2025-2026學年上學期九年級1月質(zhì)量檢測數(shù)學試題一．選擇題（每小題4分，滿分40分）1．已知實數(shù)x，y滿足y=x?2+2?x+4，則以A．8 B．12 C．10 D．8或102．下列事件為必然事件的是（）A．口袋中裝有2個紅球和1個白球，從中摸出2個球，其中必有紅球 B．明天會下雪 C．開電視機，CCTV第一套節(jié)目正在播放新聞 D．購買一張彩票中獎一百萬元3．已知：如圖，△ABC中，點D、E、F分別在邊AB、AC和BC上，下列條件能判定DE∥BC的是（）A．DEBC=ADAB B．CEEA=4．關(guān)于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0的根的情況，說法最恰當?shù)氖牵ǎ〢．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．有實數(shù)根5．將方程x2+4x+1＝0配方后，原方程變形為（）A．（x+4）2＝3 B．（x+2）2＝﹣3 C．（x+2）2＝3 D．（x+2）2＝﹣56．某市2020年人均可支收入為2.36萬元，2022年達到2.7萬元，若2020年至2022年間每年人均可支配收入的增長率都為x，則下面所列方程正確的是（）A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7 C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.77．已知拋物線y＝x2﹣8，當函數(shù)值y隨x的增大而減小時，x的取值范圍為（）A．x＜8 B．x＞0 C．x＞8 D．x＜08．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的長是（）A．a(chǎn)?tanα B．a(chǎn)?sinα C．a(chǎn)cosα D．9．如圖，△ABC和△DEF是位似三角形，OD＝3OA，△ABC的面積為2，則△DEF的面積為（）A．4 B．6 C．16 D．1810．如圖，點D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，AC的中點，分別連接DE，EF，DF，AE，AE與AE相交于點O．有下列四個結(jié)論：①DO=1②S③當AB＝AC時，點O到四邊形ADEF四條邊的距離相等；④當∠ABC＝90°時，點O到四邊形ADEF四個頂點的距離相等．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．③④ C．②③ D．①④二．填空題（每小題4分，滿分24分）11．若最簡二次根式2x?7與3x?2是同類二次根式，則x＝12．已知關(guān)于x的方程x2﹣kx+12＝0的一個根為3，則k的值為．13．小明沿著坡度i＝1：2.4的斜坡行走了13米，那么他上升的高度是米．14．已知直角三角形的兩條邊長為3，4，則這個直角三角形斜邊上的中線等于．15．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點為（1，0），則關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為．16．如圖，矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點E，把EB繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)15°交BC于點F，過點C作CG⊥EF于點G，連接BG，若CF＝2BF，CE=6，則BC＝三．解答題（共9小題，滿分86分）17．（8分）計算：41518．（8分）解一元二次方程：2x2+3x﹣4＝0．19．（8分）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點．△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的格點上．（1）則∠DEF＝°，AC＝；（2）判斷△ABC與△DEF是否相似．若相似，請說明理由．20．（8分）如圖是一張矩形紙片ABCD，對角線AC與BD相交于點O．（1）在BC邊上求作一點E，使得△CDE沿著DE折疊后，C和F是對應(yīng)點，且點F落在線段OC上（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，若DE=5，BD=25，求21．（8分）現(xiàn)有A，B兩個不透明的盒子，A中有4個完全相同的黑色棋子，B中有2個完全相同的白色棋子．（1）從A中摸出兩個棋子放入B中，再從B中隨機摸出一個棋子，則摸出棋子顏色為黑色的概率為．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，求從B中一次摸出2個棋子都是白色的概率．22．（10分）已知二次函數(shù)y＝﹣（x+1）2+4．（1）在平面直角坐標系xOy中畫出該函數(shù)的圖象；（2）當﹣3≤x≤0時，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y的取值范圍．23．（10分）項目化學習項目主題：測量樹的高度．分析探究：樹的高度不能直接測量，需要借助一些工具，比如小鏡子，標桿，皮尺，小木棒，自制的直角三角形硬紙板…確定方案后，還要畫出測量示意圖，并實地進行測量，得到具體數(shù)據(jù)，從而計算出樹的高度．成果展示：下面是某小組進行交流展示時的部分測量方案及測量數(shù)據(jù)：測量工具標桿，皮尺測量方案選一名同學作為觀測者，在觀測者與樹之間的地面直立一根標桿，使樹的頂端、標桿的頂端與觀測者的眼睛恰好在一條直線上．這時再測出觀測者的腳到樹底端的距離，以及觀測者的腳到標桿底端的距離，然后測出標桿的高．測量示意圖測量數(shù)據(jù)線段AB表示樹，標桿EF＝3.2m，觀測者的眼睛到地面的距離CD＝1.7m，觀測者的腳到樹底端的距離DB＝14m，觀測者的腳到標桿底端的距離DF＝2m．…請同學們繼續(xù)完善上述成果展示：任務(wù)一：根據(jù)測量數(shù)據(jù)，求出樹AB的高度；任務(wù)二：寫出求樹的高度時所利用的數(shù)學知識．（寫出一個即可）24．（13分）定義：我們把關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0與cx2+bx+a＝0（ac≠0，a≠c）稱為一對“友好方程”．如2x2﹣7x+3＝0的“友好方程”是3x2﹣7x+2＝0．（1）寫出一元二次方程x2+2x﹣8＝0的“友好方程”：．（2）已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的兩根為x1＝2，x2＝﹣4，它的“友好方程”的兩根為x3=12，x4＝．根據(jù)以上結(jié)論，猜想ax2+bx+c＝0的兩根x1，x2與其“友好方程”cx2+bx+a＝0的兩根x3，x（3）已知關(guān)于x的方程2023x2+bx﹣1＝0的兩根是x1＝﹣1，x2=12023．請利用（2）中的結(jié)論，直接寫出關(guān)于x的方程（x﹣1）2﹣25．（13分）（1）如圖1，AD是△ABC的中線，點E是AB邊上一點，作EF∥BC交AC于F，交AD于G．證明：AD平分EF．（2）如圖2，AD是△ABC的中線，點M是AD的中點，連結(jié)BM并延長與AC交于點N，求ANNC（3）如圖3，若BDBC=1m，

參考答案一．選擇題題號12345678910答案CACDCBDDDC二．填空題11．5．12．7．13．5．14．2.5或2．15．1＜x＜3．16．3．三．解答題17．解：原式=4=45=518．解：2x2+3x﹣4＝0，∴a＝2，b＝3，c＝﹣4，∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，∴x=?3±∴x119．解：（1）根據(jù)圖形可得：∠FEM＝90°，∠DEM＝45°，∴∠DEF＝90°+45°＝135°，AC=42+故答案為：135；25；（2）△ABC與△DEF相似，理由如下：在△ABC中，AB＝2，BC=22+22=22在△DEF中，EF＝2，DE=2，DF=∵ABDE=22=∴ABDE∴△ABC∽△DEF．20．解：（1）以D為圓心，DC長為半徑畫弧，交線段OC于點F，再作CF的垂直平分線交BC于點E，則點E即為所求，如圖所示，點E即為所求：（2）如圖，設(shè)DE交AC于點G，由作圖可得，DE垂直平分CF，∴DE⊥CF，∴∠DGC＝90°，∴∠EDC+∠GCD＝90°，∵矩形紙片ABCD，∴AC=BD=25，∠ABC＝∠ECD∴∠ACB+∠GCD＝90°，∴∠ACB＝∠EDC，∴△ABC∽△ECD，∴BCCD∴BC＝2CD，設(shè)CD＝a，則BC＝2a，在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，∴(2a)2解得a＝2（負值已舍去），∴BC＝2×2＝4．21．解：（1）摸出棋子顏色為黑色的概率=2故答案為：12（2）畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果，其中2個棋子都是白色的結(jié)果數(shù)為2，所以摸出2個棋子都是白色的概率=222．解：（1）拋物線y＝﹣（x+1）2+4的頂點坐標為（﹣1，4），當x＝0時，y＝﹣（x+1）2+4＝3，則拋物線與y軸的交點坐標為（0，3）；根據(jù)對稱軸為直線x＝﹣1，得拋物線必過點（﹣2，3），當y＝0時，﹣（x+1）2+4＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，則拋物線與x軸的交點坐標為（﹣3，0），（1，0）；過以上五點描點、連線作出拋物線，如圖，（2）∵拋物線y＝﹣（x+1）2+4的頂點坐標為（﹣1，4），且a＝﹣1＜0，∴當x＝﹣1時，y有最大值為4；當x＝﹣3時，y＝﹣（﹣3+1）2+4＝0，當﹣3≤x≤0時，0≤y≤4．23．解：任務(wù)一：如圖，過點C作CG⊥AB于點G，交EF于點H，則四邊形CDBG與四邊形CDFH是矩形，∴CH＝DF＝2m，CG＝BD＝14m，CD＝HF＝GB＝1.7m，∴EH＝EF﹣HF＝3.2﹣1.7＝1.5m，由題意得EF∥AB，∴△CEH∽△CAG，∴CHCG=EH∴AG＝10.5m，∴AB＝AG+BG＝10.5+1.7＝12.2m，答：樹AB的高度為12.2m．任務(wù)二：求樹的高度時所利用的數(shù)學知識有相似三角形的性質(zhì)與判定（答案不唯一）．24．解：（1）由“友好方程”的定義可知，一元二次方程x2+2x﹣8＝0的“友好方程”為﹣8x2+2x+1＝0，即8x2﹣2x﹣1＝0，故答案為：8x2﹣2x﹣1＝0；（2）由（1）可知，一元二次方程x2+2x﹣8＝0的友好方程為8x2﹣2x﹣1＝0，解得，觀察可知，；所以猜想ax2+bx+c＝0的兩根x1，x2，與其“友好方程”cx2+bx+a＝0的兩根x3，x4之間存在的一種特殊關(guān)系是互為倒數(shù)．證明如下：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根為x1=?b+b2?4ac“友好方程”cx2+bx+a＝0的兩根為x3=?b+b2?4ac2c∴x1?x4==?b+b2?4ac2c??b?b2?4ac2c故答案為：?1（3）已知關(guān)于x的方程2023x2+bx﹣1＝0的兩根是x1＝﹣1，x2那么x2﹣bx﹣2023＝0的兩個根分別是x3＝﹣1，x4＝2023，將（x﹣1）2﹣bx+b＝2023整理為：（x﹣1）2﹣b（x﹣1）﹣2023＝0，那么有x﹣1＝﹣1或x﹣1＝2023，即x5＝0，x6＝2024．∴關(guān)于x的方程（x﹣1）2﹣bx+b＝2023的兩根為x＝0或x＝2024．25．（1）證明：如圖1，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∵EF∥BC交AC于F，交AD于G，∴△AEG∽△ABD，△AFG∽△ACD，∴EGBD=AG∴EGBD∴EGFG∴EG＝FG，∴AD