專(zhuān)題三函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第11講二次函數(shù)與冪函數(shù)1．二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)：解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)圖象續(xù)上表2.冪函數(shù)(1)定義：形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)冪函數(shù)的圖象比較．(3)冪函數(shù)的性質(zhì)．①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義．②冪函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1，1)．③當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．④當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．1．求二次函數(shù)的解析式(1)二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(0，1)，對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，最小值為－1，則它的解析式是________________．(2)若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常數(shù)a，b∈R)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?－∞，4]，則該函數(shù)的解析式f(x)＝________．(2)由f(x)是偶函數(shù)知f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以b＝－2，所以f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域?yàn)?－∞，4]，所以2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.剖析：求二次函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是靈活選取二次函數(shù)解析式的形式，利用所給出的條件，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．2．二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)已知一元二次函數(shù)y＝x2－2x＋2，x∈(0，3)，則下列有關(guān)該函數(shù)的最值說(shuō)法正確的為(

)A．最小值為2，最大值為5B．最小值為1，最大值為5C．最小值為1，無(wú)最大值D．無(wú)最值(2)函數(shù)y＝x2－2x，x∈[0，2]的最大值為_(kāi)_________．(3)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋2tx＋t－1.①當(dāng)t＝2時(shí)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－3，1]中的最大值和最小值；②若x∈[1，2]時(shí)，f(x)>0恒成立，求t的取值范圍．解析：(1)由已知得函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x＝1，在(0，1]上，函數(shù)是減函數(shù)，在[1，3)上是增函數(shù)，因此x＝1時(shí)，函數(shù)取得最小值為1，但無(wú)最大值．故選C.(2)函數(shù)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，因?yàn)?≤x≤2，所以x＝0或x＝2時(shí)，

函數(shù)y＝(x－1)2－1取最大值，ymax＝0.故答案為0.答案：(1)C

(2)0(3)解：①由題意，當(dāng)t＝2時(shí)，函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋1＝(x＋2)2－3，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，f(x)在[－3，－2)上遞減，在(－2，1]上遞增，當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為f(－2)＝－3，f(1)＝6，f(－3)＝－2，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為f(1)＝6；②由f(x)＝x2＋2tx＋t－1＝(x＋t)2－t2＋t－1，因?yàn)楫?dāng)x∈[1，2]時(shí)，函數(shù)f(x)>0恒成立，當(dāng)－t≤1時(shí)，即t≥－1時(shí)，f(x)min＝f(1)＝3t>0，解得t>0；當(dāng)1<－t<2時(shí)，即－2<t<－1時(shí)，f(x)min＝f(－t)＝－t2＋t－1>0，剖析：(1)二次函數(shù)最值問(wèn)題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類(lèi)討論的思想即可完成．(2)由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵：①一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)．②兩種思路都是將問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離．這兩個(gè)思路的依據(jù)是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.3．冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)(2023·三明高二統(tǒng)考期末)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(8，4)，則該冪函數(shù)的大致圖象是(

)答案：(1)C

(2)C

(3)3剖析：(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個(gè)參數(shù)α，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式．(2)第一象限內(nèi)，冪函數(shù)y＝xα中指數(shù)α為正數(shù)，則冪函數(shù)遞增，α為負(fù)數(shù)，則冪函數(shù)遞減．1．冪函數(shù)f(x)＝xa2－10a＋23(a∈Z)為偶函數(shù)，且f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，則a等于(

)A．3 B．4C．5 D．6C因?yàn)閍2－10a＋23＝(a－5)2－2，f(x)＝x(a－5)2－2(a∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以(a－5)2－2<0，從而a＝4，5，6，又(a－5)2－2為偶數(shù)，所以只能是a＝5.故選C.3．若四個(gè)冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關(guān)系是(

)A．d>c>b>a B．a(chǎn)>b>c>dC．d>c>a>b D．a(chǎn)>b>d>cB由冪函數(shù)的圖象可知，在(0，1)上冪函數(shù)的指數(shù)越大，函數(shù)圖象越接近x軸，由題圖知a>b>c>d，故選B.5．已知函數(shù)y＝2x2－6x＋3，x∈(－1，1)，則y的最小值是______．答案：－16．(2023·廣東模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12為偶函數(shù)，則m的值是________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12為偶函數(shù)，所以f(－x)＝(－x)2＋(2－m)(－x)＋m2＋12＝x2－(2－m)x＋m2＋12＝f(x)，所以x2－(2－m)x＋m2＋12＝x2＋(2－m)x＋m2＋12，所以－(