第12講四邊形

題型一平行四邊形的判定與性質(zhì)

1.（2021?四川?達州中學九年級期中）關于平行四邊形A8CD的敘述，正確的是（）

A.若AS18C,則平行四邊形4BCO是菱形

B.若AC_L8D,則平行四邊形A8CC是正方形

C.若AC=M,則平行四邊形48CC是矩形

D.若AB=A￡>,則平行四邊形A8CO是正方形

【答案】C

【解析】解：解：A、錯誤.若A8L8C,則平行四邊形A8C。是矩形；B、錯誤.ACLBD,

則平行四邊形A8C。是菱形；C、正確.D、錯誤.若A8=A￡>,則平行四邊形ABCD是菱

形；故選：C.

2.如圖，四邊形A8CQ和四邊形DBCE都是平行四邊形，點R在CE上，且CR=，CE,

4

則△APO,△。尸Q,△QRC的面積比為（）

A.15：9：4B.25：9：4C.16：9：4D.5：3：2

【答案】A

【解析】V四邊形ABCD及四邊形DBCE都是平行四邊形

；.AD=BC=DE,BD//CE

點是AE的中點，AP：PR=AD,DE

點是AR的中點

是△ARE的中位線

DP=-RE

2

CR=LCE

4

CR=-RE

3

Z.CR=-DP

3

■:BD//CE

:./XCRQs叢DPQ

.SCRQ_fC/?V_4RQ_2

"T^-[DP）-履P"3

Q33

即打他,%畋，PQ=-PR=-AP

40O

VDPQ等高

.SDPQ=PQ=3

SADPA尸5

515

即SADP=gSDPQ~彳SCRQ

q?q-15-9-4

故選：A.

3.（2021?江蘇?無錫市天一實驗學校九年級期中）如圖，點。為正方形A8CO對角線8。的

中點，BE平分NDBC交DC于點、E,延長8C到點F,使產(chǎn)C=EC,連接。尸交BE的延長

線于點H,連接0〃交。C于點G,連接HC.則以下五個結(jié)論中①0〃=；8尸；

②NC〃尸=60。；③BC=（2+夜）GH；@HF2=HEHB>正確結(jié)論有（）

B

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】???四邊形力8c。是正方形，

BC=CD,NBCD=90°,NDBC=45°,BD=應BC.

：8￡：平分/。86,

NDBH=ZHBF」x45。=22.5°,

2

.-.ZBEC=67.5°.

BC=CD

在ABCE和ADCF中，,NBCE=4DCF

CE=CF

.-.△BCE^ADCF,

??./EBC=4CDF,NBEC=Z.CFD=67.5°.

ZBEC=/DEH,

/BEC+ZEBC=/DEH+ZFDC,

:"DHB=90。.

ZDBH=NHBF

在ADBH和AHBF中，BH=BH

/BHD=/BHF

??.DH=HF、BD=BF=y/2BC,

???點H是O尸的中點，

/.OH=g8尸,CH="7,故①正確；

NHCF=4CFD=67.5°,

：.ZCHF=180°-2x67.5°=45°,故②錯誤；

BC+CF=0BC，

BC=（g+l）CF.

CF=2GH,

BC=（2+242）GH,故③錯誤：

,CE=CF,NECF=90°,

,-.ZEFC=45°,

:"EFH=67.5°-45°=22.5°,

：.2FBE=ZEFH.

NBHF=NFHE=90。,

:/\FHE,

.HBHF

"~HF~~HE'

HF2=HE-HB-故④正確；

綜上所述，正確的有①，④，

故選：B.

4.（2021?吉林朝陽?九年級期中）如圖，平行四邊形A8C￡?的對角線AC、8。相交于點O,

OE//AB交AD于點、E.若OA=2,"OE的周長為10,則平行四邊形A8C￡）的周長為（）

ED

A.16B.32C.36D.40

【答案】B

【解析】解：:AAOE的周長是10,且。4=2,

JO￡+AE=10-2=8,

又???對角線AC、8。相交于點O,

工。是8。的中點，

'/OEHAB,

???OE=gAB,點E為AD的中點，

：.AB=2OEfAD=2AE,

???四邊形A8C0是平行四邊形，

AB=DCyAD=BC,

：.AD+BC=2AD=4AE,AB+DC=2AB=4OE,

AD+BC+AB+DC=4AE+4OE=4(AE+OE)=4x8=32.

故選：B.

5.如圖，ZiABC的中線B。、CE交于點O,連接04,點G、尸分別為。C、08的中點,

BC=8,A0=6,則四邊形QEFG的周長為（）

D.18

【答案】B

【解析】.?.應＞，CE是AABC的中線,

二。是AC中點，E是A8中點，

:.ED//BC^.ED=-BC,

2

F是BO的中點，G是CO的中點，

:.FG//BC且FG=；BC,

：.ED^FG=-BC=4,

2

同理GO=EF=，AO=3,

2

???四邊形OEG/的周長為3+4+3+4=14.

故選B.

6.如圖，將。OEB尸的對角線EF向兩端延長，分別至點A和點C,且使4E=CF,連接AB,

BC,AD,CD.求證：四邊形ABC。為平行四邊形.

以下是證明過程，其順序已被打亂，

①四邊形ABCD為平行四邊形；

②：四邊形。EBF為平行四邊形，：.OD=OB,OE=OF-

③連接8力，交AC于點O；

④又：AE=CF,：.AE+OE=CF+OF,即OA=OC

正確的證明步驟是（）

A.①@③④B.③④②①C.③②④①D.④③②①

【答案】C

【解析】連接8力，交AC于點0,如圖

,/四邊形DEBF為平行四邊形

：.OD=OB,OE=OF

"：AE=CF

：.AE+OE=CF+OF

即OA=OC

，四邊形A8CD為平行四邊形

故正確的證明步驟是：③②④①

故選：C.

7.如圖，點￡F、G、H分別是四邊形ABC。邊AB、BC、CD、D4的中點，則下列說法:

①若AC=B。，則四邊形EFGH為矩形；

②若ACLBC,則四邊形EFG4為菱形；

③若四邊形EFG”是平行四邊形，則4c與互相平分；

其中正確的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】解：；點E、F、G、，分別是四邊形A8C。邊A8、BC、CD、D4的中點，

EH=-BD,EHHBD,FG=-BD,FG//BD,

22

EF=-AC,EFIIAC,HG=-AC,HG//AC,

22

:.EH=FG,EH//FG,

???四邊形EFGH是平行四邊形，

①當AC=B。時，EF=EH,

四邊形EFG”是菱形；

②當ACJ_BD時，NHEF=90。,

二四邊形EFGH是矩形；

③當四邊形EFGH是平行四邊形，則AC與8。不一定互相平分；

正確的個數(shù)為0個，

故選A.

8.如圖，在平行四邊形A8CO中，ZB=60°,AB=4,A￡>=6,E是AB邊的中點，尸是

線段BC上的動點，將△血?尸沿EF所在直線折疊得到△EB'F,連接4。，則B7）的最小值

是（）

A

E1

BF-----------c

A.2A/W-2B.6C.4D.2屈-2

【答案】D

【解析】解：如圖，夕的運動軌跡是以E為圓心，以BE的長為半徑的圓.所以，當夕點落

在。E上時，8。取得最小值.

過點D作DGLBA交BA延長線于G,

ZDGA=90°,

???四邊形A8CO是平行四邊形，ZB=60°,

：.AD^BC,

：.NGAO=60。，

NADG=30。，

AG=-AD=3

2

??DG=AD2—AG2-3-73>

是A8的中點，AB=4,

：.AE=BE=2,

：.GE=AE+AG=5

DE=dDG?+EG2=2vH

由折疊的性質(zhì)可知B'E=BE=2

:.DB，=2屈-2.

故選D.

9.（2021?浙江?溫州市第十二中學九年級期中）如圖，AABC中，ABAC,BC=6,ADYBC

于點D,AD=4,P是半徑為2的OA上一動點，連結(jié)PC,若E是PC的中點，連結(jié)。E,

則長的最大值為（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

【答案】B

【解析】解：如圖，可知尸在8A延長線與。A的交點時此時OE長的最大，證明如下:

連接BP,

AB=AC,BC=6,AD±BC,

：.BD=DC,

E是PC的中點，

?.DEIIBP,DE^-BP,

2

所以當BP的長最大時，OE長的最大，

由題意可知P在84延長線與。A的交點時BP的長最大此時DE氏的最大，

,/BC=6,AD=4,

：.BD^DC=3,BA=5,

???0A的半徑為2,BPAP=2,

：.8P=5+2=7,

/.DE=-BP=3.5.

2

故選:B.

10.如圖，折疊；ABC。，折痕經(jīng)過點8,交AO邊于點P,點C落在84的延長線上的點尸

處，點。落在點E處，得到四邊形APEF,若；A3CD的面積為8,有以下結(jié)論：

②若”=PD,則四邊形針EF是菱形；

③設四邊形AP所的面積為）‘，四邊形Bop的面積為x,則y與x的函數(shù)關系式為

y=2x-8（4<x<8）；

④若3C=4,則點尸到AB的距離為1.

其中正確的個數(shù)為（）

D

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】解：由折疊知：ZC=ZF,ZABP=ZCBP,

??,平行四邊形ABC力，

：.ZC=ZBAD,CD=AB,

：.NF=/BAD,

：.EF//AP,

'：AD//BC,

：./APB=/PBC,

：.ZABP=ZAPB,

：.AB^AP,故①正確；

由折疊可知，CD=EF,PD=EP,

：.AP^EF,

...四邊形APEF是平行四邊形，

?；AP=PD,

：.AP=EP,

二平行四邊形APEF是菱形，故②正確；

???四邊形BCQP的面積為x,

；?SAPEF^SABCD=2X,

：.y=2x-8（4<x<8）,故③正確；

設點尸到43的距離為〃，

SABCD=S四邊形BPEF+S&ABP,

/.8=-x/?x(BF+PE)+—x/ixAB,

22

.?.8=gx/zx8+g/?x(PE+AB)=8/?,,

故④正確，故選：A

11.（2021?陜西碑林?九年級期中）在平行四邊形ABC。中，點E,F,G分別是A￡>,BC,

C。的中點，BELEG,AD=2后,48=3,則AF的長為.

B

【答案】4

【解析】解：連接AC、EC,如圖所示:

?.?四邊形A8C。是平行四邊形,

：.AD=BC,AD//BC,EPAE//CF

?.?點E,尸分別是AD,BC的中點,

：.AE^-AD,CF=LBC

22

；.AE=CF,AE〃CF,

四邊形AFCE是平行四邊形,

：.AF^CE,

'：AD//BC,

：.ZEAQ^ZBCQ,ZAEQ=ZCBQ,

：.AAEQSACBQ,

LAD

：.AQ=EQ=AEJ,

CQ~BQ~CB~BC~2

設AQ=a,EQ=b,則CQ=2a,BQ=2b,

；點E,G分別是AC,CO的中點，

是△4CO的中位線，

：.EG//AC,

,：BEA.EG,

C.BEVAC,

由勾股定理得：8Q2=A82-AQ^BC2-CQ2,

即9-&2=(26)-4島

3a2=11，

3

，802=4護=(2y/5)2-4xy-=^,

.,_161_4

??分7—--X-=一,

343

在RtAEQC中，CE2=EQ2+CQ2=^+4^=16,

：.CE=4,

：.AF=4.

12.（2021?湖北云夢?九年級期中）如圖，AB、AC、8C都是。。的弦，OMJ_A8,ONLAC,

垂足分別為M、N,若MN=l,則BC的長為—.

【答案】2

【解析】解：ON1AC,垂足分別為M、N,過圓心O,ON過圓心O,

:.AN=CN,AM=BM,

：.MN=^BC,

,:MN=l,

：.BC=2,

故答案為：2.

13.（2021?上海楊浦?九年級期中）如圖，已知AO是△ABC的中線，G是△ABC的重心,

聯(lián)結(jié)8G并延長交邊AC于點E,聯(lián)結(jié)DE,那么品ABC：SAGED的值為.

A

【答案】12

【解析】解：：G是AA8C的重心

，點。為8C的中點，點￡是AC的中點

/.BE、AD為AABC的中線，DE為中位線

ADE//AD,DE=-AD

2

：.AGDE^/\GAB

.GEDE\

■"GB-AB-2

:.BG=2GE,BPBE=3GE

由三角形面積公式得到S&BDE=35ACD￡

;點。為3c的中點

■S&BCE=2s△BOE=6s&GDE

..點E是4c的中點

故答案為12

14.（2021?上海市文來中學九年級期中）如圖，AABC三邊的中點分別為。，E,F.聯(lián)結(jié)C￡>

交AE于點G,交EF于點H,則￡>G:GH:CH=.

B

E

【答案】2：1：3

【解析】解：???￡/分別為CB、C4的中點,

?E尸是△ABC的中位線，

EF//AB、EF=、AB,

2

:ACHESACDB,

,CHCEEH\

…而一而一訪—5'

：.CH=DH,

?；AD=DB,

.HE_1

"~AD~2J

■:EF//AB，

：?4EGHs/\AGD,

.HGEH

??DC-AD-2?

：.DG：GH：CH=2：1：3,故答案為：2：1：3.

15.(2021?福建?龍巖初級中學九年級期中)已知：A(?3,0),B(0,3),C是平面內(nèi)任意一

點，AC=1,。是8C的中點，則。O的取值范圍是.

［答案］逑二I#。。逑口

22

【解析】解：如圖，由AC=1,A(-3,0),

.?.C在以A為圓心，1為半徑的A上，

作5關于原點。的對稱點用，則4(0,-3),連接并延長與圓交于C,C「

則此時4c最長，當C與G重合，B、C最短,

QA(-3,0),B(0,3),B,(0,-3),

\VAOB1為等腰直角三角形，?OAB\?04A45?,

\AB,-732+32=3>/2,

Bg=3&-1,4c=3拒+1,

QO為BC的中點，OB=0B「

.?.OO為△BCd的中位線，

:.DO=^BtC,

最大時為各色乜，最小時為逑」，

22

?一.OD的范圍為：3近-1#OD史1±L.

22

故答案為：逑」■#0。逑11.

22

16.（2021?江蘇江陰?九年級期中）如圖，矩形ABC。中，AB=3,AD=4,點E從點B出發(fā),

以1單位每秒的速度向點C運動，DF=|,G,，分別是AE,E尸的中點，在點E的整個

運動過程中，當AE_LEF時，點E的運動時間為____秒，線段G”掃過的圖形面積為

【答案】21

0

【解析】解：設當E廠時，點E的運動時間為I秒，則=f,

;矩形ABC。中，48=3,AO=4,

1,CD=AB=3,BC=AD=4,ZB=ZC=90°,

：?CE=BC—BE=4T,ZBAE+ZBEA=90°,

VDF=",

3

4

ACF=CD-DF=-,

3

'：AE±EF,

：.ZAEF=90°,

：.ZBEA-^-ZCEF=90°,

AZBAE=ZCEF,

/.ABAE-ACEF,

.BEAB

**CF-CE'

；?BE.CE=AB.CF，

4

r(4-z)=3x-

2

整理得：t-4/+4=0>解得：tt=t2-2,

即當AELEF時，點E的運動時間為2秒；

此時，線段GH掃過的圖形為圖中陰影部分，點M、N分別為點G、”的初始位置，如圖:

則點M、點G、點M點H分別為A8、AE,BF、EF的中點，

：.MG,NH分別是△ABE,△FBE的中位線，

AMG=-BE=l,MG//BE,NH=-BE=l,NH//BE,

22

MG=NH=1,MG//NH,MGA.AB,

四邊形MNHG是平行四邊形，

延長”N交AB于點P,如圖，

]3

貝|JPN_LA8,B.PM=BM-PB=-AB-PB=一一PB,

22

???點”是EF中點，PHUBC,

APB=1FC=ix(DC-DF)=lxf3-1]=|,

325

???PM=------=-,

236

???5陰影部分=蛆尸加二卜,二|,

即線段G"掃過的圖形面積為。，故答案為:2；J.

66

17.(2021?浙江?杭州市杭州中學九年級期中)如圖，在平行四邊形ABC。中，DE交BC于

F,交A8的延長線于￡,且NEDB=NC.

(1)求證：△ADEs/WBE；

(2)若。E=2VT^cm,AE=8cm,求。C的長.

【答案】(D見解析；(2)3cm

【解析】(I)證明：平行四邊形ABCO中，NA=NC,

VZ￡DB=ZC,

NA=NEDB,

又/E=/E,

:.△ADEs^DBE；

(2)解：平行四邊形A8CO中，DC^AB,

由(1)得△ADEs/\DBE,

.DEBE

'*AE-DE'

?DE2(2屈了.(、

BDE=---=------=5(cm),

AE8

AB=AE-BE=S-5=3(cm),

DC=AB=3(cm).

18.(2021?江蘇濱湖?九年級期中)如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在BC上，NC=ZDEA.

(1)求證：△ADES/XOEC；

(2)若CE=2,OE=4,求E8的長.

【答案】（1）見解析（2）6.

【解析】⑴證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，AD//BC,

：.NADE=NDEC,

又,：乙DEA=LC,

：.AADE^ADEC；

（2）解：VAADE^ADEC,

.DEAD

??~―?

ECDE

VCE=2,DE=49

.4AD

??——,

24

：.AD=8=BC.

：.EB=BC-CE=S-2=6.

19.如圖，已知菱形ABC。的對角線相交于點O,延長A3至點E,使BE=A2,連結(jié)C￡

⑴求證：BD=EC.

⑵當NZMB=60。時，四邊形BECD為菱形嗎?請說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）四邊形8EC力是菱形.理由見解析

【解析】（1）證明：四邊形ABCQ是菱形，

：.AB=CD,AB//CD,

又YB-

：.BE=CD,BE//CD,

???四邊形8EC。是平行四邊形，

：.BD=ECt

（2）解：結(jié)論：四邊形BECO是菱形.

理由：???四邊形A8CO是菱形，

：.AD=AB,

'：ZDAB=60°,

：.^ADB,ZiOCB都是等邊三角形，

：.DC=DB,

?；四邊形BECD是平行四邊形，

??.四邊形8EC力是菱形.

20.在AA8C中，AB=AC,點。在BC邊上，。是4c邊的中點，CEI/AD,交。。的延長

線于點E,連接AE.

（1）如圖1,求證：四邊形ACCE是平行四邊形；

（2）如圖2,若點。是BC邊的中點，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中所

有的直角三角形.

E

77￡

圖1圖2

【答案】（1）見解析；（2）AABD,ZV1CD,AADE,AACE./XCDE

【解析】解：（1）VCE/MD,

JZ.CED=/ADE,

:0是AC邊的中點，

：.0A=0C,

,在^COE和△A。。中，

乙CEO=ZADE

?ZCOE=ZA0D,

OC=OA

.,.△COE^AAOD（AAS）,

???CE=AD,

又,：CEHAD,

???四邊形4OCE是平行四邊形；

（2）丁點。是3c邊的中點，

:.DC=DB9

又由（1）可知四邊形AQCE是平行四邊形，

：.DC=AEfDCHAE,

：.DB=AE,

又?：DB//AE,

；,四邊形。84E是平行四邊形，

：.AB=DE,

9

y.：AB=AC1

：.DE=ACf

??,四邊形ADCE是平行四邊形，

???平行四邊形ADCE是矩形，

JZDCE=ZCEA=ZEAD=ZADC=90°,

/.N8DA=90°,

???直接二角形有：AABD,AACD,AADE,ZXACE,ACDE.

21.（2021?河南?鄭州市第二初級中學九年級期中）如圖，在。ABC。中，點E、尸分別在邊

AD.8c上，且NABE=/C￡＞尸.

（1）探究四邊形2EDF的形狀，并說明理由；

AG2

（2）連接AC,分別交BE、。尸于點G、H,連接BD交AC于點O.若加=；，AE=4,

OG3

求BC的長.

【答案】（1）四邊形A8C。是平行四邊形，理由見解析；（2）16

【解析】解：（1）四邊形是平行四邊形，理由如下：

???四邊形ABCD是平行四邊形，

AZABC=ZADCfAD//BC,

XVNABE;NCDF,

：.NEBF=NEDF,

：./DFC=NEDF=NEBF,

：.BE//DF,

???四邊形BEDF是平行四邊形；

（2）設AG=2z,

..AG2

,OG~3f

：.OG=3a,

AO=AG+OG—5a,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AO=OC,AD//BC.

：.AC=2AO=\Oa,

：.CG=AC-AG=Sa,

*：AD//BC,

：./\AGEsACGB,

.BCCG

,---=—---=—4A,

AEAG

：.BC=4AE=\6.

D

22.如圖，在山△ABC中，ZC=90°,AC=8,8c=6.動點P從點A出發(fā)，沿AB以每秒5

個單位長度的速度向終點B運動.當點P不與點A重合時，過點P作4c于點。，以

AP,AO為邊作口APED設點戶的運動時間為r秒.

（1）線段A。的長為（用含r的代數(shù)式表示）.

（2）當點E落在BC邊上時，求/的值.

（3）連結(jié)BE,當tan/CBE=；時，求，的值.

（4）若線段PE的中點為。，當點。落在AABC一邊垂直平分線上時，直接寫出/的值.

【答案】（1）今；⑵當點E落在8c邊上時，，的值為1；⑶或，=與；⑷滿足

條件的f的值為2:或2募5或1.

【解析】解：（1）如圖1中,

c

圖1

在RdA5C中，

VZC=90°,AC=8,BC=6,

JAB=\lAC、BC2=10,

???P￡>_L4C,

.ADAC

??cosxA=--=-----

APABf

.ADS

??一,.

5t10

AAD=4t,DP=3t,

故答案為：4/；

(2)如圖2中，當點E落在BC上時,

V四邊形APED是平行四邊形,

JDE=AP=5t,

???DE//AB^

ZA=ZCDE,

ZC=ZC,

AACDE?ACAB,

由(1)可得：AD=PE=4t,

.DECD

??----=-----，

ABAC

.5f8-4/

..——------，

108

解得：r=l,

???當點E落在8C邊上時，，的值為1；

(3)①如圖中，當0＜，＜1時，延長尸石交8C于點F,

?:ZC=ZCDP=ZDPE=90°,

???四邊形CQPF為矩形，

：?PF=CD=8—4t,CF=DP=3t,

：.EF=PF-PE=PF-AD=S-4t-4t=8-St,

BF=BC—CF=6—3t,

在BEF中，

￡

tanZCBE=—=

BF6-3r3

解得：t=臼;

②如圖中，當1＜Y2時，PE交BC于點、F,連接8E,

APB

?..四邊形APEC是平行四邊形，四邊形。尸尸為矩形,

，PF=CZ)=8-4f,PE=AD=4f,CF=DP=3t,

：.EF=PE-PF=41-(8-%=&-8,

BF=BC-CF=6-3t,

在Rt4BEF中,

tanNCBE工坐」

BF6—3/3

解得：t吟

綜上可得：t或f=R

79

(4)①如圖中，當點。落在線段AC的垂直平分線MN上時,

可得"

2

解得/=—;

②如圖中，當點0落在線段AB的垂直平分線MN上時,

解得f=|2|5;

③如圖中，當點。落在線段8c的垂直平分線上時，AP=PB,此時f=l,

綜上所述，滿足條件的/的值為12?或I25I或1.

題型二矩形的判定與性質(zhì)

1.（2021?山東陵城?九年級期中）如圖，是。。的直徑，弦拗〃分別過物N作

的垂線，垂足為C,D.以下結(jié)論：①AC=BD；②％W=?N;③若四邊形欣7W是正方形，

則朗￥=：力8；④若財為標的中點，則〃為如中點；所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②③B.①②④C.①②D.①②③④

【答案】B

【解析】解：如圖所示，連接〃協(xié)ON,BN,

9：MCI.AB,NDLAB,

：,/OCM=/ODN=90°,

?:MN"AB,

???NC物件N<ZM80°,

???NC依90°,

四邊形C則9是矩形，

???C/DN,

又???。/

，Rt/\oaf^Rt4ODN（JIL）,

：.0（=OD,/CO*/DON,

：.OA-O(=OB-OD^A(=BD,碗=RN，故①②正確;

當四邊形/7W是正方形時，，哈切，

?/OOOD.

：.CM=20C,

JOM=yj0C2^-CM2=y/5OC^

：.AB=20M=2#QC=也MN，故③錯誤；

若材是霸的中點，

:?/A0后4Mo即4B0l^60°,

:020B,

???△〃?仍是等邊三角形，

YNDL0B,

：.0D-BD,故④正確，

故選B.

2.如圖，在AABC中，Zfi=90°,45=12,BC=5,。為邊AC上一動點，于點E,

DF工BC于點、F,則E尸的最小值為()

60

A.4.8D.-D.13

1313

【答案】B

【解析】解：如圖，連接劭.

?.?在中，AB=\2,BC=3,ZB=90°,

：.Al^+BCi=ACt,即4^J122+52=13.

又；DE工AB于點E,DFX.BC于點八

...四邊形物方是矩形，

：.EF=BD.

:創(chuàng)的最小值即為Rt/X/bd斜邊上的高，

?LnM1"?nnnnABBC12x560

..—AB?BC=—AC?BDn,RJBD=-------=-----=——,

22AC1313

的最小值為容

故選B.

3.（2021?浙江?瑞安市安陽實驗中學九年級開學考試）如圖，四邊形A8C。和但G均為

正方形，點G在對角線BD上，點尸在邊BC上，連結(jié)BE,記△AEB和ABFG的面積分別為3

和邑.若4）=9,2St=3S2,則8E的長為（）

A.3

【答案】D

【解析】解：如圖，過點。作業(yè)kLSC,垂足為點從交加于點、M,

MD

BFNC

???四邊形ABC。為正方形,

:?AD=AB=9,N物〃=90°,ADIIBC,

：.AADB=AABD=^<>,

YMNLBC,AD//BC,

：.ZGMD=^GMA=Z.GNB=900,

又?：/BAD=90°,

???四邊形力網(wǎng)財為矩形，

:.BN=AM,MN=AB=9,

":/GMD=90",/ADB=45°,

???/極m=/劭冗=45°,

，設MG=MD=x,

則BN=AM=AD-MD=9-x,GN=MN-MG=9-x,

：.AM=GN,

??,四邊形月以燈為正方形，

:"E=AG,ZEAG=ZAGF=90°,

:"EAG=/DAB,

：.NEAB+ZBAG=ZDAG+/BAG,

:?/EAB=/DAG,

在△力助和△力〃。中，

AB=AD

<ZBAE=ZDAG,

AE=AG

「BA%：-DAG（弘S）,

*'?S]=S>ABE=S^ADG,BE=DG,

???/46P=N6:例=90°,

/.ZAGM+ZFGN=Z.AGM+^GAM=^°,

：./FGN=/GAM,

在△&4和△GW中，

/FGN=/GAM

,GN=AM,

NGNF=NAMG

:.△FGMXGAM（AS心、

:?FN=GM=x,

:?BF=BN-FN=9-x-x=9-2x,

二?2s產(chǎn)3邑，

2x、AD.MG=3、BFGN,

22

2xgx9x=3x；（9-2x）（9-x）,

解得：％=3,x2=13.5（不符合題意，舍去），

:.MG=MD=3,

:-DG=y/MG2-}-MD2=372，

:?BE=DG=36,

故選：D.

4.（2021?陜西?西安市匯文中學九年級開學考試）如圖，在AABC中，ZBAC=90°,AB=6,

AC=8,P為邊BC上一動點、,PEI.AB于E,玄_LAC于尸，M為EF的中點，則PM的

最小值為（）

【答案】A

【解析】解：連結(jié)力尸，如圖所示:

:?BOyj6+求=10=5,

■:PELAB,PF1AC,ZBAC=90°

???四邊形力根是矩形,

：.EF=AP.

二必是"的中點，

:.P后三AP,

根據(jù)直線外一點到直線上任一點的距離，垂線段最短，即第時，4。最短，同樣/我也

最短，

6x8

.,.當時，^—=4.8,

/最短時，上4.8,

當最短時，P后gA六2.4.

故選A.

5.如圖所示，在R/AABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,在RfAMPN中，ZMPN=90°,

點尸在AC上，PM交AB于點、E,PN交BC子息F.當PE=2P小時，4P的值為（）.

A

C

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】解：：在RfAABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,

'-AC=yjAB2+BC2=>/32+42=5>

過戶作PHLBC于H,PQVAB^-Q,

則NPQB=4PHB=4B=90°,

四邊形PQBH是矩形,

：.PH=BQ,/QP+9G=ZMPN,PQ//BC,

：.乙EPIKNQP和/EP【K2HP290°,

:./QP人HPF,

：./\PQEs叢PHF,

PQPE

-7F,又PB=2PF,

:.PQ-2Plb2BQ,

,:PQ〃BC,

.AQ=PQ=AP_

??茄一疏―前，

設除x,則403-x,Pgx,

.3-x2xAP

?.----=—=---，

345

解得：x=—,4片3,

故選：C.

6.（2021?黑龍江牡丹江?模擬預測）如圖，矩形力及力的邊切上有一點反/的￡=22.5

°,EFLAB,垂足為凡將△4跖繞著點尸順時針旋轉(zhuǎn)，使得點4的對應點M落在必上，點

夕恰好落在點6處，連接宓下列結(jié)論：①網(wǎng)LLAE；②四邊形成饗是正方形；③/網(wǎng)/=30

°；④S四邊形8.：5皿=（2應+1）:1.其中結(jié)論正確的序號是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.③④

【答案】C

【解析】解：如圖，延長5獷交于陽連接出/,

B

?：EKLAB,

AFE=NEFB=9Q0,

??,/%打=22.5°,

：.Z￡AF=90°-N為￡=67.5°,

???將△力麼繞著點尸順時針旋轉(zhuǎn)得△朗叨，

:?MF=AF,FB=FE,/FBM=/AEF=/DAE=22.5。,

：.ZEAF+ZFRIf=90°,

AZAW=90°,

：.BMLAE,故①正確；

??,四邊形力靦是矩形，

：.ZABC=ZC=90°,

VZ￡R?=90°,

，四邊形"比、是矩形，

又?：EF=BF,

???矩形同比、是正方形，故②正確；

???/叱=45°,

???NEBM=ZEBF-ZFBM=45°-22.5°=22.5°,

故③錯誤；

VZAEl/=90°,AF=FAf,

N物F=45°,AM=yflFM，

ZE4M=67.5°-45°=22.5°,

JZAEM=ZM4￡，

EM=AM=?FM，

.?.EF=EM+FM=^y/2+l)FM,

**?SEFB：SBFM=(V^+1)：1,

又??,四邊形比"是正方形，

???S四邊形BCEF=2S/\EFB,

：

；?S四邊形5C￡MSMFM=(&+1)：1

故④正確，

J正確的是：①②④，

故選：C.

7.已知點/是拋物線p=ax2—4ax+4a+3(a>0)的圖象上的一點

(1)當a=2時，該拋物線的頂點坐標為；

(2)過點/作軸于點G以47為斜邊作燈△相，和燈△的C,使得以7〃/〃，則劭

的最小值為___________

【答案】(2,3)3

【解析】解：(1)當。=2時，y=2x2-8x+l1=2(x-2)2+3,

.?.拋物線的頂點坐標為:(2,3)；

(2)：A3C和△D4C都為宜角三角形，

BC//AD,

四邊形ABCZ)為矩形，

對角線5D=AC，

即AC最短時，BD最短,

a>0>△=/-4ac=16a2-4a(4a+3)=-12a<0,

..?拋物線開口向匕拋物線與X軸沒有交點，最低點為頂點，

當y=0時，ax2-4ax++3=0,

即a(a-2月一4a+4a+3=0得a(x-2)2+3=0,

無論。為任何數(shù)，頂點坐標都為(2,3),

...當AC最短時，即為頂點到了軸得距離，即為3,

/.8D最小值為3.

8.(2021?山西太原?九年級期中)如圖，在平行四邊形中，對角線4C與初相交于

點0,△/加是等邊三角形，%=8.熊平分/胡〃交比1于點￡,連接第請從力，6兩題中

任選一題作答

(1)線段/￡1的長等于______.

(2)線段應1的長等于.

【答案】還4夜-勺區(qū)##

33

【解析】解：；四邊形｛朋是平行四邊形,

?.0A=0C,OB-OD,

：△46。是等邊三角形，

：.0歸OB,NABO=NBAO=60°,

：.()^0C=0B=0D,B|JAOBD,

???平行四邊形/曾是矩形，

在打△/座中，Z/f6^=30°,BO8.

：.AC=2AB,AB-+BC2=AC2,

?.AJ?2+82=（2AB）2,

.?/廬延，

3

(1),:AE平分NBAD交BC丁點、E,

胡氏45°,

...△4跖是等腰直角三角形，

AB=^AB-+BE1=—;

3

故答案為：蜒；

3

(2)過點后作碎小于點人，

?.?△力加是等邊三角形，

:.AB=OB=典,N4盼/物(9=60°,

ZOBC=ZOCB=30°,

3

???/^75。，

阪180°-60°-75°=45°,

...△施尸是等腰直角三角形,

O2EF,

?.?△力?是等腰直角三角形,

:.AB=B&W^,

3

3

在放ZXW中，/況戶30°,

:.E*EO4--

23

二詆應如向w

故答案為：4&-上而?.

3

9.（2021?遼寧?沈陽市實驗學校九年級期中）如圖，矩形/附9中，對角線IC、劭相交

于點0,過點。作0ELBD交AD于點、E.已知A42,△屣的面積為之，則的長為—

【答案】1.5

【解析】解：如圖所示,

*?SBDE=2SBOE=3，

：.-DE-AB=-,

22

又?:AB=2,

在R/A4BE中，=爐-A8?=1.5；

故答案是：1.5.

10.如圖，正方形制中，點￡是對角線切上一點，目BE=2DE,連接/￡并延長交切于

G,點尸是6c邊上一點，旦CF=2BF,連接46、EF、FG.下列四個結(jié)論：①〃G=CG：②AF

=AG；③必制=8?■,；?AE=EF.其中正確的結(jié)論是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

D

BFc

【答案】①③④

【解析】解：?正方形A8C2

AB//CD,AB=CD,

△DEG-ABEA而BE=2DE,

DGDE1EG

"ABBEAE'

DG=^AB=^CD,

：.DG=CG,故①正確；

如圖，設冊處而CF=2BF,

則上2/小AB-A廬3/n,DG-CG--m,

在Rt/\ABF中，AF=dAB?+BF?=Mm,

而AG=y]AD2+DG2=-m,

2

";"AG,故②錯誤；

過點￡作四的平行線，交力〃于亂交用于M可得四邊形.的勿是矩形,

XAMEsXADG,

AMAE2

/.---=——=一，

ADAG3

,:AD=3m,

.??422R，D\f=m,NC=mf則/管叱心2mF!^B2BF=m,

YMD//BN,

：.AMDESNBE,且相似比y,

，修勿，￡心2勿,

在RtAEFN中,E戶4EN?+FN?=鬲,

在Rt/XAME中,AE=>JAM2+AE2=y/5m,

：.AE=EF,故④正確;

2

SA”=—ABF=—X3n:XA;：=—/n,S=-FC^CG=—x2m*—m=—m2,

2fcg2

SABF=Sb'CG?故③正確;

綜上：正確的有：①③④

故答案為：①③④

11.（2021?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，矩形A3CZ）中，AB=6,BC=8,對角線BD的

垂直平分線EF交于點E、交BC于點F,則線段EF的長為

【答案】y

【解析】解:如圖:

四邊形A8C￡＞是矩形,

:.ZA=90°,又A8=6,AD=BC=8,

??.BD=」AB?+AD2=10,

是3。的垂直平分線,

.-.OB=OD=5,ZBOF=90°,乂NC=90°,

ABOF^SBCD,

OFBO

~CD~~BC

OF5

~6~~S

解得，。尸==，

4

四邊形A88是矩形，

AD//BC,ZA=90°,

:./EDO=NFBO,

所是8。的垂直平分線,

:.BO=DO,EFA.BD,

在ADE0和中，

2EDO=NFBO

<BO=DO,

NEOD=ZFOB

:.^DEO^SBFO(ASA),

：.OE=OF,

EF^2OF