Page19（總分：150分，時間：120分鐘）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題（本題共12道小題，每小題5分，共60分）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知純虛數(shù)滿足，則（

）A．B．C．D．3．某公司一種型號的產(chǎn)品近期銷售情況如表：月份23456銷售額（萬元）15.116.317.017.218.4根據(jù)上表可得到回歸直線方程，據(jù)此估計，該公司7月份這種型號產(chǎn)品的銷售額約為（

）A．18.85萬元 B．19.3萬元 C．19.25萬元 D．19.05萬元4．如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體最長的棱長為（

）

A．B．C．D．5．下列說法正確的是（

）A．已知非零向量，，，若，則B．設(shè)x，，則“”是“且”的充分不必要條件C．用秦九韶算法求這個多項式的值，當(dāng)時，的值為14D．若隨機變量，，則6．已知，，則（

）A． B． C． D．7．公差為的等差數(shù)列的首項為，其前項和為，若直線與圓的兩個交點關(guān)于直線對稱，則數(shù)列的前100項和等于（

）A． B． C． D．18．函數(shù)的大致圖象如圖所示，則a，b，c大小順序為（）A．B．C． D．9．如圖，棱長為2的正方體中，點P在線段上運動，以下四個命題：①三棱錐的體積為定值；②；③若，則三棱錐的外接球半徑為；④的最小值為．其中真命題有（

）A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．③④10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值與下面的哪個數(shù)最接近？（

）A．B．C． D．11．已知函數(shù)有三個零點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．12．已知雙曲線的右焦點為，，直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點，點為雙曲線上一動點，且點在以為直徑的圓內(nèi)，直線與以為直徑的圓交于點，則的最大值為（

）A．80B．81C．72 D．71第Ⅱ卷（共90分）填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）13．拋物線的焦點坐標(biāo)為．14．石室校園，望樓漢闕，紅墻掩映，步移景異！現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“錦水文風(fēng)”、“魁星閣”、“銀杏大道”4處景點追憶石室讀書時光.若每人只去一處景點，設(shè)事件為“4個人去的景點各不相同”，事件為“只有甲去了錦水文風(fēng)”，則.在等腰直角三角形中，，為斜邊的中點，以為圓心，為半徑作，點在線段上，點在上，則的取值范圍是.已知函數(shù)，不等式對任意的恒成立，則的最大值為．三、解答題（本題共6道小題，共70分）17．（本小題滿分12分）已知向量，，函數(shù).(1)若，求的值；(2)，，為的內(nèi)角，，的對邊，，且，求面積的最大值.18．（本小題滿分12分）下圖甲是由梯形ABCD和正三角形CDE組成的一個平面圖形，其中，，，將沿CD折起使點E到達點P的位置（如圖乙），使二面角為直二面角．(1)證明：；(2)若平面PCD與平面PAB的交線為l，求l與平面PAD所成角的正弦值．19．（本小題滿分12分）石室中學(xué)社團為慶祝石室中學(xué)2166年校慶，為同學(xué)們準(zhǔn)備了豐富多彩的游戲節(jié)目.其中某個知識答題游戲節(jié)目，共需要完成且次答題，并以累計的總分作為參考依據(jù)．若甲同學(xué)參加該游戲，且每次回答正確的概率為，回答錯誤的概率為，各次答題相互獨立．規(guī)定第一次答題時，回答正確得20分，回答錯誤得10分，第二次答題時，設(shè)置了兩種答題方案供選擇，方案一：回答正確得50分，回答錯誤得0分．方案二：若回答正確，則獲得上一次答題分?jǐn)?shù)的兩倍，回答錯誤得10分．從第三次答題開始執(zhí)行第二次答題所選方案，直到答題結(jié)束．(1)如果，甲選擇何種方案參加比賽答題更加有利？并說明理由；(2)若甲選擇方案二，則①記甲第次獲得的分?jǐn)?shù)為，期望為，求；②若甲累計總分的期望值超過2166分，即可獲得校園文創(chuàng)產(chǎn)品一份，求至少需要答題的次數(shù).(參考數(shù)據(jù)：；；；)20．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．(1)若時，求曲線在點處的切線方程；(2)若時，求函數(shù)的零點個數(shù)；(3)若對于任意，恒成立，求的取值范圍．21．（本小題滿分12分）已知為的兩個頂點，為的重心，邊上的兩條中線長度之和為.(1)求點的軌跡的方程；(2)過作不平行于坐標(biāo)軸的直線交于D，E兩點，若軸于點M，軸于點N，直線DN與EM交于點Q.①求證：點Q在一條定直線上，并求此定直線；②求面積的最大值.選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22．（本小題滿分10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)且），分別與x軸、y軸交于A、B兩點．以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)與坐標(biāo)軸交于A，B兩點，求；(2)求上的點到直線AB距離的范圍．[選修4-5：不等式選講]（10分）23．（本小題滿分10分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求不等式的解集；(2)若的最小值為，求的最小值.

成成成都石室中學(xué)2023-2024年度上期高2024屆一診模擬理科數(shù)學(xué)（A卷）參考答案1.B【解析】，，故.故選：B.2.A【解析】令，則，故，.故選：A.3.D【解析】由表中數(shù)據(jù)可得，，因為回歸直線過樣本點的中心，所以，解得，所以回歸直線方程為，則該公司7月份這種型號產(chǎn)品的銷售額為萬元.故選：D.4.B【解析】由三視圖可知多面體是如圖所示的三棱錐，由圖可知，，所以最長的棱長為.故選：B.5.C【解析】對于A選項，若，則，所以，不能推出，故A錯誤；對于B選項，成立時，必有成立，反之，取，則成立，但不成立，因此“”是“”的必要不充分條件，B錯誤；對于選項C，因為，所以可以把多項式寫成如下形式：，按照從內(nèi)而外的順序，依次計算一次多項式當(dāng)?shù)闹担?，，，，故C正確；對于選項D，，所以，故D錯誤.故選：C.6.D【解析】因為，，所以平方得，，，即，，兩式相加可得，即，故，.故選：D.7.A【解析】因為直線與圓的兩個交點關(guān)于直線對稱，所以直線經(jīng)過圓心，且直線與直線垂直，所以，即，且，則，，以數(shù)列的前100項和為．故選：A.8.B【解析】令，則，由得，結(jié)合圖象知函數(shù)在上遞增，在遞減，所以且，所以，又過點，所以，即，所以故選：B.9．A【解析】正方體中，,所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面,平面,所以平面，即當(dāng)點P在線段上運動時恒為定值，又,也為定值，所以三棱錐的體積為定值，①正確；在正方體中，平面，平面,所以，在正方形中：,又,平面，所以平面，又平面，所以，②正確；因為點P在線段上運動,若，則點P與點A重合，則三棱錐的外接球即為三棱錐的外接球，故半徑為，③正確；如圖所示：將三角形沿翻折得到該圖形，連接與相交于點，此時取得最小值，延長，過作于點，在中，，故的最小值為，④錯誤.故選：A.10.B【解析】該程序框圖相當(dāng)于在[0，3]上任取10000對數(shù)對，其中滿足的數(shù)對有對.顯然該問題是幾何概型.不等式組所表示的區(qū)域面積為9，所表示的區(qū)域面積為，故，因此.故選：B.11.D【解析】令，得，整理得.令，,原方程化為.設(shè)，則，令，解得，且，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，則在時，有最大值為，畫出簡圖，如右圖所示，因為原方程為.由題可知有三個零點，因此方程有兩個不等實根.結(jié)合圖象可得：，設(shè)，則，得到，因為，所以.故選：D．12.A【解析】由題可知，點在以為直徑的圓上，故，連接、，如圖所示，可得，其中由圖可知，當(dāng)點運動到雙曲線右頂點時，即當(dāng)時，取最大值為80.故選：A.13.【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點在軸正半軸上，焦點坐標(biāo)為.14．【解析】由題意可知，4人去4個不同的景點，總事件數(shù)為，事件的總數(shù)為，所以，事件和事件同時發(fā)生，即“只有甲去了錦水文風(fēng)，另外3人去了另外3個不同的景點”，則事件的總數(shù)為，所以，所以，故答案為：.15．【解析】以為圓心，以為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由于所以，由于點在，不妨設(shè)，,，其中，,所以，可看作是上的點到點的距離，由于點在線段上運動，故當(dāng)點運動到點時，此時距離最大，為,當(dāng)點運動到點時，此時距離最小為0，綜上可知：.16．【解析】因為，所以為上的奇函數(shù)．又，所以在上單調(diào)遞增．不等式對任意的恒成立，即對任意的恒成立，所以對任意的恒成立，即對任意的恒成立．令，所以，所以當(dāng)時，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時，，在上為減函數(shù)．所以，設(shè)，顯然為上的增函數(shù)，因為，，所以存在，使得，所以，此時，所以，即的最大值為1．故答案為：1.17．解：（1），，則；2分.5分（2），7分又，所以，，得，即，8分因為，且由余弦定理可知，，所以，由基本不等式可得，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等）11分故,即面積最大值為.12分（注：若求角的函數(shù)值域問題，按步驟對應(yīng)給分）18．（1）證明：取AD中點為F，連接AC，CF，由得且.∴四邊形ABCF為平行四邊形，∴，∴，2分又因為二面角為直二面角，且平面平面，∴平面PCD，因為平面PCD，所以.5分（2）解：如圖，延長AB和DC交于點G，連接GP，則GP為平面PCD與平面PAB的交線l，取CD中點為O，連接OF，OP，∵OP⊥AC，，∴OP⊥OF，OF⊥CD，OP⊥CD.7分如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OF，OD，OP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，設(shè)平面PAD的法向量為，,令，解得9分設(shè)l與平面PAD的所成角為，則，11分因為，即l與平面PAD所成角的正弦值為．12分19．解：（1）若甲第二次答題選方案一，記兩次答題累計得分為，則的可能取值為70，60，20，10．1分則累計得分的期望．2分若甲第二次答題選方案二，記兩次答題累計得分為，則的可能取值為60，30，20．，3分則累計得分的期望．4分因為，所以應(yīng)選擇方案一．5分（2）①依題意得．6分的可能取值為20，10，其分布列為2010P所以．由，得，所以為等比數(shù)列，其中首項為36，公比為，所以，7分故．8分②由①知，，故累計得分為，9分設(shè)，當(dāng)時，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，10分由題可知，至少需答題次數(shù)滿足：，結(jié)合單調(diào)性與零點存在性定理，得到，故，所以至少需答題15次.12分20．解：（1）函數(shù)，因為，所以切點為，1分由，得，所以曲線在點處的切線斜率為0，2分所以曲線在點處的切線方程為．3分（2）由（1）可知，因為，所以，令，則．4分當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；又因為，，6分所以，由零點存在定理可知，存在唯一的使得，存在唯一的使得．故函數(shù)有且僅有兩個零點．7分（3）因為，當(dāng)時，由得9分下面證明：當(dāng)時，對于任意，恒成立,即證，即證；而當(dāng)時，，10分由（2）知，；所以時，恒成立；綜上所述，．12分21．解：（1）因為為的重心，且邊上的兩條中線長度之和為6，所以,1分故由橢圓的定義可知的軌跡是以為焦點的橢圓（不包括長軸的端點），且，所以，2分所以的軌跡的方程為.4分，注：未挖點扣1分（2）①依題意，設(shè)直線DE方程為.聯(lián)立，得，易知設(shè)，，則，.5分因為軸，軸，所以，.所以直線DN：，直線EM：，聯(lián)立解得.7分從而點Q在定直線上.8分②因為，9分又，則，10分設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故面積的最大值為.12分22．解