Page38專題03一元二次方程壓軸題四種模型全攻略【類型一傳播問題】例1．（甘肅蘭州·九年級期末）德爾塔是一種全球流行的新冠病毒變異毒株，其傳染性極強．某地有人感染了德爾塔，因為沒有剛好隔離治療，經(jīng)過兩輪傳染后，一共有人感染了德爾塔病毒，設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了個人；（1）用含的代數(shù)式表示：經(jīng)過第一輪傳染后，共有多少人感染了德爾塔病毒?（2）列方程求解：在每輪傳染中，平均一個人傳染了幾個人?（3）假如依據(jù)這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪傳染后，一共有多少人感染德爾塔病毒?【答案】（1）；（2）每輪傳染中平均一人傳染了人；（3）經(jīng)過三輪傳染后共有人感染德爾塔.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意列式即可；（2）設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了個人，依據(jù)有人感染了德爾塔，因為沒有剛好隔離治療，經(jīng)過兩輪傳染后，一共有人感染了德爾塔病毒，列方程求解即可；（3）依據(jù)（2）中所求數(shù)據(jù)，進而表示出經(jīng)過三輪傳染后感染德爾塔病毒的人數(shù)．【詳解】；依據(jù)題意：，解得(舍去)，答：每輪傳染中平均一人傳染了人；（人），答：經(jīng)過三輪傳染后共有人感染德爾塔病毒．【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．【變式訓(xùn)練1】（廣東·雷州市第八中學(xué)九年級期中）學(xué)生會要組織“西實杯”籃球賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場）．（1）假如有4支球隊參加競賽，那么共進行______場競賽；（2）假如全校一共進行36場競賽，那么有多少支球隊參加競賽？【答案】（1）6；（2）9支【解析】【分析】依據(jù)賽制為單循環(huán)形式場，即可求解；（2）設(shè)有支球隊參加競賽，依據(jù)題意，列出方程，即可求解．【詳解】解：（1）（場），答：共進行6場競賽；（2）設(shè)有支球隊參加競賽，依據(jù)題意得：，解得：（不合題意，舍去），答：有9支球隊參加競賽．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，精確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（福建省廈門第六中學(xué)九年級期中）有一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后有若干人被傳染上流感．假設(shè)在每輪的傳染中平均一個人傳染了個人．（1）其次輪被傳染上流感人數(shù)是______；（用含的代數(shù)式表示）（2）在進入其次輪傳染之前，假如出名患者被剛好隔離（未治愈），經(jīng)過兩輪傳染后是否會有人患病的狀況發(fā)生，并說明理由．【答案】（1）；（2）會；理由見解析【解析】【分析】（1）一個人患流感，則經(jīng)過一輪傳染后患病的總?cè)藬?shù)為人，然后每個人又傳染人，表示出其次輪傳染上流感的人數(shù)即可；（2）因進入其次輪傳染之前，出名患者被剛好隔離（未治愈），則其次輪后共有人患流感，而此時患流感的人數(shù)為人，依據(jù)這個等量關(guān)系列出方程，若能求出正整數(shù)解，則會有人患病的狀況發(fā)生．【詳解】解：（1）依據(jù)題意：其次輪被傳染上流感人數(shù)是：，故答案為：；（2）依據(jù)題意得：，解得：，（舍），∵為正整數(shù)，∴其次輪傳染后會有人患病的狀況發(fā)生．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能依據(jù)進入其次輪傳染之前，有四位患者被剛好隔離（未治愈）列出方程并求解．【變式訓(xùn)練3】（廣東·深圳中學(xué)九年級期中）應(yīng)用題：某市要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），支配支配15場競賽．（本題第一問要求列方程作答）（1）應(yīng)當邀請多少支球隊參加競賽？（2）若某支球隊參加3場后，因故不參加以后的競賽，問實際共競賽多少場？【答案】（1）6；（2）13【解析】【分析】（1）設(shè)應(yīng)當邀請x支球隊參加競賽，則競賽的總場數(shù)為場，與總場數(shù)為15場建立方程求出其解即可；（2）用3加上余下的5支球隊競賽的總場數(shù)即可．【詳解】（1）設(shè)應(yīng)當邀請x支球隊參加競賽，依題意得：，解得：或（不合題意，舍去）．答：應(yīng)邀請6支球隊參加競賽；（2）由題可得：（場）．答：實際共競賽13場．【點睛】本題考查了列一元二次方程解實際問題的運用，一元二次方程的解法的運用，解答時以單循環(huán)形式競賽規(guī)則的總場數(shù)作為等量關(guān)系建立方程是解題的關(guān)鍵．【類型二增長率與營銷問題】例2．（甘肅白銀·九年級期末）白銀市各級公安交警部門提示市民，騎車出行必需嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；(2)若此種頭盔的進價為30元/個，測算在市場中，當售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲0.5元/個，則月銷售量將削減5個，為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應(yīng)定為多少元/個？【答案】(1)該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%．(2)該品牌頭盔的實際售價應(yīng)定為50元/個．【解析】【分析】(1)設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，依據(jù)該品牌頭盔4月份及6月份的月銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；(2)依據(jù)月銷售利潤=每個頭盔的利潤×月銷售量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之經(jīng)檢驗即可求出結(jié)論．(1)解：（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為，依題意得：，解得，（不合題意，舍去）．答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%；(2)設(shè)該品牌頭盔的實際售價為y元/個，依題意得：，整理得，解得（不合題意，舍去），，答：該品牌頭盔的實際售價應(yīng)定為50元/個．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（內(nèi)蒙古包頭·九年級期末）某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，一月份售出32臺，二、三月份這種臺燈銷售量連續(xù)增長，其中三月份售出50臺．(1)求二月份、三月份兩個月這種臺燈銷售量的月均增長率；(2)從四月份起商場確定實行降價促銷措施，調(diào)查發(fā)覺，在三月份銷量的基礎(chǔ)上，假如這種臺燈的售價每降價2元，那么月銷售量增加4臺．當每臺降價多少元時，四月份銷售這種臺燈可獲利348元？【答案】(1)二月份、三月份兩個月這種臺燈銷售量的月均增長率為25%(2)當每臺降價4元時，四月份銷售這種臺燈可獲利348元【解析】【分析】（1）設(shè)二月份、三月份兩個月這種臺燈銷售量的月均增長率為x，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，求解即可；（2）設(shè)每臺降價y元，則四月份可售出臺，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，求解即可．(1)設(shè)二月份、三月份兩個月這種臺燈銷售量的月均增長率為x，依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：二月份、三月份兩個月這種臺燈銷售量的月均增長率為25%．(2)設(shè)每臺降價y元，則四月份可售出臺，依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：當每臺降價4元時，四月份銷售這種臺燈可獲利348元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（重慶榮昌·九年級期末）因粵港澳大灣區(qū)和中國特色社會主義先行示范區(qū)的雙重利好，深圳已成為國內(nèi)外游客最寵愛的旅游目的地城市之一.深圳著名旅游“網(wǎng)紅打卡地”東部華僑城景區(qū)在2024年春節(jié)長假期間，共接待游客達20萬人次，預(yù)料在2024年春節(jié)長假期間，將接待游客達28.8萬人次(1)求東部華僑城景區(qū)2024至2024年春節(jié)長假期間接待游客人次的年平均增長率．(2)東部華僑城景區(qū)一奶茶店銷售一款奶茶，每杯成本價為6元，依據(jù)銷售閱歷，在旅游旺季，若每杯定價25元，則平均每天可銷售300杯，若每杯價格降低1元，則平均每天可多銷售30杯.2024年春節(jié)期間，店家確定進行降價促銷活動，則當每杯售價定為多少元時，既能讓顧客獲得最大實惠，又可讓店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額？【答案】(1)年平均增長率為(2)當每杯售價定為20元時，既能讓顧客獲得最大實惠，又可讓店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額【解析】【分析】（1）設(shè)年平均增長率為x，依據(jù)東部華僑城景區(qū)在2024年春節(jié)長假期間，共接待游客達20萬人次，預(yù)料在2024年春節(jié)長假期間，將接待游客達28.8萬人次.列出方程求解即可；（2）設(shè)當每杯售價定為y元時，店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額，由題意得關(guān)于y的方程，解方程并對方程的解，作出取舍即可．(1)設(shè)年平均增長率為，由題意得：解得：，（舍）答：年平均增長率為20%；(2)設(shè)當每杯售價定為y元時，店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額，由題意得：整理得：解得：讓顧客獲得最大實惠，y=20答：當每杯售價定為20元時，既能讓顧客獲得最大實惠，又可讓店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額．【點睛】本題考查了一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并正確列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（四川宜賓·九年級期末）宜賓市某樓盤準備以每平方米9000元的均價對外銷售，由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺后，購房者持幣觀望．為了加快資金周轉(zhuǎn)，房地產(chǎn)開發(fā)商對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，確定以每平方米7290元的均價開盤銷售．（1）求平均每次下調(diào)的百分率；（2）某人準備以開盤均價購買一套100平方米的房子．開發(fā)商還賜予以下兩種實惠方案以供選擇：①打9.8折銷售；②不打折，送兩年物業(yè)管理費．物業(yè)管理費是每平方米每月1.5元．請問哪種方案更實惠？【答案】（1）10%；（2）方案①更實惠，理由見解析．【解析】【分析】（1）設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x，利用預(yù)訂每平方米銷售價格×（1-x）2=開盤每平方米銷售價格列方程解答即可；（2）分別解出兩種方案的房款，再作比較即可．【詳解】解：（1）設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x，依據(jù)題意列方程得，解得（舍去）答：平均每次下調(diào)的百分率為10%．（2）方案①的房款：（元）加上兩年的物業(yè)管理費共須要：（元）方案②的房款：（元）故方案①更實惠．【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，駕馭相關(guān)學(xué)問，依據(jù)等量關(guān)系列方程，解方程是關(guān)鍵．【類型三與圖形有關(guān)的問題】例3．（天津·九年級期中）如圖，有長為30m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為10m），圍成中間隔有一道籬笆（平行于AB）的矩形花圃，設(shè)花圃一邊AB的長為xm，如要圍成面積為63m2的花圃，那么AB的長是多少？【答案】【解析】【分析】設(shè)的長為m，則平行于墻的一邊長為：m，該花圃的面積為：，令該面積等于63，求出符合題意的的值，即是所求的長．【詳解】解：設(shè)該花圃的一邊的長為m，則與相鄰的邊的長為m，由題意得：，即：，解得：，當m時，平行于墻的一邊長為：，不合題意舍去；當m時，平行于墻的一邊長為：，符合題意，所以，的長是．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵在于理解清楚題意，找出等量關(guān)系列出方程求解．【變式訓(xùn)練1】（江蘇南京·九年級期末）某單位要修建一個長方形的活動區(qū)（圖中陰影部分），依據(jù)規(guī)劃活動區(qū)的長和寬分別為20m和16m，同時要在它四周外圍修建寬度相等的小路．已知活動區(qū)和小路的總面積為480m2．(1)求小路的寬度．(2)某公司希望用50萬元承包這項工程，該單位認為金額太高須要降價，通過兩次協(xié)商，最終以32萬元達成一樣．若兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率．【答案】(1)小路的寬度是2m；(2)每次降價的百分率為20%【解析】【分析】（1）設(shè)小路的寬度為xm，依據(jù)總面積為480列方程求解即可；（2）設(shè)每次降價的百分率為y，依據(jù)等量關(guān)系列方程50（1－y）2=32解方程即可求解．(1)解：設(shè)小路的寬度為xm，依據(jù)題意，得：（20+2x）（16+2x）=480，整理得：x2+18x－40＝0，解得：x1=2，x2=－20（舍去），答：小路的寬度為2m；(2)解：設(shè)每次降價的百分率為y，依據(jù)題意，得：50（1－y）2=32，解得：y1＝0.2，y2＝1.8（舍去），答：每次降價的百分率為20%．【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，找準等量關(guān)系，正確列出方程是解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（廣東深圳·九年級期末）如圖①，某校進行校內(nèi)改造，準備將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域栽種鮮花，原空地一邊削減了4m，另一邊削減了5m，剩余部分面積為650m2．(1)求原正方形空地的邊長；(2)在實際建立時，從校內(nèi)美觀和好用的角度考慮，按圖②的方式進行改造，先在正方形空地一側(cè)建成1m寬的畫廊，再在余下地方建成寬度相等的兩條小道后，其余地方栽種鮮花，假如栽種鮮花區(qū)域的面積為812m2，求小道的寬度．【答案】(1)30m(2)1m【解析】【分析】（1）設(shè)原正方形空地的邊長為xm，則剩余部分長（x-4）m，寬（x-5）m，依據(jù)剩余部分面積為650m2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)小道的寬度為ym，則栽種鮮花的區(qū)域可合成長（30-y）m，寬（30-1-y）m的矩形，依據(jù)栽種鮮花區(qū)域的面積為812m2，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【小題1】解：設(shè)原正方形空地的邊長為xm，則剩余部分長（x-4）m，寬（x-5）m，依題意得：（x-4）（x-5）=650，整理得：x2-9x-630=0，解得：x1=30，x2=-21（不合題意，舍去）．答：原正方形空地的邊長為30m．【小題2】設(shè)小道的寬度為ym，則栽種鮮花的區(qū)域可合成長（30-y）m，寬（30-1-y）m的矩形，依題意得：（30-y）（30-1-y）=812，整理得：y2-59y+58=0，解得：y1=1，y2=58（不合題意，舍去）．答：小道的寬度為1m．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（遼寧鞍山·九年級階段練習(xí)）如圖，利用一面墻（墻長25米），用總長度49米的柵欄（圖中實線部分）圍成一個矩形圍欄，且中間共留兩個1米的小門，設(shè)柵欄長為x米．（1）若矩形圍欄面積為210平方米，求柵欄的長；（2）矩形圍欄面積是否有可能達到240平方米？若有可能，求出相應(yīng)x的值，若不行能，請說明理由．【答案】（1）柵欄的長為10米；（2）矩形圍欄面積不行能達到240平方米．【解析】【分析】（1）先表示出AB的長，再依據(jù)矩形圍欄ABCD面積為210平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論；（2）依據(jù)矩形圍欄ABCD面積為240平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，由根的判別式Δ=-31＜0，可得出該方程沒有實數(shù)根，進而可得出矩形圍欄ABCD面積不行能達到240平方米．【詳解】解：（1）依題意，得：，整理，得：，解得：．當時，，不合題意，舍去，當時，，符合題意，答：柵欄的長為10米；（2）不行能，理由如下：依題意，得：，整理得：，∵，∴方程沒有實數(shù)根，∴矩形圍欄面積不行能達到240平方米．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）依據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出AB的長；（2）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（3）牢記“當Δ＜0時，方程無實數(shù)根”．【類型四動態(tài)幾何問題】例4．（江西宜春·九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，，，點P從點A動身沿邊AB以1cm/s的速度向點B移動；同時，點Q從點B動身沿邊BC以2cm/s的速度向點C移動，當點P運動到點B后，運動停止，設(shè)運動時間為x（s）．(1)______cm，______cm（用含x的式子表示）；(2)若時，求x的值；(3)當x為何值時，將成為以為斜邊的直角三角形．【答案】(1)，(2)或(3)當為或時，是以為斜邊的直角三角形【解析】【分析】（1）干脆依據(jù)P、Q點運動方向和運動速度表示出答案；（2）在中，依據(jù)勾股定理即可求出答案；（3）表示出、和，由勾股定理即可求出答案．(1)由題可得：，，∴，，故答案為：，；(2)在中，，即，解得：或；(3)，，，∵是以為斜邊的直角三角形，∴，解得：或，∴當為或時，是以為斜邊的直角三角形．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，正確表示出三角形各邊的長度是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（廣東·佛山市南海石門試驗中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）點P從點A起先沿AB邊向B以1cm/s的速度移動，點Q從B點起先沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，假如P，Q分別從A，B同時動身，經(jīng)過幾秒，使△PBQ的面積為8cm2？（2）點P從點A起先沿AB邊向B以1cm/s的速度移動，點Q從B點起先沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．假如P，Q分別從A，B同時動身，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出運動時間；若不能說明理由．（3）若P點沿射線AB方向從A點動身以1cm/s的速度移動，點Q沿射線CB方向從C點動身以2cm/s的速度移動，P，Q同時動身，經(jīng)過秒后，△PBQ的面積為1cm2？【答案】（1）2秒或4秒，（2）線段PQ不能將△ABC分成面積相等的兩部分；理由見解析，（3）5﹣或5或5+．【解析】【分析】（1）設(shè)經(jīng)過x秒，使△PBQ的面積等于8cm2，依據(jù)等量關(guān)系：△PBQ的面積等于8cm2，列出方程求解即可；（2）設(shè)經(jīng)過y秒，線段PQ能將△ABC分成面積相等的兩部分，依據(jù)面積之間的等量關(guān)系和判別式即可求解；（3）分三種狀況：①點P在線段AB上，點Q在線段CB上（0＜x≤4）；②點P在線段AB上，點Q在射線CB上（4＜x≤6）；③點P在射線AB上，點Q在射線CB上（x＞6）；進行探討即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒，使△PBQ的面積等于8cm2，依題意有（6﹣x）?2x＝8，解得x1＝2，x2＝4，經(jīng)檢驗，x1，x2均符合題意．故經(jīng)過2秒或4秒，△PBQ的面積等于8cm2；（2）設(shè)經(jīng)過y秒，線段PQ能將△ABC分成面積相等的兩部分，依題意有△ABC的面積＝×6×8＝24，（6﹣y）?2y＝12，y2﹣6y+12＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4×12＝﹣12＜0，∴此方程無實數(shù)根，∴線段PQ不能將△ABC分成面積相等的兩部分；（3）①點P在線段AB上，點Q在線段CB上（0＜x≤4），設(shè)經(jīng)過m秒，依題意有（6﹣m）（8﹣2m）＝1，m2﹣10m+23＝0，解得m1＝5+，m2＝5﹣，經(jīng)檢驗，m1＝5+不符合題意，舍去，∴m＝5﹣；②點P在線段AB上，點Q在射線CB上（4＜x≤6），設(shè)經(jīng)過n秒，依題意有（6﹣n）（2n﹣8）＝1，n2﹣10n+25＝0，解得n1＝n2＝5，經(jīng)檢驗，n＝5符合題意．③點P在射線AB上，點Q在射線CB上（x＞6），設(shè)經(jīng)過k秒，依題意有（k﹣6）（2k﹣8）＝1，k2﹣10k+23＝0，解得k1＝5+，k2＝5﹣，經(jīng)檢驗，k1＝5﹣不符合題意，舍去，∴k＝5+；綜上所述，經(jīng)過（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面積為1cm2．故答案為：5﹣或5或5+．【點睛】考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，依據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．留意分類思想的運用．【變式訓(xùn)練2】（海南省東方市瓊西中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，長方形ABCD中（長方形的對邊平行且相等，每個角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，動點P，Q分別從點A，C同時動身，點P以2cm/s的速度向終點B移動，點Q以1cm/s的速度向點D移動，當有一點到達終點時，另一點也停止運動，設(shè)運動的時間為t（s），問：（1）當t＝1s時，四邊形BCQP面積是多少？（2）當t為何值時，點P和點Q距離是3cm？（3）當t＝s時，以點P，Q，D為頂點的三角形是等腰三角形．（干脆寫出答案）【答案】（1）5cm2；（2）；（3）或或或．【解析】【分析】（1）當t=1時，可以得出CQ=1cm，AP=2cm，就有PB=6-2=4（cm），由梯形的面積就可以得出四邊形BCQP的面積；（2）如圖1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如圖2，作PE⊥CD于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分狀況探討，如圖3，當PQ=DQ時，如圖4，當PD=PQ時，如圖5，當PD=QD時，由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理建立方程就可以得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．∵CQ＝1cm，AP＝2cm，∴AB＝6﹣2＝4（cm）．∴S＝（cm2）．答：四邊形BCQP面積是5cm2；（2）如圖1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴四邊形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．∵AP＝2t（cm），∴PE＝6﹣2t﹣t＝（6﹣3t）cm．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝9，解得：t＝．如圖2，作PE⊥CD于E，∴∠PEQ＝90°．∵∠B＝∠C＝90°，∴四邊形BCQE是矩形，∴PE＝BC＝2cm，BP＝CE＝6﹣2t．∵CQ＝t，∴QE＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t﹣6）2+4＝9，解得：t＝．綜上所述：t＝或；（3）如圖3，當PQ＝DQ時，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴四邊形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．∵AP＝2t，∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．∵PQ＝DQ，∴PQ＝6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，解得：t＝．如圖4，當PD＝PQ時，作PE⊥DQ于E，∴DE＝QE＝DQ，∠PED＝90°．∵∠A＝∠D＝90°，∴四邊形APED是矩形，∴PE＝AD＝2cm．DE＝AP＝2t，∵DQ＝6﹣t，∴DE＝．∴2t＝，解得：t＝；如圖5，當PD＝QD時，∵AP＝2t，CQ＝t，∴DQ＝6﹣t，∴PD＝6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2＝（6﹣t）2，解得t1＝，t2＝（舍去）．綜上所述：t＝或或或．故答案為：或或或．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，梯形的面積公式的運用，一元二次方程的解法的運用．解答時靈敏運用動點問題的求解方法是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（福建龍巖·九年級期中）如圖所示，四邊形ABCD為矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若點Q從A點動身沿AD以1cm/s的速度向D運動，P從B點動身沿BA以2cm/s的速度向A運動，假如P、Q分別同時動身，當一個點到達終點時，另一點也同時停止．設(shè)運動的時間為t（s）．（1）當t為何值時，△PAQ為等腰三角形？（2）當t為何值時，△APD的面積為6cm2？（3）五邊形PBCDQ的面積能否達到20cm2？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由．（4）當t為何值時，P、Q兩點之間的距離為cm？【答案】（1）當t＝2時，△PAQ為等腰三角形；（2）當t＝時，△APD的面積為6cm2；（3）五邊形PBCDQ的面積不能達到20cm2；（4）t＝【解析】【分析】（1）依據(jù)點在矩形邊上的運動速度和時間，分別確定AQ＝tcm，BP＝2tcm，得出cm，再依據(jù)為等腰三角形，，將相等的邊代入計算即可求出t值；（2）由（1）得：cm，cm，依據(jù)三角形面積公式及題目要求可得：，求解一元一次方程即可得出答案；（3）依據(jù)圖形可得：矩形ABCD的面積減去△PAQ的面積即為五邊形的面積，代入可得關(guān)于t的一個代數(shù)式，依據(jù)題意可得：，然后利用一元二次方程根的判別式即可確定方程是否有解，即面積能否達到20cm2；（4）利用勾股定理及依據(jù)題意可得：，然后求解，最終要考慮題意中點的運動時間是否都符合題意，不符合題意的舍去，即可得出t值．【詳解】解：（1）依據(jù)題意，AQ＝tcm，BP＝2tcm，AP＝（6﹣2t）cm，∵為等腰三角形，，∴，即，解得：，∴當時，△PAQ為等腰三角形；（2）∵（cm2），∴，解得：，∴當時，的面積為6cm2；（3）∵（cm2），∴整理得：，∵，∴該方程沒有實數(shù)根，∴五邊形PBCDQ的面積不能達到20cm2；（4）在Rt△APQ中，，依據(jù)題意得：，∴化簡后得：，解得：，，∵，，∴，∴（舍去），∴．【點睛】題目主要考查點在矩形邊上的動點問題，涉及到學(xué)問點包括等腰三角形性質(zhì)、一元二次方程的判別式及解法、勾股定理等，對學(xué)問點的數(shù)量運用、融會貫穿是解題關(guān)鍵．【課后訓(xùn)練】一、解答題1．（廣東·深圳市龍崗區(qū)深圳中學(xué)龍崗初級中學(xué)九年級期中）某公司2月份銷售新上市的A產(chǎn)品20套，由于該產(chǎn)品的經(jīng)濟適用性，銷量快速上升，4月份該公司A產(chǎn)品達到45套，并且2月到3月和3月到4月兩次的增長率相同．(1)求該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率；(2)若A產(chǎn)品每套盈利2萬元，則平均每月可售30套．為了盡量削減庫存，該公司確定實行適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)覺，A產(chǎn)品每套每降2萬元，公司平均每月可多售出80套；若該公司在5月份要獲利70萬元，則每套A產(chǎn)品需降價多少？【答案】(1)該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率為50%(2)每套A產(chǎn)品需降價1萬元【解析】【分析】（1）設(shè)該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率為x，利用增長率表示4約分銷售量為20（1＋x）2依據(jù)4月份銷量等量關(guān)系列方程即可；（2）設(shè)每套A產(chǎn)品需降價y萬元，則平均每月可售出（30＋）套，求出每套利潤，依據(jù)每套利潤×銷售套數(shù)=70萬，列方程求解即可．(1)解：設(shè)該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率為x，依題意，得：20（1＋x）2＝45，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5（不合題意，舍去）．答：該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率為50%．(2)解：設(shè)每套A產(chǎn)品需降價y萬元，則平均每月可售出（30＋）套，依題意，得：（2－y）（30＋）＝70，整理，得：4y2－5y＋1＝0，解得：y1＝，y2＝1，∵盡量削減庫存，∴y＝1．答：每套A產(chǎn)品需降價1萬元．【點睛】本題考查列一元二次方程解增長率與降價增量問題應(yīng)用題，駕馭列一元二次方程解增長率與降價增量問題應(yīng)用題方法與步驟，抓住等量關(guān)系用增長率表示4月份的銷量=45；利用每套利潤×銷售套數(shù)=70列方程是解題關(guān)鍵．2．（廣東·佛山市華英學(xué)校九年級期中）2024年，受新冠肺炎疫情影響，口罩緊缺，某網(wǎng)店以每袋8元（一袋十個）的成本價購進了一批口罩，二月份以一袋14元的價格銷售了256袋，三、四月該口罩特別暢銷，銷售量持續(xù)走高，在售價不變的基礎(chǔ)上，四月份的銷售量達到400袋．(1)求三、四這兩個月銷售風(fēng)的月平均增長率；(2)為回饋客戶，該網(wǎng)店確定五月降價促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)覺，在四月份銷量的基礎(chǔ)上，該口罩每袋降價1元，銷售量就增加40袋，當口罩每袋降價多少元時，五月份可獲利1920元？【答案】(1)25%(2)當口罩每袋降價2元時，五月份可獲利1920元【解析】【分析】（1）設(shè)三、四這兩個月銷售量的月平均增長率為，依據(jù)題目已知條件列出方程即可求解；（2）設(shè)口罩每袋降價元，則五月份的銷售量為袋，依據(jù)題目已知條件得出，解方程即可得出結(jié)果．(1)解：設(shè)三、四這兩個月銷售量的月平均增長率為，依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：三、四這兩個月銷售量的月平均增長率為25%；(2)解：設(shè)口罩每袋降價元，則五月份的銷售量為袋，依題意，得：，化簡，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：當口罩每袋降價2元時，五月份可獲利1920元．【點睛】本題主要考查的是一元二次方程的實際應(yīng)用，依據(jù)題目意思正確的列出方程是解題的關(guān)鍵．3．（重慶榮昌·八年級期末）因粵港澳大灣區(qū)和中國特色社會主義先行示范區(qū)的雙重利好，東部華僑城景區(qū)在2024年春節(jié)長假期間共接待游客達20萬人次，預(yù)料在2024年春節(jié)長假期間，將接待游客達28.8萬人次．(1)求東部華僑城景區(qū)2024至2024年春節(jié)長假期間接待游客人次的年平均增長率．(2)東部華僑城景區(qū)一奶茶店銷售一款奶茶，每杯成本價為6元，依據(jù)銷售閱歷，在旅游旺季，若每杯定價25元，則平均每天可銷售300杯，若每杯價格降低1元，則平均每天可多銷售30杯，2024年春節(jié)期間，店家確定進行降價促銷活動，則當每杯售價定為多少元時（其中售價不超過20元），店家此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額?【答案】(1)20%(2)20元【解析】【分析】（1）設(shè)年平均增長率為x，依據(jù)東部華僑城景區(qū)在2024年春節(jié)長假期間，共接待游客達20萬人次，預(yù)料在2024年春節(jié)長假期間，將接待游客達28.8萬人次．列出方程求解即可；（2）設(shè)當每杯售價定為y元時，店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額，由題意得關(guān)于y的方程，解方程并對方程的解作出取舍即可．(1)設(shè)年平均增長率為x，由題意得：20（1+x）2=28.8，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍）．答：年平均增長率為20%；(2)設(shè)當每杯售價定為y元時，店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額，由題意得：（y-6）[300+30（25-y）]=6300，整理得：y2-41y+420=0，解得：y1=20，y2=21．∵售價不超過20元，∴y=20．答：當每杯售價定為20元時，既能讓顧客獲得最大實惠，又可讓店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額．【點睛】本題考查了一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并正確列出方程是解題的關(guān)鍵．4．（甘肅酒泉·九年級期末）某商場一種商品的進價為每件30元，售價為每件40元．每天可以銷售48件，為盡快削減庫存，商場確定降價促銷．(1)若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價降至每件32.4元，求兩次下降的百分率；(2)經(jīng)調(diào)查，若該商品每降價0.5元，每天可多銷售4件，那么每天要想獲得512元的利潤，每件應(yīng)降價多少元？【答案】(1)兩次下降的百分率為10%(2)每天要想獲得512元的利潤，每件應(yīng)降價2元【解析】【分析】（1）設(shè)每次降價的百分率為x，（1﹣x）2為兩次降價后的百分率，40元降至32.4元就是方程的等量條件，列出方程求解即可；（2）設(shè)每天要想獲得512元的利潤，每件商品應(yīng)降價y元，由銷售問題的數(shù)量關(guān)系建立方程求出其解即可．(1)解：設(shè)每次降價的百分率為x．40×（1﹣x）2＝32.4x＝10%或190%（190%不符合題意，舍去）答：該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價降至每件32.4元，兩次下降的百分率為10%；(2)解：設(shè)每天要想獲得512元的利潤，且更有利于削減庫存，則每件商品應(yīng)降價y元，由題意，得解得：答：要使商場每月銷售這種商品的利潤達到512元，且更有利于削減庫存，則每件商品應(yīng)降價2元．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是依據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件，這種價格問題主要解決價格變更前后的平衡關(guān)系，列出方程，解答即可．5．（福建·泉州五中九年級開學(xué)考試）為了響應(yīng)“踐行核心價值觀，傳遞青春正能量”的號召，小穎確定走入社區(qū)號召大家參加“傳遞正能量志愿服務(wù)者”．假定從一個人起先號召，每一個人每周能夠號召相同的m個人參加，被號召參加的人下一周會接著號召，兩周后，將有121人被號召成為“傳遞正能量志愿服務(wù)者”．(1)求出m的值；(2)經(jīng)過計算后，小穎、小紅、小麗三人起先發(fā)起號召，但剛剛起先，他們就發(fā)覺了問題，實際號召過程中，不是每一次號召都可以成功，而他們?nèi)说某晒β室哺鞑幌嗤阎〖t的成功率比小穎的兩倍少10%，第一周后小麗比小穎多號召2人，三人一共號召17人，其中小穎號召了n人．請分別求出他們?nèi)颂栒俚某晒β剩敬鸢浮?1)10(2)所以小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為【解析】【分析】（1）依據(jù)“每一個人每周能夠號召相同的m個人參加，被號召參加的人下一周會接著號召，兩周后，將有121人被號召成為“傳遞正能量志愿服務(wù)者”．”列出方程，即可求解；（2）依據(jù)題意，得小穎號召了n人.小麗號召了（n+2）人，小紅號召了[17-（n+2）-n]=（15-2n）人，從而得到小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為，再依據(jù)“小紅的成功率比小穎的兩倍少10%，”列出方程，即可求解．(1)解：依據(jù)題意得：m（m+1）+m+1=121，即（m+1）2=121，∴m+1=±11，解得：m1=10，m2=-12（舍去）答：m的值為10；(2)解：依據(jù)題意，得小穎號召了n人，小麗號召了（n+2）人，小紅號召了[17-（n+2）-n]=（15-2n）人，∴小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為，∵小紅的成功率比小穎的兩倍少10%，∴，解得：n=4，∴所以小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為，答：所以小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，明確題意，精確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（浙江·九年級專題練習(xí)）衛(wèi)生部疾病限制專家經(jīng)過調(diào)研提出，假如人傳播人以上而且被傳染的人已經(jīng)確定為新冠肺炎，那么這個傳播者就可以稱為“超級傳播者”假如某鎮(zhèn)有人不幸成為新冠肺炎病毒的攜帶者，假設(shè)每輪傳染的人數(shù)相同，經(jīng)過兩輪傳染后共有人成為新冠肺炎病毒的攜帶者．（1）經(jīng)過計算，推斷最初的這名病毒攜帶者是“超級傳播者”嗎？請先寫出結(jié)論，再說明理由；（1）若不加以限制傳染渠道，經(jīng)過輪傳染，共有多少人成為新冠肺炎病毒的攜帶者？【答案】（1）最初的這名病毒攜帶者是“超級傳播者”，見解析；（2）若不加以限制傳染渠道，經(jīng)過輪傳染，共有人成為新冠肺炎病毒的攜帶者【解析】【分析】最初的這名病毒攜帶者是“超級傳播者”，設(shè)每人每輪傳染的人數(shù)為人，則第一輪傳染了人，其次輪傳染了人，依據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有人成為新冠肺炎病毒的攜帶者，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之將其正值與比較后即可得出結(jié)論；利用經(jīng)過輪傳染后成為新冠肺炎病毒的攜帶者的人數(shù)經(jīng)過兩輪傳染后成為新冠肺炎病毒的攜帶者的人數(shù)經(jīng)過兩輪傳染后成為新冠肺炎病毒的攜帶者的人數(shù)每人每輪傳染的人數(shù)，即可求出結(jié)論．【詳解】解：最初的這名病毒攜帶者是“超級傳播者”，理由如下：設(shè)每人每輪傳染的人數(shù)為人，則第一輪傳染了人，其次輪傳染了人，依題意得：，解得：不合題意，舍去．，最初的這名病毒攜帶者是“超級傳播者”．人．答：若不加以限制傳染渠道，經(jīng)過輪傳染，共有人成為新冠肺炎病毒的攜帶者．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．7．（湖北·荊州市荊南中學(xué)九年級期中）在一次聚會上，規(guī)定每兩個人見面必需握1次手．

（1）若參加聚會的人數(shù)為6，則共握手次，若參加聚會的人數(shù)為n（n為正整數(shù)），則共握手次；

（2）若參加聚會的人共握手36次，請求出參加聚會的人數(shù)？【答案】（1）15；；（2）參加聚會的有9人．【解析】【分析】（1）依據(jù)每一人與其它五人握手，可得6×5次，其中每兩人重復(fù)一次握手，共有，依據(jù)握手次數(shù)=參會人數(shù)×（參會人數(shù)-1）÷2，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)有x人參加聚會，由（1）的結(jié)論結(jié)合共握手36次，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論【詳解】解：（1）若參加聚會的人數(shù)為，則共握手（次）；參加聚會的人數(shù)為（為正整數(shù)），則共握手次．故答案為：15；；（2）設(shè)有人參加聚會，依據(jù)題意得，，整理得，因式分解得，解得：，（不合題意，舍去），答：參加聚會的有9人．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法，列代數(shù)式，一元二次次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）依據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計算；（2）依據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含n的代數(shù)式表示出握手總數(shù)；（3）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．8．（新疆維吾爾自治區(qū)喀什地區(qū)九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）某校學(xué)生會組織周末愛心義賣活動，義賣所得利潤將全部捐獻給希望工程，活動選在一塊長40米、寬28米的矩形空地上．如圖，空地被劃分出6個矩形區(qū)域，分別擺放不同類別的商品，區(qū)域之間用寬度相等的小路隔開，已知每個區(qū)域的面積均為128平方米，小路的寬應(yīng)為多少米？【答案】4米【解析】【分析】設(shè)小路的寬應(yīng)為x米，則6個矩形區(qū)域可合成長為（40?2x）米，寬為（28?x）米的矩形，依據(jù)6個矩形區(qū)域的面積為128×6平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小路的寬應(yīng)為x米，則6個矩形區(qū)域可合成長為（40?2x）米，寬為（28?x）米的矩形，依題意得：（40?2x）（28?x）＝128×6，整理得：x2?48x＋176＝0，解得：（不合題意，舍去）．答：小路的寬應(yīng)為4米．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．（甘肅酒泉·九年級期末）如圖所示，某建筑工地要靠一堵院墻圍建一個面積為150m2的矩形臨時倉庫．已知可利用的院墻長18m，要求在與院墻平行的一邊開一個寬為2m的門，現(xiàn)有的磚料按要求只能砌成33m長的圍墻，求這個待建臨時倉庫的長和寬．【答案】這個待建臨時倉庫的的長和寬分別為15m和10m．【解析】【分析】設(shè)這個待建臨時倉庫的寬為xm，則倉庫的長為（35-2x）m，依據(jù)長方形面積=長×寬，列方程，依據(jù)墻長18m列不等式，，解方程與不等式即可．【詳解】解：設(shè)這個待建臨時倉庫的寬為xm，則倉庫的長為（35-2x）m，依據(jù)題意，得，解方程，整理得，因式分解得，解得：，解不等式得x≥8.5，∵7.5＜8.5舍去，∴x=10,，經(jīng)檢驗x=10是原方程的根，并符合題意，∴35-2x=35-2×10=15m,答：這個待建臨時倉庫的的長和寬分別為15m和10m．【點睛】本題考查列一元二次方程解圖形面積問題應(yīng)用題，列不等式解決方程根的問題，駕馭列方程的方法和解題步驟，以及列不等式的方法是解題關(guān)鍵．10．（山東·日照市嵐山區(qū)教學(xué)探討室八年級期末）某公司支配搭建一個臨時物資儲備倉庫，用來放置應(yīng)急物資．如圖，倉庫的兩邊靠墻（墻足夠長），另外兩邊用總長為58米的鐵皮圍成，兩面墻的夾角為90°，鐵皮與墻面均垂直，其中CD邊上留有寬2米的通道，且邊CD的長不小于30米．設(shè)BC的長為x米．(1)CD的長為_______米．（用含x的代數(shù)式表示）(2)若倉庫的面積是800平方米，則BC的長應(yīng)為多少米？【答案】(1)（60-x）(2)BC的長應(yīng)為20米【解析】【分析】（1）由題意知，計算求解即可；（2）由題意列方程得：x（60-x）=800，計算求出滿足要求的解即可．(1)解：由題意知∴故答案為：．(2)解：由題意列方程得：x（60-x）=800，解得x1=20，x2=40當x1=20時，60-x=40；當x2=40時，60-x=20（20<30，不合題意，舍去）答：BC的長應(yīng)為20米．【點睛】本題考查了列代數(shù)式，一元二次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于依據(jù)題意列方程．11．（湖南·婁底市第三中學(xué)九年級階段練習(xí)）配方法可以用來解一元二次方程，還可以用它來解決很多問題．例如：求﹣3（a+1）2+6的最值．解：∵﹣3（a+1）2≤0，∴﹣3（a+1）2+6≤6，∴﹣3（a+1）2+6有最大值6，此時a＝﹣1．(1)當x＝時，代數(shù)式2（x﹣1）2+3有最（填寫大或小）值為．(2)當x＝時，代數(shù)式﹣x2+4x+3有最（填寫大或?。┲禐椋?3)如圖，矩形花園的一面靠墻，另外三面的柵欄所圍成的總長度是16m，當垂直于墻的一邊長為多少時，花園的面積最大？最大面積是多少？【答案】(1)1，小，3(2)2，大，7(3)當垂直于墻的一邊長為4米時，花園有最大面積為32【解析】【分析】（1）先依據(jù)平方的性質(zhì)求出代數(shù)式的取值范圍，再進行分析計算即可；（2）先配方，把多項式變成完全平方形式，再進行分析計算；（3）依據(jù)總長為16m，構(gòu)造方程求解即可．(1)解：∵2（x﹣1）2≥0，∴2（x﹣1）2+3≥3，∴當x＝1時，代數(shù)式有最小值為3．故答案為：1，小，3．(2)解：﹣x2+4x+3＝﹣（x2﹣4x）+3＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）+3＝﹣（x﹣2）2+7，∵﹣（x﹣2）2≤0，∴﹣（x﹣2）2+7≤7，∴當x＝2時，代數(shù)式有最大值為7．故答案為：2，大，7．(3)解：設(shè)垂直于墻的一邊長為xm，則平行于墻的一邊長為（16﹣2x）m，花園的面積為x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x2﹣8x）＝﹣2（x2﹣8x+16﹣16）＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2（x﹣4）2≤0，∴﹣2（x﹣4）2+32≤32，∴當x＝4時，代數(shù)式有最大值為32，即當垂直于墻的一邊長為4米時，花園有最大面積為32．【點睛】本題主要考查配方法的實際運用，解題的關(guān)鍵在于通過配方法把代數(shù)式化成完全平方式再進行分析．12．（重慶試驗外國語學(xué)校九年級期末）為了改善生態(tài)環(huán)境，重慶市政府確定對某公園進行綠化，該綠化工程須要完成26000平方米的綠化任務(wù)．某施工隊在按支配施工7天后，將每天的工作量增加為原來的1．5倍，結(jié)果再花4天剛好完成該項綠化工程．(1)該綠化工程原支配每天完成多少平方米的綠化任務(wù)？(2)如圖，在綠化工程中，要修建一個中間隔有一道籬笆的長方形花圃，該花圃一面利用墻（墻的最大可用長度為16米），其余部分由籬笆圍成．為了出入便利，在建立花圃時，在長邊上用其他材料建立了寬為1米的兩個小門，其余部分剛好用完長為28米的籬笆．若此時花畫的面積為72平方米，求此時花圃的長和寬．【答案】(1)該綠化項目原支配每天完成2000平方米(2)花圃的長為6米，寬為12米．【解析】【分析】（1）干脆利用每天的工作量增加為原來的1.5倍，再用4天完成了該項綠化工程，進而得出方程求出答案；（2）設(shè)花圃的寬AB為x米，它的面積為72米2，進而列出方程求出答案即可．(1)解：設(shè)該項綠化工程原支配每天完成x米2，依據(jù)題意得：＝4，解得：x＝2000，經(jīng)檢驗，x＝2000是原方程的解，答：該綠化項目原支配每天完成2000平方米；(2)解：設(shè)花圃的寬AB為x米，則BC＝28+2﹣3x＝30﹣3x，依據(jù)題意，得（30﹣3x）x＝72，解得：x1＝4，x2＝6．∵當x＝4時，30﹣3x＝18＞16，∴不符合題意，舍去．∴寬為6米，長為12米．答：花圃的長為6米，寬為12米．【點睛】此題主要考查了一元二次方的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，正確找到等量關(guān)系，列出方程是解題關(guān)鍵．13．（江蘇南京·九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點P從點B起先沿BC向點C以1cm/s的速度運動，點Q從點C起先沿CA向點A以2cm/s的速度運動，P，Q同時動身，各自到達終點后停止運動．在整個運動過程中，設(shè)它們的運動時間為ts．（1）下列說法正確的是_____．（填寫全部正確結(jié)論的序號）①PQ可以平分△ABC的周長；②PQ可以平分△ABC的面積．（2）當t為何值時，△PCQ的面積等于7cm2？【答案】（1）②；（2）t＝1．【解析】【分析】（1）由勾股定理得AB＝10cm，當PQ平分△ABC的周長時，8﹣t+2t＝12，得t＝4＞2（舍），當×（8﹣t）×2t＝12時，可知t＝2時，PQ可以平分△ABC的面積；（2）由題意知＝7，即可解決問題．【詳解】解：（1）,點Q以2cm/s的速度運動,則∵∠C＝90°，由勾股定理得：AB＝，當8﹣t+2t＝12時，∴t＝4＞2（舍），當×（8﹣t）×2t＝12時，解得t＝2或t＝6（舍），∴t＝2時，PQ可以平分△ABC的面積，故答案為：②；（2）①由題意知：CP＝（8﹣t）cm，CQ＝2tcm，∴=7，解得：t＝1或7（舍去），∴當t＝1時，△PCQ的面積等于7cm2．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．14．（湖南·桂東縣寨前中學(xué)九年級期中）如圖所示，在Rt△ABC中．∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點P從點A起先沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B起先沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．（1）假如P、Q分別從A、B同時動身，那么幾秒后，△PBQ的面積為4cm2．（2）假如P、Q分別從A、B同時動身，那么幾秒后，PQ的長度等于5cm．（3）在（1）中△PBQ的面積能否等于7cm2？說明理由．【答案】（1）秒后，△PBQ的面積為4cm2；（2）秒后，PQ的長度等于5cm；（3）不能，理由見解析【解析】【分析】（1）設(shè)運動時間為，則依據(jù)題意可知，，依據(jù)三角形面積公式列式求解即可；（2）依據(jù)勾股定理列式求解；（3）依據(jù)題意得出，整理運用根的判別式推斷即可．【詳解】解：（1）設(shè)運動時間為，則依據(jù)題意可知，，∴，解得：或，時，不符合題意，故舍去，∴秒后，△PBQ的面積為4cm2；（2）在中，,即，解得：或(舍)，∴秒后，PQ的長度等于5cm；（3）由（1）得，整理得：，則，∴方程無解，即△PBQ的面積不能否等于7cm2．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，列出方程是解本題的關(guān)鍵．15．（湖北鄂州·九年級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，點P從點A起先沿邊AB向終點B以2cm/s的速度移動，點Q從點B起先沿邊BC向終點C以4cm/s的速度移動．假如點P，Q分別從點A，B同時動身，當點Q運動到點C時，兩點都停止運動．設(shè)運動時間為ts（t＞0）．（1）線段BQ＝cm，PB＝cm；（用含t的代數(shù)式表示）（2）當t為何值時，PQ的長為4cm？（3）是否存在t，使得五邊形APQCD的面積等于99cm2？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（10?2t）；4t；（2）t＝1秒（3）t＝秒或t＝秒【解析】【分析】（1）依據(jù)P、Q兩點的運動速度可得BQ、PB的長度；（2）依據(jù)勾股定理可得PB2＋BQ2＝QP2，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)解方程即可；（3）依據(jù)題意可得△PBQ的面積為長方形ABCD的面積減去五邊形APQCD的面積，再依據(jù)三角形的面積公式代入相應(yīng)線段的長即可得到方程，再解方程即可．【詳解】解：（1）∵點P從點A起先沿邊AB向終點B以2cm/s的速度移動，∴AP＝2tcm，∵AB＝10cm，∴PB＝（10?2t）cm，∵點Q從點B起先沿邊BC向終點C以4cm/s的速度移動，∴BQ＝4tcm；故答案為：（10?2t）；4t；（2）由題意得：