高中數(shù)學(xué)必修五總復(fù)習(xí)

第一章解三角形

一、基礎(chǔ)知識

在本章中約定用A,B,C分別表示△ABC的三個內(nèi)角，a,b,c分別表示它們所對的各邊長，上為半周長。

1.正弦定理：'一=—"=」一=2R（R為△ABC外接圓半徑）。

sinAsinBsinC

推論1：△ABC的面積為SAABc=LQbsinC=』AsinA=』casin8

222

推論2：在^ABC中,有bcosC+ccosB=a.

ab

推論3：在AABC中，A+B=6,解a滿足----=----------，則a=A.

sin。sin（6一。）

正弦定理可以在外接圓中由定義證明得到，這里不再給出，下證推論。先證推論1,由正弦函數(shù)定義，BC邊上的

高為bsinC,所以SAABC=—^sinC；再證推論2,因為B+C=i?A,所以sin(B+C尸sinA,即sinBcosC+cosBsinC=sinA,

兩邊同乘以2R得bcosC+ccosB=a；（換--種思路）再證推論4,由正弦定理，一="-,所以"巴="”⑷

sinAsinBsinAsin（夕一A）

即sinasin(0-A)=sin(0-a)sinA,等價于---[cos(3-A+a)-cos(0-A-a)]=------[cos(0-a+A)-cos(0-a-A)],等價于

22

cos(。-A+a)=cos(0-a+A),因為Ov。-A+a,0-a+A<].所以只有。-A+a=0-a+A,所以a=A,得證。

2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA0cosA=---------------,

2bc

二、基礎(chǔ)例題

3.一個常用的代換：在△ABC中，記點A,B,C到內(nèi)切圓的切線長分別為x,y,z,則a=y+z,b=z+x,c=x+y.

例4(看一下就可以)在△ABC中，求證：a2(b+c-a)4-b2(c+a-b)+c2(a+b-c)<3abc.

【證明】令a=y+z,b=z+x,c=x+y,則abc=(x+y)(y+z)(z+x)>S-Jxy-y[yz?Vzr=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.JW以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)<3abc.

4.三角換元。

223

例5設(shè)a,b,c《R+,且abc+a+c=b,試求尸=-^-------z-----+—5------的最大值。

a2+l曠+iH+i

〃+「

【解】由題設(shè)人=-----，(這個結(jié)構(gòu)重要，看結(jié)構(gòu)，想方法)a=tana,c=tany,b=tanp,

\-ac

則tan。=tan(a+y),P=2sinysin(2a4-y)+3cos2y<—3(sin7~~g]—~?

當且僅當a+0=衛(wèi)，siny二L即a=時，Pmax=—.

23243

Ab+c9

1.在△ABC中，cos222c10,c=5,求△ABC的內(nèi)切圓半徑.

b+c_9A_l+cosA_/)+cbb'ie-a1

【解析】：：c—5,2c10,/.b—4又cos?222c/.cosA=c又cos4=2bc

b'ie-a1_b

...2bcc/+，-“2=2〃a2+h2=c2...△ABC是以角C為直角的三角形.a=-/=3

1

ZVIBC的內(nèi)切圓半徑r=2(b+a-c)=l.

2.R是△ABC的外接圓半徑，若成<4R2cosAcosB,則外心位于aABC的外部.

【解析】：：a〃<4R2cosAcosB由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB4/?2sinAsinB<4/?2cosAcosB

cosAcosB>sinAsinBcosAcosB-sinAsinB>0cos(A+B)>0*.*cos(A+B)=-cosC/.-cosC>0

.??cosC<0J900<C<180°JZVIBC是鈍角三角形???三角形的外心位于三角形的外部.

3.半徑為R的圓外接于△A8C,且2R(sin2A-sin2O=(64-6)sinB.⑴求角C；(2)求△48C面積的最大值.

abcD.-2A,2/^/^\2?b

-------=--------=---------=27?..sinA.—(—),sinC—(—),sinBD=—

[解析]：(1):sinAsinBsinC2R2R2R

acb

2222

*/27?(sinA-sinQ=(a—b)smB/.2R[(2R)-(2R)]=(6a-h)-2R/.*_/=^3/

a2+b2-c2_432

2ab2：.cosC=2,C=30°

(2)V2absinC=227?sinA-2/?sinBsinC=R2sinAsinB=-2[cos(A+B)-cos(A-B)]

R2R2V3

=2[cos｛A-B)+cost7]=2[cos(/-而+2]當cos(4-百=1時，S有最大值

第二章數(shù)列

一、基礎(chǔ)知識

定義1數(shù)列，按順序給出的一列數(shù)，例如1,2,3,…，.數(shù)列分有窮數(shù)列和無窮數(shù)列兩種，數(shù)列｛斯｝的一般形

式通常記作41,。2,43,…，。"或4|,"2,“3,…，其中叫做數(shù)列的首項，4"是關(guān)于”的具體表達式，稱為數(shù)列的通

項。

定理1若S“表示｛?。那皀項和，則Si=0,當n>\時，的=S『Smi.

定義2等差數(shù)列，如果對任意的正整數(shù)小都有斯+L”“=d(常數(shù))，則｛““｝稱為等差數(shù)列，d叫做公差。若三個數(shù)a,6,

c成等差數(shù)列，即2b=a+c,則稱b為a和c的等差中項，若公差為d,則a=h-d,c=b+d.

定理2*****【必考】等差數(shù)列的性質(zhì)：1)通項公式如=m+(〃-l)d；2)前〃項和公式：S,尸〃(%+%)=na[+2空；

22

3)a“-"m=("-m)d,其中n,m為正整數(shù)；4)若n+m=p+q,則。"+即)=即+的；5)對任意正整數(shù)p,q,恒有斯-劭=(p-q)(“2-ai);

6)若4,B至少有一個不為零，則｛斯｝是等差數(shù)列的充要條件是S〃=4"2+B〃.

定義3等比數(shù)列，若對任意的正整數(shù)〃，都有=4，則｛如｝稱為等比數(shù)列，q叫做公比。

定理3*****【必考】等比數(shù)列的性質(zhì)：1）an=a\q"''t2）前”項和S,,,當gH1時，Sn=^-^~；當q=l時，S?=nai；

i-q

3）如果a,方,c成等比數(shù)列，即/=ac（6*0）,則人叫做a,c的等比中項；4）若m+”=p+q,則卬必產(chǎn)勾外。

定理4（看一下）數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p（"），若：（l）p（〃o）成立；（2）當p（〃而w=A成立時能推出p（〃）對"=%+1

成立，則由（1）,（2）可得命題p（〃）對一切自然數(shù)成立。

二、基礎(chǔ)例題

1.不完全歸納法。

這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律，當然結(jié)論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。

通常解題方式為：特殊—猜想一數(shù)學(xué)歸納法證明。

例1試給出以下幾個數(shù)列的通項（不要求證明）：1）0,3,8,15,24,35,…：2）1,5,19,65,???；3）-1,0,

3,8,15,…。

【解】1）a,尸〃2-1;2）。產(chǎn)3"-2"；3）a尸〃2_2〃.

例2已知數(shù)列｛a〃｝滿足。尸，,。]+。2+…尸幾%〃,求通項an.

2

【解】因為。尸L又a\+a2=22?t/2,

2

1q+生11

所以〃2=---，。3=，猜想an(心1).

3x232-13x4n{n+1)

證明；1）當〃=1時，0=—!—,猜想正確。2）假設(shè)當時猜想成立。

2x1

當〃=攵+1時，由歸納假設(shè)及題設(shè)，4]+???+〃尸[（攵+1）2-1]%],,

所以_L+—L1

+---~—二女(4+2)。&+1,

2x13x2攵x(攵+1)

nn11111

BP1----1------------F???H----------------二k(k+2)cik+i,

223kk+1

1

所以=&（攵+2）以+i,所以的產(chǎn)

k+1(k+1)(2+2)

由數(shù)學(xué)歸納法可得猜想成立，所以“〃=-------

n｛n+1）

例3設(shè)0＜。＜1,數(shù)列｛斯｝滿足%=1+。,為一1二。+」-,求證：對任意幾CN+,有斯＞1.

%

【證明】證明更強的結(jié)論：l＜a〃Wl+4.

1）當〃=1時，1＜〃尸1+小①式成立；

2）假設(shè)〃=%時，①式成立，即1〈斯Wl+m則當〃=%+1時,有

11l+a+a~l+a

]+a>%+]=---Fa2---------ci----------->-----=1.

ak\+a1+a\+a

由數(shù)學(xué)歸納法可得①式成立，所以原命題得證。

2.迭代法

數(shù)列的通項即或前〃項和S,,中的n通常是對任意“WN成立，因此可將其中的n換成〃+1或〃-1等，這種辦法通常稱

迭代或遞推。

例4數(shù)列｛斯｝滿足小+pa”“+ga〃-2=0,"23,夕。0,求證：存在常數(shù)c,使得。;+[+〃〃“+],+“"=0.

數(shù)學(xué)必修5第3頁共16頁

【證明】+pa〃+T?斯+i+q43=an+2(pan+\+an+2)+qa^J+i=an+2?(-qat^+qa^=

q(囁一《4+2)=q[a；+i+斯(?。"+1+的")]=虱%+1+pa“+i%+qa；).

若a；+pa2al+卯；=0,則對任意n,a^+l+pan+ian+qa^=0,取c=0即可.

若a；+pa2a,+qa；豐0,則｛a3+pan+lan+qa：｝是首項為a；+pa2al+qa；,公式為q的等比數(shù)列。

aaa+

所以n+i+Pn+\n也=⑷+M2al+)°

221

取C=一(。2+。2+44)?一即可.

q

綜上，結(jié)論成立。

例5已知一1=0,%+尸5如+J24a；+1,求證：?！ǘ际钦麛?shù)，〃￡N+.

【證明】因為41=0,42=1，所以由題設(shè)知當〃21時〃〃+1>即

又由〃〃+尸5斯+1244+1移項、平方得

%+|T0a,4+i+a：T=0?①

當"22時，把①式中的〃換成得a；-10a/“T+。3-1=0,即

一1044+1-1=0?②

因為an.\<a,^\,所以①式和②式說明an.\,an+i是方程-1=0的兩個不等根。由韋達定理得“卅+即尸10處(〃

22).

再由41=0,。2=1及③式可知,當"WN+時,如都是整數(shù)。

****3.數(shù)列求和法。

數(shù)列求和法主要有倒序相加、裂項求和法、錯項相消法等。

例6已知知=----■("=1,2,…)，求$99=。|+。2+…+。99.(看結(jié)構(gòu)想方法)

4+2

-ET,,112x2100+4?+4100-?］

-100100nl00-n100

［角串］因為a,,+a?oo-n-2100+4ico-n+21oo4x2+2(4+4)=2

199]9999

所以S99=5Z(”“+/00-")=弓、訶=訶.

例7求和：S,,=--—+—--+-+------1-------

1x2x32x3x4n(n+l)(n+2)

1_k+2-k

【解】一般地,

k(k+1)(%+2)-2k(k+1)(%+2)

1O__________]

2[k(k+1)(k+l)(k+2)

所以S行之-------------

￡-(&+l)(A+2)

21x22x32x33x4〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)

J_11

-2|_2-(n+l)(n+2)_

________]

42(〃+1)(〃+2)

例8已知數(shù)列｛a.｝滿足41=42=1，an+2=an+i+an,S”為數(shù)列<—>的前n項和，求證:S“<2。

2"

【證明】由遞推公式可知，數(shù)列｛a”｝前幾項為1,1,2,3,5,8,13。

h40112358a

因為S"=萬+齊+齊+m+齊+乎+…+^n’①

所以'S=，-+V+士-+2-H---177o②

2222324252,1+1

由①-②得=工+4(,+[+…+蕓]一上,

222?(2222"-2J2"1

所以一S”二—1-S”2----°

2242,,+,

又因為S?.2<Sn且2；,：]>0,

所以gs“<g+；s“，所以;s“<g,

所以S.<2,得證。

例10已知數(shù)列｛斯｝滿足ai=3,42=6,an+2=2an+i+3any求通項an.

（??=l[3n+l+（-l）n+1-3]o）

5.構(gòu)造等差或等比數(shù)列（構(gòu)造函數(shù)）

例11正數(shù)列〃0M,…，斯,…滿足Ja/n_2一Ja〃-]々〃-2=2。〃/（〃22）且a（）=a]=\,求通項。

數(shù)學(xué)必修5第5頁共16頁

注：n。/=C1?C2.........Cn.

i=\

*2+2

例12已知數(shù)列｛x“｝滿足xi=2,x“+尸」——,“GN+,求通項。

2x.

【解】考慮函數(shù)犬x)=九+2的不動點,由'J2=不得4±72.

2x2x

12+2

因為為=2,X〃+尸，——，可知“〃｝的每項均為正數(shù)。

又工：+222及%〃，所以加+12收(〃21)。又

x,+1S—必網(wǎng)玉L,①

2%2x”

x*+后=立七+

行上一+圖②

2Z2x〃

,2

X一\p2.xn—V2

由①+②得"7—二③

x,用+J2

$一V2

玉

又-------=>Qf

$+J2

由③可知對任意nGN+,—~~里＞0且1gx“+i-◎x-V2

21gn

尤”+i+&

xn+V2

x—V22-V2

所以1g是首項為1g公比為2的等比數(shù)列。

2+V2'

2”-i

,所以上因2-收

所以1g土=2"T-1g

x“+j2x.+j22+V2

/-(2+V2)2+(2-V2)

解得％=J2?-----千百---------

n}

(2+V2)--(2-V2)2~

注意：本例解法是借助于不動點，具有普遍意義。

1.設(shè)/(〃)=2+24+27+21°+--+23"|°,則/(〃)=().

07

(A)士⑻—1)(B)±(8〃+2-1)

77

(C)-(8n+3-l)(D)—(8"+4-1)

77

解析：數(shù)列2,24,2\，°,…，23.°是以2為首項，8為公比的等比數(shù)列，給出的這個數(shù)列共有(〃+4)項，根據(jù)等比

數(shù)列的求和公式有S"=2(8"4-1)=2(8"+4—1).選(D).

"8-17

2.在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第

1堆只有1層，就一個球；第2,3,4,…堆最底層(第一層)分別按下圖所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的

小球自然壘放在下一層之上，第〃堆第〃層就放一個乒乓球，以/(〃)表示第〃堆的乒乓球總數(shù)，則/(3)=；

/(〃)==_____(答案用〃表示).

【解析】：觀察歸納，/(3)=6+3+1=10；觀察圖示，不難發(fā)現(xiàn)第幾堆最底層(第一層)的乒乓球數(shù)

數(shù)之和,

.)5+2)

5

3.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項a,及公差d都為整數(shù)，前n項和為S,,.

(1)若《1=0,$4=98,求數(shù)列｛2｝的通項公式;

(2)若。“>0,S14<77,求所有可能的數(shù)列｛4｝的通項公式.

2a.+13d=14

【解析】：即4

%=04+104=0,

解得d=—2,4=20.

因此，｛4｝的通項公式是q=22—2〃，〃=1,2,3,…;

‘兒W77,2q+134W11,

(2)由，q]>0,>得,q+10d〉0,

qN6,q26,

'2q+13d〈l1,(1)

即一

-2ai-20d<Q,(2)

-2a,<-12.(3)

由①+②，得一7。<11,即d>-一.

7

數(shù)學(xué)必修5第7頁共16頁

由①+③，得13dW-1,即d這一-L

13

所以---<dW----.

713

又deZ,故d=—l.

將d=—1代入①、②，得10<qW12.

又4eZ,故4=11或4=12.

所以，數(shù)列｛%｝的通項公式是為=12-"或％=13-〃，n=l,2,3,--.

品：利用等差(比)數(shù)列的定義構(gòu)造方程(組)或不等式(組)是常用的解題方法.

4.設(shè)數(shù)列｛%｝，｛4｝,｛c,｝滿足bn=an-an+2,cH=an+2%+3an+2

(〃=1,2,3,…),證明｛4,｝為等差數(shù)列的充要條件是｛%｝為等差數(shù)列且勿W%(“=1,23,…).

【解析】：必要性：設(shè)｛4｝是公差為4的等差數(shù)列，

則“+1-3=(an+l-a—)一(4一%+2)

=a+1-勺)-&+3-/+2)=4-4=。?

易知2W%(〃=1,2,3,…)成立.

由遞推關(guān)系q,+i=(??+|-??)+2(?n+2-an+i)+3(an+3-an+2)-dl+2di+3dt=6&

(常數(shù))(n=l,2,3,???).

所以數(shù)列｛c,J為等差數(shù)列.

充分性：設(shè)數(shù)列｛%｝是公差為4的等差數(shù)列，且2W%](〃=1,2,3,…)，

??<=%+2%+3%，①

???%+2=%+2+2%+34+4，②

由①-②,得c“一cn+2=(a?-a,,+2)+2(%-*)+3(a,,+2-%+4)=2+2加+3bn+2.

,?,%一％+2=-24，

?.?2+2仇+1+32+2=-24，③

從而有b“+i+2b,+2+32+3=-24，④

④一③，得電+「d)+2電+2-〃用)+3(2+3-%2)=0，⑤

：仇+1一2》0，bn+2-bn+i)0,bn+3-bn+220,

由⑤得b“+]一＞“=0(〃=l,2,3,…),

由此不妨設(shè)a=4(〃=1,2,3,…)，

則%一為+2=4(常數(shù))?

由此%=4+2??+,+3an+2=4%+2a?+l-3d..

從而4+1=4%+2a-—34，兩式相減得q川一c”=2(an+i-an)-2d3.

因此％用—4=；(c,,+i—c,,)+&=34+4(常數(shù))(爐1，2,3,--?),即數(shù)列｛凡｝為等差數(shù)列.

品：利用遞推關(guān)系式是解決數(shù)列問題的重要方法，要熟練掌握等差數(shù)列的定義、通項公式.

5.已知數(shù)列｛?！埃凉M足q=1,%=24+1.

(1)求數(shù)列｛。“｝的通項公式；

(2)若.4廿?…邛門=⑷+1盧，d=k",證明｛a｝是等差數(shù)列.

【解析】：(1)：a“+i=2%+1(〃eN*),二4+|+1=2(a“+1).

.??｛為+1｝是以4+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列.

.?.4+1=2",即=2"-1；

(2)-…4*，T=(4+1)*,

利用㈤｝的通項公式，有=2%.

2[(/?!+b2H—,+=nb".①

構(gòu)建遞推關(guān)系

2[(4+打+…+b“+bn+l)-(n+l)]=(n+1)/??+|,②

數(shù)學(xué)必修5第9頁共16頁

②一①，得

(〃_1)%_〃2+2=0,③

從而有〃么+2-(〃+1)2+1+2=0,④

③一④，得〃〃+2-2泌“1+〃2=0，即%2-2仇用+/=()?

故｛"｝是等差數(shù)列.

[方法：]由遞推式求數(shù)列的通項，常常構(gòu)造新的輔助數(shù)列為等差或等比數(shù)列，用迭代法、累加法或累乘法求其通項.

第三章不等式

一、基礎(chǔ)知識

不等式的基本性質(zhì):

(1)a>b<=>a-b>0；(2)a>b,b>cna>c；

(3)a>b=>a+c>b+c；(4)a>b,c>0=>ac>bc；

(5)a>b,c<0=>ac<bc;(6)a>b>0,c>d>0=>ac>bd;

(7)a>b>0,n6N+=>an>bn;(8)a>b>0,neN+=>'\[a>'-{[b;

(9)a>0,|x|<a<=>-a<x<a,|x|>a<^>x>a或x<-a;

(10)a,bGR,貝iJ|aHb|W|a+b區(qū)|a|+|b|;

(11)a,beR,則(a-b>K)oa2+b2N2ab;

(12)x,y,z《R+,則x+yZ2,x+y+z2

因為前五條是顯然的，以下從第六條開始給出證明。

(6)因為a>b>0,c>d>0,所以ac>bc,bc>bd,所以ac>bd；重復(fù)利用性質(zhì)(6),可得性質(zhì)(7)；再證性質(zhì)(8),用

反證法，若底1m冊,由性質(zhì)(7)得(后)”《(后尸，即aSb,與a>b矛盾，所以假設(shè)不成立，所以板>揚；由

絕對值的意義知(9)成立；-|a|WaW|a|,-|b|WbW|b|,所以-(|a|+|b|)Wa+bW|a|+|b|,所以|a+b|W|a|+|b|；下面再證(10)的左邊，

因為|a|=|a+b-b|W|a+b|+|b|,所以|aHb|S|a+b|,所以(10)成立；(11)顯然成立；下證(12),因為x+y-2而=(五—方產(chǎn)加，

所以x+y>2y/xy,當且僅當x=y時，等號成立，再證另一不等式，令我==c,因為x3+b3+cJ-3abc

=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=

y(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]>0,所以a?+b3+c323abc,即x+y+五3兩厘，等號當且僅當x=y=z時成立。

二、基礎(chǔ)例題

1.不等式證明的基本方法。

A

(1)比較法，在證明A>B或A<B時利用A-B與0比較大小，或把一(A,B>0)與1比較大小，最后得出結(jié)論。

B

例1設(shè)a,b,cGR+試證：對任意實數(shù)x,y,z,有

-----\

abca+bb+cC+Q

x2+y2+z2>2.

N(Q+〃)(b+C)(C+4)

【證明】左運右邊一W+Z—2J就匕r-2be

-------------------yz

(a+〃)(c+a)

cababa2c2

-2-------------------XZ=-------X2-2,------------孫+-----y+--------y

(a+b)(b+c)b+c(Z?+C)(C+Q)c+aC+Q

例2若a<X<l,比較大?。簗10ga(l-X)|^|10ga(l+X)|.

【解】因為1-XH1,所以loga(l-x)10,'=|10g(i.x)(l+X)|=-10g(l-x)(l+X)=k)ga-x)—>10g(lR(l-X)=l(因

|logfl(l-x)|l+x

為0<l-x2<l,所以——>l-x>0,0<l-x<l).

l+x

所以|loga(1+x)|>|loga(l-x)|.

(2)分析法(了解)，即從欲證不等式出發(fā)，層層推出使之成立的充分條件，直到已知為止，敘述方式為：要證

只需證...。

例3已知a,b,c￡R+,求證：a+b+c-3\labc>a+b-2y[ab.

【證明】要證a+b+c一軼lc?a,b>a+b-2yfab.只需證c+2y[ab>3Vabc,

因為c+=c+J3>c?a.〃=3\labc,所以原不等式成立。

1?11

例4已知實數(shù)a,b,c滿足OvaWbgeW—,求證：-------<---------F-----------.

2c(y-c)a(l-b)b(l-a)

【證明】因為0<a<b<c<—,由二次函數(shù)性質(zhì)可證a(1-a)<b(l-b)<c(l-c)，

2

所以

a(\—a)bQ-b)c(l-c)

—-

所以

a(l-a)b(\-b)b(l-b)c(l-c)

所以只需證明—1—+―1—<—1一+—1—,

a(l-a)b(l-b)a(l-b)b[\-d)

4『曰、丁a-ba-h

也就是證-------------<-------------，

Q(l—Q)(l-〃)h(1—6F)(1—b)

只需證b(a?b)ga(a?b),即(a-b^K),顯然成立。所以命題成立。

(3)數(shù)學(xué)歸納法。

例5對任意正整數(shù)n(N3),求證：nn+1>(n+l)n.

【證明】1)當n=3時，因為34=81>64=43,所以命題成立。

(k+1嚴

2)設(shè)n=k時有當n=k+l時，只需證(k+l)k+2>(k+2)k+i,即>1.因為------>l,所以只

伏+2嚴(A+1)Ar

數(shù)學(xué)必修5第11頁共16頁

需證^kM

,即證(k+1)2k+2>[k(k+2)]k+i,只需證(k+l)2>k(k+2),即證k2+2k+l>k2+2k.顯然成立。

(k+2)M(4+1產(chǎn)

所以由數(shù)學(xué)歸納法，命題成立。

(4)反證法。

例6設(shè)實數(shù)ao,a1,…,an滿足ao=an=O,且ao-2ai+a2>O,ai-2a2+a3>0/--,an-2-2an-i+an>0,求證ak<O(k=l,2,…，n-1).

[證明]假設(shè)ak(k=l,2,…,n?l)中至少有一個正數(shù),不妨設(shè)arMai,a2,…,an-i中第一個出現(xiàn)的正數(shù),則ai<0,a2<0/*\

ar-i<0,ar>0.于是a「ar.i>0,依題設(shè)ak+i-akNak?ak-i(k=l,2,…，n?l)。

所以從k=r起有an-ak-1>an-1-an-2>,??>ar-ar.i>0.

因為a?>ak-i>--->ar+i>ar>0與an=0矛盾。故命題獲證。

(5)分類討論法。

(6)放縮法，即要證A>B,可證A>CI,CGC2,…,Cn-iNCn,Cn>B(n￡N+).(放縮法尤為重要)

1

例8求證：1H---1---1—,+-<n(n>2).

23T-

【證明】1+'+111111

+…+->--1--+--+-+-+---1----Fd------

232n-1244；2"2"2"

1,n-11〃田工

1+-------->-,得證。

2n22"2

bc

例9已知a,b,c是4ABC的三條邊長,m>0,求證:------------1----------->-----

a+mb+mc+m

baba+bm

【證明】------------1----------->-------------------1------------------1-

a+mb+ma+b+ma+b+ma+b+ma+b+m

,m

>1-----——(因為a+b>c),得證。

c+mc+m

(7)引入?yún)⒆兞糠ā?引參為消參服務(wù))

例10已知X,y￡R+,1,a,b為待定正數(shù)，求f(x,y)=F+f的最小值。

尤-V

(i+k)2(

【解】設(shè)上=左，則Xkl

->f(x,y)=

XT+7、k2

a3+/+a3k+a3k+b3?4+/?—+/?3?—+a3/:2>^(aW+3a2b+3ab2)=

3k2kk

7

(4+6)3(Q+/?)'

，等號當且僅當@=2時成立。所以f(x,y)mi產(chǎn)

22

例11tSX1>X2>X3>X4>2,X2+X3+X4>X1，求證：(X1+X2+X3+X4)2<4x1X2X3X4.

【證明】設(shè)X尸k(X2+X3+X4)，依題設(shè)有g(shù)<k<l,X3X4>4,原不等式等價于(1+k/(X2+X3+X4)V4kx2X3X“X2+X3+X4)，即

(l+&)2

(X2+X3+X4)<X2X3X4，因為f(k)=k+1'在上遞減,

4&k3

j(1+左/11

所以———(X2+X+X)=—(2+：+2)(X2+X3+X4)

4k344k

3+-+2

3

<------------------>3X2=4X23X2X3X4.

4

所以原不等式成立。

(8)局部不等式。

xyZ〉3百

例12已知x,y,z￡R+,且x2+y2+z2=l,求證:2++2

1-x1-y21-z~~2~

【證明】先證—v2地小.

1-x22

因為X(1-X2)=J；-2/(1—X2)2<

22

xXX

所以------->——

1—X222

343

、3百

y2

同理y，

1-/一2

z

邛2

1-z2

222

所以“yZ>^-(x+y+z)

2++2

1-X1一y21-Z2

abc

例13已知ga,b,cWl,求證:——+--------+---------<2o

bc+1ca+\ab+\

【證明】先證」一4—^—.①

bc-\-\Q+b+C

即a+b+c<2bc+2.

即證(b-l)(c-1)+l+bc>a.

因為OSa,b,cSl,所以①式成立。

b2b

同理-------<-----------,-------<-----------

CQ+1Q+b+cab+\a+b+c

三個不等式相加即得原不等式成立。

(9)利用函數(shù)的思想。

例14已知非負實數(shù)a,b,c滿足ab+bc+ca=l,求f(a,b,c)=——H？1-的最小值。

a+bb+cC+Q

cc/T

【解】當a,b,c中有一個為0,另兩個為1時、f(a,b,c)=—,以下證明f(a,b,c)N—.不妨設(shè)a>b>c,則0<c<---,

223

數(shù)學(xué)必修5第13頁共16頁

2ca+b1

f(a,b,c)=-5—;1

c+1c+1a+b

「、](a+b)2

因為1=(a4-b)c+ab<------------+(a+b)c,

4

解關(guān)于a+b的不等式得a+b>2(Vc2+l-c).

考慮函數(shù)g(t)=———H—,且（0在［+l,+8）上單調(diào)遞增。

c+1

__________

又因為OScw],所以3c2q.所以c2+aN4c2.所以2“。？+1一0丘Jc?+1.

2ca+b1

所以f(a,b,c)=-9-------1----?-------1---------

c+1c+1a+b

2