第3講整式的乘、除法

［模塊一：募的運(yùn)算1

形如心（°大0,加為正整數(shù)）的整式就叫做幕，表示，"個(gè)a相乘，其中a叫做幕的底數(shù)，機(jī)叫做幕

的指數(shù).

a-a=a,{a）=a,（a。）=ab,a—a=a,a=La=——=（一）

tana

其中,”。，m,〃為正整數(shù).

*.1經(jīng)典例題I

【例1】速算比賽:

4組：⑴。隊(duì)。2。.（2）（o1?）2；（3）（a,0b20）2；（4）a100^a2,其中awO,b^O.

⑵(-d)2.(—片)3；

8組：⑴(-x)3.(-幻2;

0)(-2a2)2.Ma4);⑷9Hmy■y.(一3.2)

，，-2?=2

。組：⑴(4fy)2+8y2；⑵9a"f喈3a分.

(3)1(jaV)34-(3^a&2)2；⑷(OBfyy+dEy

[例2]⑴計(jì)算：卜|x2%]x1|x3%]x1-gx4%]x)|x5%}1()2。=.

⑵計(jì)算：2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=.

[例3]已知有理數(shù)無(wú)，y,z滿(mǎn)足|x-z-2|+(3x-6y-7)?+|3y+3z-4|=O，求三勺加之,"的值.

【例4]⑴計(jì)算(一2)2°°7+(—2)2°°8的結(jié)果為：

【例5】Digitsoftheproductof2516x238is

A.32B.34C.36D.38

［例6］⑴已知d"=2,a1'=3,求產(chǎn)+2”的值.

⑵若2x+5y-3=0,求4'R.

［例7］比較255、3”、53\6"四個(gè)數(shù)的大小.

【例8］你能比較兩個(gè)數(shù)20082°09和20092皎的大小嗎？

為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們先寫(xiě)出它的一般形式，即比較〃向與（〃+1）"的大?。?是自然數(shù)），然后，

我們分析w=2,n=2,n=3，…中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)歸納，猜想得出結(jié)論.

⑴通過(guò)計(jì)算，比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小（在空格中填寫(xiě)“>7"='：“<”號(hào)）

012_21;023_32;?34_43;?45_54;?56_65...

⑵從第⑴題的結(jié)果經(jīng)過(guò)歸納，可以猜想出“用和（“+D"的大小關(guān)系是.

⑶根據(jù)上面歸納猜想得到的一般結(jié)論，試比較下列兩個(gè)數(shù)的大小ZOO"。092OO92008.

濟(jì).［模塊二：整式的乘法

1、單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：系數(shù)、同底數(shù)幕分別相乘作為積的因式，只有一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連

同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。以下舉例說(shuō)明單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的規(guī)則如下：必3/。3c2=，兩

個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)分別為1和3,乘積的系數(shù)是3,兩個(gè)單項(xiàng)式中關(guān)于字母a的幕分別是。和片，乘積中a的

幕是/,同理，乘積中》的幕是/,另外，單項(xiàng)式向中不含c的幕，而3a%3c2中含片,故乘積中含c".

2、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：?jiǎn)雾?xiàng)式分別與多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)相乘，然后把所得的積相加，公式為：

m(a+b+c)=ma+mb+me,其中加為單項(xiàng)式,a+b+c為多項(xiàng)式.

3、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：將一個(gè)多項(xiàng)式中的每一個(gè)單項(xiàng)式分別與另一個(gè)多項(xiàng)式中的每一個(gè)單項(xiàng)式相乘,

然后把積相加，公式為:O+〃)(〃+0)=ma+mb+na+nb

林,一［經(jīng)典例題I

［例9］計(jì)算：⑴—y(d—。―c);⑵⑶(％+y)(%_2y)

(4)(x2/-x3/)-(x2-/)；⑸(a-2)(a+2)(2a+1)

【例10]⑴計(jì)算：(X2-2X+3)(X-1)(X+1);

【例11］若不論X取何值，多項(xiàng)式尤3—2/_4%-1與(x+l)(%2+如+〃)都相等，求,幾?

【例12】已知(％+2)0(冗+町)二爐+2取一6y2,求(m+幾)相〃的值.

［15013］使，+〃X+8)(犬2-34+9)的積中不含丁和丁，求〃,夕的值.

模塊三：整式的除法

1、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：系數(shù)、同底數(shù)的幕分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式中含有的字母，則連

同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.如：3603c2+"=3加02,被除式為3/日2，除式為4，系數(shù)分別為3

和1，故商中的系數(shù)為3,a的幕分別為"和a,故商中.的幕為a2T=。，同理，/,的幕為/,另外，

被除式中含0?,而除式中不含關(guān)于c的嘉，故商中c的幕為C?.

2、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，然后把所得的商相加，

公式為：（a+b+c）+/n=a+小+〃+m+。+根,其中m為單項(xiàng)式,a+6+c為多項(xiàng)式.

3、多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式：豎式除法（長(zhǎng)除法），綜合除法（使用于除以一次因式x-a較多＞

一個(gè)一元多項(xiàng)式除以另一個(gè)一元多項(xiàng)式，并不是總能整除。當(dāng)被除式八尤）除以除式8（龍），M（幻二°）得

商式。⑶及余式“X）時(shí)，就有下列等式：

f（x）=g（x）-q（x）+r（x）

o

其中"%）的次數(shù)小于g（x）的次數(shù)，或者"x）二°。當(dāng)"尤）=°時(shí)，就是能被g（*）整除。

4、余數(shù)定理又稱(chēng)裴蜀定理。它是法國(guó)數(shù)學(xué)家裴蜀（1730-1783）發(fā)現(xiàn)的。余數(shù)定理在研究多項(xiàng)式、討論

方程方面有著重要的作用。余數(shù)定理：多項(xiàng)式八元）除以龍一。所得的余數(shù)等于/（”）。

證:設(shè)/（X）=Q（x）?（%-。）+R將x=a代入得久距Ro

賽.經(jīng)典例題

【例14】計(jì)算：⑴一融）32.（2）（|_L8a^3）Q6ab2

【例15］計(jì)算(3孫)2(爐_y2)-(4x2y2)24-8/+9x2y4

【彳列16}"vj"(2x+1)+(3x—2)x(6x—4)+(4x+2).

【例17】計(jì)算：(l)(x3-l)^(x-l);(2)(3x4-5x3+x2+2)^(x2+3).

4

【例18】求(3x+7/—11犬+1。％_Q.(%2+3%_2)的商Q和余式Ro

2

/.Q=3x-2x+5,R=3x-2o

【例19】求2/+14X+4-7尤3除以x-2所得的商和余式。

2-70+14+42

解：4-6-12+4

2-3-6+2-^

商的各項(xiàng)的系數(shù),、

(2/+14x+4-7d)+(x-2)的商是2--3x2-6x+2,余式是8。

【例20】求(3/+10/一23%+16)+(3%—2)的商式Q和余式R。

解：把除式縮小3倍，那么商就擴(kuò)大3倍，但余式不變。因此先用x-2去除被除式，再

3

把所得的商縮小3倍即可。

33+10-23+162

3

+2+8-10

3+3+12+15|+6

1+4-5

/.Q=x2+4x-5,R=6o

【例21］確定m的值使多項(xiàng)式/(x)=/-3x4+8f+lh+”能夠被x-1整除。

解：依題意/(元)含有因式xT,故")=0。

1—3+8+ll+m=0o可得m=-170

求一個(gè)關(guān)于x的二次多項(xiàng)式，它的二次項(xiàng)系數(shù)為1,它被x-3除余1,且它被x-l除和被

x-2除所得的余數(shù)相同。

解：設(shè)/(x)=x2-ax+b

：/(x)被x-3除余1,/./(3)=9+3?+^=1①

：/(元)被x-1除和x-2除所得的余數(shù)相同，/■⑴=/(2)即1+。+6=4+2。+6②

由②得a=-3,代入①得6=1

/(x)=x2-3x+1o

注：本例也可用待定系數(shù)法來(lái)解。同學(xué)們不妨試一試。

即：x2+ax+b=(x-l)(x+m)+R=(x-2)(x+n)+R=(x-3)(x+/7)+1

由(x-l)(x+m~)+R=(x-2)(x+n)+R,可得=-2,n=-\

再由(x-2)(x—1)+R三(x—3)(x+p)+l,解得p=0。

??/(X)=%之—3x+1o

次［精品練習(xí)

【練習(xí)1】（-1x2y）3-（2xy）2^4

【練習(xí)2】（1/yS+gx5y4一'》4,3）十|_/,3

【練習(xí)3］5xy2一卜必丫一［3xy2-（xy2一2/丫）］+（一；移）｝

【練習(xí)4］若A和B都是整式，且A+x=B,其中A是關(guān)于x的四次三項(xiàng)式，則B是關(guān)于x的

幾次幾項(xiàng)式？

【練習(xí)5］如果5龍2一日+7被5x-2除后余6,求々的值及商式

【練習(xí)6］若〃為不等式"。。＞6。。的解，求〃的最小正整數(shù)值

【練習(xí)7】若d+3x2—3%+左有一個(gè)因式是x+1,則左=

答案：-5

【練習(xí)8】如果。涉是整數(shù)，且/_%_1是依3+笈2+1的因式，那么匕的值為()

A.-2B.-lC.0D.2

答案：A

【練習(xí)9］分別求下面各式的商式和余式。

(1)(3x4-4x3-5x2+6x-7)+(x-2)；

(2)(x5+6/+9x3-14x+8)H-(x+4)；

(4)(2%4-7x3+16x2-15X+15)4-(X2-2X+3)；

6532

(5)(x+x-12x—7X)+(%3+3X+5X-2)

(6)(x3+5x2+3X-9)4-(X+3)=

%3+5%2+3x—9

=(x-l)(x2+6%+9)

二(1)(%+3產(chǎn)

(7)Q。,—4—6a2—tz+2)4-{cr+2a+1)=

2a4—4—6a——a+2

=(a+1)(2<73—3a~—3a+2)

=(a+l)(tz+l)(2a~—5a+2)

=(a+1)2(2a-1)("2)

(8)(2x4-15X3+38%2—39x+14)+(x—2)=

2X4-15^3+38X2-39X+14

=2(x-l)x3-13X2(X-1)+25X(X-1)-14(X-1)

=(x-1)(2X3-13X2+25X-14)

=(x-1)(2/(x-1)-Hx(x-1)+14(x-1))

=(x—l)(x—1)(2/—Ux+14)

=(^-l)(^-l)(2x-7)(x-2)

2、一個(gè)關(guān)于x的二次多項(xiàng)式/"(x),它被x-1除余2,被x-3除余28,它可以被x+1整

除,求了(尤)。

‘例題答案、

【例1】A組：(1)儲(chǔ)。-4。=/。；⑵(〃。。)2=/00；(3)("72。)2=a20b40；⑷/。。+/="98；

325255

5組：⑴解法一：(一彳)3.(-XT=-%.X=-X；解法二：(一幻3.(-X)=(-X)=-X；

(2)(-a3)2-(-a2)3=a6-(-?6)=-a12;(3)(-2a2)2-(~4a4)=4a4-(-4a4)=-16a8；

232622m+75n+2

⑷(-2x'"y"了.(-%/).(-3xy)=40"/".(-xy^).(-3xy)=12xy；

4

C組：⑴原式=16/y2+8y2=2x；⑵原式=3產(chǎn)t/一“一3c37,“.

⑶原式二工/加士2儲(chǔ)/二也/k；⑷原式=里/儼'+16尤4y2"=/_尤2

2716243125125

【例2】⑴建立巧算概念！巧用“乘法分配律”，重點(diǎn)考察學(xué)生暴的運(yùn)算的基本功!

原式=1_gx2)xf--1x3jxf-^x4jxf--1x5j=1536

(2)^^=210-29-28-27-26-25-24-23-22+2

-29(2-l)-28-27-26-25-24-23-22+2

=22(2-l)+2=6

x=3

x—z—2=0

【例3】由題意得3x-6y-7=0,解方程組得，1

y=一

3

3y+3z—4=0

z=1

3n-l

.之一3=3.13xgj-l-3=3-3=0

代入所求代數(shù)式得—>3〃TZ4〃-3?

X=3I

[伊J4](1)(-2)2007+(-2)2008=-22007+22008=2x22007-22007=22007

⑵從乘方的概念入手講解，可得答案為-1.

【例5】251Sx238=2516x232x2s=251Sx416x26=64x10016,故有數(shù)位34位.

【例6】⑴/+2"=產(chǎn).=gm)3?“f=23.3?=8x9=72.

(2)4V-32y=(22)x-(25)y=22X-25y=22x+5v,2x+5y-3=0,2x+5y=3,4r-32y=22T+5?=23=8

【例7】根據(jù)幕的性質(zhì)可知，255=(25)11,344=(34)1\533=(53)"、622=(62)H

根據(jù)標(biāo)的定義可知，表示11個(gè)a相乘，故只要比較出2‘、3\5\6。的大小即可.

25=22-23=4x8=32,34=3x3x3x3=81,53=5x5x5=125,62=36

故<6?<3,<53,255<622<3^<533.

【例8】從簡(jiǎn)單情況找規(guī)律.⑴①F<>；②23<32；③3,>43；@45>54;⑤56>6$…

⑵n"+I<(n+D"(H=1,2),n"+1>Cn+Dn(n^3);(3)2OO82009>2OO92008

【例9】⑴原式=-yd+外+勺；(2)原式=%3"+1-x2n+2+；

(3)原式=/-2沖+孫-2y?=爐-孫-2,；(4)^—x2y5—x,y1+x3j4;

(4)原式=(a2+2a-2a-4)(2a+1)=(a2一4)(2。+l)=2a3+a2-8a-4

【例10]⑴原式=(爐一2尤+3)(爐_1)=X4-X2-2X3+2X+3X2-3=x4-2x3+2x2+2%-3.

(2)原式=+y2+32+孫+/[]；/—2,2]=[；了2+2/][；了2_2y2)=；尤4_

【例11】(x+DCx?+mx+〃)=尤-2+x?"a+人"+*2+；放+/=三+(m+l)x2+(m+ri)x+n

因?yàn)椴徽搙取何值，兩多項(xiàng)式都相等，所以:“+1=-2,m+n=-4,即相=-3,n=-l

【例12】(x+my)(x+ny)=x2+2xy-6y2,(x+my)(x+ny)=x2+(m+n)xy+mny2,

x2+(m+n)yx+mny2=x2+2xy-6y2,

比較等式兩邊得〃z+〃=2,mn=-6,所以(〃[+")〃2"=2x(-6)=-12.

1

定理：如果+q“_]X'T+…+qx+%=bnx"+b^x^+-"+blx+b0,

那么a“=b“，%=b,i，…，％=白，a0=b0

【例13】將原式展開(kāi)得(爐+px+8)(%2—3x+q)=犬+(p—3)三+(q—3p+8)

x2+(pq-24)x+8q,因?yàn)榉e中不含x?和所以，'°,解得

[q-3p+8=0〔4=1

711

【例14]⑴原式=(；467一2/66)+"42力6=6/。一[；⑵原式=蘇一2a2/一3"

【例15】原式=[(2x+l)+(4x+2)]?[(6x—4);(3x—2)]=(2x+1)+[2(2x+1)]?[2(3x-2)<(3x-2)]=1.

在乘除混合運(yùn)算中，巧用結(jié)合律，有時(shí)可簡(jiǎn)化運(yùn)算.

實(shí)際上，我們利用除法是乘法的逆運(yùn)算，除以一個(gè)整式，相當(dāng)于乘以該整式的倒數(shù)，通過(guò)約分，可更容易

地解決問(wèn)題.其解如下：原式=(2x+l)x—^x(6Dx—(2X+1)-(6I)

3x-24x+2(3x-2)-(4x+2)

【例16]⑴用豎式除法

+X+1

X—，-3+Of+Ox-1

x3-x2

x2+0x

x2-x

x-1

x-1

0

所以，商式為f+%+1,余式為0.

3%2-5X-8

(2)%2+3)3%4-5尤3+尤2+0》+2

3x-+9f

-5x3-8%2+Ox

—5爐—15x

-8x?+15x+2

-8x--24

15x+26

所以，商式為3--5x-8,余式為15x+26.

說(shuō)明：多項(xiàng)式的除法總可以用豎式除法來(lái)計(jì)算.計(jì)算時(shí)注意降賽排列，缺項(xiàng)補(bǔ)0(或空位)，同次

項(xiàng)對(duì)齊等等.

對(duì)多項(xiàng)式除法，我們有帶余除法，即：被除式=除式x商式+余式，其中余式的最高次數(shù)低于除式的最高

次數(shù).當(dāng)余式為0時(shí)，我們也稱(chēng)除式整除被除式，用''除式|被除式”表示.如(1),我們可記為(X-1)|(3_1)；

當(dāng)余式不為0時(shí)，被除式不能整除被除式；當(dāng)余式為常數(shù)時(shí)，我們也稱(chēng)余式為余數(shù).顯然，當(dāng)除式為一次

多項(xiàng)式時(shí)，余式必為常數(shù).

【例22】原式=9彳2丫2,-y2)-16x4