5．4．2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：周期函數(shù)函數(shù)，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，都有，其中是一個(gè)非零的常數(shù)，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、定義是對(duì)中的每一個(gè)值來(lái)說(shuō)的，只有個(gè)別的值滿足或只差個(gè)別的值不滿足都不能說(shuō)是的一個(gè)周期．2、對(duì)于周期函數(shù)來(lái)說(shuō)，如果所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，就稱它為最小正周期，三角函數(shù)中的周期一般都指最小正周期．知識(shí)點(diǎn)二：正弦函數(shù)性質(zhì)函數(shù)正弦函數(shù)定義域值域奇偶性奇函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點(diǎn)最大值點(diǎn)；最小值點(diǎn)對(duì)稱中心對(duì)稱軸知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）正弦函數(shù)的值域?yàn)?，是指整個(gè)正弦函數(shù)或一個(gè)周期內(nèi)的正弦曲線，如果定義域不是全體實(shí)數(shù)，那么正弦函數(shù)的值域就可能不是，因而求正弦函數(shù)的值域時(shí)，要特別注意其定義域．（2）求正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，易錯(cuò)點(diǎn)有二：一是單調(diào)區(qū)間容易求反，要注意增減區(qū)間的求法，如求的單調(diào)遞增區(qū)間時(shí)，應(yīng)先將變換為再求解，相當(dāng)于求的單調(diào)遞減區(qū)間；二是根據(jù)單調(diào)性的定義，所求的單調(diào)區(qū)間必須在函數(shù)的定義域內(nèi)，因此求單調(diào)區(qū)間時(shí)，必須先求定義域．知識(shí)點(diǎn)三：正弦型函數(shù)的性質(zhì)．函數(shù)與函數(shù)可看作是由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)類似地得到：（1）定義域：（2）值域：（3）單調(diào)區(qū)間：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過(guò)解不等式的方法去解答，即把視為一個(gè)“整體”，分別與正弦函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間對(duì)應(yīng)解出，即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間．比如：由解出的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．（4）奇偶性：正弦型函數(shù)不一定具備奇偶性．對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)為偶函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：判斷函數(shù)的奇偶性除利用定義和有關(guān)結(jié)論外，也可以通過(guò)圖象直觀判斷，但不能忽視“定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”這一前提條件．（5）周期：函數(shù)的周期與解析式中自變量的系數(shù)有關(guān)，其周期為．（6）對(duì)稱軸和對(duì)稱中心與正弦函數(shù)比較可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值（或最小值），因此函數(shù)的對(duì)稱軸由解出，其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，即對(duì)稱中心為．知識(shí)點(diǎn)四：余弦函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)余弦函數(shù)定義域值域奇偶性偶函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點(diǎn)最大值點(diǎn)最小值點(diǎn)對(duì)稱中心對(duì)稱軸知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）余弦函數(shù)的值域?yàn)?，是指整個(gè)余弦函數(shù)或一個(gè)周期內(nèi)的余弦曲線，如果定義域不是全體實(shí)數(shù)，那么余弦函數(shù)的值域就可能不是，因而求余弦函數(shù)的值域時(shí)，要特別注意其定義域．（2）求余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)先將變換為再求解，所求的單調(diào)區(qū)間必須在函數(shù)的定義域內(nèi)，因此求單調(diào)區(qū)間時(shí)，必須先求定義域．知識(shí)點(diǎn)五：余弦型函數(shù)的性質(zhì)．函數(shù)可看作是由余弦函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由余弦函數(shù)類似地得到：（1）定義域：（2）值域：（3）單調(diào)區(qū)間：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過(guò)解不等式的方法去解答，即把視為一個(gè)“整體”，余弦函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間對(duì)應(yīng)解出，即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間．（4）奇偶性：余弦型函數(shù)不一定具備奇偶性，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)．（5）周期：函數(shù)的周期與解析式中自變量的系數(shù)有關(guān)，其周期為．（6）對(duì)稱軸和對(duì)稱中心與正弦函數(shù)比較可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值（或最小值），因此函數(shù)的對(duì)稱軸由解出，其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，即對(duì)稱中心為．同理，的對(duì)稱軸由解出，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)由解出．知識(shí)點(diǎn)詮釋：判斷函數(shù)的奇偶性除利用定義和有關(guān)結(jié)論外，也可以通過(guò)圖象直觀判斷，但不能忽視“定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”這一前提條件．若，則函數(shù)不一定有對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．【題型歸納目錄】題型一：正余弦函數(shù)的周期問題題型二：正余弦函數(shù)的奇偶問題題型三：正余弦函數(shù)的對(duì)稱問題題型四：正余弦函數(shù)的單調(diào)問題題型五：根據(jù)正余弦函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題題型六：比較大小題型七：正余弦函數(shù)的最值與值域問題題型八：正余弦函數(shù)的綜合應(yīng)用【典型例題】題型一：正余弦函數(shù)的周期問題例1．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）的最小正周期是（

）A． B． C．2 D．3例2．（2022·陜西漢中·高一期末）下列四個(gè)函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且最小正周期為的是（

）A． B． C． D．例3．（2022·山東德州·高一期末）設(shè)函數(shù)，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則（

）A． B．C． D．變式1．（2022·陜西渭南·高一期末）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．變式2．（2022·廣東·珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí)）下列函數(shù)中周期為，且為偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．變式3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)(，)在區(qū)間上單調(diào)，且，則的最小正周期為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）定義法，即利用周期函數(shù)的定義求解．（2）公式法，對(duì)形如或（，，是常數(shù)，，）的函數(shù)，（3）觀察法，即通過(guò)觀察函數(shù)圖象求其周期．三種方法各有所長(zhǎng)，要根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓}型二：正余弦函數(shù)的奇偶問題例4．（2022·浙江·杭州四中高一期末）在區(qū)間上為減函數(shù)，且為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．例5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的取值可以為（

）A． B． C． D．0例6．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)是奇函數(shù)，則的值可以是（

）A． B． C． D．變式4．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)圖象的兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，且為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．變式5．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)（，，為實(shí)數(shù)），且，則（

）A． B．1 C． D．4045變式6．（2022·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．變式7．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)為一次函數(shù)，若對(duì)任意的，都有，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值之和為M，則M的值為（

）A． B．1 C．0 D．2變式8．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（m為常數(shù)），則等于（

）A．-1 B．0 C．1 D．2變式9．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知，，且，則（

）A． B． C． D．變式10．（2022·貴州·遵義航天高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè),其中都是非零實(shí)數(shù),若,那么（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【方法技巧與總結(jié)】判斷函數(shù)奇偶性的方法（1）利用定義判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性，要考慮兩方面：①函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②與的關(guān)系；（2）判斷函數(shù)的奇偶性常用方法是：①定義法；②圖象法．題型三：正余弦函數(shù)的對(duì)稱問題例7．（2022·湖南·武岡市教育科學(xué)研究所高一期末）關(guān)于函數(shù)圖象的對(duì)稱性，下列說(shuō)法正確的是（

）A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．關(guān)于直線對(duì)稱C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱例8．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱軸方程是（

）A． B． C． D．例9．（2022·陜西西安·高一期末）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線C．是奇函數(shù) D．若，則變式11．（2022·遼寧撫順·高一期末）函數(shù)，若方程的解為，則（

）A． B． C． D．變式12．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知是上的奇函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則（

）A． B． C． D．變式13．（2022·湖南·長(zhǎng)沙麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一開學(xué)考試）已知函數(shù)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．的值域?yàn)?D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱變式14．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）記函數(shù)（）的最小正周期為．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（

）A．1 B． C． D．3變式15．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，．若方程的兩個(gè)解為，則（

）A． B． C． D．變式16．（2022·北京市第十二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱軸，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為（

）A． B． C． D．變式17．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式18．（2022·江西·高一期中）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．變式19．（2022·北京·中關(guān)村中學(xué)高一期中）若點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則的值可以是（

）A． B． C． D．變式20．（2022·陜西·西安中學(xué)高一期中）已知直線是函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸，則的值為（

）A．3 B．4 C．2 D．1變式21．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在內(nèi)不存在對(duì)稱中心，則的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）正弦曲線（余弦曲線）既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形；（2）正弦曲線（余弦曲線）的對(duì)稱軸一定過(guò)正弦曲線（余弦曲線）的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，即此時(shí)的正弦值（余弦值）取最大值或最小值；（3）正弦曲線（余弦曲線）的對(duì)稱中心一定是正弦曲線（余弦曲線）與軸的交點(diǎn)，即此時(shí)的正弦值（余弦值）為0．題型四：正余弦函數(shù)的單調(diào)問題例10．（2022·內(nèi)蒙古·阿拉善左旗第一中學(xué)高一期末（文））函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B．C． D．例11．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在上的增區(qū)間是（

）A． B．C． D．例12．（2022·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室高一期末）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（

）A． B．C． D．變式22．（2022·上海市新場(chǎng)中學(xué)高一期末）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）A． B．C． D．變式23．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)是（

）A．奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減C．偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減變式24．（2022·北京市育英中學(xué)高一期中）已知函數(shù)和在區(qū)間I上都是減函數(shù)，那么區(qū)間I可以是（

）A． B． C． D．變式25．（2022·河南開封·高二期末（理））已知函數(shù)的圖象的相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，．則（

）A．B．的圖象的對(duì)稱軸方程為C．的圖象的單調(diào)遞增區(qū)間為D．的解集為變式26．函數(shù)=的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）用“基本函數(shù)法”求函數(shù)（，）或（，）的單調(diào)區(qū)間的步驟：第一步：寫出基本函數(shù)（或）的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間；第二步：將“”視為整體替換基本函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（用不等式表示）中的“”；第三步：解關(guān)于的不等式．（2）對(duì)于形如的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，當(dāng)時(shí)，可先用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為，則的單調(diào)遞增區(qū)間即為原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間即為原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．余弦函數(shù)的單調(diào)性討論同上．另外，值得注意的是這一條件不能省略．題型五：根據(jù)正余弦函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題例13．（2022·上?！じ咭黄谀┮阎瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例14．（2022·遼寧葫蘆島·高一期末）已知函數(shù),若使得在區(qū)間上為增函數(shù)的整數(shù)有且僅有一個(gè),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A． B． C． D．例15．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，一個(gè)對(duì)稱中心為，且在上單調(diào)，則的最大值（

）A．5 B．6 C．7 D．8變式27．（2022·山東棗莊·高一期末）已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式28．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式29．（2022·河北·雞澤縣第一中學(xué)高一期末）已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A． B． C． D．變式30．（2022·浙江·平湖市當(dāng)湖高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則的一個(gè)可能值是（）A． B． C． D．變式31．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是________變式32．（2022·福建·高一期末）已知函數(shù)，為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱軸，且在上單調(diào)，則的最大值為________.變式33．（2022·上海浦東新·高一期中）已知在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最大值為______變式34．（2022·江蘇連云港·高一期末）已知（其中）的單調(diào)遞增區(qū)間為，則_________.【方法技巧與總結(jié)】已知正（余）弦函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，多用數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想求解．題型六：比較大小例16．（2022·河北·雞澤縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）比較，與的大小關(guān)系為______．例17．（2022·甘肅天水·高一階段練習(xí)（理））比較，，的大小_________.例18．（2022·重慶·高一期末）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．變式35．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)（是常數(shù)），若，則，，之間的大小關(guān)系可能是A． B．C． D．變式36．（2022·四川達(dá)州·高一期末（理））三個(gè)實(shí)數(shù)，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．變式37．（2022·河北·邢臺(tái)一中高一階段練習(xí)）已知，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．變式38．（2022·陜西·咸陽(yáng)百靈學(xué)校高一階段練習(xí)）若，則的大小關(guān)系是A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】比較兩個(gè)三角函數(shù)值的大小（1）比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小，先利用誘導(dǎo)公式把兩個(gè)角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較．（2）比較兩個(gè)不同名的三角函數(shù)值的大小，一般應(yīng)先化為同名的三角函數(shù)，后面步驟同上．題型七：正余弦函數(shù)的最值與值域問題例19．（2022·江蘇·蘇州市第五中學(xué)校高一階段練習(xí)）函數(shù)y＝sinx的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)?，則b－a的最大值是________．例20．（2022·安徽六安·高一期中）已知函數(shù)f（x）＝sin，其中x∈，若f（x）的值域是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．例21．（2022·上?！げ軛疃懈咭黄谀┖瘮?shù)的最大值是__________.變式39．（2022·河南安陽(yáng)·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的最大值為，最小值為.（1）求a?b的值；（2）求函數(shù)的最小值并求出對(duì)應(yīng)x的集合.變式40．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為.（1）求和的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值.變式41．（2022·江蘇省南通中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，若函數(shù)的最大值為0，最小值為，試求a與b的值，并求使y取得最大值和最小值時(shí)的x值.變式42．（2022·新疆·庫(kù)車市伊西哈拉鎮(zhèn)中學(xué)高一期末）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求出取最值時(shí)的值．變式43．（2022·上?！?fù)旦附中高一期中）函數(shù)的值域?yàn)開____________.變式44．（2022·上海中學(xué)高一期中）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是______.變式45．（2022·廣東·卓雅外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一階段練習(xí)）若函數(shù)的值域?yàn)?，則的最小值為_________變式46．（2022·新疆·克拉瑪依十三中高一階段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開__________【方法技巧與總結(jié)】一般函數(shù)的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等．三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，一般方法也適用，但要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì)．常見的三角函數(shù)求值域或最值的類型有以下幾種：（1）形如的三角函數(shù)，令，根據(jù)題中的取值范圍，求出的取值范圍，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性求出的最值（值域）．（2）形如的三角函數(shù)，可先設(shè)，將函數(shù)化為關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求值域（最值）．（3）對(duì)于形如（或）的函數(shù)的最值還要注意對(duì)的討論．題型八：正余弦函數(shù)的綜合應(yīng)用例22．（2022·江西省萬(wàn)載中學(xué)高一期中）已知函數(shù)，，(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的x值的集合；(3)若對(duì)任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.例23．（2022·新疆·柯坪湖州國(guó)慶中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，.(1)求的最小正周期；(2)有零點(diǎn)，求的范圍.例24．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，對(duì)于任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式47．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)求的值域；(2)若關(guān)于的方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式48．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)，函數(shù)的最小值為，且為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式49．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，函數(shù)的最大值為0，最小值為，求，的值；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為2，求的值.變式50．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，其中為常數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)已知函數(shù)，若對(duì)任意的，均有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·陜西師大附中高一期中）按從小到大排列的順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．2．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最小值，則的值可以是（

）A． B． C． D．4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)(其中的大致圖象如圖所示，則的最小正周期為（

）A． B． C． D．5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．的最大值為3，最小值為1B．的最大值為3，最小值為-1C．的最大值為，最小值為D．的最大值為，最小值為6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在處取得最小值3，那么的值為（

）A． B． C． D．8．（2022·湖南·新邵縣教研室高一期末）定義在上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)B．函數(shù)的一個(gè)周期為C．函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為D．函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為10．（2022·河北省文安縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知是銳角，那么下列各值中可能取得的值是（

）A． B．1 C． D．11．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽覺的波．我們聽到的每個(gè)音都是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)．音有四要素：音調(diào)、響度、音長(zhǎng)和音色，它們都與正弦函數(shù)參數(shù)有關(guān)．響度與振幅有關(guān)，振幅越大，響度越大，振幅越小，響度越?。灰粽{(diào)與聲波的振動(dòng)頻率有關(guān)，頻率低的聲音低沉，頻率高的聲音尖利．像我們平時(shí)聽到的樂音不只是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱為復(fù)合音．我們聽到的聲音的函數(shù)是．結(jié)合上述材料及所學(xué)知識(shí)，你認(rèn)為下列說(shuō)法中正確的是（

）A．函數(shù)不具有奇偶性B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．若某聲音甲的函數(shù)近似為，則聲音甲的響度一定比純音的響度大D．若聲音乙的函數(shù)近似為，則聲音乙一定比純音低沉12．（2022·安徽省宿州市苐三中學(xué)高一期中）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱C．函數(shù)的值域?yàn)镈．若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是13．（2022·河南·新密市第一高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，下列結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．14．（2022·浙江·永嘉中學(xué)高一競(jìng)賽）已知定義在上的函數(shù)滿足：，，，且當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．是周期函數(shù)C．的值域?yàn)?D．在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)三、填空題15．（2022·湖北黃石·高一期末）函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為______．16．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)______．（注：不是常函數(shù)）①；②．17．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線，則可以為___________.（寫出一個(gè)符合題意的值即可）18．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，其中，，則______．四、解答題19．（2022·陜西·渭南高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)取得最大、最小值時(shí)自變量的集合；(2)判斷函數(shù)的奇偶性并證明；20．（2022·山東·濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)其中，.(1)求函數(shù)的值域；(2)若函數(shù)的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.21．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的最大值為，最小值為．(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)的最小值，并求出取最小值時(shí)的取值集合．22．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，且函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若存在，使等式成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．23．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，______．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在上的值域．請(qǐng)?jiān)冖俸瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，②函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，③函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中，并加以解答．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．24．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)．(1)若方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．5．4．2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：周期函數(shù)函數(shù)，定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，都有，其中是一個(gè)非零的常數(shù)，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、定義是對(duì)中的每一個(gè)值來(lái)說(shuō)的，只有個(gè)別的值滿足或只差個(gè)別的值不滿足都不能說(shuō)是的一個(gè)周期．2、對(duì)于周期函數(shù)來(lái)說(shuō)，如果所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，就稱它為最小正周期，三角函數(shù)中的周期一般都指最小正周期．知識(shí)點(diǎn)二：正弦函數(shù)性質(zhì)函數(shù)正弦函數(shù)定義域值域奇偶性奇函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點(diǎn)最大值點(diǎn)；最小值點(diǎn)對(duì)稱中心對(duì)稱軸知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）正弦函數(shù)的值域?yàn)?，是指整個(gè)正弦函數(shù)或一個(gè)周期內(nèi)的正弦曲線，如果定義域不是全體實(shí)數(shù)，那么正弦函數(shù)的值域就可能不是，因而求正弦函數(shù)的值域時(shí)，要特別注意其定義域．（2）求正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，易錯(cuò)點(diǎn)有二：一是單調(diào)區(qū)間容易求反，要注意增減區(qū)間的求法，如求的單調(diào)遞增區(qū)間時(shí)，應(yīng)先將變換為再求解，相當(dāng)于求的單調(diào)遞減區(qū)間；二是根據(jù)單調(diào)性的定義，所求的單調(diào)區(qū)間必須在函數(shù)的定義域內(nèi)，因此求單調(diào)區(qū)間時(shí)，必須先求定義域．知識(shí)點(diǎn)三：正弦型函數(shù)的性質(zhì)．函數(shù)與函數(shù)可看作是由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)類似地得到：（1）定義域：（2）值域：（3）單調(diào)區(qū)間：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過(guò)解不等式的方法去解答，即把視為一個(gè)“整體”，分別與正弦函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間對(duì)應(yīng)解出，即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間．比如：由解出的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．（4）奇偶性：正弦型函數(shù)不一定具備奇偶性．對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)為偶函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：判斷函數(shù)的奇偶性除利用定義和有關(guān)結(jié)論外，也可以通過(guò)圖象直觀判斷，但不能忽視“定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”這一前提條件．（5）周期：函數(shù)的周期與解析式中自變量的系數(shù)有關(guān)，其周期為．（6）對(duì)稱軸和對(duì)稱中心與正弦函數(shù)比較可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值（或最小值），因此函數(shù)的對(duì)稱軸由解出，其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，即對(duì)稱中心為．知識(shí)點(diǎn)四：余弦函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)余弦函數(shù)定義域值域奇偶性偶函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點(diǎn)最大值點(diǎn)最小值點(diǎn)對(duì)稱中心對(duì)稱軸知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）余弦函數(shù)的值域?yàn)椋侵刚麄€(gè)余弦函數(shù)或一個(gè)周期內(nèi)的余弦曲線，如果定義域不是全體實(shí)數(shù)，那么余弦函數(shù)的值域就可能不是，因而求余弦函數(shù)的值域時(shí)，要特別注意其定義域．（2）求余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)先將變換為再求解，所求的單調(diào)區(qū)間必須在函數(shù)的定義域內(nèi)，因此求單調(diào)區(qū)間時(shí)，必須先求定義域．知識(shí)點(diǎn)五：余弦型函數(shù)的性質(zhì)．函數(shù)可看作是由余弦函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由余弦函數(shù)類似地得到：（1）定義域：（2）值域：（3）單調(diào)區(qū)間：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過(guò)解不等式的方法去解答，即把視為一個(gè)“整體”，余弦函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間對(duì)應(yīng)解出，即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間．（4）奇偶性：余弦型函數(shù)不一定具備奇偶性，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)．（5）周期：函數(shù)的周期與解析式中自變量的系數(shù)有關(guān)，其周期為．（6）對(duì)稱軸和對(duì)稱中心與正弦函數(shù)比較可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值（或最小值），因此函數(shù)的對(duì)稱軸由解出，其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，即對(duì)稱中心為．同理，的對(duì)稱軸由解出，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)由解出．知識(shí)點(diǎn)詮釋：判斷函數(shù)的奇偶性除利用定義和有關(guān)結(jié)論外，也可以通過(guò)圖象直觀判斷，但不能忽視“定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”這一前提條件．若，則函數(shù)不一定有對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．【題型歸納目錄】題型一：正余弦函數(shù)的周期問題題型二：正余弦函數(shù)的奇偶問題題型三：正余弦函數(shù)的對(duì)稱問題題型四：正余弦函數(shù)的單調(diào)問題題型五：根據(jù)正余弦函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題題型六：比較大小題型七：正余弦函數(shù)的最值與值域問題題型八：正余弦函數(shù)的綜合應(yīng)用【典型例題】題型一：正余弦函數(shù)的周期問題例1．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）的最小正周期是（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】因?yàn)椋驗(yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以的最小正周期為，所以的最小正周期?故選：A.例2．（2022·陜西漢中·高一期末）下列四個(gè)函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且最小正周期為的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】的最小正周期是，的最小正周期是，排除，BC兩個(gè)函數(shù)的最小正周期是，時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減．故選：B．例3．（2022·山東德州·高一期末）設(shè)函數(shù)，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所，，得，而，所以，因?yàn)榈淖钚≌芷诖笥?，所以有，因?yàn)?，所以，即，而，所以，即，故選：A變式1．（2022·陜西渭南·高一期末）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)解析式可知：最小正周期.故選：A.變式2．（2022·廣東·珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí)）下列函數(shù)中周期為，且為偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A：為周期為的偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：為周期為的奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：為周期為的偶函數(shù)，故C正確；對(duì)于D：為周期為的偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：C變式3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)(，)在區(qū)間上單調(diào)，且，則的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵函數(shù)，，，若在區(qū)間上單調(diào)，∴，即，∴，∵，∴為的一條對(duì)稱軸，且即為的一個(gè)對(duì)稱中心，∴，∴∴.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】（1）定義法，即利用周期函數(shù)的定義求解．（2）公式法，對(duì)形如或（，，是常數(shù)，，）的函數(shù)，（3）觀察法，即通過(guò)觀察函數(shù)圖象求其周期．三種方法各有所長(zhǎng)，要根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓}型二：正余弦函數(shù)的奇偶問題例4．（2022·浙江·杭州四中高一期末）在區(qū)間上為減函數(shù)，且為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)為奇函數(shù)，可得C，D錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤，B正確.故選：B.例5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的取值可以為（

）A． B． C． D．0【答案】A【解析】因函數(shù)為偶函數(shù)，則，顯然時(shí)，，即A滿足，B，C，D都不滿足.故選：A例6．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)是奇函數(shù)，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若函數(shù)是奇函數(shù)，則，得故選：C變式4．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)圖象的兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，且為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)閳D象的兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，所以最小正周期，則，所以因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，，所以，.因?yàn)椋?故選：B.變式5．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)（，，為實(shí)數(shù)），且，則（

）A． B．1 C． D．4045【答案】C【解析】設(shè)，，則，是奇函數(shù)，，所以，．故選：C．變式6．（2022·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)A，由，不是奇函數(shù)；對(duì)B，由，不是奇函數(shù)；對(duì)C，由，不是奇函數(shù)；對(duì)D，由，又的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以D正確．故選：D變式7．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)為一次函數(shù)，若對(duì)任意的，都有，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值之和為M，則M的值為（

）A． B．1 C．0 D．2【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為一次函數(shù)，令對(duì)任意的，都有，，所以，解得，所以一次函數(shù)為，令，，則則則為上的奇函數(shù)，則，所以函數(shù)的最大值與最小值之和為,所以M的值為2.故選：D．變式8．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（m為常數(shù)），則等于（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，解得：，所以時(shí)，，，所以，故選：D.變式9．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，為奇函數(shù)，，，，.故選:C變式10．（2022·貴州·遵義航天高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè),其中都是非零實(shí)數(shù),若,那么（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】f（x）＝asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零實(shí)數(shù)，若f（2019）＝asin（2019π+α）+bcos（2019π+β）＝﹣asinα﹣bcosβ＝﹣1，則asinα+bcosβ＝1，那么f（2020）＝asin（2020π+α）+bcos（2020π+β）＝asinα+bcosβ＝1，故選C．【方法技巧與總結(jié)】判斷函數(shù)奇偶性的方法（1）利用定義判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性，要考慮兩方面：①函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②與的關(guān)系；（2）判斷函數(shù)的奇偶性常用方法是：①定義法；②圖象法．題型三：正余弦函數(shù)的對(duì)稱問題例7．（2022·湖南·武岡市教育科學(xué)研究所高一期末）關(guān)于函數(shù)圖象的對(duì)稱性，下列說(shuō)法正確的是（

）A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．關(guān)于直線對(duì)稱C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】D【解析】對(duì)A，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，此時(shí)，故D正確，故選：D例8．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱軸方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于函數(shù)，令，解得，故函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，令，可知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為.故選：C例9．（2022·陜西西安·高一期末）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線C．是奇函數(shù) D．若，則【答案】B【解析】對(duì)于A，因，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)不對(duì)稱，A不正確；對(duì)于B，因，而，則數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線，B正確；對(duì)于C，不是奇函數(shù)，C不正確；對(duì)于D，取，顯然有，而，，D不正確.故選：B變式11．（2022·遼寧撫順·高一期末）函數(shù)，若方程的解為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所?令，可得；因?yàn)榉匠痰慕鉃?，所以，所以，所?因?yàn)?，所以，所?由，得，所以.故選：C.變式12．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知是上的奇函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，則，所以，，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，則，可得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則，解得，所以，，，故，因此，.故選：A.變式13．（2022·湖南·長(zhǎng)沙麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一開學(xué)考試）已知函數(shù)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．的值域?yàn)?D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】D【解析】因?yàn)樗裕珹正確；由，得，所以是的對(duì)稱軸，B正確；因?yàn)?，所以，即，C正確；由，得，所以的對(duì)稱中心為，D錯(cuò)誤.故選：D變式14．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）記函數(shù)（）的最小正周期為．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【解析】函數(shù)的最小正周期為，則，由，得，，的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，，且，則，．，，取，可得．，則．故選：D．變式15．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，．若方程的兩個(gè)解為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，，則，令，即函數(shù)，關(guān)于直線對(duì)稱，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，故選：B變式16．（2022·北京市第十二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱軸，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)，為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱軸，，即，，，即為正奇數(shù).在區(qū)間上單調(diào)，，即.①當(dāng)時(shí)，，，.此時(shí)，，在區(qū)間上，，在區(qū)間上不單調(diào)，故不滿足題意；②當(dāng)時(shí)，，，.此時(shí)，，在區(qū)間上，，在區(qū)間上不單調(diào)，故不滿足題意；③當(dāng)時(shí)，，，.此時(shí)，，在區(qū)間上，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故滿足題意.則的最大值為.故選：B.變式17．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，則，即,故的最小值為.故選：B變式18．（2022·江西·高一期中）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，解得，則．故選：B變式19．（2022·北京·中關(guān)村中學(xué)高一期中）若點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意可得，，所以，，當(dāng)時(shí)，.故選：C變式20．（2022·陜西·西安中學(xué)高一期中）已知直線是函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸，則的值為（

）A．3 B．4 C．2 D．1【答案】C【解析】依題意得，所以，即，又，所以.故選：C.變式21．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在內(nèi)不存在對(duì)稱中心，則的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)樵趦?nèi)不存在對(duì)稱中心，故，解得，又，，故，解得，又，所以，或，，故的取值范圍為.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】（1）正弦曲線（余弦曲線）既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形；（2）正弦曲線（余弦曲線）的對(duì)稱軸一定過(guò)正弦曲線（余弦曲線）的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，即此時(shí)的正弦值（余弦值）取最大值或最小值；（3）正弦曲線（余弦曲線）的對(duì)稱中心一定是正弦曲線（余弦曲線）與軸的交點(diǎn)，即此時(shí)的正弦值（余弦值）為0．題型四：正余弦函數(shù)的單調(diào)問題例10．（2022·內(nèi)蒙古·阿拉善左旗第一中學(xué)高一期末（文））函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，故求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可，令，解得故選：A例11．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在上的增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題知，又，所以，令，解得，所以函數(shù)在上的增區(qū)間是．故選：C．例12．（2022·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室高一期末）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，要求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，即求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.令，所以.故選：A.變式22．（2022·上海市新場(chǎng)中學(xué)高一期末）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，，解得，，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；故選：B變式23．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)是（

）A．奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減C．偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，是正弦函數(shù)，所以是奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.故選：A.變式24．（2022·北京市育英中學(xué)高一期中）已知函數(shù)和在區(qū)間I上都是減函數(shù)，那么區(qū)間I可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在和上遞增，在上遞減，在上遞減，在上遞增，因此在上都遞減．故選：B．變式25．（2022·河南開封·高二期末（理））已知函數(shù)的圖象的相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，．則（

）A．B．的圖象的對(duì)稱軸方程為C．的圖象的單調(diào)遞增區(qū)間為D．的解集為【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，所以的圖象的最小正周期為，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，令得，即的圖象的對(duì)稱軸方程為，故B錯(cuò)誤；令得，即的圖象的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C錯(cuò)誤；令，得，所以，解得，所以不等式的解集為，故D正確．故選：D．變式26．函數(shù)=的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由五點(diǎn)作圖知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故單調(diào)減區(qū)間為（，），，故選D.考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像與性質(zhì)【方法技巧與總結(jié)】（1）用“基本函數(shù)法”求函數(shù)（，）或（，）的單調(diào)區(qū)間的步驟：第一步：寫出基本函數(shù)（或）的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間；第二步：將“”視為整體替換基本函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（用不等式表示）中的“”；第三步：解關(guān)于的不等式．（2）對(duì)于形如的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，當(dāng)時(shí)，可先用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為，則的單調(diào)遞增區(qū)間即為原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間即為原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．余弦函數(shù)的單調(diào)性討論同上．另外，值得注意的是這一條件不能省略．題型五：根據(jù)正余弦函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題例13．（2022·上?！じ咭黄谀┮阎瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，因?yàn)椋?，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，故在上為增函數(shù)，故即，故選：A.例14．（2022·遼寧葫蘆島·高一期末）已知函數(shù),若使得在區(qū)間上為增函數(shù)的整數(shù)有且僅有一個(gè),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】,使得在區(qū)間上為增函數(shù)可得當(dāng)時(shí)，滿足整數(shù)至少有,舍去當(dāng)時(shí)，，要使整數(shù)有且僅有一個(gè),須,解得:實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:A．例15．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，一個(gè)對(duì)稱中心為，且在上單調(diào)，則的最大值（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】由于函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，一個(gè)對(duì)稱中心為，所以，兩式相減并化簡(jiǎn)得為奇數(shù)，排除B,D選項(xiàng).由于在上單調(diào)，所以，所以.當(dāng)時(shí)，由得，由于，故時(shí)不合題意.當(dāng)時(shí)，由得，由于，所以取，，此時(shí).由，解得，令得為的遞增區(qū)間，滿足.所以的最大值為.故選：C.變式27．（2022·山東棗莊·高一期末）已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，，得，，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，，∴，，即，，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A．變式28．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵

∴的單調(diào)減區(qū)間為∵，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，且

∴取，得

∴

∴，故答案選B變式29．（2022·河北·雞澤縣第一中學(xué)高一期末）已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)的周期，再由函數(shù)滿足，求得.時(shí)，得，是的一個(gè)減區(qū)間，但，取，可得,故函數(shù)的一個(gè)減區(qū)間為，，由,得，因?yàn)榈闹芷诓恍∮?，因此不可能包含在的某個(gè)減區(qū)間上，故選：A．變式30．（2022·浙江·平湖市當(dāng)湖高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則的一個(gè)可能值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橛珊瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得．由，得．所以所以，故選C.變式31．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是________【答案】【解析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得：（），所以：，解得：，整理可得：，當(dāng)有解，解得.故答案為：.變式32．（2022·福建·高一期末）已知函數(shù)，為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱軸，且在上單調(diào)，則的最大值為________.【答案】【解析】因?yàn)閤＝－為f(x)的零點(diǎn)，x＝為f(x)的圖象的對(duì)稱軸，所以－＝＋，即＝T＝·(k∈Z)，所以ω＝2k＋1(k∈Z)，又因?yàn)閒(x)在上單調(diào)，所以－＝≤＝，解得ω≤12，ω＝11時(shí)f(x)＝sin在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不成立，ω＝9時(shí)滿足條件，由此得ω的最大值為9.故答案為：9變式33．（2022·上海浦東新·高一期中）已知在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最大值為______【答案】【解析】設(shè),因?yàn)榍以趩握{(diào)遞增,在上單調(diào)遞增所以即所以的最大值為故答案為:變式34．（2022·江蘇連云港·高一期末）已知（其中）的單調(diào)遞增區(qū)間為，則_________.【答案】【解析】由于函數(shù)（其中）的單調(diào)遞增區(qū)間為，則該函數(shù)的最小正周期為，即，得.，解不等式，得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.因此，.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】已知正（余）弦函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，多用數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想求解．題型六：比較大小例16．（2022·河北·雞澤縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）比較，與的大小關(guān)系為______．【答案】【解析】因?yàn)?，，因?yàn)椋液瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以；故答案為：.例17．（2022·甘肅天水·高一階段練習(xí)（理））比較，，的大小_________.【答案】【解析】因?yàn)椋以谏蠟樵龊瘮?shù)，可知，又，可得.故答案為：例18．（2022·重慶·高一期末）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，，，∴.故選B.變式35．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)（是常數(shù)），若，則，，之間的大小關(guān)系可能是A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即，即，即，若取，則，且，所以；若取，則，且，所以；故選B.變式36．（2022·四川達(dá)州·高一期末（理））三個(gè)實(shí)數(shù)，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，又函?shù)，在單調(diào)遞減，所以，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，故選：C.變式37．（2022·河北·邢臺(tái)一中高一階段練習(xí)）已知，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，即，，，，，即，，故選：D.變式38．（2022·陜西·咸陽(yáng)百靈學(xué)校高一階段練習(xí)）若，則的大小關(guān)系是A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且所以，即故選：A【方法技巧與總結(jié)】比較兩個(gè)三角函數(shù)值的大?。?）比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小，先利用誘導(dǎo)公式把兩個(gè)角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較．（2）比較兩個(gè)不同名的三角函數(shù)值的大小，一般應(yīng)先化為同名的三角函數(shù)，后面步驟同上．題型七：正余弦函數(shù)的最值與值域問題例19．（2022·江蘇·蘇州市第五中學(xué)校高一階段練習(xí)）函數(shù)y＝sinx的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)?，則b－a的最大值是________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y＝sinx，x∈[a，b]的最小值和最大值分別為－1和.不妨在一個(gè)區(qū)間[0，2π]內(nèi)研究，可知，，由正弦函數(shù)的周期性可知(b－a)min＝，(b－a)max＝.故答案為：．例20．（2022·安徽六安·高一期中）已知函數(shù)f（x）＝sin，其中x∈，若f（x）的值域是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】∵x∈，∴x＋∈，∵f(x)的值域?yàn)椋浴躠＋≤，解得≤a≤π.故答案為：．例21．（2022·上海·曹楊二中高一期末）函數(shù)的最大值是__________.【答案】2【解析】由已知得,令，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為。故答案為：2變式39．（2022·河南安陽(yáng)·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的最大值為，最小值為.（1）求a?b的值；（2）求函數(shù)的最小值并求出對(duì)應(yīng)x的集合.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為，最小值為，所以，解得，（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，得，所以取得最小值時(shí)對(duì)應(yīng)x的集合為變式40．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為.（1）求和的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值.【解析】（1）因?yàn)榈膱D象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，所以的最小正周期，從而.又因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，又，所以.綜上，，.（2）由（1）知.當(dāng)時(shí)，可知.故當(dāng)，即時(shí)，.當(dāng)，即時(shí)，.變式41．（2022·江蘇省南通中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，若函數(shù)的最大值為0，最小值為，試求a與b的值，并求使y取得最大值和最小值時(shí)的x值.【解析】因?yàn)?，所以，（?。┊?dāng)，即時(shí)，

①

②由①，②解得或（舍去）（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，

③

④由③，④解得（舍去）綜上，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值變式42．（2022·新疆·庫(kù)車市伊西哈拉鎮(zhèn)中學(xué)高一期末）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求出取最值時(shí)的值．【解析】（1）函數(shù)的最小正周期為，由的單調(diào)增區(qū)間是可得，解得故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．（2）設(shè)，則，由在上的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，即，；當(dāng)時(shí)，即，．變式43．（2022·上?！?fù)旦附中高一期中）函數(shù)的值域?yàn)開____________.【答案】【解析】函數(shù)，分母不能為零，即，設(shè)，，且.，則，可得函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性，可得該函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.變式44．（2022·上海中學(xué)高一期中）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是______.【答案】.【解析】.令，∵∴，則，，當(dāng)時(shí)，.故答案為：.變式45．（2022·廣東·卓雅外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一階段練習(xí)）若函數(shù)的值域?yàn)?，則的最小值為_________【答案】【解析】函數(shù)因?yàn)?所以由正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,當(dāng)時(shí),且在時(shí)的值域?yàn)樗越獠坏仁娇傻盟缘淖钚≈禐楣蚀鸢笧?變式46．（2022·新疆·克拉瑪依十三中高一階段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開__________【答案】【解析】由，得定義域?yàn)?，且，即有，所以，解得，故函?shù)的值域?yàn)椋痉椒记膳c總結(jié)】一般函數(shù)的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等．三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，一般方法也適用，但要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì)．常見的三角函數(shù)求值域或最值的類型有以下幾種：（1）形如的三角函數(shù)，令，根據(jù)題中的取值范圍，求出的取值范圍，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性求出的最值（值域）．（2）形如的三角函數(shù)，可先設(shè)，將函數(shù)化為關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求值域（最值）．（3）對(duì)于形如（或）的函數(shù)的最值還要注意對(duì)的討論．題型八：正余弦函數(shù)的綜合應(yīng)用例22．（2022·江西省萬(wàn)載中學(xué)高一期中）已知函數(shù)，，(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的x值的集合；(3)若對(duì)任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】（1），解不等式得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），即時(shí)，

，，即時(shí)，；（3）時(shí)，，，時(shí)，，，要使得，只需，.例23．（2022·新疆·柯坪湖州國(guó)慶中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，.(1)求的最小正周期；(2)有零點(diǎn)，求的范圍.【解析】（1）由于，故其最小正周期為；（2）因?yàn)橛辛泓c(diǎn)，故有解，即有解，因?yàn)?，所以，?例24．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，對(duì)于任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】由題意知：，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，則在的最大值小于等于其在上的最大值；設(shè)在的最大值為，在上的最大值為；①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，，，則恒成立，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，，則恒成立，滿足題意；③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)，又，此時(shí)不成立，不合題意；④當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，只需，則恒成立，即，解得：，；⑤當(dāng)時(shí)，，，，則恒成立，滿足題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.變式47．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)求的值域；(2)若關(guān)于的方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故的值域?yàn)椋?）由，得，因?yàn)椋?，所以，令，則，，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，所以．因此的取值范圍為．變式48．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)，函數(shù)的最小值為，且為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1），；為的一個(gè)零點(diǎn)，，解得：，又，，；令，解得：，的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，，，；對(duì)任意的，恒成立，，解得：；即實(shí)數(shù)的取值范圍為.變式49．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，函數(shù)的最大值為0，最小值為，求，的值；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為2，求的值.【解析】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，最大，當(dāng)時(shí)，最小，可得，解得.（2）.令，則，，，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，得（舍去）；當(dāng)，即時(shí)，，得；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，得（舍去）.綜上可得，.變式50．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，其中為常數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)已知函數(shù)，若對(duì)任意的，均有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，可得，解得，又因?yàn)?，解得，所?（2）由，可得，所以，即，由，可得，所以，所以，因?yàn)閷?duì)任意的，均有，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·陜西師大附中高一期中）按從小到大排列的順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，因?yàn)?，在上為增函?shù)，所以，所以，故選：B2．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，故函數(shù)的值域?yàn)椋蔬x：A．3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最小值，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得.若在開區(qū)間內(nèi)存在最小值，則，解得，故選:B.4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)(其中的大致圖象如圖所示，則的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)(其中的大致圖象，可得，，因?yàn)?，所以，所以，結(jié)合五點(diǎn)法作圖，可得，解得，所以，所以函數(shù)的最小正周期為，故選：C.5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．的最大值為3，最小值為1B．的最大值為3，最小值為-1C．的最大值為，最小值為D．的最大值為，最小值為【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，設(shè)，，則，所以，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故選：C6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，，解得，．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是故選：C．7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在處取得最小值3，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，不合題意，若，由已知得，解得，與矛盾，舍去；若，由已知得，解得，，解得，又，所以，故選：C.8．（2022·湖南·新邵縣教研室高一期末）定義在上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，，故選：A.二、多選題9．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)B．函數(shù)的一個(gè)周期為C．函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為D．函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為【答案】ABC【解析】因?yàn)榈亩x域是，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A正確；因?yàn)?，所以的一個(gè)周期為，故B正確；函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，所以是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故C正確；函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC10．（2022·河北省文安縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知是銳角，那么下列各值中可能取得的值是（

）A． B．1 C． D．【答案】CD【解析】因?yàn)椋?，從?故選：CD.11．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽覺的波．我們聽到的每個(gè)音都是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)．音有四要素：音調(diào)、響度、音長(zhǎng)和音色，它們都與正弦函數(shù)參數(shù)有關(guān)．響度與振幅有關(guān)，振幅越大，響度越大，振幅越小，響度越??；音調(diào)與聲波的振動(dòng)頻率有關(guān)，頻率低的聲音低沉，頻率高的聲音尖利．像我們平時(shí)聽到的樂音不只是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱為復(fù)合音．我們聽到的聲音的函數(shù)是．結(jié)合上述材料及所學(xué)知識(shí)，你認(rèn)為下列說(shuō)法中正確的是（

）A．函數(shù)不具有奇偶性B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．若某聲音甲的函數(shù)近似為，則聲音甲的響度一定比純音的響度大D．若聲音乙的函數(shù)近似為，則聲音乙一定比純音低沉【答案