第2章常用邏輯用語(yǔ)章末小結(jié)TOC\o"1-4"\h\z\u第2章《常用邏輯用語(yǔ)》章末小結(jié) 1知識(shí)框架 1一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn) 1知識(shí)點(diǎn)1充分條件與必要條件的判斷 2知識(shí)點(diǎn)2充分、必要、充要條件的應(yīng)用 3知識(shí)點(diǎn)3全稱量詞命題與存在量詞命題 4二、活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練 11一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1充分條件與必要條件的判斷：充分條件、必要條件是高考對(duì)邏輯部分的主要考查點(diǎn)，有些題目比較簡(jiǎn)單，直接根據(jù)定義即可判斷．有些題目與不等式集合等內(nèi)容結(jié)合可借助數(shù)軸轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系解決．采用數(shù)形結(jié)合的方法，可使問(wèn)題直觀化、形象化．例1設(shè)p：1＜x＜2，q：|x－1|＜1，則p是q成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件例2“a＝0”是“二次函數(shù)y＝x2＋ax(x∈R)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)條件．知識(shí)點(diǎn)2充分、必要、充要條件的應(yīng)用：充分、必要及充要條件的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下兩類．一類是已知兩個(gè)命題的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，另一類是與充要條件相關(guān)的證明題．這部分內(nèi)容也是考查的重點(diǎn)，常用不等式集合、方程交匯命題．對(duì)于第一類問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系求解，但要注意端點(diǎn)值能否取到，對(duì)于證明題要從充分性和必要性兩方面說(shuō)明．例1已知非空集合A＝{x|2a－3<x<3a＋1}，集合B＝{x|－5<x<4}．(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使“x∈A”是“x∈B”的充要條件？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．例2求證：a2>b2的一個(gè)充分不必要條件是a>|b|.知識(shí)點(diǎn)3全稱量詞命題與存在量詞命題：全稱量詞命題和存在量詞命題主要包括這兩類命題的判定與否定．對(duì)于判定類的題目可直接根據(jù)定義判斷，對(duì)于否定類的要否定量詞和結(jié)論．本知識(shí)點(diǎn)常用方程的解、不等式、集合等交匯命題，難度為基礎(chǔ)題，主要考查邏輯推理能力和綜合應(yīng)用能力．例1命題p：“?x∈R，x2>0”，則()A．p是假命題；p：?x∈R，x2<0B．p是假命題；p：?x∈R，x2≤0C．p是真命題；p：?x∈R，x2<0D．p是真命題；p：?x∈R，x2≤0例2已知命題“?x∈R，使4x2＋x＋eq\f(1,4)(a－2)≤0”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．二．活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練一、單選題1．命題“任意，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．2．已知，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．設(shè)，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要4．命題：“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，5．下列結(jié)論中正確的是（）A．?n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是真命題B．?n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命題C．?n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命題D．?n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假命題6．命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．二、多選題7．下列說(shuō)法中正確的有（

）A．“”是“”成立的充分不必要條件B．命題：，均有，則的否定：，使得C．設(shè)是兩個(gè)數(shù)集，則“”是“”的充要條件D．設(shè)是兩個(gè)數(shù)集，若，則，8．已知是的充分條件而不是必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件.現(xiàn)有下列命題：①是的充要條件；②是的充分條件而不是必要條件；③是的必要條件而不是充分條件；④的必要條件而不是充分條件；則正確命題序號(hào)是（

）A．① B．② C．③ D．④9．命題“?1≤x≤3，－a≤0”是真命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A．a(chǎn)≥9 B．a(chǎn)≥11 C．a(chǎn)≥10 D．a(chǎn)≤10三、填空題10．已知命題p：?x∈R，x2+x﹣a＞0為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__.11．已知命題p：，命題q：，使得成立，若p是真命題，q是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)____.12．已知集合，或，若“”是“”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________．四、解答題13．判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，請(qǐng)寫出它們的否定，并判斷其真假：(1)p：對(duì)任意的x∈R，都成立；(2)q：?x∈R，使．14．一學(xué)校開(kāi)展小組合作學(xué)習(xí)模式，高二某班某組王小一同學(xué)給組內(nèi)王小二同學(xué)出題如下：若“，”是假命題，求m的取值范圍．王小二略加思索，反手給了王小一一道題：若“，”是真命題，求m的取值范圍．你認(rèn)為，兩位同學(xué)題中m的取值范圍是否一致？并說(shuō)明理由．15．設(shè)全集，集合，非空集合，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若命題“，”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．16．已知集合，，.(1)若，求集合；(2)在，兩個(gè)集合中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，，___________，求使p是q的必要不充分條件的的取值范圍.17．設(shè)：，：.(1)若，且、均為真命題，求滿足條件的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合；(2)若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.第2章常用邏輯用語(yǔ)章末小結(jié)TOC\o"1-4"\h\z\u第2章《常用邏輯用語(yǔ)》章末小結(jié) 1知識(shí)框架 1一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn) 1知識(shí)點(diǎn)1充分條件與必要條件的判斷 3知識(shí)點(diǎn)2充分、必要、充要條件的應(yīng)用 6知識(shí)點(diǎn)3全稱量詞命題與存在量詞命題 10二、活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練 42一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1充分條件與必要條件的判斷：充分條件、必要條件是高考對(duì)邏輯部分的主要考查點(diǎn)，有些題目比較簡(jiǎn)單，直接根據(jù)定義即可判斷．有些題目與不等式集合等內(nèi)容結(jié)合可借助數(shù)軸轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系解決．采用數(shù)形結(jié)合的方法，可使問(wèn)題直觀化、形象化．例1設(shè)p：1＜x＜2，q：|x－1|＜1，則p是q成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件例2“a＝0”是“二次函數(shù)y＝x2＋ax(x∈R)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)條件．【解答】例1A例2充要[例1當(dāng)1＜x＜2時(shí)，0＜x－1＜1，所以|x－1|＜1，即p?q；但由|x－1|＜1，得0＜x＜2，所以qp.例2當(dāng)a＝0時(shí)，二次函數(shù)y＝x2＋ax(x∈R)即為f(x)＝x2，關(guān)于y軸對(duì)稱；二次函數(shù)y＝x2＋ax(x∈R)的對(duì)稱軸為x＝－eq\f(a,2)，其關(guān)于y軸對(duì)稱，則－eq\f(a,2)＝0，解得a＝0.綜上可知，“a＝0”是“二次函數(shù)y＝x2＋ax(x∈R)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”的充要條件．]知識(shí)點(diǎn)2充分、必要、充要條件的應(yīng)用：充分、必要及充要條件的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下兩類．一類是已知兩個(gè)命題的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，另一類是與充要條件相關(guān)的證明題．這部分內(nèi)容也是考查的重點(diǎn)，常用不等式集合、方程交匯命題．對(duì)于第一類問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系求解，但要注意端點(diǎn)值能否取到，對(duì)于證明題要從充分性和必要性兩方面說(shuō)明．例1已知非空集合A＝{x|2a－3<x<3a＋1}，集合B＝{x|－5<x<4}．(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使“x∈A”是“x∈B”的充要條件？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．[解](1)因?yàn)椤皒∈A”是“x∈B”的充分條件，所以A?B，又A≠?，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－3≥－5，,3a＋1≤4，,2a－3<3a＋1，))解得－1≤a≤1，所以a∈[－1,1]．(2)若存在實(shí)數(shù)a，使“x∈A”是“x∈B”的充要條件，即A＝B，則必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－3＝－5，,3a＋1＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,a＝1，))則方程組無(wú)解．故不存在實(shí)數(shù)a，使“x∈A”是“x∈B”的充要條件．例2求證：a2>b2的一個(gè)充分不必要條件是a>|b|.[證明]充分性：因?yàn)閍>|b|，所以a>0，即|a|>|b|≥0，所以a2>b2，所以a>|b|是a2>b2的充分條件，因?yàn)閍＝－2，b＝1時(shí)a2>b2，但a<|b|，所以a>|b|不是a2>b2的必要條件．綜上，a2>b2的一個(gè)充分不必要條件是a>|b|.知識(shí)點(diǎn)3全稱量詞命題與存在量詞命題：全稱量詞命題和存在量詞命題主要包括這兩類命題的判定與否定．對(duì)于判定類的題目可直接根據(jù)定義判斷，對(duì)于否定類的要否定量詞和結(jié)論．本知識(shí)點(diǎn)常用方程的解、不等式、集合等交匯命題，難度為基礎(chǔ)題，主要考查邏輯推理能力和綜合應(yīng)用能力．例1命題p：“?x∈R，x2>0”，則()A．p是假命題；p：?x∈R，x2<0B．p是假命題；p：?x∈R，x2≤0C．p是真命題；p：?x∈R，x2<0D．p是真命題；p：?x∈R，x2≤0【解答】由于02>0不成立，故“?x∈R，x2>0”為假命題，根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題可知，“?x∈R，x2>0”的否定是“?x∈R，x2≤0”，故選B.例2已知命題“?x∈R，使4x2＋x＋eq\f(1,4)(a－2)≤0”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解]∵命題“?x∈R，使4x2＋x＋eq\f(1,4)(a－2)≤0”是假命題．∴命題“?x∈R，使4x2＋x＋eq\f(1,4)(a－2)>0”是真命題．即判別式Δ＝12－4×4×eq\f(1,4)(a－2)<0.即a>eq\f(9,4).二．活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練一、單選題1．命題“任意，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出命題為真時(shí)等價(jià)條件（充要條件），然后根據(jù)定義判斷．【詳解】任意，，即恒成立，所以，只有A是充分不必要條件．故選：A．2．已知，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】滿足，但無(wú)意義，不成立，不充分，反之，滿足，但無(wú)意義，即不成立，因此不必要，從而應(yīng)為既不充分也不必要條件故選：D．3．設(shè)，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，故由可得或，由，可得，故“”是“”必要不充分條件.故選：B.4．命題：“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)命題的否定的定義判斷．【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，命題：“，”的否定是：，．故選：B5．下列結(jié)論中正確的是（）A．?n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是真命題B．?n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命題C．?n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命題D．?n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假命題【答案】C【分析】使用特值法可以解決，舉例說(shuō)明n＝1時(shí)2n2+5n+2不能被2整除，n＝2時(shí)2n2+5n+2能被2整除，從而得出結(jié)論．【詳解】當(dāng)n＝1時(shí)，2n2+5n+2不能被2整除，當(dāng)n＝2時(shí)，2n2+5n+2能被2整除，所以A、B、D錯(cuò)誤，C項(xiàng)正確．故選：C．6．命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)命題是真命題，由，恒成立求解.【詳解】因?yàn)槊}“，”是真命題，所以，恒成立，所以，結(jié)合選項(xiàng)，命題是真命題的一個(gè)充分不必要條件是，故選：B二、多選題7．下列說(shuō)法中正確的有（

）A．“”是“”成立的充分不必要條件B．命題：，均有，則的否定：，使得C．設(shè)是兩個(gè)數(shù)集，則“”是“”的充要條件D．設(shè)是兩個(gè)數(shù)集，若，則，【答案】ACD【分析】舉反例可判斷A選項(xiàng)；由全稱例題的否定是特稱命題可判斷B選項(xiàng)；由集合間的交集運(yùn)算和集合間的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)；由集合非空和集合與元素間的關(guān)系可判斷D選項(xiàng).【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，能推出，而由不能推出，如，而，所以“”是“”成立的充分不必要條件，故A正確；對(duì)于B，命題：，均有，則命題的否定：，使得，故B不正確；對(duì)于C，是兩個(gè)數(shù)集，則由能推出，反之，由能推出，所以“”是“”的充要條件，故C正確；對(duì)于D，是兩個(gè)數(shù)集，若，即集合A、B存在相同的元素，則，，故D正確，故選：ACD.8．已知是的充分條件而不是必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件.現(xiàn)有下列命題：①是的充要條件；②是的充分條件而不是必要條件；③是的必要條件而不是充分條件；④的必要條件而不是充分條件；則正確命題序號(hào)是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】ABD【分析】根據(jù)題設(shè)有，但?，即知否定命題的推出關(guān)系，判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由題意，，但?，故①②正確，③錯(cuò)誤；所以，根據(jù)等價(jià)關(guān)系知：且?，故④正確.故選：ABD9．命題“?1≤x≤3，－a≤0”是真命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A．a(chǎn)≥9 B．a(chǎn)≥11 C．a(chǎn)≥10 D．a(chǎn)≤10【答案】BC【分析】由命題為真求出a的范圍，然后由集合的包含關(guān)系可得.【詳解】由得，因?yàn)槊}為真，所以，記為，因?yàn)橐竺}為真的充分不必要條件，所以所選答案中a的范圍應(yīng)為集合A的真子集.故選：BC三、填空題10．已知命題p：?x∈R，x2+x﹣a＞0為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__.【答案】a【分析】根據(jù)命題p為假命題，則它的否定￢p是真命題，利用判別式≥0求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)槊}p：?x∈R，x2+x﹣a＞0為假命題，所以它的否定￢p：?x∈R，x2+x﹣a≤0為真命題，所以＝12﹣4×（﹣a）≥0，解得a.故答案為：a11．已知命題p：，命題q：，使得成立，若p是真命題，q是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)____.【答案】【分析】根據(jù)p是真命題可得，再分析當(dāng)q是真命題時(shí)，進(jìn)而求得q是假命題時(shí)a的取值范圍即可【詳解】命題p：恒成立，若p是真命題，則：，命題q：，使得成立，若命題q為真命題，則.所以命題q是假命題時(shí)，，綜上，參數(shù)a的取值范圍為：，即故答案為：12．已知集合，或，若“”是“”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________．【答案】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念可得集合A與B的包含關(guān)系，畫出數(shù)軸即可得不等式組從而求出a的范圍．【詳解】∵“”是”的必要條件，∴，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，由圖可知或，解得或，綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．四、解答題13．判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，請(qǐng)寫出它們的否定，并判斷其真假：(1)p：對(duì)任意的x∈R，都成立；(2)q：?x∈R，使．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】判斷命題是特稱命題還是全稱命題，然后利用否定形式寫出命題的否定，進(jìn)而判斷真假即可．(1)由于命題中含有全稱量詞“任意的”，因此，該命題是全稱量詞命題，又因?yàn)椤叭我獾摹钡姆穸椤按嬖谝粋€(gè)”，所以其否定是：存在一個(gè)x∈R，使成立，即“?x∈R，使”，因?yàn)?，所以方程無(wú)實(shí)數(shù)解，此命題為假命題．(2)由于“?x∈R”表示存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，即命題中含有存在量詞“存在一個(gè)”，因此，該命題是存在量詞命題．又因?yàn)椤按嬖谝粋€(gè)”的否定為“任意一個(gè)”，所以其否定是：對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，都有成立．即“?x∈R，有”，因?yàn)椋詫?duì)?x∈R，總成立，此命題是真命題．14．一學(xué)校開(kāi)展小組合作學(xué)習(xí)模式，高二某班某組王小一同學(xué)給組內(nèi)王小二同學(xué)出題如下：若“，”是假命題，求m的取值范圍．王小二略加思索，反手給了王小一一道題：若“，”是真命題，求m的取值范圍．你認(rèn)為，兩位同學(xué)題中m的取值范圍是否一致？并說(shuō)明理由．【答案】?jī)晌煌瑢W(xué)題中m的取值范圍是一致的，理由見(jiàn)解析【分析】由全稱、特稱命題及其否定的真假