數(shù)知識點詳

解

知識點一平面直角坐標系

1、平面直角坐標系

在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標系。

其中，水平的數(shù)軸叫做X軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上

為正方向；兩軸的交點0（即公共的原點）叫做直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平

面，叫做坐標平面。

為了便于描述坐標平面內(nèi)點的位置，把坐標平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫

做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限。

2、點的坐標的概念

點的坐標用（a,b）表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在后,中間有“，”分開,橫、縱

坐標的位置不能顛倒。平面內(nèi)點的坐標是有序?qū)崝?shù)對，當。b時，（a,b）和（b,a）是兩

個不同點的坐標。

知識點二不同位置的點的坐標的特征

1、各象限內(nèi)點的坐標的特征

點P（x,y）在第一象限x0,y0

點P（x,y）在第二象限x0,y0

點P（x,y）在第三象限x0,y0

點P(x,y)在第四象限x0,y0

2、坐標軸上的點的特征

點P(x,y)在x軸上y0,x為任意實數(shù)

點P(x,y)在y軸上x0,y為任意實數(shù)

點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x,y同時為零，即點P坐標為(0,0)

3、兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征

點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x與y相等

點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數(shù)

4、和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征

位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同。

位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。

5、關(guān)于x軸、y軸或遠點對稱的點的坐標的特征點P與點p,

關(guān)于x軸對稱橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)點P與點p'

關(guān)于y軸對稱縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)點P與點p'

關(guān)于原點對稱橫、縱坐標均互為相反數(shù)

6、點到坐標軸及原點的距離

點P(x,y)到坐標軸及原點的距離：

(7)點P(x,y)到x軸的距離等于M

(2)點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于|x|

(3)點P(x,y)到原點的距離等于6一/

知識點三函數(shù)及其相關(guān)概念

1、變?與常，

在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。

一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y,如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的

值與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，丫是乂的函數(shù)。

2、函數(shù)解析式

用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。

使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。

3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點

(1)解析法

兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表示，這種

表示法叫做解析法。

(2)列表法

把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表

法。

(3)圖像法

用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。

4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟

(1)列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值

(2)描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標，在坐標平面內(nèi)描出相應(yīng)的點

(3)連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。

知識點四正比例函數(shù)和一次函數(shù)

1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

一般地，如果ykx8(1<3是常數(shù)，1<0),那么y叫做x的一次函數(shù)。

特別地，當一次函數(shù)ykxb中的b為0時，y近(k為常數(shù)，k0、這時，y叫做x的

正比例函數(shù)。

2、一次函數(shù)的圖像

所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線

3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征:

一次函數(shù)ykxb的圖像是經(jīng)過點（0,b）的直線；正比例函數(shù)y質(zhì)的圖像是經(jīng)過原點（0,

4、正比例函數(shù)的性質(zhì)

一般地，正比例函數(shù)ykx有下列性質(zhì)：

(1)當k>0時，圖像經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；

(2)當k<0時，圖像經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小。

5、一次函數(shù)的性質(zhì)

一般地，一次函數(shù)ykxb有下列性質(zhì)：

(1)當k>0時，y隨x的增大而增大

(2)當k<0時，y隨x的增大而減小

6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定

確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)kx(k0)中的常數(shù)k0確定一個一

次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)kxb(k0)中的常數(shù)k和b。解這類問題的一般方

法是待定系數(shù)法

知識點五反比例函數(shù)

1、反比例函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)yJ(k是常數(shù)，k0)叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫成

X

ykxi的形式。自變量x的取值范圍是x0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實

數(shù)。

2、反比例函數(shù)的圖像

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、

四象限，它們關(guān)于原點對稱。由于反比例函數(shù)中自變量x0,函數(shù)y0,所以，它的圖像

與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。

3、反比例函數(shù)的性質(zhì)

反比例y3(k0)

函數(shù)

k的符

號k>0k<0

41

Y

-----------------?

------------------?

圖像

0xX

①x的取值范圍是x0,①x的取值范圍是x0,

y的取值范圍是y0;y的取值范圍是y0;

性質(zhì)②當k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別②當k<0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別

在第一、三象限。在每個象限內(nèi)，y在第二、四象限。在每個象限內(nèi)，y

隨X的增大而減小。隨X的增大而增大。

4、反比例函數(shù)解析式的確定

確定及諼是的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)y,中，只有一個待定系數(shù)，因此

只需要一對對應(yīng)值或圖像上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式。

5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義

過反比例函數(shù)y0）圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM,PN,則所得的矩形PMON

X

k

的面積S=PMPN=|y|\i\xy\oy-,xyk,S0

X

知識點六二次函數(shù)的概念和圖像

1、二次函數(shù)的概念

一般地，如果特yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，特別注意a不為零，那么y叫做x的

二次函數(shù)。

yax2bxc(a,4c是常數(shù)，a0)叫做二次函數(shù)的一般式。

2、二次函數(shù)的圖像

二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于X—小小隹?攵"在EI裕.在

2a對稱的曲線，M條曲線叫拋物線。

拋物線的主要特征：

①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。

3、二次函數(shù)圖像的畫法

五點法：

(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點M,并用虛線畫出對

稱軸

(2)求拋物線yax2bxc與坐標軸的交點：

當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C,再找到點C

的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)

的圖像。

當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點Do由C、M、

D三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、

B,然后順次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖像。

知識點七二次函數(shù)的解析式

二次函數(shù)的解析式有三種形式：口訣一般兩根三頂點

(1)一般一般式：yax2bxc(〃,瓦c是常數(shù)，a0)

2

(2)兩根當拋物線yaxbx。與X軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程o?bxco有

實根x和x存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式a/bxca(xx)(x),二次函數(shù)

X

1212

yax2bx?？赊D(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)a(xix)(x力。如果沒有交點，則不能這樣表示。

a的絕對值越大，拋物線的開口越小。

(3)三頂點頂點式：ya(xh)2k(a,h,k是常數(shù)，a0)

知識點八二次函數(shù)的最值

如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值)，即當

4acb1

x工時‘溫

4。

b

如果自變量的取值范圍是為x及，那么，首先要看一是否在自變量取值范圍匹xX?

2a

b日寸4acb1

內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當X=—'%值4a；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)

在玉x尤2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨X的增大而增大，則當x々時，

yax2bxc,當xx時，yca2bxc；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減

最大221最小11

22

小，則當xx時，yaxbx，當工工時，yaxbxcQ

i最大ii2最小22

知識點九二次函數(shù)的性質(zhì)

y

y

圖

像

0x0x

(1)拋物線開口向上，并向上無限延伸；(1)拋物線開口向下，并向下無限延

伸；—

(2)對稱軸是*=—，頂點坐標是(—

b

(2))對稱軸是x=",頂點坐標

2a2a_________是

\acb22a

)；

4a__

/b4acb2、——

(,);

(3)在對稱軸的左側(cè)，即當x<時，y2a4a

2ah

(3)在對稱軸的左側(cè)，即當x<時，

隨X的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，——2a

性

即當x>〃時，y隨X的增大而增大，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右

2a

質(zhì)側(cè)，即當x>"時，y隨x的增大

簡記左減右增;2a

(4)拋物線有最低點，當x="時，y有而減小，簡記左增右減；

2a

(4)拋物線有最高點，當x=2時，y

4acb2一

2a

最小值，y最小值4

4a4acb1

有取大值，y最大值

4./7

2、二次函數(shù)yax2bxc(a,仇c是常數(shù),a0)中，a、b、c的含義：

a表示開口方向：a>0時，拋物線開口向上

a<0時，拋物線開口向下

b與對稱軸有關(guān)：對稱軸為x=2

2a

C表示拋物線與y軸的交點坐標：(0,C)

3、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標。

因此一元二次方程中的b24ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點。

當>0時，圖像與x軸有兩個交點；

當=0時，圖像與x軸有一個交點；

當<0時，圖像與x軸沒有交點。

知識點十中考二次函數(shù)壓軸題?？脊剑ū赜洷貢斫庥洃洠?/p>

1、兩點間距離公式（當遇到?jīng)]有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法）

如圖：點A坐標為（X1，）點B坐標為（X2,丫2）

22

%不)1%

則AB間的距離，即線段AB的長度為

2、二次函數(shù)圖象的平移

①將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng)axh2左，確定其頂點坐標〃次；

②保持拋物線y譚的形狀不變，將其頂點平移到萬水處，具體平移方法如下：

③平移規(guī)律

在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”.

函數(shù)平移圖像大致位置規(guī)律（中考試題中，只占3分，但掌握這個知識點，對提高答題速度

有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時間）

特別記憶一同左上加異右下減（必須理解記憶）

說明①函數(shù)中ab值同號，圖像頂點在y軸左側(cè)同左，ab值異號，圖像頂點必在Y軸右側(cè)

異右

②向左向上移動為加左上加，向右向下移動為減右下減

3'直線斜率：ktanjb為直線在y軸上的截距4、直線方程：

飛再

4、①兩點由直線上兩點確定的直線的兩點式方程，簡稱兩式：

yykxb(tan)%b%%出此公式有多種變形牢記

②點斜y弘kx(xxi)

③斜截直線的斜截式方程，簡稱斜截式：y=kx+b(k*O)

④截距由直線在*軸和y軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡稱截距式："1

ab

牢記口訣---兩點斜截距一兩點點斜斜截截距

5、設(shè)兩條直線分別為k、xah：yk2xb2若//，2，貝u有k\k2

且凡b2o若4%hk21

6、點P(x,y)至!］直線y=kx+b(即:kx-y+b=O)的距離：d—%4g切可

°°&2(1)27F-1

7、拋物線vax2bxc中，abc,的作用

(1)。決定開口方向及開口大小，這與y辦2中的。完全一樣

(2)b和。共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線yax1bx。的對稱軸是直線

hh

x_,故：①b0時，對稱軸為y軸；②t0(即。、b同號)時，對稱軸在y

2aa

軸左側(cè)；③匕0(即。、b異號)時，對稱軸在y軸右側(cè).口訣-一同左異右

a

(3)c的大小決定拋物線yax2bxc與y軸交點的位置.

當了0時，yc,「.拋物線yax2bxc與y軸有且只有一^交點(0,c)：

①c0,拋物線經(jīng)過原點;

②c0,與y軸交于正半軸；

③c0,與y軸交于負半軸.

b

0.

以上三點中，當結(jié)論和條件互換時，仍成立,如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則

十一中考點擊

考點分析：

內(nèi)容要求

1、函數(shù)的概念和平面直角坐標系中某些點的坐標特點1

2、自變量與函數(shù)之間的變化關(guān)系及圖像的識別，理解圖像與變量的關(guān)系1

3、一次函數(shù)的概念和圖像1

4、一次函數(shù)的增減性、象限分布情況，會作圖II

5、反比例函數(shù)的概念、圖像特征，以及在實際生活中的應(yīng)用II

6、二次函數(shù)的概念和性質(zhì)，在實際情景中理解二次函數(shù)的意義，會利用二次

II

函數(shù)刻畫實際問題中變量之間的關(guān)系并能解決實際生活問題

十二一些技巧(函數(shù)部分)

特殊點坐標特征:坐標平面點(x,y),橫在前來縱在后和(+,-),四個象限

分前