第55課推理與證明

1.歸納推理的應(yīng)用

a.與數(shù)有關(guān)的歸納推理

(1)(2018湖南長(zhǎng)沙測(cè)試，5分)已知整數(shù)對(duì)的序列如下：(1,1),(1,2),(2,1),(1,

3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…，按規(guī)律，第600

個(gè)整數(shù)對(duì)為.

答案：(5.31)

解析：由題意得，(1,1),兩數(shù)的和為2,共1個(gè)；

(1,2),(2,1),兩數(shù)的和為3,共2個(gè)；

(1,3),(2,2),(3,1),兩數(shù)的和為4,共3個(gè)；

(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),兩數(shù)的和為5,共4個(gè)……

由此猜想：和為"的有序整數(shù)對(duì)有(〃一1)個(gè).

V1+2H------卜(〃_1)='2，

...當(dāng)〃=33時(shí),1+2+34------卜32=528,

當(dāng)”=34時(shí)，1+2+3H-----F32+33=528+33=561,

當(dāng)”=35時(shí)，1+2+3H-----F34=561+34=595.

:第595個(gè)整數(shù)對(duì)后面的有序整數(shù)對(duì)依次為(1,35),(2,34),(3,33),(4,32),(5,

31),

.?.第600個(gè)整數(shù)對(duì)為(5,31).

(2)(2015山東，5分)觀察下列各式：

(^=4。；

011

C3+C3=4；

C50+C51+C5』42;

C70+C71+C7?+C73=43;

照此規(guī)律，當(dāng)"GN*時(shí)，

C2?-l+CL-1+CL-1+?"+C2?-l=------------------------

答案：4""

解析:照此規(guī)律，可以看出等式左側(cè)最后一項(xiàng),組合數(shù)的上標(biāo)與等式右側(cè)的塞指數(shù)相同，

當(dāng)"GN*時(shí),C.T+C"+C"4卜C笈1=4*1.

b.與圖形有關(guān)的歸納推理

(3)(經(jīng)典題，9分)如圖55-2所示，圖(1)是棱長(zhǎng)為1的小正方體，圖(2),(3)是由這樣

的小正方體擺放而成.按照這樣的方法繼續(xù)擺放，由上而下分別將第1層，第2層，…，第

n層的小正方體的個(gè)數(shù)記為Sn,解答下列問(wèn)題：

0

(1)

(I)按照要求填表：

n(n-Y]

答案：(1)10(11)55(III)'2-

解析：(1)圖(1)有1層，第1層正方體的個(gè)數(shù)為Si=l；

圖(2)有2層，第2層正方體的個(gè)數(shù)為S2=1+2；

圖(3)有3層，第3層正方體的個(gè)數(shù)為53=1+2+3；

依次類推，第4個(gè)圖有4層，第4層正方體的個(gè)數(shù)為54=1+2+3+4=10.

(II)由(I)猜想：第10個(gè)圖有10層，第10層正方體的個(gè)數(shù)為Sio=l+2+3+4+5+6

10x(10+1)

+10=——-----=55.

2

(III)由(I)猜想：第n個(gè)圖有n層，第n層正方體的個(gè)數(shù)為Sn=l+2+3+4+5+6+…

2.類比推理的應(yīng)用

(4)(2019匯編，5分)下面給出的類比推理中，結(jié)論正確的有.

①若數(shù)列｛。“｝是等差數(shù)列，氏=[(q+怎+…+詼)，則數(shù)列｛兒｝也是等差數(shù)列；類比推

出：若數(shù)列｛0｝是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，&產(chǎn)中eg…c”,則數(shù)列｛”,｝也是等比數(shù)列；

②a,6為實(shí)數(shù)，若層+〃=0,則。=6=0；類比推出：zi，Z2為復(fù)數(shù)，若zJ+z22=0,

則Zl=Z2=0;

③若a,b,cGR,則(ab)c=a(6c)；類比推出：若a,b,c為三個(gè)向量，貝！](a/>c=a-S-c)；

④在平面內(nèi)，三角形的兩邊之和大于第三邊；類比推出：在空間中，四面體的任意三個(gè)

面的面積之和大于第四個(gè)面的面積；

⑤若三角形周長(zhǎng)為/,面積為S,則其內(nèi)切圓半徑「=牛；類比推出：若三棱錐表面積為

S,體積為匕則其內(nèi)切球半徑廠=3午V；

72

⑥尸為橢圓金+方=1(6>0)上異于左、右頂點(diǎn)4,人2的任意一點(diǎn)，則直線M與班的

1v2，

斜率之積為定值一方類比推出：尸為雙曲線務(wù)一方=1（6>0）上異于左、右頂點(diǎn)4,4的任意

一點(diǎn)，則直線即與外2的斜率之積為定值自

答案：①④⑤⑥

解析：①正確：在由等差數(shù)列的性質(zhì)類比推理等比數(shù)列的性質(zhì)時(shí)，我們一般的思路有:

由加法類比推理乘法，由減法類比推理除法，由算術(shù)平均數(shù)類比推理幾何平均數(shù)等.故我們

可以類比推出：數(shù)列｛4｝也是等比數(shù)列，這里若數(shù)列｛c.｝是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)公

比為4，則dn=―~n=也1?c,qi=V（C］）"，+"3++（”1）=

nIn（n-1）-n-1I

，（C]"qF-=q產(chǎn)=q（尸）2

，故｛4｝是公比為'廠的等比數(shù)列；

②錯(cuò)誤：在復(fù)數(shù)集C中，取Zi=l,Z2=i,則滿足zf+z5=0,但是不滿足ZI=Z2=O,故

錯(cuò)誤；

③錯(cuò)誤：對(duì)于非零向量a,b,c,因?yàn)榕cc共線，0（>c）與a共線，所以當(dāng)a,c

不共線時(shí)，（a協(xié)）-c=03?c）不成立；

④正確：在四面體中，三個(gè)側(cè)面的面積都大于在底面上投影的面積，而三個(gè)投影的面積

之和大于或等于底面面積，故三個(gè)側(cè)面的面積之和一定大于底面面積；

⑤正確：設(shè)三棱錐的四個(gè)面的面積分別為Sl，S2,S3,S4，由于內(nèi)切球的球心到各面的

距離等于內(nèi)切球的半徑r,所以丫二上.廠+^^廠+^^廠+gs"=gsr,所以內(nèi)切球半徑7=噂;

⑥正確：設(shè)尸（如阿，則錯(cuò)誤！一錯(cuò)誤！=1,

所以yo=^xo-2b2）.

因?yàn)?（一0）,AzN5b，0）,所以女己&kp&=-'./>=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!.

故結(jié)論正確的有①④⑤⑥.

3.演繹推理的應(yīng)用

a.三段論推理

（5）（經(jīng)典題,5分）有一段“三段論”推理是這樣的：函數(shù)；（無(wú)）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，如果/（xo）

=0,那么x=xo是函數(shù)兀0的極值點(diǎn).因?yàn)榉瞨）=%3滿足/<0）=0,所以x=0是函數(shù)兀v）=

V的極值點(diǎn)，以上推理中（）

A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤

C.推理形式錯(cuò)誤D.結(jié)論正確

答案：A

解析：大前提“函數(shù)處0在定義域內(nèi)可導(dǎo)，如果/（xo）=O,那么》=尤0是函數(shù)ZU）的極值

點(diǎn)”，不是真命題.正確的表述是“函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，如果/<xo）=o,且滿足在x

=xo兩側(cè)尸（無(wú)）異號(hào)，那么尤=尤0是函數(shù)兀0的極值點(diǎn)”.故選A.

b.假言推理

（6）（2017全國(guó)II,5分）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī).老

師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，

給丁看甲的成績(jī).看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)，根據(jù)以上信息，貝1（）

A.乙可以知道四人的成績(jī)

B.丁可以知道四人的成績(jī)

C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)

D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)

答案：D

解析：四人所知道的只有自己看到的成績(jī)和老師所說(shuō)的話及最后甲說(shuō)的話.從而可以推

理：

給甲看乙、丙的成績(jī)，甲不知道自己的成績(jī)，說(shuō)明乙、丙的成績(jī)是一優(yōu)一良.否則，假

定乙、丙的成績(jī)都是優(yōu)，則甲的成績(jī)是良；假定乙、丙的成績(jī)都是良，則甲的成績(jī)是優(yōu)，那

么甲就知道自己的成績(jī)了.給乙看丙的成績(jī)，上面已經(jīng)推出乙、丙的成績(jī)是一優(yōu)一良，所以

乙知道自己的成績(jī)和丙的成績(jī)，即乙知道兩人的成績(jī).給丁看甲的成績(jī)，因?yàn)橐?、丙的成?jī)

是一優(yōu)一良，則甲、丁的成績(jī)也是一優(yōu)一良，丁看到甲的成績(jī)，所以丁知道自己的成績(jī)和甲

的成績(jī)，即丁知道兩人的成績(jī).故選D.

隨堂普查練55I

1.（2018山東一模，5分）對(duì)大于1的自然數(shù)機(jī)的三次基可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式的“分

「13

"7

裂"：23=］；,15

9,43=<，…，仿此，若加的“分裂”數(shù)中有一個(gè)是73,則根的

J1

<19

值為.

答案：9

解析：由題意，可得加的“分裂”數(shù)為加個(gè)連續(xù)奇數(shù)，設(shè)小的“分裂”數(shù)中第一個(gè)

數(shù)為am,則由題意可得的―a2=7—3=4=2X2,四一的=13—7=6=2乂3,…，

(4+2m-2)(m—2)

=2（m—1）,以上m—2個(gè)式子相加可得am~ail)(m—2),

2

a2+(〃z+l)(〃z-2)=/〃2—"z+l(wt23,wzGN),

???當(dāng)m=9時(shí)，麴=73,即73是93的“分裂”數(shù)中的第一個(gè).???加的值為9.

1119

2.（2018吉林期中，5分）在△ABC中，不等式彳+元+72=成立；在四邊形A5CD中,

￡）U71

不等式:+得+1+:2黑成立；在五邊形A8C0E中，）+焉+1+:+裊要成立.猜想在〃

ADCD171AB。D乜511

邊形中，成立的不等式為（）

A4十-4-十I----十--\-A-^,"~兀

n2

B-X+…+如

(〃+1)71

及2

號(hào)+￡+…+R(〃一2)71

D./+太+???+￡》H2

(九+2)71

答案：C

解析：通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)不等式左邊為多邊形的各個(gè)內(nèi)角的倒數(shù)之和，右邊的分子為邊數(shù)

的平方，分母為多邊形的內(nèi)角和，而〃邊形的內(nèi)角和為伽一2）兀，故猜想在九邊形中成立的

不等式為打丹…?故選c

3.（2018安徽池州模擬，5分）分形幾何學(xué)是美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特在20世紀(jì)70

年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.圖

55-6按照??'的分形規(guī)律生長(zhǎng)成一個(gè)樹形圖，則第12行的實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

（）

C.144個(gè)D.233個(gè)

答案：B

解析：設(shè)第〃行中實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為斯，則見(jiàn)=0,。2=1.當(dāng)時(shí),an=an-i+an-2,

故各行中實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為0,1，1，2,3,5,8,13,21,34,55,89,--所以的2

=89,即第12行中實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為89.

4.（經(jīng)典題，5分）己知△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,則有a=ocosB

+Z?-cosC；類比上述結(jié)論，寫出下列條件下的結(jié)論：四面體尸一ABC中，△ABC,AE4B,

△PBC,APCA的面積分別是S,Si，S2,S3,二面角P-AB-C,P-BC~A,P-CA~B

分別記為a,p,y,則S=.

答案：Sicos<z+52cos夕+S3cosy

解析：平面幾何中：在AABC中，有a=c-cosB+b-cosC,類比這一性質(zhì)，可以推出：

立體幾何中：在四面體P-A2C中，△ABC,/\PAB,APBC,△PCA的面積分別為S,

Si，S2,S3,二面角P—AB~C,P—BC—A,P—CA—2依次為a,0,y,則Sicosa+S2cos或

+S3cosy.

5.（2018商丘模擬，5分）下面三段話可組成“三段論”，則“小前提”是（）

①因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)>=爐3>1）是增函數(shù)；

②所以y=2"是增函數(shù)；

③而y=2*是指數(shù)函數(shù).

A.①B.②C.①②D.③

答案：D

解析：三段話寫成三段論是：

大前提：因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)>=優(yōu)（。>1）是增函數(shù)，

小前提：而y=2”是指數(shù)函數(shù)，

結(jié)論：所以y=2*是增函數(shù).故選D.

6.（2018廣西南寧聯(lián)考，5分）甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是農(nóng)民，一人是

知識(shí)分子.已知丙的年齡比知識(shí)分子大，甲的年齡和農(nóng)民不同，農(nóng)民的年齡比乙小，根據(jù)以

上情況，下列判斷正確的是（）

A.甲是工人，乙是知識(shí)分子，丙是農(nóng)民

B.甲是知識(shí)分子，乙是農(nóng)民，丙是工人

C.甲是知識(shí)分子，乙是工人，丙是農(nóng)民

D.甲是農(nóng)民，乙是知識(shí)分子，丙是工人

答案:C

解析：由題意可知丙不是知識(shí)分子，甲不是農(nóng)民，乙不是農(nóng)民，所以丙是農(nóng)民，丙的年

齡比乙小，比知識(shí)分子大，所以乙不是知識(shí)分子，只能甲是知識(shí)分子，所以乙是工人，故選

C.

普查講55n直接證明與間接證明

4.直接證明的兩種基本方法

a.分析法

(7)(2018河南模擬，8分)設(shè)非等腰△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,

113

且A,B,C成等差數(shù)列，用分析法證明：一彳+一\=—上.

a-bc~ba~b+c

答案：見(jiàn)證明過(guò)程

113

證明：要證明一——,

a-bc~ba~b+c

r.(a+c-2A)3

只要證明-----------=,I,

(a-b)(c-b)a-b+c

只要證明(a+c—26)(a—b+c)=3(a—b)(c—6),

只要證明(a+c—6)2—b(a+。一力=3(ac+〃-6c—。匕)，

只要證明a2+c2—Z?2=ac,(5分)

口加、_a~+c*~b~1

只要證rr1明clCOSB=-----------=77,

2ac2

只要證明2=60。，

考慮到A+B+C=180。，

所以只要證明A+C=2B,即證A,B,C成等差數(shù)列.

因?yàn)锳,B,C成等差數(shù)列，故結(jié)論成立.(8分)

b.綜合法

(8)(2017江蘇，14分)如圖55-9,在三棱錐4一28中，BC±BD,平面ABD±

平面BCZ),WE,F(E與A,。不重合)分別在棱4D,BD±,且EFL4D

圖55-9

求證：(I)EF〃平面ABC；

答案：見(jiàn)證明過(guò)程

證明：在平面A3。內(nèi)，因?yàn)镋F±AD,所以EP〃AB(3分)

又因?yàn)槠矫鍭BC,ABc5??ABC,所以EP〃平面A8C.(5分)

(II)AD±AC.

答案：見(jiàn)證明過(guò)程

證明：因?yàn)槠矫鍭BO_L平面BCD平面A3。C平面BCu平面BCD,8C_LB￡),

所以BC_L平面ABD.(8分)

因?yàn)锳Ou平面AB。，(9分)

所以BC_L4。，(10分)

5LABLAD,BCCiAB=B,A8u平面ABC,BCu平面ABC,

所以A。J_平面ABC,(13分)

又因?yàn)锳Cu平面ABC,所以AZ)_LAC.(14分)

c.分析法和綜合法的綜合應(yīng)用

(9)(經(jīng)典題，12分)設(shè)a,b,c為任意三角形的三邊長(zhǎng)，I^a+b+c,S^ab+bc+ca,

試證：3SW/2<4S.

答案：見(jiàn)證明過(guò)程

證明：I—a+b+c,S—ab+bc+ca,

I2—(a+b+c)2—a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)—a2+b2+c^+lS.

故要證3SWP<4S,

只需證3S^a2+&2+c2+2S<4S,

即只需證S^a1+b2+c1<2S.O分)

欲證

只需證ci1b1c1-ab—be—ca^Q,

即只需證(4+〃-2ab)+(ZJ2+c2—26c)+(c2+cz2—2ca)^0,

即只需證3—6)2+(b—c)2+(c—a)2.0,

顯然成立，；.a2+〃+c22s.(7分)

欲證a2+Z>2+c2<2S,

只需證cr-\-tr-\-c2-2ab—2bc—2ca<3

即要證(a2-ab—。。)+(匕2-'be—ba)+(c2—c。一cb)<0,即要證a(a~b—c)+b(b-c—

a)+c(c—a—Z?)<0.

"."a,b,c為任意三角形的三邊長(zhǎng)，.'.a>0,b>0,c>0,且a<b+c,b<c+a,c<a

+b,

/.a(a~b—c)<0,b(b—c—a)<0,c｛c~a—b)<Q,

/.a(a-b-c)+b(b-c—a)+c(c-a—b)<0成立,

.,.a2+b2+c2<2S.

綜上可知，成立，

于是原不等式成立.(12分)

5.間接證明——反證法

a.用反證法證明結(jié)論是否定形式的命題

(10)(經(jīng)典題，12分)等差數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和為S〃,。1=1+小,S3=9+3隹

(I)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)斯與前n項(xiàng)和Sn；

答案：an=2n+y[2—l,Sn=n(n+y[2)

解：(I)設(shè)等差數(shù)列的公差為a

[勾=也+1,

由已知得廠解得d=2.(2分)

13〃i+3d=9+3也，

=—

ana\-\~(〃-1)J=^2+1+2(n1)=2幾—1,

n(〃]+斯)幾]+2〃+^^一])?廠、

Sn~~5=0=〃(〃+72).

綜上，an=2n+yf2~l,S.=n（n+柩.（5分）

（II）設(shè)與=呼5GN*）,求證：數(shù)列2.｝中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列.

答案：見(jiàn)證明過(guò)程

證明：由（I）知&=〃（"+啦），

,,也=譽(yù)="+也（6分）

假設(shè)數(shù)列仍”｝中存在三項(xiàng)壇,bq,br（p,q,r互不相等）成等比數(shù)列，則仍=%如

即（q+例2=g+M&+g），

即q2+2&q+2=pr+/⑦+r）+2,

即（爐一pr）+也（2q—p—r）=0.（9分）

q2—pr=0,

,:p,q,rGN*,

2q—p—r=0f

1---J=pr,即⑦一r）2=0,:?p=r,與pWr矛盾，

???數(shù)列｛勿｝中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列.（12分）

b.用反證法證明結(jié)論中含有“至多”“至少”“都”等詞語(yǔ)的命題

（11）（經(jīng)典題，8分）若x>0,y>0且x+y>2,求證：中<2和蟲<2中至少有一個(gè)成立.

答案：見(jiàn)證明過(guò)程

證明：假設(shè)牛<2,牛1<2均不成立，

%y

則—22,丁N2.（3分）

Ay

又??5>0,y>0，，l+y22x,l+x22y,（5分）

/.1+%+1+y22y+2x,

.,.x+yW2,這和已知條件x+y>2相矛盾，（7分）

???假設(shè)不成立，

???原命題成立.（8分）

C.用反證法證明“唯一性”問(wèn)題

（12）（2018河南信陽(yáng)模擬，12分）已知函數(shù)/U）=hw,函數(shù)g（x）=±

（I）證明：函數(shù)/（x）=/（x）—ga）在（0,+8）上為增函數(shù)；

答案：見(jiàn)證明過(guò)程

證明：根據(jù)題意知F（x）=lnx—丁x>0.

設(shè)為，X2是（0，+8）上的任意兩個(gè)數(shù)，且即<%2，

則F（xi）-F（X2）=IDA-1-ln.x2+T；-7-=In^+^T-7.（3分）

A2A142人'1人2

VX2>Xl>0,

X[Xl~X2

不<°，?此。

X],Xl~X2rr

?e-In—+<0,即E(XI)<F(X2),

人2AJA2

???丑%）在（0,+8）上是增函數(shù).（6分）

（II）用反證法證明：危）=2的解是唯一的.

答案：見(jiàn)證明過(guò)程

證明：??7（e2）=lne2=2,??3%）=2的解是存在的.（7分）

假設(shè)式x）=2有兩個(gè)不同的解處，血，xi>0,x2>0,

則危1）=加2）=2,即lnxi=lnx2=2,（9分）

Inxi—lnx2=0,即ln*=0,

?*---=b即％1=X2，與矛盾，（11分）

X2

??猶%）=2的解是唯一的,（12分）

d.用反證法證明條件較少型命題

(13)(2018大連校級(jí)期中,8分)已知/+分=2,求證：a+b^2.

答案：見(jiàn)證明過(guò)程

證明：(法一)假設(shè)〃+6>2,

則〃3+廬=3+份(〃2——+廬)>2(。2——+廬),

而而+廬=2,故a2—ab+b2<l,

.\l+ab>a2+b2^2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，

?\ab<l,(4分)

tz2+Z?2<1+?/?<2,

(a+b)2=*++2ab<2+2ab<4,

??a~\~b<^2.

這與假設(shè)矛盾，故〃+bW2.(8分)

(法二)假設(shè)〃+b>2,則〃>2—。，

故2=〃3+分>(2一份3+廬,《分)

即2>8—128+6廬，即3—1)2<0,這與事實(shí)不符，

從而〃+Z?W2.(8分)

(法三)假設(shè)〃+人>2,則(。十33〉8,

即tz3+Z?3+3afe(a+Z?)>8.

又,.?〃3+力3=2,??.2+3。仇。+/?)>8,

即3ab(a+b)>6f

.?.4Z?(Q+Z?)>2.(4分)

又?:c^+bi=(a+b\a2—ab+b2)=2,

ab(a+0)>(〃+b)(4~ab+Z?2),

2222

/.ab>a—ab-\-bf即0>a—2ab+b,

(a—/?)2Vo,這與事實(shí)不符，.,.〃+/?W2.(8分)

6.數(shù)學(xué)歸納法

a.對(duì)數(shù)學(xué)歸納法步驟的認(rèn)識(shí)

（14）（2018陜西寶雞模擬,5分）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+升1/1一+擊1>骨1275-*,

〃2處）成立，起始值如至少應(yīng)取為（）

A.7B.8

C.9D.10

答案：B

解析：不等式的左邊=-7=2-21-\

1一5

當(dāng)”=8時(shí)，不等式的左邊=2—2>8=2—

當(dāng)”=7時(shí)，不等式的左邊=2—21々=2—2-6=封，

所以要使不等式成立，”的值最小為8,

所以起始值至少應(yīng)取為8,故選B.

（15）（2018河北調(diào)研，5分）用數(shù)學(xué)歸納法證明1+；+；+~+97<〃伽6：^*,〃>1）時(shí),

由"=網(wǎng)心4）時(shí)不等式成立推證〃=4+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是（）

A.2blB.2*—1C.2kD.2*+1

答案：C

解析：當(dāng)〃=%時(shí)，左邊=I+T+￡H——二，有2*—1項(xiàng)；

當(dāng)九=%+1時(shí)，左邊=l+T+gH---'二）----12*+1-1，有2人1—1項(xiàng)，

所以增加了2人1-1—（2*—1）=2*（項(xiàng)）.

b.利用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式

ciny

（16）（經(jīng)典題，10分）已知函數(shù)%（勸=二［。>0）,設(shè)方（尤）為方T（X）的導(dǎo)數(shù)，"GN*.

（I）求2力4）+荊。的值；

答案：一1

xcosx-sinx_cosxsmx

解fUT.,（法一）由已知得力（%）=弁（%）=2—~

XXX

cosxsinx

于是方a）=/i'a）=

xx2

-%sinx-cosxx2cosx-2xsinx

-sinx2cosx2sinx

------------------；—十——；—

(法二)???弁(x)=----,xfi)(x)=sinx,

x

則兩邊求導(dǎo)，得[xfi)(x)],=(sinxy.

又??工⑴為人T(X)的導(dǎo)數(shù)，〃￡N*,

yb(x)+V；(x)=cos%,(2分)

兩邊再同時(shí)求導(dǎo)，得才i(x)+炕(x)=—sinx,

將代入上式，得4仔)+%($=-1.(4分)

(II)證明：對(duì)任意底N*,等式辰閭+%(刖告都成立.

答案：見(jiàn)證明過(guò)程

證明：由(I),得加元)+坊。)=(：05%=5由[%+]),2/j(x)+xfi(x)=—sinx=sin(x+7i),

對(duì)上式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得3萬(wàn)(x)+9(x)=—cosx=sin[%+1],

對(duì)上式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得鈉(x)+m(%)=sinx=sin(x+27i),

(〃兀)

猜想：班-1(%)+勸2。)=5皿卜+耳J對(duì)任意〃￡N*恒成立.(6分)

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立.

①當(dāng)幾=1時(shí)，弁0）+切。）=$111,+3）成立；

（7分）

②假設(shè)〃=網(wǎng)%21,且左￡N*）時(shí)等式成立，

（左兀、

即lrfk-i（x）+xfk（x）=sm\x+—1.

丁[桃T（X）+瓏（X）]'=桃-1'（X）+戊（X）+xfk（x）=（k+l^（x）-F

又[sin[x+g]]'=cos（x+（x+g

（左兀）（71k7l\':左+1）兀、

=cosX-\---=sin——FXH-----=sinx+-

I2J（22JI2J

'(k+1)兀、

???當(dāng)〃=k+1(%21,且左￡N*)時(shí)，等式(女+1派(%)+求+i(x)=sin%+---也成

I2)

立.(9分)

(}271]

由①②，得班-i(x)+M(x)=sin卜+5■J對(duì)任意幾￡N*恒成立.

令尤甘

71^2

得nfn-]\±COS4=±?

...對(duì)任意WGN*,等式I班T圖+第(磯=乎都成立.(10分)

C.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

(17)(經(jīng)典題，12分)函數(shù)/(x)=ln(x+l)—不二(a>l).

(I)討論犬x)的單調(diào)性；

答案：(I)當(dāng)1<“<2時(shí)，函數(shù)於)在(一1,/一2G，(0,+8)上是增函數(shù)，在02—2°,

0)上是減函數(shù)；當(dāng)。=2時(shí)，函數(shù)&x)在(-1,+8)上是增函數(shù)；當(dāng)。>2時(shí)，函數(shù)兀r)在

(-1,0),(a2-2a,+8)上是增函數(shù)，在(°,片一2。)上是減函數(shù)

解：(I)根據(jù)題意可知函數(shù)危)的定義域?yàn)?-1,+8),

1a(x+a)—ax

且fa尸干—-(%+?)2

(x+q)2—〃2(x+1)^2+2〃%+/一〃2%一〃2

(x+1)(x+〃)2(九+1)(龍+〃)2

x[x~(〃2—2〃)1八

=(葉1)(葉。)"2分)

①當(dāng)1V〃V2時(shí)，—Ka2—2〃<0,若.￡(—1,a2—2a),

則/(%)>0,???函數(shù)y(x)在(一1,4―2〃)上是增函數(shù)；

若工￡(次一2〃，0),則一(x)V0,

???函數(shù)兀0在(層一2〃，0)上是減函數(shù)；

若工￡(0,+°°),則/(%)>0,

二函數(shù)7U)在(0,+8)上是增函數(shù).

②當(dāng)片2時(shí)，一尸(什1)[+2)2—

此時(shí)函數(shù)“X)在(-1,+8)上是增函數(shù).

③當(dāng)〃>2時(shí)，次―2〃>0,若工￡(—1,0),則/<x)>0,?,?函數(shù)在(-1,0)上是增

函數(shù)；

若一￡(0,a2—2d),則尸(%)V0,

???函數(shù)/(%)在(0,2〃)上是減函數(shù)；

若九￡(〃2—2〃，+°°),則/(%)>0,

二.函數(shù)1次)在(次一2Q,+8)上是增函數(shù).

綜上，當(dāng)1<。<2時(shí)，函數(shù)?x)在(一1,a1-2d),(0,+8)上是增函數(shù)，在(4一200)

上是減函數(shù)；

當(dāng)。=2時(shí)，函數(shù)尤)在(-1,+8)上是增函數(shù)；

當(dāng)a>2時(shí)，函數(shù)?r)在(一1,0),(a2-2a,+8)上是增函數(shù)，在(0,標(biāo)一?“)上是減函

數(shù).(5分)

、23

(II)設(shè)“1=1,a”+i=ln(a“+l),證明：

答案：見(jiàn)證明過(guò)程

證明：由(I)知，當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)人乃在(-1,十8)上是增函數(shù)，

...當(dāng)xG(0,+8)時(shí)，八》)>八0)=0,

2x

即ln(x+l)>%+2(x>0).

又由(I)知，當(dāng)〃=3時(shí)，危)在(0,3)上是減函數(shù)，

3%

???當(dāng)x￡(0,3)時(shí)，/(工)<八0)=0,即ln(x+l)<^.(7分)

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明2斯W士3成立.

〃十2九十2

2

①當(dāng)〃=1時(shí)，由已知得］V〃i=l,故結(jié)論成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k(k2\且k￡N*)時(shí)，結(jié)論成立，

口口2,)3

即而〈公W干，

23

則當(dāng)n=k+l時(shí)，???0VFVF<3,

々十2上十2

2.2

/2?\Z+22

**?^k+1—1D(<2A；+D>lnQ+2+lJ>-2=~k~\~3,(1。分)

k+2+2'

4,k+2_3

。無(wú)+i=ln(a)t+l)Wln|

,3~k+3!

A+2+J

23

即當(dāng)〃=Z+1時(shí)，"7￡<<%+1?五￡成立，

左十3左十3

綜上，由①②可知，對(duì)任何“GN*結(jié)論都成立.(12分)

d.利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想命題

(18)(2015江蘇，10分)已知集合乂={1,2,3},Y?={1,2,3,…?N*),設(shè)

S”={(a，b)|a整除b或b整除a,a^X,b^Yn},令/i>)表示集合所含元素的個(gè)數(shù).

(I)寫出穴6)的值;

答案：八6)=13

解：(1)當(dāng)”=6時(shí)，S"={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,

2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,6)},；.火6)=13.(2分)

(II)當(dāng)"N6時(shí)，寫出黃〃)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

答案：當(dāng)"三6時(shí)，

〃+2+

九+2+

〃+2+

?=<昨N*）

〃+2+

〃+2+

n-l,〃一2

川+2+，n=6t+5

23

解：當(dāng)時(shí),

,（n.n\

n+2+l2+3〃=6b

,,fn~1,n~A,

n+2+l-~~-h〃=6/+l,

〃=61+2,

（盧N*）

n=6t+3,

,,（n-l,〃一2、,

j+2+1——+~3-n=6t~\-5

（4分）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①w=6時(shí)，犬6）=6+2+當(dāng)+與=13,結(jié)論成立；

②假設(shè)〃=網(wǎng)后6,左GN*）時(shí)，結(jié)論成立，那么”=4+1時(shí)，S*+i在S*的基礎(chǔ)上新增加

的元素在（1,左+1）,（2,左+1）,（3,左+1）中產(chǎn)生，分以下情形討論：

a.若左+1=63則1,2,3均能整除上+1,所以激+1）=/因+3,而左=6?—1）+5,

（k一1/一2、k-\-1k-\-1

所以人左）=左+2+（—^+?。┧裕?+1）=/a）+3=（4+1）+2+亍+丁,結(jié)論成立；

b.若上+l=6f+l,則1能整除k+1,而2,3不能整除上+1,所以五女+1）=黃幻+1,

（kkk

而k=6ty所以#上）=左+2+0+2|,所以/（左+1）=7（%）+1=女+2+]+,+1=（左+1）+2+

（女+1）-1（左+1）-1

2+3:結(jié)論成立;

c.若上+1=6/+2,則1,2能整除攵+1,而3不能整除Z+1,所以大左+1）=/（左）+2,

（k—1k——1、k——1k——1

而歸=6r+1,所以1女）=左+2+?—+-^二|,所以人女+1）=黃左）+2=Z+2+-^-+-y2

k~\-1（左+1）—2,,.、

=（女+1）+2+~^—+-----------,結(jié)論成立;

d.若左+l=6，+3,貝Ijl,3能整除k+1,而2不能整除k+1,所以|女+1)=黃左)+2,

而攵=6/+2,所以1%)=%+2+修+，^),所以必+1)=和0+2=%+2+3+J^+2=(Z+

(Z+1)—1k-\~1/工、人—、

1)+2+-----------------+-T-，結(jié)論成立；

e.若上+1=6/+4,則1,2能整除左+1,而3不能整除Z+1,所以大女+1)=大左)+2,

(k——1Ak——1k

而k=6t+3,所以7(%)=3+2+(2所以7(Z+l)=/(Z)+2=A:+2+e-+w+2=(Z+

左+1(Z+1)—1.、

l)+2+-y~+-----------------,結(jié)論成立；

f.若％+1=6/+5,則1能整除Z+1,而2,3不能整除k+1,所以X%+1)=/(%)+1,

(kk—]、kk—]

而％=6f+4,所以/(左)=4+2+(5+—^—)所以/(4+1)=大左)+1=4+2+5+~+1=(左+

屋+1)-1,。+1)-2

1)+2+------2---------+--------§--------，結(jié)論成立.

(n.ri\

〃+2+2+3n=6t,

(n-1?〃一1、,

幾+2+3\fILUi11，

<21

g〃一2)

〃+2+<2+3J,〃=6，+2,

綜上，f(〃)=<3N*)

n+2+,〃=6f+3,

(n,"一。

〃+2+2?3),〃?uA0?-f,

(n-\?〃一2\’「

j+2+12I3J，〃6/十5,

對(duì)滿足“26的正整數(shù)〃均成立.（10分）

隨堂普查練55II

1.（2018吉黑兩省八校聯(lián)考，12分）（I）當(dāng)無(wú)>1時(shí)，求證:

答案：見(jiàn)證明過(guò)程

證明：要證2X2+/>2X+《,

只需證Zf+lAZR+x,

即證2%3（無(wú)一1）>了一1.

"：x>l,即X—1>0,...只需證

：尤>1,；.2必>2>1,

故2爐+委>2_￥+9得證.（3分）

令$c=t,：尤>1,

+5>2尤+:對(duì)任意的x>l都成立,

.??2/+">2/+；,即2x+：>2噌+十.

從而2x2+^2>2x+^>2y[x+^.（6分）

（11）若〃。，用反證法證明：函數(shù)危）=xe*—涼（%>0）無(wú)零點(diǎn).

答案：見(jiàn)證明過(guò)程

證明：假設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)兀v）=xF—以21>0）有零點(diǎn)，則危）=0在（0,+8）上有解,

即〃=￡在（0,+8）上有解.（7分）

F（%—]）

設(shè)g（x）=-（x>0）,則g，（x）=------p------U>0）,

當(dāng)0<x<l時(shí)，g'（無(wú)）<0,；.g（x）在（0,1）上遞減；

當(dāng)x>l時(shí)，g'（x）>0,；.g（尤）在（1,+8）上遞增.

??g（尤）》g（x）加"-g（D—e,..aNe,

但這與條件a<e矛盾,

故假設(shè)不成立，即原命題得證.（12分）

72

2.（2018山東臨沂期末，8分）已知橢圓，+$=l（a>b>0）,A,B是橢圓上不同的兩個(gè)

。2-〃〃2一62

點(diǎn)，線段A3的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)尸（配，0）.證明：—

答案：見(jiàn)證明過(guò)程

證明:設(shè)A（xi，yi）,3（x2,》2）.

???線段AB的垂直平分線與x軸相交，

??AB不垂直于x軸，即為W%2.

又交點(diǎn)為尸（沏，0）,且陷|=|尸3|,

（xi—xo）2+yi=（X2—xo）2+j2.@（2分）

VA,3在橢圓上，

???田=〃一官印貨=/一次.（4分）

??后一"

將上式代入①,得2（%2—X1）XO=（X2—X1）—^2—

%1+工2/一廬

e.*xi7^X2>.*.XO=2，-U一,②（6%）

V—a^xi^a,—QW九2W〃，且用力及，

-2a<x\+^2<2a,

〃2—02c^—b2

^^<無(wú)0<?（8分）

3.（2018山西模擬，5分）現(xiàn)有3個(gè)命題：

Pl：函數(shù)y（x）=lgx—|無(wú)一2|有2個(gè)零點(diǎn)；

P2：面值為3分和5分的郵票可支付任何”（">7,"GN）分的郵資；

p3：若a+6=c+d=2,ac+M>4,則a,b,c,d中至少有1個(gè)為負(fù)數(shù).

那么，這3個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

答案：D

解析：對(duì)于pi,由圖可知y=lgx與y=|x—2|的圖像有2個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)式x)=lg尤

一|x—2|有2個(gè)零點(diǎn)，pi正確；

對(duì)于P2，對(duì)"(〃>7,wGN)可分三種情況，即"=3左一1,n—3k,n—3k+l,其中kGZ

且％23.因?yàn)?4一1=3(左一2)+5,3k=3k,