10.1隨機事件與概率

10.1.3古典概型人教A版高中數(shù)學必修第二冊事件的關系或運

算含義符號表示包含A發(fā)生導致B發(fā)生ACB并事件(和事件)A與B至少一個發(fā)生A

UB或A+B交事件(積事件)A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A∩B=φ互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生ANB=Φ,AUB=Ω類似地，我們可以定義多個事件的和事件以及積事件。例如，對于三個事件A,B,C,AUBUC

(或A+B+C)發(fā)生當且僅當A,B,C中至少一個發(fā)生，ANBNC(或ABC)發(fā)生當且僅當A,B,C

同時發(fā)生，等等。溫故知新事件的關系與運算探究新知研究隨機現(xiàn)象，最重要的是知道隨機事件發(fā)生的

可能性大小.對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件

的概率

.事件A的概率記為：P(A)我們知道，通過試驗和觀察的方法可以得到一些事件的概率估計，但這種方法耗時多，而且得到

的僅是概率的近似值。能否通過建立適當?shù)臄?shù)學模

型，直接計算隨機事件的概率呢?先后拋擲2枚均勻的硬幣出現(xiàn)“一枚正面，一枚反面”的概率是多少?(正，正),(正，反),(反，正),(反，反);(正，正，正),

(正，正，反),(正，反，正),

(反，正，正),(正，反，反),(反，正，反),

(反，反，正),(反，反，反).先后拋擲3枚均勻的硬幣，求出現(xiàn)“兩個正面，

一思考個反面”的概率。探

究P=Xp=

2=2探究新知思

考：我們討論過彩票搖號試驗、拋擲二枚均勻硬

幣的試驗及擲一枚質地均勻骰子的試驗.它們的共同特征有哪些?考察這些試驗的共同特征，就是要看它們的樣本點及

樣本空間有哪些共性.可以發(fā)現(xiàn)，它們具有如下共同特征：(1)有限性：

樣本空間的樣本點只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等。我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，

其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡

稱古典概型.課堂探究思考：考慮下面兩個隨機試驗，如何度量事件A和B發(fā)

生的可能性大小?(1)一個班級中有18名男生、22名女生.采用抽簽的方

式，從中隨機選擇一名學生，事件A=“抽到男生”;(2)拋擲一枚質地均勻的硬幣3次，事件B=

“恰好一次正

面朝上”引入新知一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率其中，n(A)和

n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含

的樣本點個數(shù)。(1)向一個圓面內隨機地投一個點，如果該點落在圓內任意一點都是等可能的，你認為是古典概型思考交流試驗的所有可能的結果是無限的，故不是古典概型。嗎?為什么?(2)射擊運動員向一靶心進行射擊，這一試驗的結

果只有有限個：命中10環(huán)、命中9環(huán)、

.....命中1環(huán)

和命中0環(huán)(即不命中),你認為這是古典概率模型

嗎?為什么?所有可能的結果有11個，但命中10環(huán)、9環(huán)、

....0環(huán)的

出現(xiàn)不是等可能的，故不是

古典概型.課堂典例例7、單選題是標準化考試的常用題型，

一般是從A、B、

C、D四個選項中選擇一個正確答案。若考生掌握了考察

的內容，就能選擇唯一正確的答案；假設考生不會做，

他隨機的選擇一個答案，問他答對的概率是多少?n(Q)=4P(M)=課堂探究思考

：在標準化的考試中也有多選題，多選題是從A、

B、C、D四個選項中選出所有正確答案(四個選項中至

少有一個選項是正確的),你認為單選題和多選題哪

種更難選對?為什么?正確答案的所有可能的結果：(1)如果只有一個正確答案是對的，則有4種；(2)如果有兩個答案是正確的，則正確答案可以是AB,A

C,AD,BC,BD,CD,

共

6

種(3)如果有三個答案是正確的，則正確答案可以是ABC,ABD,ACD,BCD,

共

4

種(4)所有四個都正確，則正確答案只有1種。正確答案的所有可能結果有4+6+4+1=15種，從這15種

答案中任選一種的可能性只有1/15,因此更難猜對。123456123456723456783456789456789105678910116789101112同時擲兩粒均勻的骰子，落地時向上的點數(shù)之

和有幾種可能?點數(shù)之和為7的概率是多少?記A表示事件“點數(shù)之和為7”,則由表得n=36,m=6.列表法一般適

用于分

兩步完

成的結

果的列

舉。課堂典例例8

拋擲兩枚質地均勻的骰子(標記為I

號和Ⅱ號),

觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結果.(1)寫出此試驗的樣本空間，并判斷這個試驗是

否為古典概型；(2)求下列事件的概率：A=“兩個點數(shù)之和是5”;B=“兩個點數(shù)相等”;C=“I號骰子的點數(shù)大于Ⅱ號骰子的點數(shù)”.解：

(

1)樣本空間Q={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}}.

共有36個樣本點.例8、拋擲兩枚質地均勻的骰子(標記為I號和Ⅱ號),觀

察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結果.(2)求下列事件的概率：A=“兩個點數(shù)之和是5”;B=“兩個點數(shù)相等”;C=“I號骰子的點數(shù)大于Ⅱ號骰子的點數(shù)”.123456123456723456783456789456789105678910116789101112課堂典例課堂探究思

考

：在上例中，為什么要把兩枚骰子標上記號?

如果不給兩枚骰子標記號，會出現(xiàn)什么情況?你能解

釋其中的原因嗎?如果不給兩枚骰子標記號，則不能區(qū)分所拋擲出的兩

個點數(shù)分別屬于哪枚骰子，如拋擲出的結果是1點和2點，

有可能第一枚骰子的結果是1點，也有可能第二枚骰子的

結果是1點.這樣，(1,2)和(2,1)的結果將無法區(qū)別.當不給兩枚骰子標記號時，試驗的樣本空間Ω?={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6},且m≤n},

則n(Q?)=21.其中，

事件A=

“兩個點數(shù)之和是5”的結果變?yōu)锳={(1,4),(2,3)},

這時課堂探究思考：同一個事件的概率，為什么會出現(xiàn)兩個不同的

結果呢?可以發(fā)現(xiàn)，36個結果都是等可能的；而合并為21個可能結果時，(1,1)和(1,2)發(fā)生的可能性大小不等，

這不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式

計算概率，是錯誤的。因此課堂小結1.古典概型的特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.2.古典概型的概率：一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A

的概率歸納總結歸納：求解古典概型問題的一般思路：(1)明確試驗的條件及要觀察的結果，用適當?shù)姆?/p>

(字母、數(shù)字、數(shù)組等)表示試驗的可能結果(借助圖

表可以幫助我們不重不漏地列出所有的可能結果);(2)根據(jù)實際問題情境判斷樣本點的等可能性；(3)計算樣本點總個數(shù)及事件A包含的樣本點個數(shù)，

求出事件A的概率.例9

袋子中有5個大小質地完全相同的球，其中2個紅球、3

個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，求下列事件

的概率：(1)A=“第一次摸到紅球”;(2)B=“第二次摸到紅球”;(3)AB

=“兩次都摸到紅球”.解

：將兩個紅球編號為1、2,三個黃球編號為3、4、5.

第一次摸球時有5種等可能的結果，對應第一次摸球的每

個可能結果，第二次摸球時有4種等可能的結果.將兩次

摸球的結果配對，組成20種等可能的結果，用下表表示.課堂典例第一次第二次123451×(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)×(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)×(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)×(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)×如果同時摸出2個球，那么事件AB的概率是多少?課堂典例課堂典例例10:從兩名男生(記為B?

和B?

)、兩名女生(記為G?

和G?)

中任意抽取兩人.(1)分別寫出有放回簡單隨機抽樣，不放回簡單隨機抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間(2)在三種抽樣方式下，分別計算抽到的兩人都是男生的概率.解：設第一次抽取的人記為X?第二次抽取的人記為X?,則可

用數(shù)組

(X?,X?)表示樣本點.(1)根據(jù)相應的抽樣方法可知：有放回簡單隨機抽樣的樣本空間為Ω?

={(B?

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)}不放回簡單隨機抽樣的樣本空間為Ω?

={(B?

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)}按性別等比例分層抽樣，先從男生中抽取一人，再從女生中抽取一人，其樣本空間為Ω?

={(B?

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,G?

),(B?

,G?

),(B?

,G?

)}.課堂典例(2)設事件A=

“抽到兩名男生”,則對于有放回簡單隨機抽樣，A={(B?

,B?

),(B?

,B?

),(B?

,B?

),(B?

,B?

)}

且這是古典概型，因此

對于不放回簡單隨機抽樣，A={(B?

,B?

),(B?

,B?

)},且這是古典概型，因此

按性別等比例分層抽樣，不可能抽到兩名男生，所以A=φ,因此P(A)=0.課堂典例解析：從4種顏色的花中任選兩種種在一個花壇中，

余下2種種在另一個花壇中，有6種種法，其中紅色