2024年九年級數(shù)學(xué)下冊第30章二次函數(shù)30.4二次函數(shù)的應(yīng)用2求二次函數(shù)表達(dá)式解幾何最值問題教案（新版）冀教版課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、教材分析本節(jié)課選自2024年冀教版九年級數(shù)學(xué)下冊第30章二次函數(shù)30.4二次函數(shù)的應(yīng)用，主要內(nèi)容包括利用二次函數(shù)求幾何最值問題。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將掌握如何建立二次函數(shù)模型，并運用求導(dǎo)方法求解二次函數(shù)的最大值和最小值，從而解決實際生活中的最值問題。本節(jié)課內(nèi)容與教材緊密關(guān)聯(lián)，旨在鞏固學(xué)生對二次函數(shù)知識的理解和應(yīng)用能力，提高學(xué)生解決實際問題的綜合素養(yǎng)。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生以下核心素養(yǎng)目標(biāo)：

1.理解二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)模型建立的方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力。

2.通過求解二次函數(shù)的最大值和最小值，鍛煉學(xué)生邏輯推理能力，形成解決問題的策略。

3.結(jié)合實際生活中的最值問題，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。

4.培養(yǎng)學(xué)生合作探究精神，提高交流表達(dá)能力和團(tuán)隊協(xié)作能力。

5.通過學(xué)習(xí)二次函數(shù)的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。三、學(xué)情分析本節(jié)課的授課對象為九年級學(xué)生，他們已經(jīng)具備了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和邏輯思維能力。在知識方面，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的基本概念和圖像，掌握了二次函數(shù)的頂點公式和對稱軸公式。在能力方面，學(xué)生能夠運用二次函數(shù)的知識解決一些簡單的問題，但求解最值問題的能力還有待提高。在素質(zhì)方面，學(xué)生具有一定的探究精神和合作意識，但在數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析方面還有待加強(qiáng)。

在行為習(xí)慣方面，九年級學(xué)生正處于青春期，自我意識較強(qiáng)，容易受到外界環(huán)境的影響。部分學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣不高，缺乏主動學(xué)習(xí)的積極性。這可能導(dǎo)致他們在學(xué)習(xí)過程中遇到困難時容易產(chǎn)生挫敗感，影響學(xué)習(xí)效果。此外，學(xué)生在課堂上可能出現(xiàn)注意力不集中、參與度不高等現(xiàn)象，這對課程學(xué)習(xí)產(chǎn)生一定的負(fù)面影響。

針對以上學(xué)情，本節(jié)課的教學(xué)策略如下：

1.注重啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生主動思考，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

2.通過典型例題的講解，讓學(xué)生掌握求解二次函數(shù)最大值和最小值的方法，提高學(xué)生的邏輯推理能力。

3.結(jié)合實際生活中的最值問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。

4.采用小組合作學(xué)習(xí)的方式，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和團(tuán)隊協(xié)作能力。

5.注重課堂紀(jì)律管理，營造良好的學(xué)習(xí)氛圍，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。四、教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有本節(jié)課所需的教材或?qū)W習(xí)資料。提前通知學(xué)生攜帶教材，并在課堂上檢查教材的攜帶情況。對于未攜帶教材的學(xué)生，教師應(yīng)提供備用教材或?qū)W習(xí)資料，以確保他們能夠跟上課程進(jìn)度。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的圖片、圖表、視頻等多媒體資源。這些資源可以幫助學(xué)生更直觀地理解二次函數(shù)的應(yīng)用，并激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。教師應(yīng)提前收集和整理這些資源，并在課堂上適時展示。例如，可以準(zhǔn)備一些實際生活中的最值問題案例，通過圖片或視頻展示，讓學(xué)生更加直觀地了解問題的背景和求解方法。

3.實驗器材：如果涉及實驗，確保實驗器材的完整性和安全性。本節(jié)課可能涉及到一些簡單的數(shù)學(xué)實驗，如利用圖形計算器繪制二次函數(shù)圖像，或者通過實際測量數(shù)據(jù)建立二次函數(shù)模型。教師應(yīng)提前檢查實驗器材，確保它們的功能正常，并在課堂上進(jìn)行示范操作，指導(dǎo)學(xué)生正確使用。

4.教室布置：根據(jù)教學(xué)需要，布置教室環(huán)境，如分組討論區(qū)、實驗操作臺等。為了促進(jìn)學(xué)生之間的合作和交流，教師可以將教室劃分為不同的區(qū)域，如討論區(qū)、實驗區(qū)等。在討論區(qū)，可以設(shè)置小組討論桌，鼓勵學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)和討論。在實驗區(qū)，可以設(shè)置實驗操作臺，供學(xué)生進(jìn)行實驗操作和觀察。此外，教師還可以在教室墻壁上張貼相關(guān)的數(shù)學(xué)圖表和公式，以提醒學(xué)生關(guān)注重要知識點。五、教學(xué)流程（一）課前準(zhǔn)備（預(yù)計用時：5分鐘）

學(xué)生預(yù)習(xí)：

發(fā)放預(yù)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生提前了解二次函數(shù)的應(yīng)用的學(xué)習(xí)內(nèi)容，標(biāo)記出有疑問或不懂的地方。

設(shè)計預(yù)習(xí)問題，激發(fā)學(xué)生思考，為課堂學(xué)習(xí)二次函數(shù)的應(yīng)用內(nèi)容做好準(zhǔn)備。

教師備課：

深入研究教材，明確二次函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)和重難點。

準(zhǔn)備教學(xué)用具和多媒體資源，確保二次函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)過程的順利進(jìn)行。

設(shè)計課堂互動環(huán)節(jié)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)的應(yīng)用的積極性。

（二）課堂導(dǎo)入（預(yù)計用時：3分鐘）

激發(fā)興趣：

提出問題或設(shè)置懸念，引發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入二次函數(shù)的應(yīng)用學(xué)習(xí)狀態(tài)。

回顧舊知：

簡要回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的二次函數(shù)內(nèi)容，幫助學(xué)生建立知識之間的聯(lián)系。

提出問題，檢查學(xué)生對舊知的掌握情況，為二次函數(shù)的應(yīng)用新課學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

（三）新課呈現(xiàn)（預(yù)計用時：25分鐘）

知識講解：

清晰、準(zhǔn)確地講解二次函數(shù)的應(yīng)用知識點，結(jié)合實例幫助學(xué)生理解。

突出二次函數(shù)的應(yīng)用重點，強(qiáng)調(diào)難點，通過對比、歸納等方法幫助學(xué)生加深記憶。

互動探究：

設(shè)計小組討論環(huán)節(jié)，讓學(xué)生圍繞二次函數(shù)的應(yīng)用問題展開討論，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和溝通能力。

鼓勵學(xué)生提出自己的觀點和疑問，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，拓展思維。

技能訓(xùn)練：

設(shè)計實踐活動或?qū)嶒灒寣W(xué)生在實踐中體驗二次函數(shù)的應(yīng)用知識的應(yīng)用，提高實踐能力。

在二次函數(shù)的應(yīng)用新課呈現(xiàn)結(jié)束后，對知識點進(jìn)行梳理和總結(jié)。

強(qiáng)調(diào)重點和難點，幫助學(xué)生形成完整的知識體系。

（四）鞏固練習(xí)（預(yù)計用時：5分鐘）

隨堂練習(xí)：

隨堂練習(xí)題，讓學(xué)生在課堂上完成，檢查學(xué)生對二次函數(shù)的應(yīng)用知識的掌握情況。

鼓勵學(xué)生相互討論、互相幫助，共同解決二次函數(shù)的應(yīng)用問題。

錯題訂正：

針對學(xué)生在隨堂練習(xí)中出現(xiàn)的錯誤，進(jìn)行及時訂正和講解。

引導(dǎo)學(xué)生分析錯誤原因，避免類似錯誤再次發(fā)生。

（五）拓展延伸（預(yù)計用時：3分鐘）

知識拓展：

介紹與二次函數(shù)的應(yīng)用內(nèi)容相關(guān)的拓展知識，拓寬學(xué)生的知識視野。

引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注學(xué)科前沿動態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和探索精神。

情感升華：

結(jié)合二次函數(shù)的應(yīng)用內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生思考學(xué)科與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的社會責(zé)任感。

鼓勵學(xué)生分享學(xué)習(xí)二次函數(shù)的應(yīng)用的心得和體會，增進(jìn)師生之間的情感交流。

（六）課堂小結(jié)（預(yù)計用時：2分鐘）

簡要回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的二次函數(shù)的應(yīng)用內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)重點和難點。

肯定學(xué)生的表現(xiàn)，鼓勵他們繼續(xù)努力。

布置作業(yè)：

根據(jù)本節(jié)課學(xué)習(xí)的二次函數(shù)的應(yīng)用內(nèi)容，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

提醒學(xué)生注意作業(yè)要求和時間安排，確保作業(yè)質(zhì)量。六、知識點梳理1.二次函數(shù)的定義與圖像：

-二次函數(shù)的一般形式：f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c為常數(shù)，且a≠0。

-二次函數(shù)的圖像是一個開口向上或向下的拋物線，取決于a的正負(fù)。

-二次函數(shù)的圖像具有對稱性，其對稱軸為x=-b/(2a)。

2.二次函數(shù)的頂點：

-頂點坐標(biāo)公式：(-b/(2a),f(-b/(2a)))。

-當(dāng)a>0時，拋物線開口向上，頂點為最小值點；當(dāng)a<0時，拋物線開口向下，頂點為最大值點。

3.二次函數(shù)的性質(zhì)：

-當(dāng)x遠(yuǎn)離對稱軸時，函數(shù)值增長或減少的速度加快。

-二次函數(shù)的最大值或最小值出現(xiàn)在頂點上。

4.二次函數(shù)與實際問題的聯(lián)系：

-在實際應(yīng)用中，許多問題可以抽象為二次函數(shù)模型，如物體運動的拋物線軌跡、經(jīng)濟(jì)活動的最優(yōu)化等。

-通過建立二次函數(shù)模型，可以求解實際問題中的最大值或最小值問題。

5.二次函數(shù)的應(yīng)用：

-在幾何問題中，二次函數(shù)可以用來求解圖形的面積、周長等最值問題。

-在代數(shù)問題中，二次函數(shù)可以用來求解方程的最大值或最小值。

6.二次函數(shù)的求導(dǎo)：

-二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一次函數(shù)，表示為f'(x)=2ax+b。

-利用導(dǎo)數(shù)，可以求解二次函數(shù)的極值點，即最大值或最小值點。

7.二次函數(shù)的求值：

-二次函數(shù)的值可以通過直接代入x的值來計算。

-在實際問題中，通過建立二次函數(shù)模型，可以求解特定條件下的函數(shù)值。

8.二次函數(shù)的圖像變換：

-二次函數(shù)的圖像可以通過平移、伸縮等變換來得到新的二次函數(shù)圖像。

-這些變換可以改變拋物線的開口方向、頂點位置和對稱軸。

9.二次函數(shù)的圖像與方程的關(guān)系：

-二次函數(shù)的圖像與方程是相互對應(yīng)的，方程決定了圖像的形狀、位置和大小。

-通過觀察圖像，可以直觀地了解方程的性質(zhì)和特點。

10.二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用：

-二次函數(shù)在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。

-通過建立二次函數(shù)模型，可以解決實際問題中的最優(yōu)化問題。七、板書設(shè)計1.二次函數(shù)的定義與圖像：

-重點知識點：二次函數(shù)的一般形式，圖像的開口方向，對稱軸。

-重點詞句：f(x)=ax^2+bx+c，拋物線，對稱軸x=-b/(2a)。

2.二次函數(shù)的頂點：

-重點知識點：頂點坐標(biāo)公式，最小值或最大值點。

-重點詞句：頂點坐標(biāo)(-b/(2a),f(-b/(2a)))，最小值點或最大值點。

3.二次函數(shù)的性質(zhì)：

-重點知識點：遠(yuǎn)離對稱軸時函數(shù)值的變化速度，最大值或最小值出現(xiàn)在頂點上。

-重點詞句：遠(yuǎn)離對稱軸時函數(shù)值變化加快，最大值或最小值出現(xiàn)在頂點上。

4.二次函數(shù)與實際問題的聯(lián)系：

-重點知識點：實際問題抽象為二次函數(shù)模型，求解最大值或最小值問題。

-重點詞句：實際問題抽象為二次函數(shù)模型，求解最大值或最小值。

5.二次函數(shù)的應(yīng)用：

-重點知識點：幾何問題中的面積、周長等最值問題，代數(shù)問題中的最大值或最小值求解。

-重點詞句：幾何問題中的最值問題，代數(shù)問題中的最大值或最小值求解。

6.二次函數(shù)的求導(dǎo)：

-重點知識點：二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一次函數(shù)，求解極值點。

-重點詞句：導(dǎo)數(shù)f'(x)=2ax+b，求解極值點。

7.二次函數(shù)的求值：

-重點知識點：通過代入x的值計算二次函數(shù)的值，求解特定條件下的函數(shù)值。

-重點詞句：代入x的值計算函數(shù)值，求解特定條件下的函數(shù)值。

8.二次函數(shù)的圖像變換：

-重點知識點：通過平移、伸縮等變換得到新的二次函數(shù)圖像。

-重點詞句：平移、伸縮等變換，改變拋物線的形狀、位置和大小。

9.二次函數(shù)的圖像與方程的關(guān)系：

-重點知識點：圖像與方程相互對應(yīng)，方程決定了圖像的形狀、位置和大小。

-重點詞句：圖像與方程相互對應(yīng)，方程決定了圖像的形狀、位置和大小。

10.二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用：

-重點知識點：二次函數(shù)在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，解決實際問題中的最優(yōu)化問題。

-重點詞句：二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，解決最優(yōu)化問題。八、課后作業(yè)2.求解二次函數(shù)的極值點：給定一個二次函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，求其極值點。

3.求解二次函數(shù)的圖像問題：給定一個二次函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，求其在x=k時的函數(shù)值，并判斷該點在圖像上的位置。

4.求解二次函數(shù)的平移問題：給定一個二次函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，求其向左或向右平移k個單位后的函數(shù)表達(dá)式。

5.求解二次函數(shù)的伸縮問題：給定一個二次函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，求其橫向或縱向伸縮k倍后的函數(shù)表達(dá)式。

舉例：

1.求解二次函數(shù)的最值問題：

-f(x)=x^2-4x+3，求其在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。

-解答：f(x)的頂點坐標(biāo)為(2,-1)，在區(qū)間[1,3]上，函數(shù)在x=1時取得最小值2，在x=3時取得最大值6。

2.求解二次函數(shù)的極值點：

-f(x)=-2x^2+4x-3，求其極值點。

-解答：f'(x)=-4x+4，令f'(x)=0，得x=1，代入f(x)得極值點(1,-1)。

3.求解二次函數(shù)的圖像問題：

-f(x)=x^2-2x+1，求其在x=2時的函數(shù)值，并判斷該點在圖像上的位置。

-解答：f(2)=2^2-2*2+1=1，該點在圖像的頂點上。

4.求解二次函數(shù)的平移問題：

-f(x)=x^2-3x+2，求其向左平移2個單位后的函數(shù)表達(dá)式。

-解答：f(x+2)=(x+2)^2-3(x+2)+2=x^2+4x+4-3x-6+2=x^2+x。

5.求解二次函數(shù)的伸縮問題：

-f(x)=x^2+2x+1，求其縱向伸縮3倍后的函數(shù)表達(dá)式。

-解答：3f(x)=3(x^2+2x+1)=3x^2+6x+3。作業(yè)布置與反饋作業(yè)布置：

1.基礎(chǔ)題：

-求解二次函數(shù)的極值點：給定一個二次函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，求其極值點。

-求解二次函數(shù)的圖像問題：給定一個二次函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，求其在x=k時的函數(shù)值，并判斷該點在圖像上的位置。

-求解二次函數(shù)的平移問題：給定一個二次函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，求其向左或向右平移k個單位后的函數(shù)表達(dá)式。

-求解二次函數(shù)的伸縮問題：給定一個二次函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，求其橫向或縱向伸縮k倍后的函數(shù)表達(dá)式。

2.綜合題：