《復變函數(shù)》作業(yè)集

西安交通大學網(wǎng)絡教育學院

馮復科編

目錄

第一章復數(shù)與復變函數(shù)

第二章解析函數(shù)

第三章復變函數(shù)的積分

第四章級數(shù)

第五章留數(shù)

模擬試題一

模擬試題二

參考答案

第一章復數(shù)與復變函數(shù)

本章要點：

1.復數(shù)的概念

2.復數(shù)的四則運算

3.復數(shù)的模與輻角

4.復數(shù)的乘幕與方根

5.復變函數(shù)的概念

6.復變函數(shù)的極限

7.復變函數(shù)的連續(xù)性

本章目標：

1.了解復數(shù)的概念

2.掌握復數(shù)的代數(shù)運算

3.掌握復數(shù)的乘塞與方根

4.理解復變函數(shù)的概念

5.掌握復變函數(shù)的極限及其連續(xù)性

本章重點：

1.復數(shù)的代數(shù)運算

2.復數(shù)的模與輻角

3.復數(shù)的乘幕與方根

4.單連通區(qū)域與多連通區(qū)域

5.復變函數(shù)與映像

6.復變函數(shù)的極限與連續(xù)性

本章難點：

1.復數(shù)的代數(shù)運算及幾何表示

2.復數(shù)的乘幕與方根

3.曲線及區(qū)域的復數(shù)表示

4.復變函數(shù)的極限與連續(xù)性

（1）

一、填空題

1.復數(shù)比的實部、虛部分別為:

萬一1

2.復數(shù)」一的模與輻角分別為;

2+3z

3.yf-1=.

4.(l-z)9=______________________.

5.1-V3Z的三角表達式為.

x=xcona-y,sina

6.旋轉公式111的復數(shù)形式為_________________.

y=%]sina+yxcona

五的指數(shù)形式

7.設a-gz2=V3-z,則ZjZ2的指數(shù)形式為

為.

二、單項選擇題

1.Im[(l+07+(l-07]=()

(A)0(B)2V2(C)-2A/2(D)-V2.

2.若/(2)=彳，貝ijlim/(z)=()

z+i5

(A)i(B)2i(C)-i(D)-2i.

3.下列方程所表示的曲線是橢圓的為()

z—1

(A)lz—2l+lz+2l=5(B)I--I

z+1

(C)IzI+Rez=1(D)Rez2=2.

4.函數(shù)/(Z)=M(X,y)+iv(x,y)在點z()=%+認處連續(xù)的充要條件是()

(A)M(x,y)在(%,%)處連續(xù)(B)v(x,y)在(%,為)處連續(xù)

(C)M(X,y)和v(x,y)在(x。,右)處連續(xù)(D)“(蒼》)+丫(%,〉)在(工0，%)處連續(xù).

z2-zz-l-z

5.lim二()

z->l+zZ2-2Z

3-i3+z1-3/l+3z

(A)(C)-

~4~(B)丁

(2)

6./(z)=一、的連續(xù)點集合為()

i+r

(A)單連通區(qū)域(B)多連通區(qū)域

(C)開集、非區(qū)域(D)閉集.

三、求下列復數(shù)的輻角的主值argz

1.z=—J12—2z；2.z—sin—I-icos一；

55

3.z=—3+4i；4.z=1-cos0+isin^(0<3<7i).

四、選取適當?shù)膮?shù)，將滿足下列條件的曲線用復數(shù)形式的方程表示出來

1.起點為Z1,終點為Z2的有向線段;

2.過點&=-2+3z?和點Z2=2+z?的直線;

(3)

3.過點z=l+i且平行于虛軸的直線;

4.坐標原點到點z=l+z'的直線段;

五、求滿足下列式子的點Z的軌跡，并作圖.

1.|z+z|=|z-2i|；

2.|z+3|+|z+l|=4；

3.Re(反)=4;

(4)

4.arg(z-z)=—;

4

六、描出下列不等式所確定的區(qū)域或閉區(qū)域,并指明是有界域還是無界域，單連通域還是多連

通域：

1.Im(z)>0；2.0<Re(z)<1；

3.0<|z-1|<4；4.一1<argz<-1+".

七、如果z=e",證明zn-=2zsin(nf).

(5)

八、證明：憶+22『+匕-22|2=2(卜］『+卜2「)并說明其幾何意義.

九、證明：如果多項式p(z)=旬+?；?。222+-,+a“z"的系數(shù)是實數(shù)，則pQ)=p(z).

十、設函數(shù)/(z)=m(z0O),試證z-?0時,/(z)的極限不存在.

Z

(6)

十一、設復數(shù)。+活是實系數(shù)方程4z"+aiZ"T+…%=0的根，證明。一活也是

方程的根.

十二、當x,y等于什么實數(shù)時，等式X+1+；(y-3)=l+/成立?

5+3z

(7)

第二章解析函數(shù)

本章要點:

1.復變函數(shù)的導數(shù)的概念

2.解析函數(shù)的概念

3.函數(shù)解析的充要條件：C-R方程

4.初等函數(shù)：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、塞函數(shù)、三角函數(shù)與雙曲函數(shù)、反三角函數(shù)與反雙曲

函數(shù)

本章目標：

1.理解解析函數(shù)的概念

2.掌握判斷函數(shù)解析的充要條件：C-R方程

3.掌握指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，幕函數(shù)，三角函數(shù)與雙曲函數(shù)，反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)

的定義、性質及其解析性

本章重點：

1.復變函數(shù)的導數(shù)

2.函數(shù)解析性的判定及解析性性區(qū)域的確定

3.指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，募函數(shù)，三角函數(shù)與雙曲函數(shù)，反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)

的定義、性質及其解析性

本章難點：

1.函數(shù)解析性的判定

2.方程根的確定

3.解析函數(shù)的性質

一、填空題

1./(Z)在點連續(xù)是/(Z)在點可導的條件.

2.7(Z)在區(qū)域。內(nèi)可導是/(Z)在區(qū)域。內(nèi)解析的條件.

3.于(z)=M(X,y)+iv(x,y)在z=x+iy點可導的充分必要條件是.

4.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy可導，則/'(z)=.

(8)

5.若/(z)=(>2—/+。％+/?>)+1(。孫+3%+2〉)處處解析，貝Ij(a,b,c)=.

二、單項選擇題

1.函數(shù)>v=/(z)在Z。點可導是可微的()

(A)必要但非充分條件(B)充分但非必要條件

(C)充分必要條件①)即非充分條件，也非必要條件.

2./(Z)在點Z()=%+現(xiàn))可導的充分必要條件是()

。)在點(%,%)可導，且滿足C-R條件，即半=*,2=—出在(%,%)成立

oxdydyox

(B)/(z)在(無。,先)點的一個鄰域內(nèi)可導

(C)在(玉),%)點〃,v可微，且滿足C-R條件

(D)在(%,%)點具有連續(xù)的偏導數(shù)，且滿足C-R條件.

3.若/(z)=/-3盯2+7(3%2〉一/2),則()

(A)處處解析(B)僅在實軸上可導

22

(C)僅在直線y=-上可導(D)僅在直線y=§或y=0上可導.

4.設/(z)=4z—3,并且/(l+i)=—3"則/⑵=()

(A)2Z2-3Z-Z(B)2Z2-3Z+3Z

(C)2Z2+3Z-3+4Z(D)2Z2-3Z+3-4Z

5.函數(shù)vv=/(z)="+iv在點z()處解析，則命題()不成立.

(A)僅在點z()處可微且滿足C-R條件；

(B)存在點z0的某鄰域U(Z°)；"，丫在UQo)內(nèi)滿足C-R條件；

(C)〃，丫在U(z())內(nèi)可微；(D)B與C同時成立。

6.下面論斷中正確的是()

(A)對于任意的復數(shù)z(wO,8),L〃lzl=lnlzl；

(B)對于任意的復數(shù)z(H8),|coszl<l；

(9)

(C)對于任意的復數(shù)z(。8),e">0；

(D)當c為整數(shù)時，有

7.Ln(-l)和它的主值分別是()

(A)L〃(-1)=伏+g)；ri,(左為整數(shù))主值ln(-l)=0

(B)Ln(-1)=(2左—1)加，(k為整數(shù))主值In(-1)=m；

(C)Ln(-l)=Qk-1)加，(Z為整數(shù))主值ln(-l)=-7ii；

(D)Ln(-l)=In1+i-Arg(-l)=i(2m+X)7i,主值ln(-l)=;ri

8.若/(z)在區(qū)域G內(nèi)解析，則對于命題

(1)若/(z)恒取實數(shù)值，則/(Z)是常數(shù)；

(2)若了而在G內(nèi)解析，則/(z)是常數(shù)；

(3)若"(z)l在G內(nèi)是常數(shù),則/⑶是常數(shù)；

(4)若/⑵=0,則/(Z)是常數(shù)。

正確的有()

(A)4個(B)3個(C)2個(D)1個.

三、下列函數(shù)何處可導?何處解析？

1./(z)=2x2+6y3z2./(z)=sinxchy+icosxshy

3./(z)=x2-z>4./(Z)=2X3+3Z>3

(10)

5./(z)=excosy+iexsiny6./(z)=x2-y-x+z(2xy-y2)

四、證明:若/(z)=〃+而在區(qū)域。內(nèi)解析，且滿足下列條件之一，則/(z)在。內(nèi)恒為常

數(shù)。

2

1.U—V

2./(Z)的模為常數(shù).即，儲+丫2=左常數(shù)

(11)

3.au+bv=c,其中a力與c為不全為零的實常數(shù)。

五、求出下列方程的全部解

1.1—，=0

2.sinz+cosz=0

3.sinz+icosz=4i

六、求Lz(—3z),L〃(—9+12i)的值和它們的主值

(12)

七、求exp[(l—zR/4],2\(l+i/i和(-2)行的值.

八、設/(z)=%3+〃%、+，(屋一3孫2)為解析函數(shù)，試確定根,”,/的值.

九、證明函數(shù)卬=犬-寸-y+i(2xy+x)在z平面上解析，并求其導函數(shù).

(13)

第三章復變函數(shù)的積分

本章要點:

1.復變函數(shù)積分的概念

2.積分存在的條件及積分的計算方法

3.柯西-古薩基本定理

4.閉路變形原理與復合閉路定理

5.原函數(shù)與不定積分

6.柯西積分公式與高階導數(shù)公式

7.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系

本章目標：

1.理解復變函數(shù)積分的概念，積分存在的條件及積分的計算方法

2.掌握柯西-古薩基本定理，閉路變形原理，復合閉路定理

3.會應用柯西積分公式、高階導數(shù)公式計算復變函數(shù)沿閉路的積分

4.理解原函數(shù)與不定積分的概念

5.理解解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系，會由已知調(diào)和函數(shù)構造解析函數(shù)

本章重點：

1.復變函數(shù)積分的概念，積分的計算方法

2.柯西-古薩基本定理，閉路變形原理，復合閉路定理

3.柯西積分公式與高階導數(shù)公式

4.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系

本章難點：

1.復變函數(shù)積分的計算

2.沿閉路或復合閉路對不同形式復變函數(shù)積分的計算

3.由已知調(diào)和函數(shù)u(x,y)(或v(x,y))構造解析函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

一、填空題

1.設C:z=e6,-71<6<71，則^Re(z)dz=

(14)

2.設。為z=e"，￡從一生至生的一段，貝U；[zdz_______________

22上

3.設。為z=0至ijz=i再至Uz=2+2'的折線段，貝2dz；

4.設。為Z=(1T?,/從1到0的一段，則[元々=

5.設。為z=0到z=l+i的直線段，=；

6.f二—；

+2z+2

7.設。是沿拋物線y=_?一1,從(—1,0)至()(1,0)的弧段，則[sin(l+z)dz=

(-e"/

8?I3-5'"z=______;

GZ2+3Z+2

「1

10.I3z--______?

Jldi(z2+3z+2)3

二、單項選擇題

1.設/(z)在單連通區(qū)域3內(nèi)解析，。為3內(nèi)任一閉路，則必有()

(A)fIm[/(z)]Jz=0(B)/Re"(z)]dz=0

(C)L"(z)0z=O(D)￡/(z)(/z=0.

2.函數(shù)/(z)在單連通區(qū)域3內(nèi)解析是/(z)沿3內(nèi)任一閉路c的積分f/(z)dz=o的

JC

()

(A)充分條件(B)必要條件

(C)充要條件(D)既非充分也非必要條件.

3.設/(Z)在閉路C上及其內(nèi)部解析，Z。在。的內(nèi)部，則有()

//(Z)

(A)f/⑶dz=1(z0)f—Lydz(B)f/⑶2dz=fdz

Jc(Z-Z0)2Jc(Z-Z0)2Jc(Z-Z0)2Jc(Z-Zo)

dz(D)J/⑶2dz=J幺辿/z.

?￡T^?Jjc——-——dzJcJc

(z-z0)(z-z0)Z-Zo

4.設。是單位圓Iz1=1的上半部分逆時針方向，貝Ij1(z-l)dz=()

(15)

(A)2i(B)2(C)-2i(D)-2.

dz

5.設C:lz—11=1,則L)

(Z-l)3(Z+l)3

3兀,3兀.3萬.3兀,

(A)—i(B)—i(C)——i(D)一--i

o844

rsinz

6.設C：lzl=l,則/z=()

c(zg

(A)-m(B)m(C)0(D)一2兀i.

7.設C：lz—11=工，則

)

2

(A)(B)0(C)7ii(D)1.

sh/rz,

8.—；——az=)

Jflzl=2z2+l

(A)0(B)-z(D)It.

rcos〃z,,

9.3—;---------dz=(

Jia=5z-Z-2)

224.

(A)0(B)-7T(C)--(D)—7tl.

3

cosz,

10.----------rdz=)

a一兀)

(A)0(B)-m(C)m(D)2組.

計算證明題

i.證明：?1（X2+》2）公|《萬，。為z=〃,e從o至萬的半圓弧.

2

2.計算，1=?^z(z-l)-dz，其中「是圓環(huán)域：-<lzl<2的邊界.

2

(16)

3.求積分［—-~-dz,其中C分別為:

JcZ(Z-1)2

(1)Izl=—(2)Iz-ll=—(3)Iz1=2.

22

4.計算：設G與02為不經(jīng)過9的兩條互不包含也互不相交的閉路，求

2

1rrz,,rsinz

---［------dz+-------dz］的值。

Jc

2兀i>z-z0JQz-z0

5.計算：［—e—^dz,其中C為不經(jīng)過點。和1的閉路.

Jcz(l-z)3

(17)

6.設/(z)在lzl<l內(nèi)解析，在IzlMl上連續(xù)，/(0)=1,證明:

7.已知/⑶人+黃》是解析函數(shù)’且"2)=°’求“Z).

8.設/(z)=〃+iv是右半平面的解析函數(shù)，v=arctan—(x>0),求/(Z).

x

(18)

9.設/(z)=〃+iv解析，且〃-v=(x-y)(x2+4xy+y2),求/(z).

10.]lm/(z)dz與Im[1/(z)dz]相等嗎？說明理由

(19)

第四章級數(shù)

本章要點：

1.復數(shù)項級數(shù)的概念

2.幕級數(shù)的概念，收斂圓與收斂半徑

3.募級數(shù)的運算與性質

4.泰勒級數(shù)

5.洛朗級數(shù)

本章目標：

1.理解復數(shù)項級數(shù)的概念

2.掌握判定復數(shù)項級數(shù)收斂性的方法

3.理解幕級數(shù)概念，掌握阿貝爾定理，會球塞級數(shù)收斂半徑

4.理解泰勒展開定理，會將解析函數(shù)展開成塞級數(shù)

5.理解洛朗展開定理，會將圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開成洛朗級數(shù)

本章重點：

1.復數(shù)項級數(shù)收斂性的判定

2.幕級數(shù)收斂半徑的求法

3.嘉級數(shù)的運算與性質

4.解析函數(shù)的泰勒展開

5.圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開成洛朗級數(shù)

本章難點：

1.復數(shù)項級數(shù)收斂性的判定

2.第級數(shù)收斂半徑的求法

3.把解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)，泰勒級數(shù)收斂半徑的確定

4.把在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開成洛朗級數(shù)

一"、基本概念

1.復數(shù)列{d,}={%+ibn］收斂的充分必要條件是什么?

(20)

2.復數(shù)項級數(shù)X（4+也,）收斂的充分必要條件是什么

3.復數(shù)項級數(shù)+次,）絕對收斂的充分必要條件是什么

4.幕級數(shù)收斂域有何特征？洛朗級數(shù)收斂域有何特征？

二、填空題

1.設有復數(shù)列①%=（1—9一向與②B“=e-,則發(fā)散數(shù)列是；收斂數(shù)

列是，其極限是.

81?8?8/?\2

2.設有復數(shù)項級數(shù)①￡上（1-上），②③￡必匕，則絕對收斂級數(shù)是

n=l幾幾n=21口兒”=1〃!

OOOOOO/1\2

3.設有復數(shù)項級數(shù)Z（l+i）"z〃，Z（二1）"，它們的收斂半徑分別為

n=in=iInin?=1〃

,及.

OO1OO/1、〃-1

4.洛朗級數(shù)￡（—1）"—二+（3-z）"的收斂域為______.

n=1（z-3）""=i3

ez~3cosz

5.設------------------,則收斂半徑R,故事級數(shù)

(z-l)(z-z)ln(2-z)

在_______絕對收斂。

6.洛朗級數(shù)￡—二+￡（-1）"（1-三）的收斂域為,和函數(shù)為

(21)

7.函數(shù)=^在Z=0處泰勒展開式中Q項的系數(shù)為_______.

z2+z

oon+1

8.級數(shù)￡（-1）用'的收斂半徑與和函數(shù)為.

n=l〃

三、判斷題（對的打J,錯的打X）

1.募級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)解析.[]

2.洛朗級數(shù)在其收斂圓環(huán)內(nèi)可以逐項求導數(shù)與逐項積分.L]

3.若函數(shù)/（Z）在點Z。解析，則/（Z）在Z。的某個鄰域內(nèi)必能展開成泰勒級數(shù).[】

4.如果累級數(shù)￡q,z"在收斂圓周C：lzl=R上一點Zo處絕對收斂，則其在閉域

n=0

上絕對收斂.[]

5.如果極限lim9包存在（#8）,則三個幕級數(shù)VCnZ\￡>%Z'T,有相

…?=i?=i?=in+1

同的收斂半徑.[]

四、設級數(shù)收斂，而發(fā)散，證明幕級數(shù)的收斂半徑R=L

n=0n=0n=0

五、把下列函數(shù)展開成Z的幕級數(shù)，并指出收斂半徑.

1

1.---(a,b為復數(shù),且6。0)；2.-----7T

az+b(1+z2)2

(22)

1

3.sinhz；4.-------

(1-z)3

5.cos2z；6.arctanz.

六、求下列函數(shù)在指定點Z0處的泰勒展開式，并指出它們的收斂半徑.

Z_1cZ

1.,,2.,z,)=2

z+2(z+D(z+2)

17-1.71

3.T^o-I，4.tanz,z0=—;

Z

17=1

5.

Z2(Z+1)'"°

(23)

七、把下列函數(shù)在指定圓環(huán)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù).

z?—2z+51[1c

1.-----------；——,l<lzl<22.：+1—,1<1Z1<+0°

(z-2)(z2+l)五一1)

1一*

3.---,0<lz1<+°°4.:一,0<lz-il<l

Z

1

5.(z9+l)sin—,0<lz1<+?06.---,0<lz-zl<l

zz(i-z)

(24)

第五章留數(shù)

本章要點：

1.孤立奇點的概念

2.孤立奇點的分類

2.函數(shù)的零點與極點的關系

3.留數(shù)定義與留數(shù)定理

4.留數(shù)的計算規(guī)則

本章目標：

1.理解孤立奇點的概念

2.掌握孤立奇點的分類

3.理解留數(shù)定義

4.掌握留數(shù)定理

5.掌握留數(shù)的計算規(guī)則，會利用留數(shù)計算閉路積分

本章重點：

1.孤立奇點及其分類

2.函數(shù)的零點與極點的關系

3.留數(shù)定理

4.留數(shù)計算規(guī)則

5.復變函數(shù)沿閉路的積分

本章難點：

1.奇點的分類

2.有限奇點級的確定

3.函數(shù)在有限奇點處留數(shù)的計算

4.利用留數(shù)計算沿閉路的積分

一、下列函數(shù)有什么奇點?若是極點,指出它的級.

119

■#2+1)2-Z3

(25)

11

3.ez~l

?(^-D

ln(z+l)

z-icosz

-*、求下列函數(shù)在有限奇點處的留數(shù).

sinz1-*

1./(z)=2./(Z)=

2?-zz3

1z

A7、一

3./(z)=?J⑷

zsinzcosz

21

5./⑵:=(z+1)sin-6.f(Z)

zz(e'l)

(26)

3z+2

7.f(z)=cot2z8./(z)=

z2(z+2)

三、利用留數(shù)，計算下列正向圓周上的積分

re2z

2.--——^dz

加|=34丁'總z(zT)

3-14.f史■法

△cosz

r2ez+z,r1

5.\----------dz6.--------az

z

上smzlzlJ=le匕—1

(27)

.1

7.[zsin—^—dz8.J(z+l)ezdz

J=iz-1

lzl=l

四、證明：若Zo是/(Z)的m(m>1)級極點，則z0是/'(z)的m+1級極點.

設Zo是函數(shù)/(z)的，〃級零點，求Res[E3,ZoL

五、

/(z)

設z0是函數(shù)/(z)的"級極點，求Res[13,Zo].

六、

/(z)

(28)

復變函數(shù)模擬試題(一)

一、選擇題(每小題4分，共20分)

1.若Z?=^,則必有().

(A)z=0；(B)Re(z)=0；(C)Im(z)=0；(D)Re(z)Im(z)=0.

ooH+l

2.級數(shù)￡(-1)向二的收斂半徑與和函數(shù)為().

n=l"

(A)ln(l-=1：(B)ln(l+=1：

(C)zln(l-=1；(D)zln(l+z),R=l.

z

3.2=1是函數(shù)6~的().

(A)本性奇點；(B)一級極點；(C)可去極點；(D)二級極點.

4.函數(shù)/(Z)在Z點可導是/(Z)在Z點解析的()

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充分不必要條件(D)既非充分亦非必要條件

5.若/?)=彳,則().

(A)處處不可導；(B)在原點可導；(C)處處解析；(D)僅在虛軸上可導.

二、填空題(每小題4分，共20分)

1.設C是z=0到z=1+i的直線段，則\^dz=.

2.方程1+e-z=0的全部解是；

3.幕級數(shù)的收斂半徑是;

n=l

4.函數(shù)f(z)=-一的全部奇點是____________________.

z2(eJ-l)

三、證明：若/(Z)=〃+小在區(qū)域D內(nèi)解析，并且〃=/,則/(Z)在D內(nèi)為常數(shù).(8分)

(29)

四、已知調(diào)和函數(shù)a(x,y)=(x+l)y,求解析函數(shù)/(z)=〃+M,且滿足條件/⑴=0.(8

分)

五、求函數(shù)/(z)=一——在Z。=2處的泰勒展開式，并指出它的收斂半徑.(10分)

z+3z+2

六、將函數(shù)〃z)=(J尸在圓環(huán)域：0<|z—1]<1內(nèi)展開成洛朗級數(shù).(10分)

七、計算下列各積分.(圓周均取正向)(每小題6分，共24分)

rcos3z,

(1)b(z—2產(chǎn)(2)——-------dz

L(Z-1)(Z+2)

2z3

(3))dz;C4)f上「dz

z+4i

(30)

復變函數(shù)模擬試題(二)

、選擇題(每小題4分，共20分)

1.設=-1+V3Z,Z2=-1+Z,則argZiZ2=[]

/A、77c/c、77U77c_777c,

(A)—；(B)---；(C)---F2左兀；(D)---Fku

12121212

]_/z

2.設/(Z)=——,則Z=0是函數(shù)的[]

z

(A)可去奇點；(B)三級極點；(C)二級極點；(D)解析點.

3.乘暴(1一，尸的值為[]

(A)6(汽一8無兀"21112(B)/兀+隊兀)..21n2(C)尹-8%汽)e21n2(D)*一詼兀)6-21112

4.下列級數(shù)中，絕對收斂的級數(shù)是[]

OO1,oo；n

yJ_

(A)(B);

1i

(o￡(-1)—+一

n=l_n2〃

5.設/(z)=—1—,則正確論斷是[]

3x-3iy

(A)/(z)在z平面處處解析;(B)/(z)在z平面處處不解析;

(C)/(z)在z平面除z=0外處處解析；(D)/(z)僅在z=0解析.

二、填空題(每小題4分，共20分)

1.方程shz=i的全部解為.

2.密級數(shù)￡(1+2i)"z"的收斂半徑R=.

n=0

3.積分fsin2zdz-.

J-ni

4.設/(z)在單連通域3內(nèi)處處解析且不為零，。為3內(nèi)任一簡單閉曲線，則積分

(31)

1

5.Res(z29+1)sin—,0=.

_z_

三、證明：如果函數(shù)/(z)=M+iv在區(qū)域D內(nèi)解析，且其模為常數(shù)，即J?+丫2=3則/⑶

在D內(nèi)為常數(shù)(8分)

四、已知調(diào)和函數(shù)v=arctan工(x>0),求解析函數(shù)/(z)=〃+iv,且滿足條件/(I)=1

(10分)

五、將/(z)=—1—展成Z-1的幕級數(shù)，并求它的收斂半徑(10分)

z(l+z)

六、將函數(shù)/(z)=-----------在圓環(huán)域0<lz-31<2內(nèi)展成羅朗級數(shù)(8分)

(z-l)(z-3)

七、計算下列積分(圓周均取正向X每小題4分洪24分)

1fZeA2?導

1.總-^Z5——2—1dz

lzl=l4

3

Qf2z+z+L

3.-------4.

總Z（Z—1）z2-az

\z\J=247

re2z-1

5.f-----dz6.fC--dzlalol

上cosz』（z-a）

（32）

第一章參考答案

_1_7J133

、1?,2.]3—arctan5+2左乃(左=0,±1,…)；

55

3.cos史里…n"

(%=0,1,2,3)；

44

4.1672(1-i)；5.2cos(-y)+isin(-y)；

LB因

12e12

6.z=(%j+iyx)(cosa+isina)；7.V2e,~^~；

二、1.A；2.B；3.A；4.C.5.A6.B

一534兀一6

二、1.—7t；2.—71；3.—arctg—I-7T；4.-------.

61032

四、1.z=Zi+f(%F)(0<r<1)；

2.z=(4/—2)+(3—2t?(t為實數(shù));

3.z=l+ti(/為任意實數(shù))；

4.Z=(1+i)t,(0<Z<1)；

3

五、1.直線Im(z)=5；

2.以(-3,0),(-1,0)為焦點，長半軸為2,短半軸為囪的橢圓：.+2)-+21=1；

43

3.直線y=4；4.以i為起點的射線y—x-l=0(x>0)；

六、1.上半平面，無界單通區(qū)域；

2.由直線x=0及x=l所構成的帶形區(qū)域(不含兩直線)，無界單連通區(qū)域；

3.以Z=1為圓心，以4為半徑的圓的內(nèi)部(不含圓心)，有界多連通區(qū)域；

4.由射線argz=-l逆時針旋轉到射線argz=-l+乃構成的半平面，無界單連通區(qū)域.

七、證明：zn———=emt—e~int=(cosnt+isinnt)—(cosnt—isinnt)=2isinnt

zn

八、由忖2=z￡即可證明。幾何意義：平行四邊形兩對角線的平方和等于兩鄰邊平方和的

兩倍。

(33)

九、多項式p(z)=a()+aiZ+a2z2+…+%z"的系數(shù)是實數(shù)，ak=ak,k=O,l,---,n故

n

p(z)=a0+alz+---+anz

n

=a0+alz+---+anz

n

=〃o---FClnZ

=P(z)

十、當z沿實軸趨于。時，4=1-極限值為i；

Z

當Z沿虛軸趨于。時，i=-i,極限值為-I

Z

7

故當Z-0時，/(z)=；的極限不存在.

Z

4■、證明：令p(z)=a()z'+aiZ"T+…+%_/+%

則p(z)=p(z)

又因。+活是實系數(shù)方程的根，那么p(a+活)=0

于是p(z)=p(a-ib)=p(a+ib)=0

所以。-活于是方程的根.

十二、x=1,y=11.

第二章參考答案

一、1.充分條件2.充分必要條件

..3MSV3M3V.,,小卡一

3.i)〃,丫在2=%+方處可微;n)—=-k=一＜在z=x+zy處成"

axayoyox

3M(X,y),3v(x,y)_3M(X,y)，:3v(x,y)

I-II

idydydxdx

5.(2,-3,2)

、1.C2.C3.D4.D5.A6.D7.D8.A

(34)

三、1.解：—=4x-=18y2

3xdy

電=02=0

dydx

故/(z)在2x=9y2上可導，沒有解析點.

左力7dv7

2.解：一=cosxcny—=cosxcny

dxdy

du.,dv.

——=smxsny—=-sinxshy

dydx

故/(z)在全平面內(nèi)可導，在全平面內(nèi)解析.

…dududvdv

3.解：一=2x——=0—=0—=-1

dxdydxdy

僅當x=-工時，C-R條件成立，故此函數(shù)在直線％=-工上處處可導，而在復平面上

22

處處不解析.

左力/2八a?八3v?

4.解：一=6x2—=0—=0—=9y2

dxdydxdy

因此僅在兩相交直線2/=3V上處處可導，在平面處處不解析.

__dudu.dv.dv

5.解：一=xecosy—=-xesiny—=xsiny—=xecosy

dxdydxdy

C-R條件處處成立，且偏導數(shù)處處連續(xù)，因而處處可微，即/（Z）處處解析.

6.解：令〃=42-y-x,v=2孫一/，則〃加在Z平面上處處可微且

半=21電=-1如=2y如=2x-2y

dxdy3xdy

從而要使三=三,三=