數(shù)學文化的探究教學案例設(shè)計

數(shù)學文化的探究教學案例設(shè)計

——數(shù)列的遞推公式

浙江師范大學與浙江省麗水市的兩所中學合作開展一

年的校本教研培訓活動，培訓形式除了專家講學外，大量的

是“同課異構(gòu)”式的教研活動。2008年3月14-15日在浙江

麗水中學、麗水學院附中就高一年級的高中新課程必修5第

2章：數(shù)列的遞推公式（數(shù)列復(fù)習課第1課）進行了4節(jié)公

開課教學。同一內(nèi)容分別由浙江麗水中學、溫州中學與麗水

學院附中的教師執(zhí)教，其中溫州中學執(zhí)教的李芳老師的教學

設(shè)計是在溫州中學特級教師馬玉斌老師以及浙江師范大學

張維忠教授等專家指導(dǎo)下完成的，而且她又是唯一有機會就

同一內(nèi)容講授2次的執(zhí)教老師。下面給出的是李芳老師前后

兩次上課的教學實錄與我們的思考。

1初次上課的教學設(shè)計

1.1回顧

回顧一：復(fù)習等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義式（遞推公式）

及通項公式，為后面由遞推公式推導(dǎo)通項公式做鋪墊。

回顧二：必修5中2.1的例2：謝賓斯基三角形

（1）介紹數(shù)學的歷史與文化

上世紀初，波蘭的數(shù)學家謝賓斯基想找到一個圖形，當

它的面積無限減小時，它的周長則無限增大（用幾何畫板進

行迭代演示）。

（2）數(shù)一數(shù)

將上述迭代過程逐一展示，讓學生數(shù)數(shù)在每個圖形中綠

色三角形的個數(shù)依次為多少？引出該等比數(shù)列的遞推式及

通項公式。

1.2探究

（3）再數(shù)一數(shù)：每個圖形中綠色、黑色三角形的總個

數(shù)依次為多少？

學生容易先得出前三項為1,4,13。

探究一：第4項是多少（從特殊到一般，引出遞推公

式）？

方法一（幾何方法）

從第二個圖象起，每一個圖象可以看成由前一個圖象的

三份縮影加上中間一個黑三角形。因此，。

方法二（代數(shù)方法）

從前三項的數(shù)值上也可以發(fā)現(xiàn)：，

方法三（代數(shù)方法）

（）

方法四（幾何方法）

從第二個圖象起，每一個圖象是在前一個圖象的每個綠

三角形中挖走一個中心三角形，這樣如圖所示的圈內(nèi)一個三

角形就變?yōu)樗膫€三角形，增加三個三角形。

在第個圖形中，綠三角形的個數(shù)為，所以，即。

歸納：當我們面對較為一個復(fù)雜的數(shù)列時，很難一眼看

清其全貌的話，可以先尋找出其遞推關(guān)系，這就是本堂課復(fù)

習的重點一一數(shù)列的遞推公式。

遞進：然而，我們得到該數(shù)列的遞推公式便滿足了嗎？

請問，它的第5項是幾？第6項是幾？（學生輕松回答）那

么，第100項是幾呢（學生一時語塞，隨即提筆思考）？

探究二：第100項是多少？（引出求通項公式的方法）

方法一的引導(dǎo)：

教師讓學生觀察遞推公式，提問：從而，誘導(dǎo)出利用“累

加法”來解決此問題。

教師小結(jié)以上解法：

其一，用了累加法，此法早在等差數(shù)列中由定義式推導(dǎo)

通項公式就曾用過，類似的還有累乘法；

其二，用了等比數(shù)列求和公式。

方法二的引導(dǎo)：

教師再讓學生觀察遞推公式。在遞推式中，若去1,就

是等比數(shù)列；若改3為1,則是等差數(shù)列。是否可構(gòu)造以3

為公比的等比數(shù)列呢？如何把常數(shù)1進行分配呢？假設(shè)等式

左邊分得m,則右邊就得3m。所以有：

小結(jié)：這可謂“殊途同歸”！同一個數(shù)列有兩個不同的

遞推公式，兩個不同的遞推公式推出同一個通項公式，雖分

別用了“累加法”和“構(gòu)造法”，但卻都是化歸為等差或等

比數(shù)列的有關(guān)概念來解決！

探究三：試由遞推公式推得數(shù)列的通項公式

給學生一些思考時間。部分學生均只能由已知條件求出

第3項為9,第4項為13,則猜想就是前面的數(shù)列。教師則

引導(dǎo)從開始出發(fā)，是否可再構(gòu)造等比數(shù)列？即

即為探究二中的兩個遞推公式，當然此數(shù)列就是前面的

數(shù)列。

1.3鞏固思考

意圖：（1）讓學生再次經(jīng)歷特殊到一般的歸納過程，培

養(yǎng)合情推理的能力；（2）從歸納的結(jié)果中發(fā)現(xiàn)通項的分母為

等差數(shù)列的通式，從而為嚴格論證開啟思路。

1.4歸納小結(jié)

當我們研究一個較為復(fù)雜的數(shù)列時，若不能馬上得出它

的通項公式，可以先通過其特殊項或其蘊含的幾何背景來發(fā)

現(xiàn)它的遞推公式，然后利用累加法、累乘法、構(gòu)造法等，將

遞推公式化歸為等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)問題，從而最終

求出數(shù)列的通項公式！

1.5課外作業(yè)

2改進后上課的教學設(shè)計

以上是第一天在麗水中學上課的課堂實錄，課堂上學生

探究的效果不理想，前段與后段較好，中間探究部分還不能

很好地引起大多數(shù)學生的共鳴。在當天的評課專題研討會上

專家與麗水中學的數(shù)學老師給出了許多建設(shè)性的改進意見，

李芳老師將案例做了如下的修改，第二天在麗水學院附中授

課，教學效果甚好。以下是第二天在麗水學院附中上課的課

堂實錄（為了便于前后對照，下面標題的序號與前面初次上

課的教學設(shè)計標題序號相同，內(nèi)容相同部分將略去）。

1.1回顧

改進：知識直接性復(fù)習引入改為問題背景式引入

如：寫出下列數(shù)列的通項公式？

（1）1,3,5,7,

（2）1,4,16,64,

學生回答：；

老師提問：你是怎么求出來的？（等差、等比數(shù)列的通

項公式）為什么數(shù)列（1）是等差數(shù)列（2）等比數(shù)列？（因

為：）這樣就復(fù)習了前面的知識，為后面的探究作好鋪墊。

1.2探究

探究二改進：提出問題，即數(shù)列的第100項是多少？（引

出求通項公式的方法）

一開始，教師先不引導(dǎo)，而是給學生一定的思考時間。

（教師的行為改變了，學生的反映也隨即發(fā)生了變化）

不久，學生甲在其草稿紙上寫下：

教師小結(jié)以上解法：

其一，其二，同初次上課的教學設(shè)計。

其三，從學生探究的結(jié)果出發(fā)，其表達式子中是否存在

等比數(shù)列？等比數(shù)列的本質(zhì)是什么？等形式，再啟發(fā)學生化

歸為：，

等形式，進而發(fā)現(xiàn)數(shù)列等均應(yīng)為等比數(shù)列（為另一遞推

公式構(gòu)造等比數(shù)列推導(dǎo)通項公式創(chuàng)造條件）。

探究三改進：尋找遞推公式中的幾何背景

先給學生充分的思考時間。

學生甲：我求得了所以我猜測就是前面的數(shù)列，即當然

這有一定的局限性。

學生乙：我根據(jù)式子的特征，將一個移到等號左邊,得：，

則為以3為公比的等比數(shù)列。

教師小結(jié)：

其一，對于乙的解法，教師先給與充分肯定，再提出思

考，你怎么看出從等號右側(cè)移一個到左側(cè)呢？一般情況下，

如何解決呢？引出利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列的方法（見

初次上課的教學設(shè)計）。

其二，前面的遞推式我們均能從幾何背景找到它們的解

釋，對于此遞推公式，仍能從謝賓斯基三角形中得到驗證

嗎？

四個圖案⑶的縮影去除三個圖案⑵的縮影即可得圖

案（4）,即有。同時，輔以幾何畫板的動畫演示，結(jié)果更加

形象，引起學生極大的興趣！

3討論與反思

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》指出：“數(shù)學是人類

文化的重組成部分。數(shù)學課程應(yīng)適當反映數(shù)學的歷史、應(yīng)用

和發(fā)展趨勢，數(shù)學對推動社會發(fā)展的作用，數(shù)學的社會需求,

社會發(fā)展對數(shù)學發(fā)展的推動作用，數(shù)學科學的思想體系，數(shù)

學的美學價值，數(shù)學家的科學精神?！保?］而“數(shù)列的遞推公

式”是高中新、舊教材均有的代數(shù)內(nèi)容，看起來比較簡單。

即：了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法并能根據(jù)遞推公式

寫出數(shù)列的前幾項。但筆者給出的教學設(shè)計卻是“源于教材,

高于教材。”謝爾賓斯基三角形原本是新教材中的一個例題

（文獻［2］中2.1的例2）,只給出了數(shù)列前面幾項。筆者的

教學設(shè)計結(jié)合文獻［3］第10章內(nèi)容作了深度挖掘。從謝爾賓

斯基三角形出發(fā)，引導(dǎo)學生探究數(shù)列的遞推公式，由于有先

前一節(jié)課的經(jīng)驗，第二次改進后的教學設(shè)計留給學生的探究

梯度恰當，加上數(shù)學歷史與文化的滲透，學生的參與度很高,

真正實現(xiàn)了師生互動。數(shù)形結(jié)合的思想以及數(shù)學的本質(zhì)：模

式建構(gòu)都得到了充分體現(xiàn)。

進一步，通過使用數(shù)學教學軟件“幾何畫板”現(xiàn)場制作

謝爾賓斯基三角形，并演示其中的變化，尋找遞推公式，等

的幾何背景，學生從謝爾賓斯基三角形的一系列變化中觀察

出了數(shù)列中項數(shù)的變化及其各種關(guān)系。具體講，從探究圖中

綠色三角形個數(shù)的計數(shù)問題自然過渡到對圖中綠色，黑色三

角形總個數(shù)的計數(shù)問題探究。這種從不同視角去引導(dǎo)學生觀

察分析謝爾賓斯基三角形的變化，并從中探究數(shù)列的遞推公

式和通項公式，傳遞自然、連貫貼切，現(xiàn)場課堂表現(xiàn)出學生

參與度高，課堂氣氛融洽，師生精神狀態(tài)良好，真正實現(xiàn)了

師生互