第八章第4節(jié)《空間點(diǎn)'直線'平面之間的位置關(guān)系》解答題(22)

1.在直三棱柱ABC-4/1G中，AB=AC=1,zBAC=90°,且異面直線與當(dāng)口所成的角等于

(1)求“的值;

(2)求平面&BG與平面BiBQ所成的銳二面角的大小.

2.如圖所示，四邊形A3EF和ABCD都是直角梯形，^BAD=AFAB=90°,BC平行且等于“D,

8E平行且等于:凡4,G,H分別為FA,FD的中點(diǎn)

(1)證明：四邊形BC”G是平行四邊形

(2)C,D,F,E四點(diǎn)是否共面？為什么？

3.如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABC。為矩形.SAABCD,E,F分別為AO,SC的中點(diǎn),

E尸與平面ABC。所成的角為45。.

(1)證明：EF為異面直線A。與SC的公垂線;

(2)若EF=^BC,求二面角B-SC-D的余弦值.

4.如圖，已知三棱柱ABC-AiBiG中，A4i1底面=90。,=1,AB=遍，AC=2.E,

F分別為棱CC],BC的中點(diǎn).

(1)求異面直線EF與所成角的大??；

(2)若G為線段4&的中點(diǎn)，試在圖中作出過E、F、G三點(diǎn)的平面截該棱柱所得的多邊形，并求

出以該多邊形為底，4為頂點(diǎn)的棱錐的體積.

5.如圖，在四棱錐P-ABCD中，「。1平面48<7。，PD=2,DC=

BC=1,AB=2,AB//DC,/.BCD=90°.

(/)求證：AD1PB；

(2)求A點(diǎn)到平面BPC的距離.

6.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD，底面ABC。，底面ABC。為正方形，PD=DC,E,F分別是

AB,PB的中點(diǎn).

(1)求證：EFlCD；

(2)在平面PAZ)內(nèi)求一點(diǎn)G,使GF1平面PCB,并證明你的結(jié)論.

7.如圖所示，在長方形48CD中，AB=2,AD=1,E為CD的中點(diǎn)，以AE為折痕，把△ZME折

起到團(tuán)DZE的位置，且平面1平面ABCE.

(1)求證：AD'1BE；

(2)求四棱錐D'-4BCE的體積.

8.如圖所示，在三棱柱ABC-&B1C1中，ZiABC為等邊三角形,NBABi=^BBrA,ABt0ArB=0,

CO1平面。是線段41cl上靠近4的三等分點(diǎn).

(1)求證：AB144i；

(2)求直線0D與平面44CC1所成角的正弦值.

9.(1)已知某圓柱的體積為3兀，側(cè)面積為6兀，求該圓柱的高與表面積；(2)

如圖，“與k，，2分別交于A，B兩點(diǎn)，〃與，I，，2分別交于C,

。兩點(diǎn)，EC4。證明：A,B,C,D,E五點(diǎn)共面.

10.如圖，在空間四邊形OABC中，已知E是線段BC的中點(diǎn)，G在AE上，且4G=2GE.

(1)試用向量瓦?，麗,正表示向量出；

(2)若04=2,OB=3,OC=4,Z.AOC=^BOC=60°,求成?亞的值.

11.如圖，在多面體A8CDE中，AC和80交于一點(diǎn)，除EC以外的其余各棱長均為2.

(I)求證：BD1CE^

(II)若平面4DE，平面ABE,求多面體ABCDE的體積.

12.如圖，三角形PAB是半圓錐尸0的一個軸截面，P0=1,AB=2,四棱錐P-4BCD的底面為

正方形，且與半圓錐尸0的底面共面.

(1)若H為半圓錐P0的底面半圓周上的一點(diǎn)，且BH〃0C,證明：AH1PC；

(2)在半圓錐P0的底面半圓周上確定點(diǎn)G的位置，使母線尸G與平面PC。所成角的正弦值為平.

13.如圖，在空間四邊形0ABe中，已知E是線段的中點(diǎn)，G在AE上，且4G=2GE.

c

(1)試用向量辦，0B＜左表示向量8；；

(2)若。4=2,0B=3,0C=4,AAOC=^BOC=60°,求左.幾的值.

14.如圖，在多面體PABC。中，平面ABC。_L平面PAD,AD//BC,NBAC=90°,APAD=120°,

BC=1,AB=AD=PA=2.

(1)求多面體PA8C。的體積；

(2)已知E是棱P8的中點(diǎn)，在棱8是否存在點(diǎn)F使得E/7/P0,若存在，請確定點(diǎn)尸的位置;

若不存在，請說明理由.

15.如圖，在正方體4BCD-48傳道1中，E,F,G,怪分別為的中點(diǎn).

AFB

(1)在正方體ABC。-必當(dāng)?shù)摹?中哪些棱所在的直線與直線是異面直線；

(2)分別求異面直線EF與GH,EF與CG所成的角.

16.如圖，在多面體尸48。。中，平面48。。上平面以。,4?！?。，/84。=90°,Z.PAD=120。,

BC=1,AB=AD=PA=2.

(1)求多面體PA8C。的體積；

(2)已知E是棱P8的中點(diǎn)，在棱8是否存在點(diǎn)F使得E/7/P0,若存在，請確定點(diǎn)尸的位置;

若不存在，請說明理由.

17.在長方體4BCD-A/165中，E是矩形BCC/i的中心，F(xiàn)是矩形4。。送1的中心,連接AE,BrF,

求證：AE與aF是異面直線.

18.如圖,在正方體力BCD-AiBiQDi中，點(diǎn)M,N分別是公當(dāng)，81cl的中點(diǎn).求證:

(1)4M和CW共面；

(2)。/和CCi是異面直線.

19.如圖所示，三棱錐P-4BC中，P41平面ABC,^BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的

中點(diǎn).

(1)求證AE與PB是異面直線；

(2)求異面直線AE與PB所成角的余弦值.

20.如圖，在正方體4BCD-4B1GD1中，對角線4C與平面BBC1交于點(diǎn)O,AC、BO交于點(diǎn)M,E

為AB的中點(diǎn)，尸為441的中點(diǎn)。求證：

(1)6、。、M三點(diǎn)共線；

(2)E、C、%、F四點(diǎn)共面。

【答案與解析】

1.答案：解：〃&G，???44BC就是異面直線與當(dāng)6所

即N48C=60°,

連接&C,又AB=AC,則=AtC41BC為等邊三角形,

由48=AC=1,乙BAC=90°=BC=近，

2

???AXB=\[2=>y/1+a=\[2=a=1;

(2)取的中點(diǎn)E,連接B]E,過E作EF_LBG于F,

連接B[F,B]E1ArB,&G1BrE=BrE_L平面&BGnB】E1Bg

又EFJ_BG，所以BG1平面BiEF,即&F1BC1，

所以NB/E就是平面&BG與平面BiBCi所成的銳二面角的平面角.

在ABiEF中，乙BiEF=90°,&E=爭=瞽，sin/FE=霽=/nNB/E=60。，

因此平面418cl與平面BmCi所成的銳二面角的大小為60。.

解析：【試題解析】

本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于

基礎(chǔ)題.

(1)將/Ci平移到BC,44BC就是異面直線與當(dāng)口所成的角，在三角形48月內(nèi)建立等式，解之

即可；

(2)取4$的中點(diǎn)E,連接過E作EF1于F,連接昆凡B，E1AtB,41cl1BXE,得到NB/E

就是平面4/G與平面/Be1所成的銳二面角的平面角，在48透尸中解出此角即可.

2.答案：⑴證明：由題意知，F(xiàn)G=GA,FH=HDf

/IN.

ZiX

所以GH4—D，又Be」、。，&GH&BC/!\

22QL/1\

C

所以四邊形BC7/G是平行四邊形.

(H)C,D,F,E四點(diǎn)共面.理由如下:

由G是FA的中點(diǎn)知，BE=GA,即有BE△GF，

所以四邊形8EFG是平行四邊形，

所以EF〃BG

由(I)知BG〃CH,所以EF〃CH,故EC,“共面.

又點(diǎn)。在直線尸”上

所以C,D,F,E四點(diǎn)共面.

解析：【試題解析】

(1)由已知得GH又BC野AD，散GH&BC，由此能證明四邊形3C”G是平行四邊形.

(口)由BEG"F，G是E4的中點(diǎn)知，BE'1GA,從而得到四邊形8EFG是平行四邊形，由此能推

導(dǎo)出C,D,F,E四點(diǎn)共面.

本題考查了平面的基本性質(zhì)，考查空間想象能力，幾何邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.答案：(1)證明：如圖，四棱錐S-48CD中，S4_L平面ABC。，E,尸分別為AD,SC的中點(diǎn)，EF

與平面A8CD所成的角為15".

由題意，AB,AD,AS兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，AB,AD,AS所在直線為x,y,z軸建立如圖所示空

間直角坐標(biāo)系，

設(shè)B(a,O,0),0(0力，0),S(0,0,c),

則C(a"0),E(0,p0),F(p|,|)>

￡T=(p0,|),平面ABC。的法向量為而=(0,0,c),

由EF與平面A8C￡>所成的角為一5,

了.si幾45。=|co?<Ep,>|=解得a=c,

AAD—(O,bf0),EF=SC=(a,b,—a),

???而,前=0,SC-EF=09???EF1AD，EFISC,

???EF為異面直線AD與SC的公垂線.

(2)解：若EF=：BC,貝噌+f/...b=V2a，

???BC=(0,42a,0),SC=(a,\[2a,—a)?DC=(a,0,0),

設(shè)平面BSC的法向量為祠=(%i，yi，zi),

則?！?°-

+yf2y1-Zi=O'

取元=(1,0,1),

設(shè)平面DSC的法向量為沅=(%2，y2，Z2)，

叫_LF5N

取沅=(0,1,72),

.一rt、v/2瓜

006<>=—3=——==——，

y/2-瓜3

由圖可知二面角B-SC-。為鈍二面角，

???二面角B-SC-。的余弦值為一退.

3

解析：此題考查直線與直線垂直的證明，考查二面角的求法，屬中檔題.

(1)以A為原點(diǎn)，AB,AD,AS所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，由EF

與平面A8C。所成的角為J5求出各點(diǎn)坐標(biāo)的等量關(guān)系，再由向量法證明EF14。，EFJ.SC即可;

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，由EF=：BC可得各點(diǎn)坐標(biāo)的等量關(guān)系，再求平面BSC與平面。SC的法向量,

利用向量夾角公式求解即可.

4.答案：解：(1)連接BC1，則EF為ABCCi的中位線,

故乙41BCi為所求異面直線所成的角.

又41cli41Bi，41cli4遇，且414nAiBi=&,

故4iG-L平面ABBiZi，z_GAiB=90。.Rt△中，AG=2,AIB=2.

故乙4$Ci=*故異面直線痔與4$所成角的大小為會

(2)取AB中點(diǎn)M,連接MF,MG,EG.

則M尸〃4C〃GE,即M、F、E、G四點(diǎn)共面，則EFMG為所求截面的多邊形.

又G為7Ml中點(diǎn)，則&到平面MFEG的距離與A到平面MFEG的距離相等.

故以i-GEFM=^A-GEFM-

過A作/”_LGM于”，AH1GM,AH1GF,GMC\GE=G,

故A/H平面GMFE,又4G=；,AM=—,AH=—,GM=1,

224

則%LG"M=匕-G“M=l-UMF+GEyMG-AH=

解析：【試題解析】

本題考查了異面直線夾角以及等積法求棱錐體積，考查了轉(zhuǎn)化思想，中等題.

(1)連接BG，由中位線平移可得，N48G為所求異面直線所成的角，證41G_L平面4BB1&得

=90°,在Rt△G&B中可得N&BCi=3，

(2)取AB中點(diǎn)M,連接MF,MG,EG.證匕LGEFM=匕-GEFM，過A作AH1GM于H,AH1GM,AH1GE,

GMnGE=G，

故AHI平面GMFE,VA^GEFM=[J(MF+GE)-MG-AH.

5.答案：解：(1)如圖所示：，

在四邊形ABCD中，連接BO,由DC=BC=1,48=2,乙BCD=

乙ABC=

2

在△力BC中，BD=AD=V2,乂48=2,

因此40J.B。，又PO_L平面ABCD,

???PDLAD,又BDCPD=D,

：.AD1平面PBD,

AD1PB；

(2)在四棱錐P-4BCD中，：PO_L平面A8CD,

???PD1BC,而BC1DC,

BCJL平面PDC,

■■■BC1PC,

*,?S〉BPC=5xBCxPC—，，而S—BC=5x力8xBC=1,

,設(shè)點(diǎn)4到平面PBC的距離為力，

由匕-BPC=^P-ABC可得：3XS&BPC'九=§XSHABQXPDf

,1X24A/5

??.九二運(yùn)=可，

2

即點(diǎn)A到平面PBC的距離為延.

5

解析：⑴利用勾股定理證得4DLBD,又PD工平面A8CZ),所以P0_L4D,從而由線面垂直的判定

定理得到40JL平面尸30,所以40J.PB；

(2)易證BC1PC,所以可求出，8pc和S-BC，再由以-BPC=VP-ABC利用等體積法即可求出點(diǎn)A到平

面PBC的距離.

本題主要考查了線線垂直的證明，以及等體積法求點(diǎn)到平面的距離，是基礎(chǔ)題.

6.答案：(1)證明：以D4,DC,OP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖，設(shè)力。=a.

則。(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(*,0),P(0,0,a),嗚微,

二前=(一表0,2，DC=(0,a,0).

.?.FFDC=(-p0,|).(0,a,0)=0,

:.EF1DC.

(2)解：???GW平面尸AO,設(shè)G(%0,z),

二用=("_'一打_》

由(1)知旗=(a,0,0),CP=(0,-a,a).

由題意，要使GF1平面尸CB,

只需尸G-CB=(x—j,——^)1(a,0,0)

=a(x-])=0，

...，■，…CLCLCL

PG,CP=(x——,——,z——)?(0,—a,a)

=—+a(z--)=0，

2、2/

???x-pz=0.

.??點(diǎn)G的坐標(biāo)為(*0,0),即點(diǎn)G為AQ的中點(diǎn).

解析：【試題解析】

本題考查了空間中直線與直線的位置關(guān)系、利用空間向量判定線面的垂直、平行關(guān)系的相關(guān)知識，

屬于中檔題.

以QA、DC,QP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)4。=a,可求出各點(diǎn)的坐標(biāo);

(1)求出EF和CD的方向向量，根據(jù)向量垂直的充要條件，可證得前1DC，即EF1DC;

(2)設(shè)G(x,0,z),根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可得而?而=用?不=0，進(jìn)而可求出x,z值，得到G

點(diǎn)的位置；

7.答案：⑴證明：根據(jù)題意可知，在長方形ABC。中，ADAE和ACBE為等腰直角三角形，

Z.DEA=乙CEB=45°,

ZAEB=90°,即BE_L4E.

???平面D'AE_L平面ABCE,且平面D'AEn平面ABCE=HE,BEu平面4BCE,

BE_L平面C\4E,40'u平面E,.?■AD'l.BE.

(2)解取AE的中點(diǎn)F,連結(jié)?！?，則D'F_L4E.

D'

???平面J_平面ABCE,

且平面D'AEn平面ZBCE=AE,D'Fu平面DAE,

D'F±平面ABCE,

???^D'-ABCE=三S四邊形ABCE-X|X(1+2)X1Xy=^-

解析：【試題解析】

本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，線線垂直，三棱錐的體積公式，考查邏輯推理能力和空間想象能

力，屬于中檔題.

(1)由題意，在長方形ABC。中，可知BEJ.4E,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可以證明AD'lBE；

(2)取AE的中點(diǎn)F,連接D'F,則D'FIAE,由面面垂直的性質(zhì)定理可以證明D'FJ■平面48CE,從

而求出VW-ABCE-

8.答案：(1)證明：因?yàn)镹B4B1=NBBi4

故AB=BB「所以四邊形為菱形，

而C。J_平面4BB14,故“。A=Z.C0B=90°.

因?yàn)镃0=C0,CA=CB,故AC。4三△COB,

故AO=B。，即四邊形4BB14為正方形，

故481441.

(2)解：依題意，C0104CO10A1.

在正方形4遇8%中,0A110A,

故以。為原點(diǎn)，04,OA,OC所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。-孫z；

不妨設(shè)=2,

則0(0,0,0),4(e,0,0),71(0,V2,0).C(0,0,V2),加(夜,一夜,我)，

又因?yàn)獒?西+1曬*,所以0(夜，一號，號).

所以布=(一魚，魚,0),AC=(0,-V2,V2).

設(shè)平面占4CQ的法向量為記=(x,y,z),則I布,竺1=0，

Im-AC=0.

即(-V2x+V2y=0,

(—y[2y+>/2z=0.

令％=1,則y=1,z=L于是沆=(1,1,1).

又因?yàn)槎?(企,一立,立)，

設(shè)直線。。與平面4/CC1所成角為。，

則sin。=|cos標(biāo)，網(wǎng)|=髓=祟

所以直線。。與平面4ACG所成角的正弦值為

解析：本題考查空間線面的位置關(guān)系、利用空間向量求線面的夾角，考查空間想象能力，屬于中檔

題.

(1)由條件可證得四邊形4BB遇I為正方形，即可證得4B142；

(2)以。為原點(diǎn)，。&,OA,0c所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。-盯z,

設(shè)48=2,可得中，AC，設(shè)平面&ACC1的法向量為記=(居y,z),貝立瓦.竺】=°，可得記=

Im-AC=0.

(1,1,1),設(shè)直線0。與平面44CC1所成角為0,由sin。=|cos(沆，而)|，即可求得直線。。與平面

4p4CQ所成角的正弦值.

9.答案：(1)解：設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為兒

ljli|(nr2h=3兀，

、I2nrh=6n,

解得｛r=1,

h=3.

故該圓柱的表面積為67r+2nr2=87r.

(2)證明：因?yàn)镮1/%，所以，i，，2可以確定一個平面a.

因?yàn)榱&12,所以Aea,0€a,

所以力Oua,又EWA。，所以Eea.

因?yàn)镃eL，Be/2，所以Cea,Bea,從而A,B,C,D,E五點(diǎn)都在平面a內(nèi),

即4,B,C,D,E五點(diǎn)共面.

解析：【試題解析】

本題考查圓柱的表面積和平面基本定理，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

(1)設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為力，則［:丁?=17r'即可求解；

I2nrn—6n,

(2)證明：因?yàn)?"/%，所以匕，已可以確定一個平面-

因?yàn)镈e12＜所以A6a,Dea,所以ADua,又EeAD,所以E6a.即可.

10.答案：解：(1)丫布=2在，

■.OG-OA=2(OE-OGy

3OG—2OE+OA'

又2/=麗+就,

???OG=-OA+-OB+-OC,

333

(2)由(1)知m=^OA+|OB+|OC,

_k1__1_____,1________>

.-.OGAB=(-OA+-OB+-OC)-(OB-OA)

i>2i>2i??1>?

=--OA+-OB^-OCOB--OCOA,

3333

又Z710C=乙BOC=60°,

???。。?OB=3x4X士=6,OC?。4=4x2X2=4,

22

一一1,1,11

=--x22+-x32+-x6--x4

=一。3+2-±

333

解析：本題考查空間向量的數(shù)量積，以及空間向量的線性運(yùn)算，屬于中檔題.

(1)直接利用空間向量的線性運(yùn)算即可得解；

(2)求出赤=ga+9而+3灰，AB=OB-OA，再利用空間向量的數(shù)量積計(jì)算即得結(jié)果.

11.答案：(I)證明：取AE的中點(diǎn)。，連接。B、OD,

?:AB=BE,DA=DE,OB1AE,ODA.AE,又,：OBCOD=0,AEOBD,???BDu平

ffiOBD,故AE1BO,

又?.?四邊形4BCD為菱形，.?.ACJ.BD,y."AE0AC=A,

■.BDJ_平面ACE,

又丫CEu平面ACE,???BD1CE；

(U)解：?；平面力DE，平面ABE,DO，平面ABE,

故多面體ABCDE的體積

^E-ABCD=^E-ABD=^D-ABE=2X—X^—X2Xb)XV3=2.

解析：本題主要考查線面平行的判定、性質(zhì)，線面垂直的判定、性質(zhì)及多面體體積的求法.

(I)由已知添加輔助線可得4E_L平面08D,即可得BD_L平面ACE,再根據(jù)線面垂直性質(zhì)即可證得

BD1CE；

(口)將UE-4BCD轉(zhuǎn)化為%-4BCD=^E-ABD=^D-ABE,即可輕松求解.

12.答案：解：(1)：“為半圓錐P0的底面半圓周上的一點(diǎn)，??.AHLBH.

5LBH//0C,：.AH10C.

vPOiTl?ABCD,AHu平面ABC。，PO

vPOHOC=0,：.AH1平面PCO.

PCu平面PCO,：.AH1PC.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,1),0(1,-2,0),C(-l,-2,0),

PD=(1,-2,-1)>PC=(-1,-2,-1).

設(shè)平面PCD的法向量為元={x,y,z),

則由便,元=0,得廠2；一=0

"c?元=0I-2y-z=0

得x=0,取丫=1,則z=-2,

???平面PCD的一個法向量為五=(0,1,-2).

???G為半圓錐PO的底面半圓周上的一點(diǎn)，

可設(shè)G(cos9,sin0,0)(0<9<n},則同=(cos6,sin0,-l).

依題意，得|PGn|_sinO+2_V10

|PG||n|-V2xVs-4

解得sin。=I，cosO=±圣

.?.點(diǎn)G的坐標(biāo)為(泉/0)或(一與,,0).

解析：【試題解析】

本題考查了直線與平面所成角及求法，直線與平面垂直的判定及性質(zhì)，屬于中檔題.

(1)H為半圓錐P。的底面半圓周上的一點(diǎn)，且BH〃OC,通過證明PO_L平面ABC。，說明PO1AH利

用直線與平面垂直的判定定理證明：AH1PC；

(2)以。為原點(diǎn)，OA方向?yàn)閤軸，0P方向?yàn)閦軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出平

面PCZ)的一個法向量五，利用[里,史=°,就是母線尸G與平面PCZ)所成角的正弦值為包，求出G

的坐標(biāo)即可.

13.答案：ft?：(l)-.-^G=2GE

.-.OG-OA=2(0E-OG)

1?-30G=2OE+OA

又2屁=證+元

__]_____,]__?]__,

**?0G——0A+—0B+—0C

(2)由(1)知面=海+海+萍

Ill

.--OGAB=(-0A+-OB+-0C)-(0B-OA)

1—?21—>21―，——，1―>—，

=--0A+=0B+-0C-OB--0C-OA

3333

又上AOC=乙BOC=60°

oc.OB=3x4xi=6,OCOA=4x2x-=4,

22

_,1111

22

AOG-___=--X24--X34--x6--x4

3333

=Y4+3+2-441.7

333

解析：【試題解析】

本題考查空將向量的數(shù)量枳，以及平面向量加減運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

(1)直接利用平面向量加減運(yùn)算即可得解；

(2)求出出=lOA+lOB+^OC,AB=OB-OA，再利用空間向量的數(shù)量積得到力?元=2x4x5

OC-Ofi=3x4x1,代入即得結(jié)果.

14.答案：解：(1)解法一：如圖，作PH140交D4的延長線于”，

因?yàn)槠矫?BCC_L平面PAD,

平面4BC0D平面P40=AD,

且PHu平面PAD,

所以PHJL平面A8C。，

所以PH為點(diǎn)P到平面ABCD的距離.

因?yàn)椤傲Α?120°,PA=2,所以PH=P4sin60°=V3

又

所以Up-ABCD=鼠PH,S四邊形ABCD=&xV3x3=V3.

(2)假設(shè)棱C。上存在點(diǎn)凡使得EF〃PD.連接8。，取8。的中點(diǎn)M,

在小BPD中，

因?yàn)镋,M分別為BP,BD的中點(diǎn)，

因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行，

所以EM與EF重合.

因?yàn)辄c(diǎn)F在線段上，所以F=BDDCD,

又Bonco=D,

所以E是8。與CD的交點(diǎn)。，即EF就是EZ),

而ED與尸力相交，

這與E/7/PD相矛盾，

所以假設(shè)不成立，

故棱CC上不存在點(diǎn)尸使得EF〃PD.

解法二：(1)因?yàn)槠矫?BCD1平面PAD,且平面ABCCn平面24。=AD,BA1AD,BAu平面ABC。,

所以B4_L平面PAD,

依題意,S@PAD=-AD-APsinZ.PAD=|x2x2Xy=V3，

所以％-PAD=gS?pAD?AB=-xV3x2=-J-

在梯形ABC。中，由A0〃BC,40=28c知右陽。=2S0BCD,

所以4TB。=2pp_Bc。，

所以力力BCD=^P-ABD+Vp-BCD=^P-ABD~^B-PAD=]X=遮?

(2)假設(shè)棱。。上存在點(diǎn)凡使得EF〃PD,

顯然F與點(diǎn)。不同,

所以P,民匕。四點(diǎn)共面，記該平面為a,

所以Pea,PEca,FDca,

又BGPE,CGFD,

所以BGa,CGa,

所以P,B,C,D共面于a,

這與P-ABC。為四棱錐相矛盾，

所以假設(shè)不成立，

故棱CD上不存在點(diǎn)F使得EF〃PD.

解析：本題考查多面體的體積計(jì)算，以及反證法證明，解題證明需理解理解反證法是解題的關(guān)鍵.

解法一，（1）作PH14）交D4的延長線于從判斷尸”為點(diǎn)尸到平面ABCD的距離.求出PH,即可

求出多面體P48CZ）的體積；

（2）假設(shè)棱CZ）上存在點(diǎn)F,使得EF〃PD.連接BD,取8。的中點(diǎn)可得以PH為點(diǎn)、P到平面ABCD

的距離.可用反證法證明，即可求出多面體月4BC。的體積；

解法二，（1）根據(jù)面積轉(zhuǎn)化為求△24D得面積，再求得高，可求結(jié)論，再求結(jié)論；

（2）假設(shè)棱CQ上存在點(diǎn)F,使得EF〃PD,所以P,B,C,0共面于a,這與P-4BC0為四棱錐相矛盾，

從而證明結(jié)論.

15.答案：解：（1）在正方體48co中，所在的直線與是異面直線的棱有：AD,

CD,C1D1,DDI,CC「

（2）連接BQ,QG，因?yàn)镋,F,G,H分別為AB,BB°當(dāng)〃的中點(diǎn),

所以“〃4/，GH//BCr,

所以48與BQ所成的角即為E尸與GH所成的角.

由于△&BG為正三角形，所以與BG所成的角為60。，

即EF與GH所成的角為60。.

因?yàn)樵谡襟w4BCD-4/165中，CCJ/AA^

所以乙4EF即為E尸與CG所成的角.

因?yàn)锳AEF為等腰直角三角形,

所以乙4EF=45。，即EF與CG所成的角為45。.

解析：本題主要考查了空間中直線與直線的位置關(guān)系，異面直線，異面直線所成的角的應(yīng)用，

(1)根據(jù)已知及空間中直線與直線的位置關(guān)系，異面直線的判斷，可知哪些棱所在的直線與直線是

異面直線，

(2)根據(jù)已知及異面直線所成的角的計(jì)算，求出異面直線所成的角的值.

16.答案：解：(1)?.?平面ZBCD_L平面PAD,

且平面ABC。n平面PAO=4。，BA1AD,84u平面ABC。，

BA，平面PAD,

依題意，ShPAD=^AD-APsin^PAD

=-x2x2x—=V3>

22

???^B-PAD=3^APAD,AB=-XV3X2=

在梯形48CO中，

由皿/BC,AD=2BC,

知SfB。=2S&BCD'

^P-ABD~2Vp-8。。，

3

貝M—48CD=^P-ABD+Vp-BCD=^P-ABD

=|VB-PAD=|X等=遮；

(2)假設(shè)棱CD上存在點(diǎn)凡使得EF〃PD,

顯然尸與點(diǎn)Q不同，

：.P,E,F,。四點(diǎn)共面，記該平面為a,

???P€a,PEua,FDca,

又BGPE,C6FD,

??Bea,CGQ,

故P,B,C,。共面于a,

這與P-ABCD為四棱錐相矛盾，

二假設(shè)不成立，

故棱CD上不存在點(diǎn)F使得EF//PD.

解析：【試題解析】

本題考查線面垂直的判定、面面垂直的性質(zhì)，空間幾何體的體積等基礎(chǔ)知識，是中檔題.

(1)由已知結(jié)合平面與平面垂直的性質(zhì)可得84，平面PA。，求出三角形PAO的面積，可得三棱錐