，又，適合上式，所以，故C正確；因為，所以是遞減數(shù)列，故A錯誤，B正確；故選：BCD考點五等差數(shù)列的實際運用【例5-1】（2022·湖北·模擬預(yù)測）（多選）在新加坡舉行的2020世界大學(xué)生辯論賽中，中國選手以總分230.51分獲得冠軍．辯論賽有7位評委進行評分，首先7位評委各給出某隊選手一個原始分數(shù)，評定該隊選手的成績時從7個原始分數(shù)中去掉一個最高分、去掉一個最低分，得到5個有效評分．若某隊選手得到的7個原始分成等差數(shù)列，且公差不為零，則5個有效評分與7個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（

）A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．方差 D．極差【答案】AB【解析】7個原始分成公差的等差數(shù)列，設(shè)為，，，，，，，則中位數(shù)及平均數(shù)均為a，方差為，極差為則5個有效分為，，，，，中位數(shù)及平均數(shù)均為a，方差為，極差為∴A、B正確，C、D錯誤．故選：AB．【例5-2】（2021·全國·高二單元測試）數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一個問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二(除以3余2)，五五數(shù)之剩三(除以5余3)，問物幾何？”現(xiàn)將同時滿足“三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三”的正整數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則滿足的正整數(shù)的最小值為（

）A．132 B．135 C．136 D．138【答案】C【解析】由題意歸納可知，數(shù)列為8，23，38，…，即所求數(shù)列是首項為8公差為15的等差數(shù)列，故，令，解得，所以的最小值為136.故選：C【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下中的“物不知數(shù)”問題，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二問物幾何？現(xiàn)有一個相關(guān)的問題：將1到2022這2022個自然數(shù)中被3除余2且被5除余4的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個數(shù)列14，29，44，…，則該數(shù)列的項數(shù)為（

）A．132 B．133 C．134 D．135【答案】C【解析】由題意得：新數(shù)列14，29，44，…是首項為14，公差為15的等差數(shù)列，設(shè)新數(shù)列為，則通項公式