《二項式定理》達標檢測[A組]—應(yīng)知應(yīng)會1．在（﹣2）5的綻開式中，x2的系數(shù)為（）A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．10【分析】在二項綻開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于2，求出r的值，即可求得x2的系數(shù)．【解答】解：（﹣2）5的綻開式中，通項公式為Tr+1＝?（﹣2）r?，令＝2，求得r＝1，可得x2的系數(shù)為?（﹣2）＝﹣10，故選：C．2．若的綻開式中x3項的系數(shù)是240，則實數(shù)m的值是（）A．2 B． C．±2 D．【分析】由二項式定理可得的綻開式的通項，令x的系數(shù)為3，解可得r的值，結(jié)合綻開式中x3的系數(shù)即可得關(guān)于m的方程，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：依據(jù)題意，的綻開式通項為Tr+1＝C6r（mx）6﹣r（﹣）r＝C6r×m6﹣r?（﹣2）r?x，令6﹣r＝3，解可得r＝2，則有C62×m4?（﹣2）2＝240，解可得：m＝±，即實數(shù)m的值為±；故選：D．3．（1+2x）4綻開式中含x2的項為第______項（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先寫出通項，然后令x的指數(shù)為2，求出此時k的值即可．【解答】解：由題意得：，令k＝2得，故第3項中含x2．故選：C．4．8011被9除的余數(shù)為（）A．﹣1 B．1 C．8 D．﹣8【分析】利用80＝92﹣1以及二項綻開式的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵8011＝（92﹣1）11；其綻開式共有12項，前11項均有92，都能被9整除，最終一項為：（﹣1）11＝﹣1＝﹣9+8，∴8011被9除的余數(shù)為：8．故選：C．5．已知的綻開式中第6項與第8項的二項式系數(shù)相等，則含x10項的系數(shù)是（）A．4 B．﹣4 C． D．91【分析】由已知綻開式中第6項與第8項的系數(shù)相等求二項式指數(shù)n，然后結(jié)合通項公式求解即可．【解答】解：∵的綻開式中第6項與第8項的系數(shù)相等，∴＝；所以n＝12，則綻開式的通項公式為：Tr+1＝?x12﹣r?（﹣）r＝（﹣）r??x12﹣2r；令12﹣2r＝10可得r＝1；∴含x10項的系數(shù)是：（﹣）1?＝﹣4．故選：B．6．（x+）（x+y）5的綻開式中x3y3的系數(shù)為（）A．5 B．10 C．15 D．20【分析】先把條件整理轉(zhuǎn)化為求（x2+y2）（x+y）5綻開式中x4y3的系數(shù)，再結(jié)合二項式的綻開式的特點即可求解．【解答】解：因為（x+）（x+y）5＝；要求綻開式中x3y3的系數(shù)即為求（x2+y2）（x+y）5綻開式中x4y3的系數(shù)；綻開式含x4y3的項為：x2?x2?y3+y2?x4?y＝15x4y3；故（x+）（x+y）5的綻開式中x3y3的系數(shù)為15；故選：C．7．（x2+2）3（﹣1）7綻開式中常數(shù)項是（）A．15 B．﹣15 C．7 D．﹣7【分析】分別求出兩個二項式的綻開式，相乘，令指數(shù)為0，即可求得結(jié)論．【解答】解：（x2+2）3綻開式的通項為Tr+1＝2rx6﹣2r（0≤r≤3）（﹣1）7綻開式的通項為Tk+1＝（﹣1）kx2k﹣14（0≤k≤7）所以（x2+2）3（﹣1）7綻開式的通項為（﹣1）k2rx2k﹣2r﹣8（0≤r≤3，0≤k≤7），令2k﹣2r﹣8＝0，則k﹣r＝4，則k＝4，r＝0或k＝5，r＝1或k＝6，r＝2或k＝7，r＝3，所以（x2+2）3（﹣1）7綻開式中常數(shù)項為（﹣1）420+++＝﹣15．故選：B．8．在（1﹣x）（x+2）4的綻開式中，含x3項的系數(shù)為（）A．﹣16 B．16 C．﹣8 D．8【分析】把（x+2）4綻開，求出二項式（1﹣x）（x+2）4的綻開式中含x3項的系數(shù)．【解答】解：（1﹣x）（x+2）4＝（1﹣x）（?x4+?2x3+?22x2+?8x+?24），∴二項式（1﹣x）（x+2）4綻開式中，含x3項的系數(shù)為：﹣?22+?2＝﹣16，故選：A．9．已知不等式logax＜1（a＞0且a≠1）的解集為（0，2），則二項式的綻開式中系數(shù)最大項的系數(shù)為（）A．16 B．80 C．240 D．480【分析】由不等式可求得a的值，再由通項公式列出不等式組，求得當r＝2時，系數(shù)最大，并求得此最大值．【解答】解：由題意，當a＞1時，由logax＜1，可得0＜x＜a，當0＜a＜1時，由logax＜1，可得x＞a，所以a＝2．故，∴r＝2，∵r＝2，系數(shù)為正，故綻開式中系數(shù)最大項的系數(shù)為＝240．故選：C．10．若（1+x+x2）6＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…++a12x12，則a2+a4+…+a12＝（）A．256 B．364 C．296 D．513【分析】分別令x＝1和x＝﹣1，代入原式，可得到關(guān)于a0+a2+a4+…+a12和a1+a3+…+a11的方程組，問題可解．【解答】解：令x＝1得：（a0+a2+a4+…+a12）+（a1+a3+…+a11）＝36……①．令x＝﹣1得：：（a0+a2+a4+…+a12）﹣（a1+a3+…+a11）＝16……②．聯(lián)立①②解得：a0+a2+a4+…+a12＝365．又令x＝0得：a0＝1，所以a2+a4+…+a12＝364．故選：B．11．設(shè)ai（i＝0，1，2，…，2024）是常數(shù)，對于?x∈R，都有x2024＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）（x﹣2）+…+a2024（x﹣1）（x﹣2）…（x﹣2024），則﹣a0+a1﹣a2+2！a3﹣3！a4+4！a5﹣…+2024!a2024﹣2024！a2024＝（）A．2024 B．2024 C．2024！ D．2024！【分析】求出a0的值，求出a1﹣a2+2a3﹣3！a4+4！a5﹣…+2024!a2024﹣2024！a2024的值，從而求出答案即可．【解答】解：代入x＝1，得a0＝1，∴x2024﹣1＝a1（x﹣1）+a2（x﹣1）（x﹣2）+…+a2024（x﹣1）（x﹣2）…（x﹣2024），而x2024﹣1＝（x﹣1）（1+x+x2+…+x2024），∴x2024+x2024+…+x+1＝a1+a2（x﹣2）+…a2024（x﹣2）…（x﹣2024），代入x＝1得2024＝a1﹣a2+2a3﹣3！a4+4！a5﹣…+2024!a2024﹣2024！a2024，∴﹣a0+a1﹣a2+2！a3﹣3！a4+4！a5﹣…+2024!a2024﹣2024！a2024＝2024﹣a0＝2024﹣1＝2024，故選：A．12．（多選）已知綻開式中，各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大992，則下列結(jié)論正確的是（）A．綻開式中的有理項是第2項和第5項 B．綻開式中沒有常數(shù)項 C．綻開式中二項式系數(shù)最大的項是第3項和第4項 D．綻開式中系數(shù)最大的項是第5項【分析】先求出綻開式的通項，然后結(jié)合x的指數(shù)滿足的條件解決A，B項；依據(jù)二項式系數(shù)和系數(shù)的性質(zhì)探討C，D項．【解答】解：由題意可得4n﹣2n＝992，求得2n＝32，∴n＝5．∴的綻開式的通項公式為Tr+1＝?3r?.若為有理數(shù)，則r＝2，5，綻開式中的有理項是第3項和第6項，故A錯誤；令＝0，解得r＝﹣，不符合題意，故綻開式中沒有常數(shù)項，故B正確；由n＝5可知，綻開式中二項式系數(shù)最大的項為第三項或第四項，故C正確；假設(shè)第k+1項系數(shù)最大，則，解得3.5≤k≤4.5，∵k∈N*，∴k＝4，∴綻開式中系數(shù)最大的項是第5項，故D正確.故選：BCD．13．（多選）關(guān)于（a﹣b）11的說法，正確的是（）A．綻開式中的二項式系數(shù)之和為2048 B．綻開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大 C．綻開式中第6項和第7項的二項式系數(shù)最大 D．綻開式中第6項的系數(shù)最大【分析】利用賦值法可以判定A的對錯；依據(jù)中間項的二項式系數(shù)最大判定B，C的對錯；然后構(gòu)造系數(shù)滿足的不等式判定D的對錯．【解答】解：綻開式通項為綻開式中的二項式系數(shù)之和為211＝2048，故A正確；依據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，中間項的二項式系數(shù)最大，易知，中間項是第6、7項的二項式系數(shù)最大，故B錯，C對；因為，第六項系數(shù)為＜0，第五項系數(shù)為，明顯D錯．故選：AC．14．在（x+）5的綻開式中，x2的系數(shù)是．【分析】在的綻開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于2，求出r的值，即可得到綻開式中x2的系數(shù)．【解答】解：∵的綻開式的通項公式為Tr+1＝x5﹣r2rx﹣2r＝2rx5﹣3r，令5﹣3r＝2，得r＝1，∴x2的系數(shù)是2×＝10，故答案為10．15．（x2+）6的綻開式中常數(shù)項是（用數(shù)字作答）．【分析】先求出二項式綻開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得綻開式中的常數(shù)項的值．【解答】解：由于（x2+）6的綻開式的通項公式為Tr+1＝?2r?x12﹣3r，令12﹣3r＝0，求得r＝4，故常數(shù)項的值等于?24＝240，故答案為：240．16．二項綻開式（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a4＝，a1+a3+a5＝．【分析】干脆利用二項式定理的通項公式，求解即可．【解答】解：（1+2x）5＝0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a4＝＝80．a(chǎn)1+a3+a5＝＝122．故答案為：80；122．17．（x+1）5（x﹣1）4的綻開式中x3的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）【分析】先依據(jù)（x+1）5（x﹣1）4＝（x2﹣1）4?（x+1）；再結(jié)合（x2﹣1）4綻開式的通項公式即可求解結(jié)論．【解答】解：∵（x+1）5（x﹣1）4＝（x2﹣1）4?（x+1）；又因為（x2﹣1）4綻開式的通項公式為：Tr+1＝?（x2）4﹣r?（﹣1）r；∴（x+1）5（x﹣1）4的綻開式中x3的系數(shù)為：?（﹣1）3＝﹣4．故答案為：﹣4．18．若綻開式中x的系數(shù)為8，則綻開式中的常數(shù)項是（用數(shù)字作答）．【分析】先求出（1+）4的綻開式的通項公式，結(jié)合已知條件求出a，進而求得結(jié)論．【解答】解：∵（1+）4的綻開式的通項公式為：Tr+1＝?（）r；含x﹣1項的系數(shù)為＝4，∴綻開式中x的系數(shù)為：4a＝8，解得a＝2．∴綻開式中的常數(shù)項是：1×1+a?＝1+2×6＝13，故答案為：13．19．在二項式的綻開式中，第6項系數(shù)最大，則n＝，其常數(shù)項為．【分析】利用二項綻開式的通項公式求出通項，得到項的系數(shù)與二項式系數(shù)相同；據(jù)綻開式的中間項的二項式系數(shù)最大，列出方程求出n，在通項中，令x的指數(shù)為0求出常數(shù)項．【解答】解：的綻開式的通項為Tr+1＝?（）2n﹣r?＝?x；所以項的系數(shù)是二項式系數(shù)C2nr；依據(jù)綻開式中間項的二項式系數(shù)最大又中間項是第n+1項所以n+1＝6解得n＝5所以綻開式的通項為Tr+1＝?x，令5﹣＝0解得r＝6所以常數(shù)項為C106＝210；故答案為：5，210．20．已知（2x﹣1）4（x﹣2）＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，則a4＝；a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝．（用數(shù)字作答）【分析】由題意，結(jié)合二項式定理即可確定a4的值，對所給的等式兩側(cè)求導(dǎo)，然后利用賦值法即可確定a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值．【解答】解：（2x﹣1）4（x﹣2）＝[2（x﹣1）+1]4[（x﹣1）﹣1]＝（x﹣1）[2（x﹣1）+1]4﹣[2（x﹣1）+1]4，綻開后含有（x﹣1）4的項為：，所以a4＝16；，等號兩邊分別求導(dǎo)，得，令x＝2，得（2×2﹣1）4＝a1+2a2+3a3+4a4+5a5，則a1+2a2+3a2+4a4+5a5＝81．故答案為：16；81．21．（1﹣2x）2024＝a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024（x∈R），則a1+a3+a5+…+a2024的值為．【分析】先求出a0的值，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的x賦值，求得綻開式的系數(shù)和，從而得出結(jié)論．【解答】解：∵（1﹣2x）2024＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2024x2024（x∈R），令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+…+a2024＝1，令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2024＝32024，兩式相減除以2，可得a1+a3+a5+…+a2024＝；故答案為：．22．若（+）n的綻開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，則二項綻開式中有理項系數(shù)之和為．【分析】在二項綻開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于整數(shù)，求得r的值，可得結(jié)論．【解答】解：依據(jù)二項式+）n的綻開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，可得只有最大，故有n＝6，故通項公式為Tr+1＝?（）6﹣r?＝?x，r＝0，1，2…6；若為整數(shù)，則r＝0，3，6，共計3個，對應(yīng)項的系數(shù)和為：+＝22；故答案為：22．23．定義：（在（x2﹣x﹣1）n＝Px2n+Px2n﹣1+Px2n﹣2+…+Px+P（n∈N）中，把P，P，P，…，P叫做三項式（x2﹣x﹣1）n的n次系數(shù)列（例如三項式的1次系數(shù)列是1，﹣1，﹣1）．依據(jù)上面的定義．三項式（x2﹣x﹣1）n的5次系數(shù)列各項之和為，P＝．【分析】令x＝1，可得（x2﹣x+1）5的5次系數(shù)列各項之和．（x2﹣x+1）4的通項公式為Tk+1＝（x2﹣x）k，（x2﹣x）k的通項公式為：Tr+1＝（x2）k﹣r（﹣x）r＝（﹣1）rx2k﹣r，令2k﹣r＝1，即可得出．【解答】解：令x＝1，可得（x2﹣x﹣1）5的5次系數(shù)列各項之和為﹣1．（x2﹣x﹣1）4的通項公式為Tk+1＝（﹣1）4﹣k（x2﹣x）k，（x2﹣x）k的通項公式為：Tr+1＝（x2）k﹣r（﹣x）r＝（﹣1）rx2k﹣r，令2k﹣r＝1，可得k＝1，r＝1，∴P＝（﹣1）4﹣1?（﹣1）1＝4．故答案為：﹣1，4．24．已知二項式綻開式中的第4項是常數(shù)項．（1）求n；（2）求綻開式中有理項的個數(shù)．【分析】（1）二項式綻開式中的通項公式為，依據(jù)第4項是為是常數(shù)項，可得，解得n．（2）要使綻開式中的項為有理項，需為整數(shù)，可得r．【解答】解：（1）二項式綻開式中的通項公式為，∵第4項是為是常數(shù)項，∴，∴n＝12．（2）要使綻開式中的項為有理項，需為整數(shù)，故有r＝0，3，6，9，12，故綻開式中有理項共有5項．25．已知的綻開式中全部偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為64．（1）求綻開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）求綻開式中的常數(shù)項．【分析】（1）依據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)求得n＝6，從而求得綻開式中二項式系數(shù)最大的項．（2）依據(jù)的綻開式的通項公式求出x﹣1項以及x2項的系數(shù)，即可求得結(jié)論．【解答】解：（1）由綻開式中全部的偶數(shù)項二項式系數(shù)和為64，得2n﹣1＝64，所以n＝7所以綻開式中二項式系數(shù)最大的項為第四項和第五項．因為的綻開式的通項公式為，所以f（x）的綻開式中二項式系數(shù)最大的項為，；（2）由（1）知n＝7，且的綻開式中x﹣1項為，x2項為，所以綻開式的常數(shù)項為2×（﹣84）+1×280＝112．26．設(shè)（3x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求下列各式的值：（1）a1+a2+a3+a4+a5；（2）a0+a2+a4；（3）a1+2a2+3a3+4a4+5a5．【分析】（1）分別給x賦值0，1，可得要求式子的值．（2）令x＝﹣1結(jié)合第一問即可求解，（3）對原式兩邊求導(dǎo)，再令x＝1即可求解結(jié)論．【解答】解：∵（3x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，①（1）令x＝0可得：﹣1＝a0，②，令x＝1得：a0+a1+a2+a3+a4+a5＝25＝32，∴a1+a2+a3+a4+a5＝33．（2）令x＝﹣1可得：45＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5，∴a0+a2+a4＝（32+45）＝528，（3）對（3x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5兩邊求導(dǎo)可得：15（3x﹣1）4＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，令x＝1可得：15×24＝a1+2a2+3a3+4a4+5a5．∴a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝240．27．在①只有第八項的二項式系數(shù)最大，②奇數(shù)項二項式系數(shù)之和為47，③各項系數(shù)之和為414，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的k存在，求k的值；若k不存在，說明理由．設(shè)二項式（+）n，若其綻開式中，______，是否存在整數(shù)k，使得Tk是綻開式中的常數(shù)項？注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分．【分析】由二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得選填條件①③時，n＝14，寫出二項綻開式的通項，由x的指數(shù)為0求得k值，即可得到存在整數(shù)k＝3，使得Tk是綻開式中的常數(shù)項；選填條件②時，n＝15，寫出二項綻開式的通項，由x的指數(shù)為0求得k值，可知不存在整數(shù)k，使得Tk是綻開式中的常數(shù)項．【解答】解：若選填條件①，即只有第八項的二項式系數(shù)最大，則n＝14；若選填條件③，即各項系數(shù)之和為414，則4n＝414，即n＝14．二項式（+）14綻開式的通項：＝．由21﹣7k＝0，得k＝3．即存在整數(shù)k＝3，使得Tk是綻開式中的常數(shù)項；若選填條件②，即奇數(shù)項二項式系數(shù)之和為47，則2n﹣1＝47＝214，∴n＝15．二項式（+）15綻開式的通項：＝．由22﹣7x＝0，得k＝?Z．即不存在整數(shù)k，使得Tk是綻開式中的常數(shù)項．28．在下面兩個條件中任選一個條件，補充在后面問題中的橫線上，并完成解答．條件①：“綻開式中全部項的系數(shù)之和與二項式系數(shù)之和的比為64”；條件②：“綻開式中前三項的二項式系數(shù)之和為22”．問題：已知二項式（1+3x）n，若_____（填寫條件前的序號），（1）求綻開式中二項式系數(shù)最大的項：（2）求（1+3x）n（1﹣x）5中含x2項的系數(shù)．【分析】當選填條件①時，由題意列式求得n＝6，當選填條件②時，由前3項的二項式系數(shù)和為22求得n＝6．（1）把n＝6代入（1+3x）n，可知第四項的二項式系數(shù)最大，由二項綻開式的通項得答案；（2）把n＝6代入（1+3x）n（1﹣x）5，由第一個因式的常數(shù)項乘以其次個因式含含x2項的系數(shù)，由其次個因式的常數(shù)項乘以第一個因式含含x2項的系數(shù)，第一個因式含有x項的系數(shù)乘以其次個因式含有x項的系數(shù)，作和得答案．【解答】解：若選填條件①，即綻開式中全部項的系數(shù)之和與二項式系數(shù)之和的比為64，則，即n＝6．若選填條件②，即綻開式中前三項的二項式系數(shù)之和為22，則，即n＝6．（1）當n＝6時，綻開式共7項，二項式系數(shù)最大的項為；（2）（1+3x）n（1﹣x）5＝（1+3x）6（1﹣x）5中，含x2項的系數(shù)為＝55．29．在①只有第6項的二項式系數(shù)最大，②第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，③全部二項式系數(shù)的和為210，這三個條件中任選一個，補充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個問題．注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．已知（2x﹣1）n＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N*），若（2x﹣1）n的綻開式中，．（1）求n的值；（2）求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值．【分析】（1）由二項式系數(shù)的性質(zhì)及組合數(shù)公式可知，無論選填三個條件中的哪一個，n值都是10；（2）把n＝10代入（2x﹣1）n＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn，由二項綻開式的通項可知，x的奇數(shù)次方的系數(shù)為負，x的偶數(shù)次方的系數(shù)為正．然后分別取x＝0和x＝1，聯(lián)馬上可求得|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值．【解答】解：（1）在二項式（2x﹣1）n的綻開式中，若選填①，只有第6項的二項式系數(shù)最大，則綻開式中有11項，即n＝10；若選填②，第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則，即n＝10；若選填③，全部二項式系數(shù)的和為210，則2n＝210，即n＝10．故n＝10；（2）（2x﹣1）n＝（2x﹣1）10＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a10x10．∵二項式（2x﹣1）10的綻開式的通項＝．可知x的奇數(shù)次方的系數(shù)為負，x的偶數(shù)次方的系數(shù)為正．在（2x﹣1）10＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a10x10中，取x＝0，得a0＝1；取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+…+a10＝310．∴|a1|+|a2|+|a3|+…+