工程力學(xué)理論力學(xué)篇——

運(yùn)動(dòng)學(xué)

運(yùn)動(dòng)學(xué)是研究物體運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)的科學(xué)。也就是從幾何學(xué)方面來(lái)研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)。

運(yùn)動(dòng)學(xué)的內(nèi)容包括：運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度。

學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)學(xué)的意義：首先是為學(xué)習(xí)動(dòng)力學(xué)打下必要的基礎(chǔ)；其次運(yùn)動(dòng)學(xué)本身也有獨(dú)立的應(yīng)用。由于物體運(yùn)動(dòng)的描述是相對(duì)的。將觀察者所在的物體稱為參考體，固結(jié)于參考體上的坐標(biāo)系稱為參考坐標(biāo)系。只有明確參考系來(lái)分析物體的運(yùn)動(dòng)才有意義。

時(shí)間概念：瞬時(shí)和時(shí)間間隔。

運(yùn)動(dòng)學(xué)所研究的力學(xué)模型為：點(diǎn)和剛體。運(yùn)動(dòng)實(shí)例1——刨床運(yùn)動(dòng)實(shí)例2——飛機(jī)機(jī)動(dòng)飛行運(yùn)動(dòng)實(shí)例3——齒輪傳動(dòng)運(yùn)動(dòng)實(shí)例4——齒輪齒條傳動(dòng)運(yùn)動(dòng)實(shí)例5——四連桿機(jī)構(gòu)第四章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)描述和剛體基本運(yùn)動(dòng)

§4.1

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)描述

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在空間所占的位置隨時(shí)間連續(xù)變化而形成的曲線，稱為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可按軌跡形狀分為直線運(yùn)動(dòng)和曲線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)軌跡為圓時(shí)稱為圓周運(yùn)動(dòng)。表示點(diǎn)的位置隨時(shí)間變化的規(guī)律的數(shù)學(xué)方程稱為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。本節(jié)研究的內(nèi)容為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度，以及它們之間的關(guān)系。1.運(yùn)動(dòng)方程

選取參考系上某確定點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，自點(diǎn)O向動(dòng)點(diǎn)M作矢量r，稱為點(diǎn)M相對(duì)原點(diǎn)O的位置矢量，簡(jiǎn)稱矢徑。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，矢徑r隨時(shí)間而變化，并且是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，即一、矢徑法MrO2.速度動(dòng)點(diǎn)的速度矢等于它的矢徑對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。

動(dòng)點(diǎn)的速度矢沿著矢徑矢端曲線的切線，即沿動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的切線，并與此點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向一致。AMBOr(t)r(t+Δt)M'vv*Δr3.加速度

點(diǎn)的速度矢對(duì)時(shí)間的變化率稱為加速度。點(diǎn)的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的變化。點(diǎn)的加速度等于它的速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于它的矢徑對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。

有時(shí)為了方便，在字母上方加“.”表示該量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，加“..”表示該量對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。

如在空間任意取一點(diǎn)O，把動(dòng)點(diǎn)M在連續(xù)不同瞬時(shí)的速度矢v0,v1,v2，…等都平行地移到點(diǎn)O，連接各矢量的端點(diǎn)M1，M2，M3，…，就構(gòu)成了矢量v端點(diǎn)的連續(xù)曲線，稱為速度矢端曲線，如圖所示。動(dòng)點(diǎn)的加速度矢a的方向與速度矢端曲線在相應(yīng)點(diǎn)M的切線相平行。速度矢端曲線OM1M2M3v0v1v2a加速度的方向確定二、直角坐標(biāo)法這組方程叫做用直角坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。

如以矢徑r的起點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則矢徑r可表示為：MrOkijyyxxzz

速度在各坐標(biāo)軸上的投影等于動(dòng)點(diǎn)的各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。速度若已知速度的投影，則速度的大小為其方向余弦為

加速度在各坐標(biāo)軸上的投影等于動(dòng)點(diǎn)的各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。若已知加速度的投影，則加速度的大小為其方向余弦為加速度三、自然法1.弧坐標(biāo)這就是自然坐標(biāo)形式的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。

設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為如圖所示的曲線，則動(dòng)點(diǎn)M在軌跡上的位置可以這樣確定：在軌跡上任選一點(diǎn)O為參考點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)O的某一側(cè)為正向，動(dòng)點(diǎn)M在軌跡上的位置由弧長(zhǎng)s確定，視弧長(zhǎng)s為代數(shù)量，稱它為動(dòng)點(diǎn)M在軌跡上的弧坐標(biāo)。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，s隨著時(shí)間變化，它是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，即MOs(-)(+)2.自然軸系

即以點(diǎn)M為原點(diǎn)，以切線、主法線和副法線為坐標(biāo)軸組成的正交坐標(biāo)系稱為曲線在點(diǎn)M的自然坐標(biāo)系，這三個(gè)軸稱為自然軸系。且三個(gè)單位矢量滿足右手法則，即Mnbt

曲線切線的轉(zhuǎn)角對(duì)弧長(zhǎng)一階導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值稱為曲線在M點(diǎn)的曲率。曲率的倒數(shù)稱為M點(diǎn)的曲率半徑。3.曲率MM'△s△jtt'兩個(gè)相關(guān)的計(jì)算結(jié)果(當(dāng)Δt→0)OMM't"t't△j△s△t4.點(diǎn)的速度用矢量表示為：

在曲線運(yùn)動(dòng)中，點(diǎn)的速度是矢量。它的大小等于弧坐標(biāo)對(duì)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，它的方向沿軌跡的切線，并指向運(yùn)動(dòng)的一方。rr'△rMM'△stv5.點(diǎn)的切向加速度和法向加速度由于所以上式表明加速度矢量a是由兩個(gè)分矢量組成：分矢量at的方向永遠(yuǎn)沿軌跡的切線方向，稱為切向加速度，它表明速度代數(shù)值隨時(shí)間的變化率；分矢量an的方向永遠(yuǎn)沿主法線的方向，稱為法向加速度，它表明速度方向隨時(shí)間的變化率。全加速度為at和an的矢量和大?。悍较颍航猓喝點(diǎn)的直線軌跡為x軸，曲柄的轉(zhuǎn)動(dòng)中心O為坐標(biāo)圓點(diǎn)。M點(diǎn)的坐標(biāo)為：例4-1下圖為偏心驅(qū)動(dòng)油泵中的曲柄導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)。設(shè)曲柄OA長(zhǎng)為r，自水平位置開(kāi)始以勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)，即j=wt，滑槽K-K與導(dǎo)桿B-B制成一體。曲柄端點(diǎn)A通過(guò)滑塊在滑槽K-K中滑動(dòng)，因而曲柄帶動(dòng)導(dǎo)桿B-B做上下直線運(yùn)動(dòng)。試求導(dǎo)桿的運(yùn)動(dòng)方程，速度和加速度。BABOKMKwxjx

將j=wt帶入上式，得M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程：將上式對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)得：例4-2一人高h(yuǎn)2，在路燈下以勻速v1行走，燈距地面的高為h1，求人影的頂端M沿地面移動(dòng)的速度。解:取坐標(biāo)系x如圖所示，由幾何關(guān)系得:上式對(duì)t求一階導(dǎo)數(shù)，得M點(diǎn)的速度為:h1h2xmx2Mx

例4-3桿AB繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)套在半徑為R的固定大圓環(huán)上的小護(hù)環(huán)M運(yùn)動(dòng)，已知φ＝wt(w為常數(shù))。求小環(huán)M的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則即為小環(huán)M的運(yùn)動(dòng)方程。故M點(diǎn)的速度大小為其方向余弦為故M點(diǎn)的加速度大小為且有§4.2

剛體的平移

如果在物體內(nèi)任取一直線段，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中這條直線段始終與它的最初位置平行，這種運(yùn)動(dòng)稱為平行移動(dòng)，簡(jiǎn)稱平移。當(dāng)剛體平行移動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)的軌跡形狀相同；在每一瞬時(shí)，各點(diǎn)的速度相同，加速度也相同。

因此，研究剛體的平移，可以歸結(jié)為研究剛體內(nèi)任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。剛體平移的速度和加速度yxzaBvBvAaArArBABB1B2A2A1O平移剛體各點(diǎn)的速度相同平移剛體各點(diǎn)的加速度相同§4.3

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

在剛體運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若剛體上或其延伸部分上有一條直線始終不動(dòng)，具有這樣一種特征的剛體的運(yùn)動(dòng)稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)動(dòng)。該固定不動(dòng)的直線稱為轉(zhuǎn)軸。兩平面間的夾角用j表示，稱為剛體的轉(zhuǎn)角，用弧度(rad)表示。轉(zhuǎn)角j是一個(gè)代數(shù)量，它確定了剛體的位置。

符號(hào)規(guī)定：自z軸的正端往負(fù)端看，從固定面起，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?；順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)。一、轉(zhuǎn)角

當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)角j是時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，即這就是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。

轉(zhuǎn)角j對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，稱為剛體的瞬時(shí)角速度，用w表示:

角速度表征剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢和方向，其單位用rad/s(弧度/秒)表示。

角速度是代數(shù)量，從軸的正端向負(fù)端看，剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角速度取正值，反之取負(fù)值。二、運(yùn)動(dòng)方程三、角速度

角速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，稱為剛體的瞬時(shí)角加速度，用字母a表示，即

角加速度表征角速度變化的快慢，其單位用rad/s2(弧度/秒2)表示。角加速度也是代數(shù)量。

如果w與a同號(hào)，則轉(zhuǎn)動(dòng)是加速的；如果w與a異號(hào)，則轉(zhuǎn)動(dòng)是減速的。四、角加速度

工程上常用轉(zhuǎn)速n來(lái)表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢。n的單位是轉(zhuǎn)/分(r/min)，w與n的轉(zhuǎn)換關(guān)系為勻速轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)§4.4

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)

各點(diǎn)的速度和加速度當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)任意一點(diǎn)都做圓周運(yùn)動(dòng):圓心在軸線上;圓周所在的平面與軸線垂直;圓周的半徑R等于該點(diǎn)到軸線的垂直距離。動(dòng)點(diǎn)速度的大小為

設(shè)剛體由定平面A繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)任一角度j，到達(dá)B位置，其上任一點(diǎn)由O'運(yùn)動(dòng)到M。以固定點(diǎn)O'為弧坐標(biāo)s的原點(diǎn)，按j角的正向規(guī)定弧坐標(biāo)s的正向，于是一、速度轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)速度的大小等于剛體角速度與該點(diǎn)到軸線的垂直距離的乘積，它的方向沿圓周的切線而指向轉(zhuǎn)動(dòng)的一方。

點(diǎn)M的加速度有切向加速度和法向加速度。切向加速度為：即：轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的切向加速度的大小，等于剛體的角加速度與該點(diǎn)到軸線垂直距離的乘積，它的方向由角加速度的符號(hào)決定，當(dāng)a是正值時(shí)，它沿圓周的切線，指向角j的正向；否則相反。二、切向加速度法向加速度為：

轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的法向加速度(又稱向心加速度)的大小，等于剛體角速度的平方與該點(diǎn)到軸線的垂直距離的乘積，它的方向與速度垂直并指向軸線。三、法向加速度1）如果w與a同號(hào)，角速度的絕對(duì)值增加，剛體作加速轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)點(diǎn)的切向加速度at與速度v的指向相同；2）如果w與a異號(hào)，剛體作減速轉(zhuǎn)動(dòng)，at與v的指向相反。速度和加速度點(diǎn)的速度：(1)在每一瞬時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)所有各點(diǎn)的速度和加速度的大小，分別與這些點(diǎn)到軸線的垂直距離成正比。

(2)在每一瞬時(shí)，剛體內(nèi)所有各點(diǎn)的加速度a與半徑間的夾角q都有相同的值。點(diǎn)的全加速度：

例4-4齒輪傳動(dòng)是工程上常見(jiàn)的一種傳動(dòng)方式，可用來(lái)改變轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向。如圖，已知r1、r2、w1、α1，求w2、α2。解：因嚙合點(diǎn)無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，所以由于于是可得即w1α1r1O1O2r2w2α2v1v2aτ1aτ2

解：圓輪在任一瞬時(shí)的角速度和角加速度為求當(dāng)t=1s時(shí)，則為因此輪緣上任一點(diǎn)M的速度和加速度為方向如圖所示。例4-5一半徑為R=0.2m的圓輪繞定軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為,

單位為弧度。求t=1s時(shí)，輪緣上任一點(diǎn)M的速度和加速度（如圖）。如在此輪緣上繞一柔軟而不可伸長(zhǎng)的繩子并在繩端懸一物體A，求當(dāng)t=1s時(shí)，物體A的速度和加速度。M點(diǎn)的全加速度及其偏角為現(xiàn)在求物體A的速度和加速度。因?yàn)橐虼松鲜絻蛇吳笠浑A及二階導(dǎo)數(shù)，則得§4.5以矢量表示的角速度和角加速度·以矢積表示點(diǎn)的速度和加速度

角速度矢量從轉(zhuǎn)軸上任一點(diǎn)畫出，其長(zhǎng)度按比例尺由決定，指向由右手法則確定。以表示z軸的單位矢量，則角速度矢量對(duì)上式求導(dǎo)，則角加速度矢量角速度矢量和角加速度矢量均為滑動(dòng)矢量。當(dāng)二者方向相同時(shí)，剛體越轉(zhuǎn)越快；當(dāng)二者方向相反時(shí)，剛體越轉(zhuǎn)越慢。角速度矢量用矢積表示點(diǎn)的速度

在旋轉(zhuǎn)軸上任選一點(diǎn)O為原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的矢徑用r表示，則點(diǎn)M的速度可以用角速度矢與它的矢