3.3從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式TOC\o"1-4"\h\z\u3.3從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式 1知識框架 1一、基礎知識點 1知識點1二次函數(shù)的零點及探究 2知識點2一元二次不等式的概念以及三個“二次”的關系 4知識點3分式不等式的解法 6二、典型題型 7題型1解含參一元二次不等式 9題型2由一元二次不等式的解確定參數(shù) 11三、難點題型 11題型1一元二次不等式根分布問題 13題型2一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題 16題型3一元二次不等式在某區(qū)間上恒成立問題 18題型4一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題 21四、活學活用培優(yōu)訓練 31一．基礎知識點知識點1二次函數(shù)的零點及探究：一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)當函數(shù)值取零時自變量x的值，即二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的交點的橫坐標，也稱為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零點．當a>0時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點之間的關系如下表所示：判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個相異的實數(shù)根x1,2＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)有兩個相等的實數(shù)根x1,2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零點有兩個零點x1,2＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)有一個零點x＝－eq\f(b,2a)無零點例1求下列函數(shù)的零點．(1)y＝2x2－3x－2；(2)y＝ax2－x－1；(3)y＝ax2＋bx＋c,其圖象如圖所示．例2若a>2，求證：函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有兩個零點．例3(1)判斷二次函數(shù)y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)是否存在零點；(2)若二次函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的兩個零點均為正數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．知識點2一元二次不等式的概念以及三個“二次”的關系：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式不等式，叫作一元二次不等式．三個“二次”的關系：設二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0方程ax2＋bx＋c＝0的根有兩個相異的實數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象ax2＋bx＋c＞0的解集(－∞，x1)∪(x2，＋∞)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))Rax2＋bx＋c＜0的解集(x1，x2)??例1已知關于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}，求關于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．例2(變結(jié)論)例1中的條件不變，求關于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．例3(變條件)若將例1中的條件“關于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}”變?yōu)椤瓣P于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))”．求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．知識點3分式不等式的解法：主導思想：化分式不等式為整式不等式類型同解不等式eq\f(ax＋b,cx＋d)＞0(＜0)(其中a，b，c，d為常數(shù))法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b＞0＜0,cx＋d＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b＜0＞0,cx＋d＜0))法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)eq\f(ax＋b,cx＋d)≥0(≤0)法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≥0≤0,cx＋d＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≤0≥0,cx＋d＜0))法二：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋bcx＋d≥0≤0,cx＋d≠0))eq\f(ax＋b,cx＋d)＞keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(<k,≥k,≤k))(其中k為非零實數(shù))先移項通分轉(zhuǎn)化為上述兩種形式例1解下列不等式：(1)eq\f(2x＋1,x－3)<0；(2)eq\f(2x＋1,3－x)≥1.例2解下列不等式：(1)eq\f(1－x,3x＋2)≤0；(2)eq\f(2x－1,3－4x)>1.二．典型題型題型1解含參一元二次不等式解題技巧：解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)化標準．通過對不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項系數(shù)為正．(2)判別式．對不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計算對應方程的判別式．(3)求實根．求出相應的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根．(4)畫草圖．根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數(shù)的草圖．(5)寫解集．根據(jù)圖象寫出不等式的解集．例1若關于x的不等式的解集中恰有3個整數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．例2（多選題）已知，關于x的不等式的解集可能是（

）A． B．C． D．例3設集合，．(1)當m=4時，求；(2)若，求實數(shù)m的取值范圍．題型2由一元二次不等式的解確定參數(shù)解題技巧：已知以a，b，c為參數(shù)的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集時，一般遵循：(1)根據(jù)解集來判斷二次項系數(shù)的符號；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式；(3)約去a,將不等式化為具體的一元二次不等式求解．例1已知不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．例2（多選題）已知的解集是，則下列說法正確的是（

）A．不等式的解集是B．的最小值是C．若有解，則m的取值范圍是或D．當時，，的值域是，則的取值范圍是例3已知二次函數(shù)(，，)只能同時滿足下列三個條件中的兩個：①的解集為；②；③的最小值為．(1)請寫出滿足題意的兩個條件的序號，并求，，的值；(2)求關于的不等式的解集．三．難點題型題型1一元二次不等式根分布問題解題技巧：1．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零點的分布探究結(jié)合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判別式Δ＝b2－4ac和根與系數(shù)的關系處理(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1＋x2>0，,x1x2>0))?函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有兩個正零點．(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1＋x2<0，,x1x2>0))?函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有兩個負零點．(3)x1x2<0?函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有兩個異號零點．2．二次函數(shù)的零點如果能夠求出，再研究其分布就很方便．例1關于x的方程恰有一根在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C．D．例2（多選題）已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．不等式的解集可以是B．不等式的解集可以是C．函數(shù)在上可以有兩個零點D．“方程有一個正根和一個負根”的充要條件是“”例3已知二次函數(shù).(1)若該二次函數(shù)有兩個互為相反數(shù)的零點，解不等式；(2)若關于x的方程的兩個實根均大于且小于4，求實數(shù)t的取值范圍．題型2一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題解題技巧：1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a＝0時，b＝0，c>0；當a≠0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a＝0時，b＝0，c<0；當a≠0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))3．y≤a恒成立?a≥M(函數(shù)的最大值為M)，y≥a恒成立?a≤m(函數(shù)的最小值為m)．例1在R上定義運算.若不等式對任意實數(shù)x都成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．例2（多選題）下列條件中，為“關于的不等式對恒成立”的充分不必要條件的有（

）A． B．C． D．例3設.(1)若不等式對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)解關于x的不等式.題型3一元二次不等式在某區(qū)間上恒成立問題解題技巧：1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a＝0時，b＝0，c>0；當a≠0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a＝0時，b＝0，c<0；當a≠0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))3．y≤a恒成立?a≥M(函數(shù)的最大值為M)，y≥a恒成立?a≤m(函數(shù)的最小值為m)．例1已知，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例2（多選題）命題“，”為真命題的一個充分條件為（

）A． B．C． D．例3設函數(shù)．(1)若對于，恒成立，求的取值范圍；(2)若對于，恒成立，求的取值范圍．題型4一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題解題技巧：1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a＝0時，b＝0，c>0；當a≠0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a＝0時，b＝0，c<0；當a≠0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))3．y≤a恒成立?a≥M(函數(shù)的最大值為M)，y≥a恒成立?a≤m(函數(shù)的最小值為m)．例1若兩個正實數(shù)滿足，且不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例2（多選題）已知，關于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數(shù)，則a的值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．3例3已知命題，，命題，.(1)若命題和命題q有且只有一個為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若命題p和命題q至少有一個為真命題，求實數(shù)a的取值范圍.四．活學活用培優(yōu)訓練一、單選題1．已知關于x的不等式的解集是，則關于x的不等式的解集是（

）A． B．C． D．2．已知，，則a的最大值為（

）A．1 B． C． D．3．已知關于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（

）A． B．不等式的解集為C． D．不等式的解集為4．設，若關于x的不等式的解集中的整數(shù)解恰有3個，則（

）．A． B．C． D．5．已知集合，．設p：，q：，若p是q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)滿足對任意，恒有，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題7．下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若關于的不等式的解集為，則D．若，則“”是“”的必要不充分條件8．下列結(jié)論錯誤的是（

）A．若函數(shù)對應的方程沒有根，則不等式的解集為R；B．不等式在R上恒成立的條件是且；C．若關于x的不等式的解集為R，則；D．不等式的解為.9．解關于的不等式，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．當時，原不等式解集可能為B．當時，原不等式解集可能為C．當時，原不等式解集不可能為D．當時，原不等式解集不可能為三、填空題10．方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根，的取值范圍為__．11．已知命題“，”是假命題，則m的取值范圍是_________.12．設矩形的周長為，把它沿對角線對折后，設交于點，此時點記作，如圖所示，設，，則△的面積的最大值為______．四、解答題13．在，，存在集合，非空集合，使得這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．問題：求解實數(shù)，使得命題，，命題：______都是真命題．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．14．已知二次函數(shù)．(1)若該二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，且兩交點的橫坐標互為相反數(shù)，解不等式；(2)若關于的方程的兩個實根均大于且小于，求實數(shù)的取值范圍．15．已知函數(shù)，．(1)若不等式的解集為[1，2]，求不等式的解集；(2)若對于任意的，，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)已知，若方程在有解，求實數(shù)a的取值范圍．16．某光伏企業(yè)投資萬元用于太陽能發(fā)電項目，年內(nèi)的總維修保養(yǎng)費用為萬元，該項目每年可給公司帶來萬元的收入．假設到第年年底，該項目的純利潤為萬元．（純利潤累計收入總維修保養(yǎng)費用投資成本）(1)寫出純利潤的表達式，并求該項目從第幾年起開始盈利．(2)若干年后，該公司為了投資新項目，決定轉(zhuǎn)讓該項目，現(xiàn)有以下兩種處理方案：①年平均利潤最大時，以萬元轉(zhuǎn)讓該項目；②純利潤最大時，以萬元轉(zhuǎn)讓該項目．你認為以上哪種方案最有利于該公司的發(fā)展？請說明理由．3.3從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式TOC\o"1-4"\h\z\u3.3從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式 1知識框架 1一、基礎知識點 1知識點1二次函數(shù)的零點及探究 2知識點2一元二次不等式的概念以及三個“二次”的關系 4知識點3分式不等式的解法 6二、典型題型 7題型1解含參一元二次不等式 9題型2由一元二次不等式的解確定參數(shù) 11三、難點題型 11題型1一元二次不等式根分布問題 13題型2一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題 16題型3一元二次不等式在某區(qū)間上恒成立問題 18題型4一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題 21四、活學活用培優(yōu)訓練 31一．基礎知識點知識點1二次函數(shù)的零點及探究：一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)當函數(shù)值取零時自變量x的值，即二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的交點的橫坐標，也稱為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零點．當a>0時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點之間的關系如下表所示：判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個相異的實數(shù)根x1,2＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)有兩個相等的實數(shù)根x1,2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零點有兩個零點x1,2＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)有一個零點x＝－eq\f(b,2a)無零點例1求下列函數(shù)的零點．(1)y＝2x2－3x－2；(2)y＝ax2－x－1；(3)y＝ax2＋bx＋c,其圖象如圖所示．[解](1)由2x2－3x－2＝0解得x1＝2，x2＝－eq\f(1,2)，所以函數(shù)y＝2x2－3x－2的零點為2和－eq\f(1,2).(2)(ⅰ)當a＝0時，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函數(shù)的零點為－1.(ⅱ)當a≠0時，由ax2－x－1＝0得Δ＝1＋4a，當Δ<0，即a<－eq\f(1,4)時，相應方程無實數(shù)根，函數(shù)無零點；當Δ＝0，即a＝－eq\f(1,4)時，x1＝x2＝－2，函數(shù)有唯一的零點－2.當Δ>0，即a>－eq\f(1,4)時，由ax2－x－1＝0得x1,2＝eq\f(1±\r(1＋4a),2a)，函數(shù)有兩個零點eq\f(1＋\r(1＋4a),2a)和eq\f(1－\r(1＋4a),2a).綜上：當a＝0時，函數(shù)的零點為－1；當a＝－eq\f(1,4)時，函數(shù)的零點為－2；當a>－eq\f(1,4)時，函數(shù)有兩個零點eq\f(1＋\r(1＋4a),2a)和eq\f(1－\r(1＋4a),2a)；當a<－eq\f(1,4)時，相應方程無實數(shù)根，函數(shù)無零點．(3)由函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標為－3和1，所以該函數(shù)的零點為－3和1.例2若a>2，求證：函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有兩個零點．[思路點撥]要證明二次函數(shù)有兩個零點，需要證明一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有兩個不相等實數(shù)根．[證明]考察一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，因為Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)，又a>2，所以Δ>0，所以函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有兩個零點．例3(1)判斷二次函數(shù)y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)是否存在零點；(2)若二次函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的兩個零點均為正數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．[思路點撥](1)直接求出函數(shù)的零點，再加以判定．(2)結(jié)合相應一元二次方程的判別式和根與系數(shù)的關系進行研究．[解](1)由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋eq\r(2)，x2＝－1－eq\r(2)，因為－3<－1－eq\r(2)<－2，所以二次函數(shù)y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)存在零點．(2)因為函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4的兩個零點均為正數(shù)，所以(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有兩個不相等的正實數(shù)根．顯然a≠2.由一元二次方程的根與系數(shù)的關系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a－2a＋2>0，,x1＋x2＝－\f(－2a－2,a－2)＝2>0，,x1x2＝\f(－4,a－2)>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>2或a<－2，,a<2，))所以a<－2.即實數(shù)a的取值范圍(－∞，－2)．知識點2一元二次不等式的概念以及三個“二次”的關系：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式不等式，叫作一元二次不等式．三個“二次”的關系：設二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0方程ax2＋bx＋c＝0的根有兩個相異的實數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象ax2＋bx＋c＞0的解集(－∞，x1)∪(x2，＋∞)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))Rax2＋bx＋c＜0的解集(x1，x2)??例1已知關于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}，求關于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．[解]法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，由根與系數(shù)的關系可知eq\f(b,a)＝－5，eq\f(c,a)＝6.由a<0知c<0，eq\f(b,c)＝eq\f(－5,6)，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)>0，即x2－eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)>0，解得x<eq\f(1,3)或x>eq\f(1,2)，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3)))或x>\f(1,2))).法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a?b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0?6aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<0，故原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3)))或x>\f(1,2))).例2(變結(jié)論)例1中的條件不變，求關于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．[解]由根與系數(shù)的關系知eq\f(b,a)＝－5，eq\f(c,a)＝6且a<0.∴c<0，eq\f(b,c)＝－eq\f(5,6)，故不等式cx2－bx＋a>0，即x2－eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)<0，即x2＋eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)<0.解得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<－\f(1,3))))).例3(變條件)若將例1中的條件“關于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}”變?yōu)椤瓣P于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))”．求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．[解]法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))知a＜0.又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×2＝eq\f(c,a)＜0，則c＞0.又－eq\f(1,3)，2為方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，∴－eq\f(b,a)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(b,a)＝－eq\f(5,3).又eq\f(c,a)＝－eq\f(2,3)，∴b＝－eq\f(5,3)a，c＝－eq\f(2,3)a，∴不等式變?yōu)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a))x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)a))x＋a＜0，即2ax2＋5ax－3a＞0.又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，所求不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3＜x＜\f(1,2))))).法二：由已知得a＜0且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋2＝－eq\f(b,a)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×2＝eq\f(c,a)知c＞0，設方程cx2＋bx＋a＝0的兩根分別為x1，x2，則x1＋x2＝－eq\f(b,c)，x1·x2＝eq\f(a,c)，其中eq\f(a,c)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×2)＝－eq\f(3,2)，－eq\f(b,c)＝eq\f(－\f(b,a),\f(c,a))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×2)＝－eq\f(5,2)，∴x1＝－3，x2＝eq\f(1,2).∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3＜x＜\f(1,2))))).知識點3分式不等式的解法：主導思想：化分式不等式為整式不等式類型同解不等式eq\f(ax＋b,cx＋d)＞0(＜0)(其中a，b，c，d為常數(shù))法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b＞0＜0,cx＋d＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b＜0＞0,cx＋d＜0))法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)eq\f(ax＋b,cx＋d)≥0(≤0)法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≥0≤0,cx＋d＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≤0≥0,cx＋d＜0))法二：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋bcx＋d≥0≤0,cx＋d≠0))eq\f(ax＋b,cx＋d)＞keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(<k,≥k,≤k))(其中k為非零實數(shù))先移項通分轉(zhuǎn)化為上述兩種形式例1解下列不等式：(1)eq\f(2x＋1,x－3)<0；(2)eq\f(2x＋1,3－x)≥1.[解](1)不等式eq\f(2x＋1,x－3)<0可轉(zhuǎn)化為(2x＋1)(x－3)<0，即－eq\f(1,2)<x<3.∴原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<3)))).(2)原不等式可化為eq\f(2x＋1,3－x)－1≥0即eq\f(3x－2,3－x)≥0.不等式等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2x－3≤0,x≠3))，解得eq\f(2,3)≤x<3.∴原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)≤x<3)))).例2解下列不等式：(1)eq\f(1－x,3x＋2)≤0；(2)eq\f(2x－1,3－4x)>1.[解](1)由eq\f(1－x,3x＋2)≤0知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－13x＋2≥0,3x＋2≠0))，解得x≥1或x<－eq\f(2,3)，即原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1或x<－\f(2,3))))).(2)不等式eq\f(2x－1,3－4x)>1可化為eq\f(2x－1,3－4x)－1>0，即eq\f(6x－4,4x－3)<0，所以(6x－4)(4x－3)<0，∴eq\f(2,3)<x<eq\f(3,4)，∴原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)<x<\f(3,4))))).二．典型題型題型1解含參一元二次不等式解題技巧：解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)化標準．通過對不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項系數(shù)為正．(2)判別式．對不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計算對應方程的判別式．(3)求實根．求出相應的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根．(4)畫草圖．根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數(shù)的草圖．(5)寫解集．根據(jù)圖象寫出不等式的解集．例1若關于x的不等式的解集中恰有3個整數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設可得，討論的大小關系求解集，并判斷滿足題設情況下m的范圍即可.【詳解】不等式，即，當時，不等式解集為，此時要使解集中恰有3個整數(shù)，這3個整數(shù)只能是4，5，6，故；當時，不等式解集為，此時不符合題意；當時，不等式解集為，此時要使解集中恰有3個整數(shù)，這3個整數(shù)只能是0，1，2，故；故實數(shù)m的取值范圍為．故選：C例2（多選題）已知，關于x的不等式的解集可能是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】分，利用一元二次不等式的解法求解.【詳解】當時，不等式等價于，解得；當時，不等式的解集是；當時，不等式等價于，解得或；當時，不等式的解集為；當時，不等式等價于，解得或．故選:BCD．例3設集合，．(1)當m=4時，求；(2)若，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）解不等式可得到集合A,B,根據(jù)集合的交集運算即可求得答案；（2）由題意可推得，分類討論，確定集合B，列出不等式，可求得實數(shù)m的取值范圍．（1）由解得．∴．當m＝4時，,∴．（2）∵，∴．即．當時，m＝－1,符合題意；當時，若，，則,顯然，不符合題意；若，即，則,∵，∴，解得,∴．綜上，實數(shù)m的取值范圍為．題型2由一元二次不等式的解確定參數(shù)解題技巧：已知以a，b，c為參數(shù)的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集時，一般遵循：(1)根據(jù)解集來判斷二次項系數(shù)的符號；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式；(3)約去a,將不等式化為具體的一元二次不等式求解．例1已知不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由題給條件求得，，，再解不等式即可.【詳解】關于x的不等式的解集為，且和1是方程的兩個根，則，，關于x的不等式，即，，解得，故不等式的解集為，故選：A例2（多選題）已知的解集是，則下列說法正確的是（

）A．不等式的解集是B．的最小值是C．若有解，則m的取值范圍是或D．當時，，的值域是，則的取值范圍是【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，可得，解不等式判斷A；利用均值不等式計算判斷B；利用對勾函數(shù)求范圍判斷C；探討二次函數(shù)值域判斷D作答.【詳解】因的解集是，則是關于x的方程的二根，且，于是得，即，對于A，不等式化為：，解得，A正確；對于B，，，當且僅當，即時取“=”，B正確；對于C，，令，則在上單調(diào)遞增，即有，因有解，則，解得或，C不正確；對于D，當時，，則，，依題意，，由得，或，因在上的最小值為-3，從而得或，因此，D正確.故選：ABD例3已知二次函數(shù)(，，)只能同時滿足下列三個條件中的兩個：①的解集為；②；③的最小值為．(1)請寫出滿足題意的兩個條件的序號，并求，，的值；(2)求關于的不等式的解集．【答案】(1)滿足題意的條件為①③，，，；(2)答案見解析﹒【分析】(1)分別假設條件①②和條件②③符合題意，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)和題意即可判斷滿足題意的條件，根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)即可求出a、b、c的值；(2)化簡不等式，根據(jù)m的范圍討論不等式解集即可．（1）假設條件①②符合題意．∵，二次函數(shù)圖象開口向下，∴的解集不可能為，不滿足題意．假設條件②③符合題意．由，知二次函數(shù)圖象開口向下，無最小值，不滿足題意．∴滿足題意的條件為①③．∵不等式的解集為，∴，3是方程的兩根，∴，，即，．∴函數(shù)在處取得最小值，∴，即，∴，．（2）由(1)知，則，即，即．∴當時，不等式的解集為{或}；當時，不等式的解集為R；當時，不等式的解集為{或}．三．難點題型題型1一元二次不等式根分布問題解題技巧：1．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零點的分布探究結(jié)合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判別式Δ＝b2－4ac和根與系數(shù)的關系處理(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1＋x2>0，,x1x2>0))?函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有兩個正零點．(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1＋x2<0，,x1x2>0))?函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有兩個負零點．(3)x1x2<0?函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有兩個異號零點．2．二次函數(shù)的零點如果能夠求出，再研究其分布就很方便．例1關于x的方程恰有一根在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C．D．【答案】D【分析】把方程的根轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點問題，恰有一個零點屬于，分為三種情況，即可得解.【詳解】方程對應的二次函數(shù)設為：因為方程恰有一根屬于，則需要滿足：①，，解得：；②函數(shù)剛好經(jīng)過點或者，另一個零點屬于，把點代入，解得：，此時方程為，兩根為，，而，不合題意，舍去把點代入，解得：，此時方程為，兩根為，，而，故符合題意；③函數(shù)與x軸只有一個交點，橫坐標屬于，，解得，當時，方程的根為，不合題意；若，方程的根為，符合題意綜上：實數(shù)m的取值范圍為故選：D例2（多選題）已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．不等式的解集可以是B．不等式的解集可以是C．函數(shù)在上可以有兩個零點D．“方程有一個正根和一個負根”的充要條件是“”【答案】BCD【分析】利用反證法可判斷A選項；取，可判斷B選項；取，可判斷C選項；利用韋達定理、判別式結(jié)合充分條件、必要條件的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，若不等式的是，則且，可得，由，解得，與題意不符，A錯；對于B選項，取，，則，此時不等式的解集為，B對；對于C選項，取，，則，由可得，解得或，C對；對于D選項，若方程有一個正根和一個負根，則，可得，即“方程有一個正根和一個負根”“”，若，對于方程，則，故方程有兩個不等的實根、，則，此時方程有一個正根和一個負根，又方程有一個正根和一個負根“”，因此，“方程有一個正根和一個負根”的充要條件是“”，D對.故選：BCD.例3已知二次函數(shù).(1)若該二次函數(shù)有兩個互為相反數(shù)的零點，解不等式；(2)若關于x的方程的兩個實根均大于且小于4，求實數(shù)t的取值范圍．【答案】(1)或(2)【分析】（1）設二次函數(shù)的兩個零點分別為，，由求出t，直接解得；（2）由根的分布情況列不等式組，求出實數(shù)t的取值范圍．（1）設二次函數(shù)的兩個零點分別為，，由已知得，而，所以，故，不等式即，解得或，故不等式的解集為或.（2）因為方程的兩個實根均大于且小于4，所以，即，解得：，即實數(shù)t的取值范圍為.題型2一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題解題技巧：1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a＝0時，b＝0，c>0；當a≠0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a＝0時，b＝0，c<0；當a≠0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))3．y≤a恒成立?a≥M(函數(shù)的最大值為M)，y≥a恒成立?a≤m(函數(shù)的最小值為m)．例1在R上定義運算.若不等式對任意實數(shù)x都成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用新定義得，令，轉(zhuǎn)化為，利用配方法求最值可得，再解一元二次不等式可得答案.【詳解】由，得，即，令，此時只需，又，所以，即，解得.故選：A.例2（多選題）下列條件中，為“關于的不等式對恒成立”的充分不必要條件的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】對討論：；，；，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，解不等式可得的取值范圍，再由充要條件的定義判斷即可.【詳解】因為關于的不等式對恒成立，當時，原不等式即為恒成立；當時，不等式對恒成立，可得，即，解得：.當時，的圖象開口向下，原不等式不恒成立，綜上：的取值范圍為：.所以“關于的不等式對恒成立”的充分不必要條件的有或.故選：BC.例3設.(1)若不等式對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)解關于x的不等式.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）不等式轉(zhuǎn)化為對一切實數(shù)成立，列不等式即可求解；（2）不等式轉(zhuǎn)化為，對a進行分類討論求解即可.（1）由題意可得對一切實數(shù)成立，當時，不滿足題意；當時，得.所以實數(shù)a的取值范圍為.（2）由題意可得，當時，不等式可化為，所以不等式的解集為，當時，，當時，，①當，解集，②當，解集為或，③當，解集為或.綜上所述，當，不等式的解集為或，當，不等式的解集為，當，不等式的解集為或，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為.題型3一元二次不等式在某區(qū)間上恒成立問題解題技巧：1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a＝0時，b＝0，c>0；當a≠0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a＝0時，b＝0，c<0；當a≠0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))3．y≤a恒成立?a≥M(函數(shù)的最大值為M)，y≥a恒成立?a≤m(函數(shù)的最小值為m)．例1已知，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】參變量分離，得到在上恒成立問題.【詳解】由，恒成立，可得在上恒成立，即即.故選：D.例2（多選題）命題“，”為真命題的一個充分條件為（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由題設命題知：在上恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)范圍，結(jié)合充分條件的定義判斷符合要求的參數(shù)范圍.【詳解】令，則在上恒成立，∴或，可得.∴A、B、C都是命題為真的充分條件，而D不是.故選：ABC例3設函數(shù)．(1)若對于，恒成立，求的取值范圍；(2)若對于，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知可得對于恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求解函數(shù)的最小值即可；（2）根據(jù)已知可得對于，恒成立，構(gòu)造關于的函數(shù)，由即可求解的取值范圍.（1）解：若對于，恒成立，即對于恒成立，即對于恒成立．令，，則，故，所以的取值范圍為．（2）解：對于，恒成立，即恒成立，故恒成立，令，則，解得，所以的取值范圍為．題型4一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題解題技巧：1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a＝0時，b＝0，c>0；當a≠0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a＝0時，b＝0，c<0；當a≠0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))3．y≤a恒成立?a≥M(函數(shù)的最大值為M)，y≥a恒成立?a≤m(函數(shù)的最小值為m)．例1若兩個正實數(shù)滿足，且不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式求得的最小值為，把不等式有解，轉(zhuǎn)化為，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意，正實數(shù)滿足，則，當且僅當時，即時，等號成立，即的最小值為，又由不等式有解，可得，即，解得或，即實數(shù)的取值范圍為.故選：C.例2（多選題）已知，關于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數(shù)，則a的值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】ABC【分析】設，其圖像是開口向下，對稱軸是，如圖所示，若關于的一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方法得出，從而解出所有符合條件的的值．【詳解】設，其圖像開口向下，對稱軸是，如圖所示.若關于的一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數(shù)，則，即，解得：，又，故可以為0，1，2故選：ABC【點睛】關鍵點點睛：本題考查了有特殊要求的一元二次不等式的解法，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性結(jié)合圖像得出是關鍵的關鍵，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．例3已知命題，，命題，.(1)若命題和命題q有且只有一個為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若命題p和命題q至少有一個為真命題，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)或【分析】（1）分為兩種情況，命題為真、q為假時和為假、q為真時實數(shù)a的取值范圍；進而求出最終結(jié)果；（2）法一：分別求出p真q假，p假q真，p真q真時a的取值范圍，再求并集；法二：先考慮反面，即p，q均為假命題時a的取值范圍，再求補集.(1)若命題，為真命題，則，即.所以若為真命題，則.若命題，為真命題，則，即.若為真命題，則.①當為真，q為假時，為真，即所以；②當為假，q為真時，p為真，即無解，舍去.綜上所述，當命題和命題q有且只有一個為真命題時，a的取值范圍為.(2)法一：①當p真q假時，為真，即所以；②當p假q真時，為真，即所以；③當p真q真時，無解，舍去.綜上所述，a的取值范圍為或.法二：考慮p，q至少有一個為真命題的反面，即p，q均為假命題，即為真，且為真，則解得，即，故p，q至少有一個為真命題時，a的取值范圍為的補集.故a的取值范圍為或.四．活學活用培優(yōu)訓練一、單選題1．已知關于x的不等式的解集是，則關于x的不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知可得，，進而不等式可化為，由此可求不等式的解集．【詳解】解：關于x的不等式的解集為，，，可化為，，關于x的不等式的解集是．故選：D．2．已知，，則a的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由題得，，再利用基本不等式和解一元二次不等式求解.【詳解】解：可知，，則，，因為，所以，解得，即a的最大值為.故選：D3．已知關于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（

）A． B．不等式的解集為C． D．不等式的解集為【答案】B【分析】根據(jù)解集形式確定選項A錯誤；化不等式為即可判斷選項B正確；設，則，判斷選項C錯誤；解不等式可判斷選項D錯誤.【詳解】解：因為關于的不等式的解集為或，所以，所以選項A錯誤；由題得，所以為.所以選項B正確；設，則，所以選項C錯誤；不等式為，所以選項D錯誤.故選：B4．設，若關于x的不等式的解集中的整數(shù)解恰有3個，則（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意，，不等式的解集為，又，則解集中的整數(shù)為，，0，進而列出不等式求解即可得答案.【詳解】解：關于x的不等式，即，∵，的解集中的整數(shù)恰有3個，∴，∴不等式的解集為，又，∴解集中的整數(shù)為，，0．∴，即，∴，∵，∴，解得，綜上，．故選：C．5．已知集合，．設p：，q：，若p是q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】解不等式求得集合、，由p是q的必要不充分條件得且，可得或解不等式可得答案.【詳解】由得，所以，即，由得，即，因為p是q的必要不充分條件，所以且，所以或，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是．故選：A.6．已知函數(shù)滿足對任意，恒有，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題設不等式恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得求a的取值范圍即可.【詳解】由題設，開口向下且對稱軸為，∴要使任意，恒有，則，∴，解得.故選：C.二、多選題7．下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若關于的不等式的解集為，則D．若，則“”是“”的必要不充分條件【答案】BC【分析】A令判斷即可；B作差法比較大小；C由一元二次不等式解集及根與系數(shù)關系求參數(shù)a、b即可；D令判斷必要性是否成立.【詳解】A：時，錯誤；B：，而，則，故，所以，即，正確；C：由題設，可得，故，正確；D：當時，而不成立，必要性不成立，錯誤.故選：BC8．下列結(jié)論錯誤的是（

）A．若函數(shù)對應的方程沒有根，則不等式的解集為R；B．不等式在R上恒成立的條件是且；C．若關于x的不等式的解集為R，則；D．不等式的解為.【答案】AD【分析】根據(jù)一元二次不等式與對應二次函數(shù)的關系，結(jié)合各選項的描述判斷A、B、C正誤即可，對于D將不等式化為求解集即可.【詳解】A：函數(shù)不存在零點，若則解集為R，若則解集為空集，錯誤；B：由不等式對應的二次函數(shù)圖像開口向下，說明且至多與x軸有一個交點，故，正確；C：當時，顯然不符合題意，當時由二次函數(shù)的性質(zhì)知：，解得，正確；D：，解得，錯誤；故選