《正弦定理》教學案例

高平二中公素玲

［案例背景］

本節(jié)內(nèi)容安排在《高中數(shù)學必修5》（人教A版）第一

章（解三角形），正弦定理第一課時，是在高二學生學習了

三角等知識之后，顯然是對三角知識的應(yīng)用；同時，作為三

角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內(nèi)容的直接延

伸，因而定理本身的應(yīng)用又十分廣泛.為什么要研究正弦定

理？正弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的？其證明方法是怎樣想到的？

還有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而確實又是學生

所關(guān)心的問題學生在初中已經(jīng)學習了解直角三角形的內(nèi)

容，在必修4中，又學習了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識和平面向量

的有關(guān)內(nèi)容，對解直角三角形、三角函數(shù)、平面向量已形成

初步的知識框架，這不僅是學習正弦定理的認知基礎(chǔ)，同時

又是突破定理證明障礙的強有力的工具.正弦定理是關(guān)于任

意三角形邊角關(guān)系的重要定理之一，《課程標準》強調(diào)在教

學中要重視定理的探究過程，并能運用它解決一些實際問

題，可以使學生進一步了解數(shù)學在實際中的應(yīng)用，從而激發(fā)

學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生獨立思考和勇于探索的創(chuàng)新

精神。

本節(jié)課采用探究式課堂教學模式，即在教學過程中，在

教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以

問題為導(dǎo)向設(shè)計教學情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為

基本探究內(nèi)容，指導(dǎo)學生掌握“觀察-猜想-證明-應(yīng)用這一思

維方法，逐步培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能

力和創(chuàng)造性思維的能力。

［案例描述］

（一）設(shè)置情境

教師：展示情景圖如圖L船從港口B航行到港口C,測得

BC的距離為600m,船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行，由

于船員的疏忽沒有測得CA距離，如果船上有測角儀我們能否

計算出A、B的距離？

學生：思考提出測量角A,C.

教師：若已知測得NBAC=75°,ZACB=45°,如何計算A、

B兩地距離?

學生：（思考交流）得出過A作AD_LBC于D（如圖2）,把AABC

分為兩個直角三角形.解題過程，學生闡

述，教師板書.

教師繼續(xù)引導(dǎo)：在上述問題中，若AC=b,AB=c,能否用B、

b、C表示c呢?

.n_AD.D_AD

學生：發(fā)現(xiàn)T'丁

AD=bsinC=csinB.

bsinC

c=--------

sinB.

教師引導(dǎo):在剛才的推理過程中，你能想到什么？你能發(fā)現(xiàn)什

么？

_bsinC_asinC_bsinA

學生：發(fā)現(xiàn)即然有“寶百，那么也有，二百，"飛百.

_bsinC_asinC_bsinA

教師：引導(dǎo)"寶百，"玄，"W面，我們習慣寫成對稱形

式

c_bc_aa_b

sinCsinB,sinCsinA,sinAainB,

a_b_c

因此我們可以發(fā)現(xiàn)百二,二標.是否任意三角形都有這種

邊角關(guān)系

（二）數(shù)學實驗，驗證猜想

教師：給學生指明一個方向，我們先通過特殊例子檢驗

a_b_c&N

sinAainBstnC是否成立，舉出特例.|、\c

bL_\

教師：對于RtZ\ABC呢？學生：思考交流得出，caB

（圖4）

a_b_c

從而在直角三角形ABC中，sinAainBsinC.

abc

教師：那么任意三角形是否有sinAainBsinC呢？

借助于電腦與多媒體，利用《幾何畫板》軟件，演示正弦定理教

學課件.邊演示邊引導(dǎo)學生觀察三角形形狀的變化與三個比值的

變化情況.

a_b_c

結(jié)論：sinAainBsinC對于任意三角形都成立.

設(shè)計意圖：通過《幾何畫板》軟件的演示，使學生對結(jié)論的

認識從感性逐步上升到理性.

（三）證明猜想，得出定理

教師：前面我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學實驗，多媒體技術(shù)支持，但

對任意的三角形，如何用數(shù)學的思想方法證明呢？前面探索過程

a_b_c

中對我們有沒有啟發(fā).二=翁=嬴云下面分組討論，然后每組派

一個代表總結(jié).（展示證明過程）

教師：還有其它證明方法嗎?

比如：谷、\、白都等于同一個比值"那么它們也相

sinAsinBsmC

等，這個女到底有沒有什么特殊幾何意義

呢？

學生：在前面的檢驗中，RfzVLBC中,

ab_c

c恰為外接接圓的直

sinAsinBsinC

徑，即c=Z=2R,所以作ZVU3C的外接圓。，。

為圓心，連接8。并延長交圓。于夕，把一般

三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。

教師：從剛才的證明過程中，

abc

——二——=——=2R,顯示正弦定理的比值等于三角

sinAsinBsinC

形外接圓的直徑2R。

（四）利用定理，解決引例

教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題.

學生：馬上得出，在aABC中，ZB=

c_b

180°-ZA-ZC=60°,蔡廿盛而，

bsin￡=600sin4T=200^m

smBsin60°

設(shè)計意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學生體會用新的知

識，新的定理，解決問題更方便，更簡單，激發(fā)學生不斷探索新

知識的欲望.

教師：引導(dǎo)學生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題.

學生：討論正弦定理可以解決的問題類型:

1、如果已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一角和

bsinA

a=--------

另兩邊，如sinb.

2、如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另

a

兩角,如sinA=bsinB.

設(shè)計意圖：自己解決問題，提高學生學習的熱情和動力，使學生

體驗到成功的愉悅主動學習.

（五）嘗試小結(jié)

教師：提示引導(dǎo)學生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容.

學生：思考交流，歸納總結(jié).

師生：讓學生嘗試小結(jié)，教師及時補充，要體現(xiàn)：

a_b_c

⑴正弦定理的內(nèi)容（嬴葭蕊=麻=2R）及其證明思想方法.

（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：

［案例反思］

優(yōu)點：

1、本節(jié)課，學生在教師預(yù)設(shè)的思路中積極主動參與一個個

相關(guān)聯(lián)的探究活動過程，通過“觀察一一實驗一一歸納一一猜想

―證明”的方法發(fā)現(xiàn)并證明定理,使學生經(jīng)歷了知識形成的過

程，感受到創(chuàng)新的快樂，激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣.讓學生在

參與問題解決的過程中不僅掌握了知識，而且培養(yǎng)了他們的思維

方式和思維能力。在整個教學過程中，教師只是學生學習的指導(dǎo)

者和評價者，學生才是學習的主人，學生的學習興趣高，主動性

強，教學效果明顯提高。

2、以問題為導(dǎo)向設(shè)計教學情境，促使學生去思考問題，去發(fā)現(xiàn)

問題，讓學生在“活動”中學習，在“主動”中發(fā)展，在“合

作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新.觀察-猜想-證明-應(yīng)用這一思

維方法，逐步培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力

和創(chuàng)造性思維的能力。

不足：

1、使用計算器處理復(fù)雜、煩瑣的數(shù)字是新教材的一個特點，教

學時要注意著一點。

2、由教師設(shè)計和提供一些問題，引導(dǎo)學生進行分析解答，這必

然會導(dǎo)致學生只是按教師設(shè)計的步驟進行思維