高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊(cè)第二冊(cè)綜合拔高試卷10

第I卷(選擇題)

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一、單選題

1+loga(X+2),".—1

1.已知函數(shù)〃x)=,，(x+l)；+4ax<7在區(qū)間(9，鐘)上為單調(diào)函數(shù)，若

函數(shù)g(x)=|〃x)|Tx-2|有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

31313

A.B.C.D.

45245416長(zhǎng)u16

24

2.已知函數(shù)/(x)=coscox---芭、n、出40,句，且句都有

3

/(^)</(x)</(x2),滿足/(毛)=0的實(shí)數(shù)W有且只有3個(gè)，給出下述四個(gè)結(jié)論:

①滿足題目條件的實(shí)數(shù)占有且只有1個(gè)；②滿足題目條件的實(shí)數(shù)小有且只有1個(gè)；

③/(X)在,啜1上單調(diào)遞增；④0的取值范圍是伊昌?

I1U,ooy

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

3.已知函數(shù)/(x)=ax3-(3a-2)x2-8x+12a+7,g(JC)=/〃x,記h(x)=min{f(x),

g(x)}，若〃(x)至少有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.(-co,--)B.(1,+oo)C.[--=,《)D.[--77,

108108108

4.已知AABC,/為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)/滿足：afA+bLB+c/C=0>

則/點(diǎn)為三角形的

A.外心B.垂心C.重心D.內(nèi)心

5.函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且〃*-1)為偶函數(shù)，當(dāng)xe[0,l]時(shí)，〃x)=x「

若函數(shù)g(x)=〃x)-x-6恰有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)匕的取值集合是()

A.12%+^)'kGzB.(2A+；,2%+|1,k&z

(1,，15、,

C.+kwzD.4kH—,4kHI，ksz

I44J

6.如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體A8C。-A百GA中，點(diǎn)P是平面ABG內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

滿足+|尸4卜2+而，則直線B,P與直線AD,所成角的余弦值的取值范圍為()

D

二、多選題

7.已知函數(shù)，(x)=：一日下列關(guān)于函數(shù)y=/[/(x)]+l的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的說法

人,人才U

中，正確的是()

A.當(dāng)4>1,有1個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)&=-2時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)有4個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)A=T時(shí)，有7個(gè)零點(diǎn)

8.己知函數(shù)/(x)=sin4(x+f-cos[x+V)在區(qū)間r-pf+jQeR)上的最大值為

M?),最小值為優(yōu)(f),令〃(r)=M(r)—m(。，則下列結(jié)論中正確的是()

B.力。)的最大值為血

C.〃(，)的最小值為1D.當(dāng)〃(。=1時(shí)，t=+―(A:eZ)

第II卷(非選擇題)

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三、填空題

9.已知圓0"2+丁=4點(diǎn)A(2,2),直線/與圓。交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)E在直線/上且滿

足P。=2應(yīng)?若6+2A尸=48,則弦尸。中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍為.

試卷第2頁，共4頁

E-

10.已知|。,|=|。月|=1,若存在犯使得加通+西與〃,月+O月夾角為60一，且

帆麗+珂-(〃而+網(wǎng)卜g,則洞的最小值為.

11.空間四面體488中，AB=CD=2,AD=BC=243.AC=4,直線8。與4c所

成的角為45。，則該四面體的體積為.

—x~+2x+I,x42(]、

12.已知函數(shù)f(x)=h。。q_2)">2‘則方程/卜+1+1卜0恰好有6個(gè)不同的解，

則實(shí)數(shù)”的取值范圍為.

四、解答題

13.某地開發(fā)一片荒地，如圖，荒地的邊界是以C為圓心，半徑為1千米的圓周.已有

兩條互相垂直的道路OE，OF,分別與荒地的邊界有且僅有一個(gè)接觸點(diǎn)A,B.現(xiàn)規(guī)劃

修建一條新路(由線段MP,PQ,線段QN三段組成)，其中點(diǎn)M,N分別在OE,OF

上，且使得MP,QN所在直線分別與荒地的邊界有且僅有一個(gè)接觸點(diǎn)P,Q,PQ所對(duì)

的圓心角為[.記NPC4=26(道路寬度均忽略不計(jì)).

6

(1)若。=5"7r，求QN的長(zhǎng)度;

(2)求新路總長(zhǎng)度的最小值.

14.已知集合S“={X|X=（占,々,1-eR,i=l,2,L,〃},稱8為X的第i個(gè)分量.

對(duì)于S“的元素A=(4，%L,q,),8=(4也,L也)，定義A與8的兩種乘法分別為:

AxB=(4么一a,h,aj?3-aRL一〃也］)

A*B=(乎2+b8,電色+帥?LM〃q+b,h)

給定函數(shù)/(X),定義s”上的一種變換尸(XJ)=(/a)J(X2卜L

(1)設(shè)/(X)=W，A=(1,0,-1),B=(T(),1),求/(AJ)xr(BJ)和尸(Af)*尸(氏/)；

(2)設(shè)/(x)=sinr,g(x)=cosx,對(duì)于X=(x1,x2,--.,x?),設(shè)4=F(XJ),耳=G(X,g).

對(duì)任意kwN且后＜〃—1,定義A+產(chǎn)AxBk,Bk+l=&*%

①當(dāng)〃=3時(shí)，求證：&中為0的分量個(gè)數(shù)不可能是2個(gè)；

②若X=(x，X2,…,x,J的任一分量都只能取x或-x,設(shè)A-的第1個(gè)分量為夕(同，求

8(x)的最小正周期的最小值，并求出此時(shí)所有的X.

5已知函數(shù)〃力=蕓?

(1)當(dāng)6=1時(shí),求滿足了(力=3'的x值；

(2)當(dāng)b=3時(shí),

①存在feR,不等式/(『-2。＜/(2/-&)有解，求&的取值范圍；

②若函數(shù)g(x)滿足f(x)(g(x)+2]=；(3T-3，)，若對(duì)任意xeR,不等式

￡(2x)+11

*/2加恒成立,求實(shí)數(shù)機(jī)的最大值;

g(x)

16.已知二次函數(shù)，(力=*2+版+c("ceR)

(1)若b+c=-2且方程〃x)=()有整數(shù)解士，占，試求：占，々的值；

(2)若“X)在(0,1)上與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求。2+(1+3。的取值范圍；

(3)若|4.2時(shí)，/(%)..(),且〃x)在區(qū)間(2,3]上的最大值為1,試求〃+H的最大

值與最小值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案

1.D

【分析】

先利用分段函數(shù)的單調(diào)性求出。的一個(gè)范圍，然后將函數(shù)g(x)=|/(x)|-k-2|有三個(gè)不同的

零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為乂=|/(x)|和力=|x-2|有三個(gè)不同的交點(diǎn),利用數(shù)形結(jié)合法可知，當(dāng)x<—l時(shí)，

X=|f(x)|和力=,一2|有1個(gè)不同的交點(diǎn)，從而得到〃(x)=f+3x(x<—l)與y=l-4。有一

個(gè)交點(diǎn)，再利用圖象分析求解即可.

【詳解】

“、fl+log?(x+2),x...-l

因?yàn)楹瘮?shù)〃X)=2(a>O,a*l)

(x+1)+4a,x<-\

當(dāng)xv—1時(shí)，=(x+l)2+4a,

所以/(x)在(V,-1)上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?(X)在區(qū)間(3,”)上為單調(diào)函數(shù)，

所以0<a<l且(—l+l)2+4aNl+log“(一1+2),

解得以<1,

4

令g(x)=|/(x)|-卜一2|=0,即|/(x)|=|x-2|,

令芳=|〃刈,%=卜一2|,

則函數(shù)g(x)=|〃x)|-k-2|有三個(gè)不同的零點(diǎn)，

等價(jià)于y=|/(X)|和％=k-2|有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

當(dāng);<〃<1時(shí)，分別畫出乂=|/(x)|和%=k一2|的圖象如圖所示，

答案第1頁，共26頁

由圖可知，當(dāng)時(shí)，x=|f(x)|和%=k—2|有2個(gè)不同的交點(diǎn)，

故只需滿足：當(dāng)x<-1時(shí)，X=|/⑸和%=卜-Z有1個(gè)不同的交點(diǎn),

即當(dāng)x<—1時(shí)，(x+1)2+4a=-x+2,化簡(jiǎn)d+3x+4a-l=0,

即1-4〃=x?+3x(x<-1)，

令〃(X)=X2+3X(X<-1),即y=〃(x)與y=l-4a有一個(gè)交點(diǎn),

畫出函數(shù)y=〃(x)的圖象如下圖所示,

/I(-1)=(-1)2+3X(-1)=-2,

9

所以1-4a=——或1一4〃..一2,

4

133

解得或

164

答案第2頁，共26頁

只有兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題干中的要求三個(gè)零點(diǎn)，舍去

故!<〃<1,綜上：a的取值范圍為

4144j[16J

故選：D

【點(diǎn)睛】

函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

(1)直接求零點(diǎn)：令式x)=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間口，切上是連續(xù)不斷的曲線，且大/區(qū)切

<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

2.D

【分析】

設(shè)r=s-g,由xw[0,;r|,得出re-率儂-等,由題意得出了(石)為函數(shù)y=/(x)的

最小值，/(%)為函數(shù)y=/(x)的最大值，作出函數(shù)y=cos/的圖象，結(jié)合圖象得出

進(jìn)而對(duì)各結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證.

【詳解】

?.?<w>0,當(dāng)xe[(),;r]時(shí)，cox-^-e.

由于函數(shù)y=/(x)在[(),句上滿足/(%,)=()的實(shí)數(shù)/有且只有3個(gè),

即函數(shù)y=cosr在軟心號(hào)上有且只有3個(gè)零點(diǎn)，

答案第3頁，共26頁

由圖象可嗚解得胃。中，結(jié)論④正確；

由圖象知，y=cost在與吁手上只有一個(gè)最小值點(diǎn)，有一個(gè)或兩個(gè)最大值點(diǎn)，結(jié)論

①正確，結(jié)論②錯(cuò)誤;

由,1不34。＜1不9,知71正(0一2§%＜一7元乃＜八0,所b,以、1y=c°S呵一號(hào)27r,而冗co一2行TIJ\上.遞_增_,

則函數(shù)y=/(x)在(o喘)上單調(diào)遞增，結(jié)論③正確.綜上，正確的有①③④.故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦型函數(shù)的零點(diǎn)、最值點(diǎn)以及單調(diào)性有關(guān)命題的判斷，解題時(shí)要充分計(jì)算出對(duì)象

角的取值范圍，并作出圖象進(jìn)行驗(yàn)證，考查推理能力，屬于難題.

3.D

【分析】

根據(jù)選項(xiàng)，選擇。=0和進(jìn)行判斷，分別排除，即可得解.

【詳解】

當(dāng)〃=0時(shí)，函數(shù)/(x)=/-(3〃-2)尤2-8x+12a+7,

化為：f(x)=2x2-8A-+7,函數(shù)的對(duì)稱軸為X=2,

f(2)=-1<0,/(1)=1>0,結(jié)合已知條件可知:h(x)=min{f(x),g(x)},若/?(x)

有三個(gè)零點(diǎn)，滿足題意，排除4、8選項(xiàng)，

2

當(dāng)〃=1時(shí)，f(x)=ix3.(2-2)x-8x+-+7,f(x)=3-+26工-64,

8788218

3232

令3/+26X-64=0,解得x^2或x=---,x?(-oo,----),xG(2,+oo),f(x)>0,函

數(shù)是增函數(shù)，

32

XG(-y,2),f(x)<0,函數(shù)是減函數(shù)，

所以x=2時(shí)函數(shù)取得極小值，/(2)=0,所以函數(shù)由3個(gè)零點(diǎn)，滿足題意，排除C,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，考查了分類討論思想和

排除法，要求較高的計(jì)算能力，屬于難題.

4.D

答案第4頁，共26頁

【分析】

在A8,AC上分別取單位向量而，荏，記費(fèi)=亞+亞，則A尸平分ZBAC,用M,布，元表

示出花，無，代入條件所給等式，用麗,正表示出國(guó)，則可證明AFJ三點(diǎn)共線，即旬平

分㈤C.同理證得/在其它兩角的平分線上，由此求得尸是三角形的內(nèi)心.

【詳解】

在A8,AC上分別取點(diǎn)DE使得而=絲，荏=與，則西=|/=1,作菱形")自￡,

則由而=通+通=組+至所以A尸為ZSAC的平分線.因?yàn)椤?瓦+6.岳+口4=0,所以

b

a-7A+b(lA+AB]+C(lA+AC]=6,所以萬=--—AB+---AC

'7'7a+b+ca+b+c

be—

RAF,所以A/,廠三點(diǎn)共線，即/在"C的平分線上..同理

a+b+c、

證得/在其它兩角的平分線上，由此求得戶是三角形的內(nèi)心.，故選D.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查平面向量的加法運(yùn)算,考查三點(diǎn)共線的證明，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,

屬于中檔題.

5.D

【分析】

根據(jù)條件判斷函數(shù)周期為4,求出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的解析式，將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為/(x)與

直線y=x+b只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖像，即可求解.

【詳解】

函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(x-l)為偶函數(shù)，

答案第5頁，共26頁

/(-X)=-1)=于(x-1),

/(x-2)=/((x-l)-l)=/(-x)=_/(x),

即/(x+2)=-/(x),.-./(x+4)=-f(x+2)=f(x),

???/(x)的周期為4.

xw[O,l]時(shí)，/(x)=x5=?，

xe[-1,0],-xe[0,1],/(-x)=(-x)2=-f(x))

*,.f{x)=—y[—X,

?1,f(.-x-1)=f(X-I),.".f(X)=f(-X-2),

/(X)周期為4,/(X)=/(-x-2)=/(-x+2),

當(dāng)xe[1,2],-x+2e[0,1],/(x)=f(-x+2)=J-x+2,

Bxe[2,3],-x+2e[-1,0],/(x)=/(-%+2)=7x-2,

做出函數(shù)f(x)圖像，如下圖所示：

令g(x)=.f(x)-x-Z＞=0,

當(dāng)xe[-l,0j,g^x)-f(x)-x-b--\[^x-x-b-0,

-x—b=\[-x,兩邊平方得x?+(2b+Dx+O。=0,

△=(26+1)2-4/=4〃+l=0,6=」，

4

此時(shí)直線與〃x)在xs[-l,0]函數(shù)圖像相切，與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，

同理6=-：,直線與/(x)在xe[4,5]函數(shù)圖像相切，與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn),

則要使函數(shù)/⑸在[1,4]內(nèi)與直線y=x+A只有一個(gè)交點(diǎn)，

貝!Jb滿足一，/*)周期為4,

〃范圍也表示為:＜匕(二，

44

所以所有匕的取值范圍是4%+2＜匕＜4%+與,keZ.

44

故選:D.

答案第6頁，共26頁

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，利用數(shù)形結(jié)合思想

是解決問題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，屬于難題.

6.A

【分析】

求得點(diǎn)戶的軌跡是平面A8G內(nèi)以點(diǎn)。為圓心，半徑為1的圓，可得ADJ/BG〃B,M,進(jìn)而可

得出題中所求角等于直線B'M與直線的夾角，然后過點(diǎn)。作OH_L平面A8CD于點(diǎn)H,

過點(diǎn)“作“NJ.8C于點(diǎn)N,連接QN,找出使得NP4M最大和最小時(shí)的位置，進(jìn)而可求得

所求角的余弦值的取值范圍.

【詳解】

連接耳。交平面ABC于點(diǎn)0,延長(zhǎng)線段CB至點(diǎn)M,使得CB=BM,連接BXM、OM、PM,

如下圖所示：

答案第7頁，共26頁

已知在正方體ABS-ABCQ中，￡?￡?,，底面A4CQ,aau平面AGCQ,.?.DDJAG，

又???四邊形AB￡A為正方形，所以，ACJBR,

?.?。￡）八42=。I,..AGJ■平面4。馬，???8QU平面8QR,BQJ.AG,

同理???AGnAB=A，.,?用。，平面ABC一

I19

三棱錐B-A田G的體積為k4G=卜*3W,

=,x（30）~=券，=；X券x|耳O卜?忸|O|二g,

可得忸0|=6=g忸稗，

所以，線段用。的長(zhǎng)被平面48a與平面AQC三等分，且與兩平面分別垂直，

而正方體488-ABCA的棱長(zhǎng)為3,所以O(shè)與=6，OD=2y[3,如下圖所示：

其中PO_LBQ,不妨設(shè)|O4=x,由題意可|PBj+|PD|=2+屈，

所以，4+12+&+3=2+屈，可得x=l,

所以，點(diǎn)P在平面A3G內(nèi)以點(diǎn)。為圓心，半徑為1的圓上.

因?yàn)锳D\HBC*B,M,所以，直線與M與直線耳尸的夾角即為直線耳產(chǎn)與直線AR所成角.

答案第8頁，共26頁

接下來要求出線段與PM的長(zhǎng)，然后在中利用余弦定理求解.

如圖，過點(diǎn)。作平面A8CO于點(diǎn)〃，過點(diǎn)”作8c于點(diǎn)N,連接。N,

根據(jù)題意可知|。叫=2,|HN|=WN|=1,且ON工MN,

所以，|0N|=石，阿|="+5=萬.

如圖所示，|。制=|OR|=1,當(dāng)點(diǎn)P在<處時(shí)，NPBM最大,當(dāng)點(diǎn)P在8處時(shí)，/尸8附最

小.

BxM直線BiM

/\平面413G

PiO2

這兩種情況下直線4P與直線BM夾角的余弦值最大，為cosNPBM=sinNPBQ=；；

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)。處時(shí)，NP81W為直角，此時(shí)余弦值最小為0.

綜上所述，直線8/與直線AR所成角的余弦值的取值范圍是.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查異面直線所成角的取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵就是確定點(diǎn)尸的軌跡，考查推理能

力與計(jì)算能力，屬于難題.

7.ABD

【分析】

答案第9頁，共26頁

令y=0得/=利用換元法將函數(shù)分解為/(力=『和"0=-1,作出函數(shù)“X)的

圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.

【詳解】

令y=o,得/[〃切=-1,設(shè)y(x)=f,則方程/[〃切=-1等價(jià)為/⑺=T,

函數(shù)y=Y-履+1,開口向上，過點(diǎn)(0,1),對(duì)稱軸為x="|

對(duì)于A,當(dāng)左＞1時(shí)，作出函數(shù)“X)的圖象：

此時(shí)方程/⑺=一1有一個(gè)根'=；,由〃x)=；可知，此時(shí)x只有一解，即函

數(shù)y=/[〃x)]+i有1個(gè)零點(diǎn)，故A正確；

此時(shí)方程/(f)=T有一個(gè)根，=；,由“X)=g可知，此時(shí)x有3個(gè)解，即函

數(shù)y=/[/(x)]+l有3個(gè)零點(diǎn)，故B正確；

對(duì)于C,當(dāng)1＞女＞0時(shí)，圖像如A,故只有1個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)k=Y時(shí)，作出函數(shù)的圖象：

答案第10頁，共26頁

???〃。=一1,此時(shí)方程/⑺=T有3個(gè)根，其中”(T，0)，4€(-4,-3)由〃力=；

可知，此時(shí)x有3個(gè)解，由“力=芍€(-1,0)，此時(shí)x有3個(gè)解，由〃x)=ge(Y,-3),此

時(shí)x有1個(gè)解，即函數(shù)y=/[f(x)]+l有7個(gè)零點(diǎn)，故D正確；

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，利用換元法和數(shù)形結(jié)合

是解決本題的關(guān)鍵，已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，屬于難題.

8.AB

【分析】

應(yīng)用同角平方關(guān)系、二倍角余弦公式得f(x)=sin(2x-,),A將f=g代入求區(qū)間，根據(jù)正弦

型函數(shù)的性質(zhì)即可求Mg],B、C討論+與f(x)的遞增區(qū)間的關(guān)系，結(jié)

合已知區(qū)間的長(zhǎng)度為《，分析不同情況下的的取值范圍，進(jìn)而確定最大、小值，D由

題設(shè)知M(r)=l,加")=0或M(f)=O,，W)=—1,結(jié)合區(qū)間長(zhǎng)度即可求f.

【詳解】

/(x)=sin4f.r+^'j-cos4fx+^=sin2fx+-^'j-cos2fx+^j=-cosf2x+y'j

答案第11頁，共26頁

=-sin1-2x=sin2x-7^1.

6

,,7r.「7i萬1/r「3萬5萬]_冗「7%13%

A：當(dāng)"彳時(shí)l，由xe+-,得xe—,M此時(shí)2x-、e—

2ooJ\_ooJo1212

7TT1a萬

/.M(/)=sin—,/n(r)=sin^-,于是

7171

h(t\=M⑺-%?⑺=sin--sin=cos—+sin—=V2sin_+一=V2sin—=,正確.

v7v7v7

1212121212432

由2版?-工42x-代W2版?+4々€2）可得0-工4工4版+工信€2）,所以函數(shù)〃*）的單調(diào)

26263

JTjr

遞增區(qū)間為k兀一飛，卜兀+］（丘Z）.

<r--<Z+—<^+y（^eZ）,即左"一盤KfW攵乃+著（女eZ）時(shí)，則有

//(r)=M(r)-/n(/)=/

=sinI2/+I-sin2r-I=sinI2r+j+cos121+^1J=V2sinf2r+y

而

V2sin2/+ye[l,V2],即人⑺w[1,應(yīng)].

當(dāng)卜力,可匚若上zy即京壯z）時(shí)，

M（r）_，〃（r）=_/（4乃+_/（左左+葛）=

???函數(shù)〃x）的最小正周期7=萬，而區(qū)間+1的長(zhǎng)度為%即5

...由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，/?（。的最大值為拉，最小值為1.孝，故B正確，C錯(cuò)

誤.

jrrr

D：當(dāng)力⑺=1時(shí)，必有=機(jī)（。=0或M（，）=0,m（r）=-l,由于區(qū)間^-―^+―

OO_

的長(zhǎng)度為￡，即4，所以2（一91-1=學(xué)（丘Z）,即”竺+當(dāng)/eZ）,錯(cuò)誤.

44（8）62'424''

故選：AB

【點(diǎn)睛】

答案第12頁，共26頁

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解最值的關(guān)鍵是想到將區(qū)間t-jt*放到函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)

OO

間上和函數(shù)/(X)的關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的區(qū)間上考慮；判斷D的關(guān)鍵是能夠結(jié)合/(X)的值域

和〃(/)的取值得到M(r)=l,加(。=0或加")=0,/n(r)=-l,從而得到結(jié)果.

9.(學(xué)，學(xué))

【分析】

①當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，易求得知=0；②當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，=奴+機(jī)，

利用直線與圓有交點(diǎn)可求得病<4^+4；將直線方程與圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式；

根據(jù)防=2應(yīng)和我，+2Ap2=48可整理得到為+勺，x,x2,乂+%，%%滿足的方程，代入

韋達(dá)定理的結(jié)論整理可得病=必5-4.;當(dāng)加=0時(shí)，知馬=0；當(dāng)m/0時(shí)，可將X”表示

為關(guān)于A的函數(shù)，利用對(duì)號(hào)函數(shù)的性質(zhì)可求得值域，即為所求的范圍；綜合兩類情況可得最

終結(jié)果.

【詳解】

設(shè)”(%，%),

①當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，直線方程為/：x=0,此時(shí)P(0,-2),2(0,2),

-.■PQ=2QE>二口(),4),AE2=4+4=8>A產(chǎn)=4+16=20，

滿足=48,此時(shí)x,“=0;

②當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：y=kx+m,

\m\/、

??,/與圓。有兩個(gè)不同交點(diǎn)，/———<2,即<4左?+4(*),

\Jk~+\

y=kx+m

由;?一得:（x+k'^jc+1k>nx+m1—4=0,

設(shè)P（XQ|）,Q（&,%），E（X>，%）

2km

則Xj+x）=-

1+42

2m

/.y+%=依+‘%+優(yōu)+m=攵（％]+馬）+2m=

1+P

答案第13頁，共26頁

nV-422

y%=("i+/%)(仁+x\xi+kmG+/)+

1+k2

3戈2-X]

2

-PQ=2QE^???（馬一不，％一乂）=2（毛一肛%一%），解得：＜

3y2f

%

2

（網(wǎng)產(chǎn)2）一+（若工2）+2（芭_(tái)琛+2（y「2『=48,

由AE1+2AP1=48W：

2

整理得：9(Xj+x2)+9(y+%)-24%/-24yxy2-24(x,+x2++y2)=96,

4加2蘇-4-4爐2m-2km敕1田徂2

..3-------8--------------------8-------------=32,整理得：加=4?一4機(jī)，

1+二71+F1+公

X]

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，xM==0；

當(dāng)mwO時(shí)，機(jī)=41—4,代入(*)式得：(4左一4)2<4/+4,

424ja4-y/l4+5/7

解得：------<k<---------，

33

x,+xkm4左-4公\+k

2=-4+4x

一2一一1+如X+k11+it2

”-4+4x---------二―

”,(1+6+-2

')1+k

當(dāng)皇＜苦正時(shí)，y=0+5高單調(diào)遞增,

‘4-近4+近'

上單調(diào)遞減,

'-1-"-1+⑺

綜上所述：弦尸。中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍為（專亙，芍立

故答案為：（￥，￥）.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與圓的綜合應(yīng)用問題，涉及到直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用、向量共線的坐標(biāo)表示、

函數(shù)值域的求解等知識(shí)；求解本題的關(guān)鍵是能夠結(jié)合韋達(dá)定理的形式，將所求的點(diǎn)的橫坐標(biāo)

表示為關(guān)于直線斜率女的函數(shù)關(guān)系式的形式，從而利用對(duì)號(hào)函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)值域；本題

計(jì)算量較大，難度較高，對(duì)學(xué)生的分析和解決問題能力、運(yùn)算和求解能力有較高要求.

答案第14頁，共26頁

【分析】

設(shè)2=兩=〃?而+函，5=麗=〃而+礪可得4A，a3'共線，又|￡一引■兩|=；,當(dāng)

I兩1=；為最小時(shí)|麗|最小，而此時(shí)A，、&關(guān)于)，軸對(duì)稱，結(jié)合已知即可求|而|的最小值.

【詳解】

由題意，AB=OB-OA<

：.^-a=O^=mAB+OA=^-m)OA+mOB,b=oF=nAB+OB=(\+n)OB-nOA,故有

二有4、*關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，網(wǎng)最小，此時(shí)。到4B的距離為6?胃工手,

2

答案第15頁，共26頁

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用向量的線性關(guān)系及共線性質(zhì)，可知￡=弧=〃?通+礪，

b=OB'=nAB+OB^0A＞麗的終點(diǎn)共線，且13-引=1肅1=（可分析得4、8'關(guān)于y軸

對(duì)稱時(shí)，|麗|最小，進(jìn)而求最小值即可.

11.逑

3

【分析】

由條件可得AABC,為直角三角形，作直角三角形AABC和4c斜邊上的高BE,

DF,作平行四邊形8EFG,由此可得直線B。與AC的平面角為/O8G,4c，平面。尸G,

解三角形確定三棱錐D-ABC底面ABC上的高，利用體積公式求體積.

【詳解】

,/AB=2,BC=20AC=4,AABC為直角三角形，

同理可得△D4C為直角三角形，

如圖，作直角三角形AA8C和△D4C斜邊上的高BE,DF,

則AE=CF=1

/.E,尸是線段AC的兩個(gè)四等分點(diǎn)，

作平行四邊形8EFG,則8ELAC,DFLAC,

由線面垂直判定定理可得AC,平面DFG,又ACu平面ABGC,

：.平面ABGCJ_平面DFG,

在平面OPG內(nèi)，過點(diǎn)。作O/MFG,垂足為”，

由面面垂直的性質(zhì)定理可得OHJ■平面ABGC,

二DH為四面體A8C。的底面ABC上的高，由三角函數(shù)定義可得尸-sinNDRS

又因?yàn)?G〃AC,所以BGJ_OG,

又因?yàn)橹本€8。與AC所成的角為45。，所以NQBG=45。，

,AOGB為等腰直角三角形，

，GD=GB=EF=2

在GFG中GD=2,BE=DF=乖＞

由余弦定理可求得cosZDFG=2，sinNDFG=3^

33

答案第16頁，共26頁

所以四面體的體積V=!s/z=』SABC-DFsinZDFG=^-.

33/3

故答案為：生區(qū).

3

【點(diǎn)睛】

平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問

題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：

①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是微，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作

為兩條異面直線所成的角.

12.（0,1]

【分析】

令X+6』，/卜+2+1/0"0=”,作出"X）圖象，作出f=x+》l圖像，通

過圖象分析解的各種情況.

【詳解】

令x+'+l=r,/fX+-J-+1/（z）=a,

4x\4xJ

作出了（力圖象，作出f=x+；+l圖像，

答案第17頁，共26頁

/（，）=。有兩根，設(shè)為明12,

則2<。v3,弓>3,

即x+F1=八，此時(shí)有2個(gè)根,

4x

x+^-+l=t2,此時(shí)有2個(gè)根，

4x

共4個(gè)根，不滿足條件.

2,a=2時(shí)，/⑺=。，

解得f=l或19或6,

±

解

m+無

AX+1=

4X

19

2解

元-

+14-

x+--F1=6,2解，

4x

共4個(gè)解，不滿足條件.

3°lv”2時(shí)，f[x)=a,

有四個(gè)根，設(shè)為八，，4，4，才6,

95

其中0<，3<1,1＜。＜2,—＜，s＜一f4＜，6＜6,

452

即XH----bl=A，無解,

4%

X~^~----1■1=^4?無解,

XH---F1=",2解,

X+---F1=/6,2解,

答案第18頁，共26頁

共4個(gè)解，不滿足條件.

4°a=l時(shí)，,/■?)=。有4個(gè)根，0,2,機(jī)，n(2<w<3,?>3),

x+—+1=0,1解，

x+—+1=2,1解，

x+一+\=m,2解，

x+—+1=〃，2解，

共6解，滿足條件.

5"0<4<1時(shí)，/(?)=?,

有3個(gè)根，設(shè)為4，%，

其中，9<0,1<fg<3,3<r9<4,

即xH---P1=J有2解，

4x

1

-+1=4有2解，

41A

一

公+1=。有2解，

共6解，滿足條件.

6°a=0時(shí)，/⑺=0，

有兩根-1-立和3,

XH---F1=-1-有2個(gè)根，

4x

x+j+l=3有2個(gè)根，

4x

共4個(gè)根，不滿足條件，

綜上0<a41.

故答案為(0J.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)與方程根的分布問題，解題時(shí)可把復(fù)雜的方程簡(jiǎn)單化，如設(shè)f=x+[+l,方

4JC

程化為人)="，f=x+，-+l,這樣可作出兩個(gè)函數(shù)y=/(x)和r=x+；+l的圖象，由圖

4x4x

象分析方程根的所有可能情形，從而得出結(jié)論.數(shù)形結(jié)合思想是解這類問題的重要思想方法.

答案第19頁，共26頁

13.(1)1千米；(2)2x/3+-.

6

【分析】

(1)連接C8,CN,CM,可得，OM,ON,PM,QN均與圓C相切，通過圓心角為2%可

TT

求出NQCB=5，從而得到四邊形BCQN是正方形，進(jìn)而可得QN=CQ=1,

27r

(2)因?yàn)?夕。=20,所以NMCP=8,ZNCQ=—-0,利用弧長(zhǎng)公式可求得MP=tan。，

尸。=/，NQ=歌0+二,由于NQ>0,所以。6(2，g),設(shè)新路長(zhǎng)為/(。)，則

6glanO-l62

了(6)=MP+PQ+NQ，然后結(jié)合基本不等式進(jìn)行計(jì)算即可得解

【詳解】

(1)連接C8,CN,CM,

因?yàn)镺MLOM所以。M,ON,PM,QN均與圓C相切

所以CB_LON,CALOM,CPVMP,CQLNQ,

所以CBA.CA

因?yàn)?PC4=28=紅，ZPC2=7，

66

-57r7C7C7t

所以/QC8=2%―-----y=y,

此時(shí)四邊形BCQN是正方形，所以QN=CQ=1,

答：QN的長(zhǎng)度為I千米；

24

(2)'：ZPCA=20,可得/MCP=。，ZNCQ^—--0,

2萬c

tan--tan夕tan6+6

則MP—tan9,PQ=JNQ=tan3_______

12萬八由tan6-1

o1+tantan8

3

答案第20頁，共26頁

設(shè)新路長(zhǎng)為/(。)，其中*G，1),即tan”也

623

.//八、八冗tanO+G八84273兀

??f(0)=tun0-\--1--f=-------=tan0-----1---------產(chǎn)t-----1—,

6V3tan^-133tan^-v336

S2tan0-------—產(chǎn)+2*+￡=2&+生，當(dāng)tanO=V^時(shí)取"=",

\(3)3tan6-后366

答：新路總長(zhǎng)度的最小值為2百+g.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，考查基本不等式

求最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.

14.(1)F(A/)xF(B,/)=(0,0,0),F(A/)*F(B,/)=(1,1,2)；(2)①見解析；②券，

X=(x,—x,x,—X,…1尸尤)或X=(—X,X,—X,(—1)"X).

【分析】

(1)根據(jù)定義計(jì)算可得相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果.

(2)①利用反證法結(jié)合分量的特征可證明該結(jié)論.

②先求出A，穌4,層,&,鳥，找出一般規(guī)律后可求出s(x),結(jié)合解析式的形式可得到何時(shí)

9(x)的最小正周期有最小值.

【詳解】

(1)F(A/)=(7(l),/(0),/(-1))=(1,0,1),

故尸(A/)x尸(3J)=(x0-0xl,0xl-lx0,lxl_lxl)=(0,0,0),

F(A/)*F(B,/)=(lxl+0x0,0x0+lxl,lxl+lxl)=(l,l,2).

(2)①：當(dāng)〃=3時(shí)，4=(sin冷sin%,sin$),BQ=(COSX),COSX2,COSJ^),

故A=(sin玉cos9—cos苦sinsinx2cos/一cos&sin巧,sinx,cosx,—COSA3sin占)，

即A=(sin(玉-A^),sin(x2-x3),sin(x3-xj),

同理8]=(cos(X1-w),cos(%2-X3),cos(x3-X])),

答案第21頁，共26頁

類似A的求法，有：

A?=(sin[(^-x2)-(x2-x3)],sin[(x2-x3)-(x3-%,)],sin](七一為)一仁-X3)])

=(sin(Xj+x3-2x2),sin(x)-2x3),sin(x2+&-2內(nèi))),

若4中為0的分量個(gè)數(shù)是2