期末鞏固卷-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期人教A版（2019）必修第二冊一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．某高中為了解三個(gè)年級(jí)學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)情況，擬從這三個(gè)年級(jí)中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是（

）A．抽簽法 B．簡單隨機(jī)抽樣 C．分層隨機(jī)抽樣 D．隨機(jī)數(shù)法2．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則的虛部是（

）A．1 B． C． D．3．已知球的半徑為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．4．設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則（

）A． B．C． D．5．在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．6．是在斜二測畫法下的直觀圖，其中，則的面積是（

）A． B．4 C．8 D．7．在某城市正東方向200km處有一臺(tái)風(fēng)中心，它正向西北方向移動(dòng)，移動(dòng)速度的大小為20km/h，距離臺(tái)風(fēng)中心150km.以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，若臺(tái)風(fēng)中心的這種移動(dòng)趨勢不變，大約幾小時(shí)后該城市所在地開始受到影響.(參考數(shù)據(jù)：（

）A．2 B．4.5 C．9.5 D．108．如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)，有四個(gè)結(jié)論：①與是異面直線；②相交于一點(diǎn)；③過A，M，P的平面截正方體所得的圖形為平行四邊形；④過A，M，N的平面截正方體所得的圖形為五邊形；其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)和中位數(shù)相同B．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，，，，的眾數(shù)為3C．有甲、乙、丙三種個(gè)體按的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為30D．甲組數(shù)據(jù)的方差為4，乙組數(shù)據(jù)為，，，，，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙組10．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．與的夾角為 D．在上的投影向量為11．正多面體也稱柏拉圖立體(被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu))，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體(各面都是全等的正多邊形).數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個(gè)正八面體的棱長都是3(如圖)，則下列說法正確的是（

）A．B．直線與平面所成的角為C．若點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積為定值D．若點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù).13．已知的內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，，且，，則的最小值為.14．球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖1，一個(gè)球面的半徑為，球冠的高是，球冠的表面積公式是，如圖2，已知是以為直徑的圓上的兩點(diǎn)，，則扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為.四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知復(fù)數(shù)（）.(1)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求的取值范圍；(2)若是純虛數(shù)，求的值.16．已知向量，且．(1)求的值；(2)若向量與互相垂直，求的值．17．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．(1)求B；(2)若，求．18．用分層隨機(jī)抽樣從某校高一年級(jí)800名學(xué)生的化學(xué)成績（滿分為100分，成績都是整數(shù)）中抽取一個(gè)樣本量為100的樣本，其中男生成績數(shù)據(jù)40個(gè)，女生成績數(shù)據(jù)60個(gè)．再將40個(gè)男生成績樣本數(shù)據(jù)分為6組：，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)若成績不低于80分的為“優(yōu)秀”成績，用樣本的頻率分布估計(jì)總體，估計(jì)高一年級(jí)男生中成績優(yōu)秀人數(shù)；(2)已知男生成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為71和187.75，女生成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為73.5和119，求總樣本的平均數(shù)和方差．19．如圖，在四棱柱中，已知側(cè)面為矩形，，，，，，，.(1)求證：平面平面；(2)求證：平面平面；(3)若三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角的余弦值.參考答案：1．C【分析】根據(jù)分層抽樣的定義判斷即可.【詳解】依題意為了解三個(gè)年級(jí)學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)情況，由于三個(gè)年級(jí)作業(yè)情況差異比較明顯，故最合理的抽樣方法是分層隨機(jī)抽樣.故選：C2．A【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】，的虛部是1.故選：A.3．C【分析】由球的表面積公式，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】.故選：C.4．C【分析】根據(jù)向量減法公式，結(jié)合條件，即可求解.【詳解】由可知，,整理為：.故選：C5．C【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，則由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則.故選：C.6．C【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，還原平面圖形，即可求解.【詳解】如圖，還原直角坐標(biāo)系下的，，，點(diǎn)分別在軸和軸上，所以的面積是.故選：C7．B【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，利用余弦定理即可求解.【詳解】如圖，當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心向西北方向移動(dòng)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，的距離恰好150km，此時(shí)該城市所在地開始受到影響，設(shè)小時(shí)后該城市所在地開始受到影響,臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)速度的大小為20km/h，所以km，由題意知，km,又臺(tái)風(fēng)中心向西北方向移動(dòng)，所以,由余弦定理可得，解得或（舍），則開始受到影響在之后.故選：B.8．C【分析】由空間中直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系依次判斷即可.【詳解】對(duì)于①，連接，如圖所示：由分別是的中點(diǎn)，可得，可得與共面，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?，所以由異面直線的定義可得，與是異面直線，則不相交于一點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由①知，過A，M，P的平面截正方體所得的圖形為四邊形，而，故四邊形不是平行四邊行，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，取，則過A，M，N的平面截正方體所得的圖形為五邊形，故④正確.故選：C9．AB【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)、方差公式，眾數(shù)、中位數(shù)的定義，以及分層抽樣的定義，即可求解.【詳解】對(duì)于A，平均數(shù)為，將數(shù)據(jù)從小到大排列為1,2,3,3,4,5，所以中位數(shù)為，A正確；對(duì)于B，數(shù)據(jù)，，，，，，，，的眾數(shù)為3，B正確；對(duì)于C，根據(jù)樣本的抽樣比等于各層的抽樣比知，樣本容量為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，乙數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，乙數(shù)據(jù)的方差為15所以這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲組，D錯(cuò)誤.故選：AB.10．CD【分析】根據(jù)模長公式即可求解A，根據(jù)向量的線性的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解B，根據(jù)夾角公式即可求解C，根據(jù)投影向量的定義，即可求解D.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B,,而，故與不共線，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，由于，故與的夾角為，C正確，對(duì)于D，在上的投影向量為，故D正確，故選：CD11．AC【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，正八面體，證明平面，再判斷，對(duì)于B，可知平面，找到直線與平面所成的角為，在三角形中計(jì)算角度；對(duì)于C，利用等體積變換計(jì)算三棱錐的體積；對(duì)于D，由題意分析和，設(shè)在兩個(gè)三角形中利用余弦定理計(jì)算，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，取最小值；【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，正八面體，連接，對(duì)稱性可知，⊥平面，且相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，又，，故四邊形為菱形，四邊形為菱形，可知是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，又平面，故，故A正確對(duì)于B，由A選項(xiàng)可知平面，故直線與平面所成的角為，且由題意得，故，故，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，三棱錐的體積，其中點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)菱形的面積為，則若點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積為定值，故C正確.對(duì)于D，由題意得為等邊三角形，邊長為3，在中，，為等腰直角三角形若點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)則，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：線面角求解方法：（1）定義法（2）向量法；三棱錐體積求法方法：（1）直接法（2）等體積變換法；12．5【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及純虛數(shù)的概念求解.【詳解】由為純虛數(shù)，可得且，解得.故答案為：513．【分析】根據(jù)題意，化簡得到，求得，且，結(jié)合三角形的性質(zhì)，得到，再由正弦定理得到，進(jìn)而求得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，所以，可得，因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以，則，又因?yàn)椋傻?，所以，因?yàn)?，由正弦定理得，又因?yàn)?，所以，則，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：.14．【分析】首先求出，再根據(jù)扇形面積公式求出圓的半徑，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，即可求出，將扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為一個(gè)半徑的球中上下截去兩個(gè)球缺所剩余部分再挖去兩個(gè)圓錐，再根據(jù)所給公式分別求出表面積.【詳解】因?yàn)椋?，設(shè)圓的半徑為，又，解得（負(fù)值舍去），過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，，所以，同理可得，將扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為一個(gè)半徑的球中上下截去兩個(gè)球缺所剩余部分再挖去兩個(gè)圓錐，其中球缺的高，圓錐的高，底面半徑，則其中一個(gè)球冠的表面積，球的表面積，圓錐的側(cè)面積，所以幾何體的表面積.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是弄清楚經(jīng)過旋轉(zhuǎn)之后得到的幾何體是如何組成，對(duì)于表面積要合理轉(zhuǎn)化.15．(1)(2).【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)坐標(biāo)的關(guān)系，即可列式求解；（2）首先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算公式，化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的特征，列不等式求解.【詳解】（1）由題可得，解得，即的取值范圍是.（2）.因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，解得.16．(1)4(2)或【分析】（1）由及已知條件，代入計(jì)算即可；（2）由已知得，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知條件代入求解即可．【詳解】（1），因?yàn)?，所以，即，則，所以．（2）由向量與互相垂直得，所以，即，即，解得或．17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理得到，得到；（2）設(shè)，代入，求出，再由余弦定理得到，進(jìn)而得到正弦和正切.【詳解】（1），故，因?yàn)椋?；?）設(shè)，代入中，，故，解得，由余弦定理得，則，故.18．(1)96(2)平均數(shù)和方差分別為72.5和148【分析】（1）求得成績不低于80分的頻率為，可估計(jì)高一年級(jí)男生中成績優(yōu)秀人數(shù).（2）利用分層抽樣的平均數(shù)與方差計(jì)算公式可求總樣本的平均數(shù)和方差.【詳解】（1）成績不低于80分的頻率為，所以高一年級(jí)男生中成績優(yōu)秀人數(shù)估計(jì)為：．所以估計(jì)高一年級(jí)男生中成績優(yōu)秀人數(shù)為96人．（2）設(shè)男生成績樣本平均數(shù)為，方差為，女生成績樣本平均數(shù)，方差為，總樣本的平均數(shù)為，方差為．．．所以總樣本的平均數(shù)和方差分別為72.5和148．19．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)或.【分析】（1）由已知可得平面，平面，從而可證結(jié)論；（2）由余弦定理可得，從而可證，進(jìn)而結(jié)合已知可證平面，可證結(jié)論；（3）延長交于，過作于，過作于，連接，可得為平面與平面所成二面角的平面角，求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，又平面，平面，所以平面，，，可得，又，，所以是等邊三角形，所以，，又，所以，又平面，平面，平面，又，又平面，所以平面平面；?）由側(cè)面為矩形，可得，連接，可得是等邊三角形，所以，所以，又，，由余弦定理可得，所以，所以，所以，所以