Page5專(zhuān)練62古典概型、幾何概型和條件概率命題范圍：隨機(jī)事務(wù)概率、古典概型、幾何概型．[基礎(chǔ)強(qiáng)化]一、選擇題1．[2024·全國(guó)乙卷]在區(qū)間(0，1)與(1，2)中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于eq\f(7,4)的概率為()A．eq\f(7,9)B．eq\f(23,32)C．eq\f(9,32)D．eq\f(2,9)2．[2024·安徽省皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考]在區(qū)間(0，2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則使事務(wù)“l(fā)ogeq\s\do9(\f(1,2))(3x－2)≥1”發(fā)生的概率為()A．eq\f(1,12)B．eq\f(1,6)C．eq\f(5,6)D．eq\f(5,12)3．某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)；紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒，若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少須要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A．eq\f(7,10)B．eq\f(5,8)C．eq\f(3,8)D．eq\f(3,10)4．4位同學(xué)各自由周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為()A．eq\f(1,8)B．eq\f(3,8)C．eq\f(5,8)D．eq\f(7,8)5．[2024·全國(guó)甲卷]將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,5)C．eq\f(2,3)D．eq\f(4,5)6．[2024·內(nèi)蒙古包頭模擬]將4個(gè)A和2個(gè)B隨機(jī)排成一行，則2個(gè)B相鄰且不排在兩端的概率為()A．eq\f(2,3)B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,5)7．[2024·江西省景德鎮(zhèn)質(zhì)檢]英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯(1701～1763)在概率論探討方面成就顯著，創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，對(duì)于統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)、統(tǒng)計(jì)推斷等做出了重要貢獻(xiàn)．依據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，事務(wù)A，B，eq\x\to(A)(A的對(duì)立事務(wù))存在如下關(guān)系：P(B)＝P(B|A)·P(A)＋P(B|eq\x\to(A))·P(eq\x\to(A)).若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.01，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗(yàn)被檢者是否患?。阎撛噭┑木_率為99%，即在被檢驗(yàn)者患病的前提下用該試劑檢測(cè)，有99%的可能呈現(xiàn)陽(yáng)性；該試劑的誤報(bào)率為10%，即在被檢驗(yàn)者未患病的狀況下用該試劑檢測(cè)，有10%的可能會(huì)誤報(bào)陽(yáng)性．現(xiàn)隨機(jī)抽取該地區(qū)的一個(gè)被檢驗(yàn)者，用該試劑來(lái)檢驗(yàn)，結(jié)果呈現(xiàn)陽(yáng)性的概率為()A．0.01B．0.0099C．0.1089D．0.18．俄羅斯某電視臺(tái)記者，在莫斯科高校隨機(jī)采訪了7名高校生，其中有3名同學(xué)會(huì)說(shuō)漢語(yǔ)，從這7人中隨意選取2人進(jìn)行深度采訪，則這2人都會(huì)說(shuō)漢語(yǔ)的概率為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,5)D．eq\f(1,7)9．[2024·陜西省西安中學(xué)四模]某人準(zhǔn)備到某接種點(diǎn)接種新冠疫苗加強(qiáng)針，該接種點(diǎn)在前一天已用完全部疫苗，新的疫苗將于當(dāng)天上午8∶00～11∶00之間隨機(jī)送達(dá)，若他在9∶00～12∶00之間隨機(jī)到達(dá)該接種點(diǎn)，則他到達(dá)時(shí)疫苗已送達(dá)的概率是()A．eq\f(2,9)B．eq\f(5,9)C．eq\f(2,3)D．eq\f(7,9)二、填空題10．[2024·全國(guó)乙卷(理)，13]從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為_(kāi)_______．11．[2024·全國(guó)甲卷(理)，15]從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為_(kāi)_______．12．我國(guó)高鐵發(fā)展快速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車(chē)中，有10個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車(chē)全部車(chē)次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為_(kāi)_______．[實(shí)力提升]13．[2024·西安工業(yè)高校附中模擬]新冠疫情期間，網(wǎng)上購(gòu)物成為主流．因保管不善，五個(gè)快遞ABCDE上送貨地址模糊不清，但快遞小哥記得這五個(gè)快遞應(yīng)分別送去甲乙丙丁戊五個(gè)地方，全部送錯(cuò)的概率是()A．eq\f(3,10)B．eq\f(1,3)C．eq\f(11,30)D．eq\f(2,5)14．[2024·山西省臨汾二模]第24屆冬奧會(huì)開(kāi)幕式于2024年2月4日在北京實(shí)行．本屆冬奧會(huì)開(kāi)幕式上的“大雪花”融合了中國(guó)詩(shī)詞、中國(guó)結(jié)和剪紙技藝等中國(guó)傳統(tǒng)文化元素，很好地將奧林匹克精神和中國(guó)人民的友情傳遞到世界各個(gè)角落，獲得了世界人民的普遍贊譽(yù)．為弘揚(yáng)中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某藝術(shù)中心將舉辦一次以“雪花”為主題的剪紙競(jìng)賽．要求參賽選手完成規(guī)定作品和創(chuàng)意設(shè)計(jì)作品各2幅，若選手共有不少于3幅作品入選，則該選手將獲得“冰雪之韻”紀(jì)念品．某選手完成了規(guī)定作品和創(chuàng)意設(shè)計(jì)作品各6幅，指導(dǎo)老師評(píng)定其中規(guī)定作品4幅和創(chuàng)意設(shè)計(jì)作品3幅符合入選標(biāo)準(zhǔn)，現(xiàn)從這12幅作品中隨機(jī)抽取規(guī)定作品和創(chuàng)意設(shè)計(jì)作品各2幅，則指導(dǎo)老師預(yù)料該選手獲得“冰雪之韻”紀(jì)念品的概率是()A．eq\f(8,15)B．eq\f(16,75)C．eq\f(26,75)D．eq\f(32,75)15．[2024·江西省南昌第十中學(xué)月考]設(shè)不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤3，,0≤y≤1))表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于2的概率是()A．eq\f(3\r(3)＋2π,18)B．eq\f(π－3,6)C．eq\f(\r(3)＋3π,12)D．eq\f(π,4)16．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，實(shí)行七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束).依據(jù)前期競(jìng)賽成果，甲隊(duì)的主客場(chǎng)支配依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)競(jìng)賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是________．專(zhuān)練62古典概型、幾何概型和條件概率1．B在區(qū)間(0，1)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，記為x，在區(qū)間(1，2)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，記為y，兩數(shù)之和大于eq\f(7,4)，即x＋y>eq\f(7,4)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1,1<y<2,x＋y>\f(7,4))).在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(x，y)構(gòu)成的區(qū)域是邊長(zhǎng)為1的正方形區(qū)域(不含邊界)，事務(wù)A“兩數(shù)之和大于eq\f(7,4)”即x＋y>eq\f(7,4)中，點(diǎn)(x，y)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分(不含邊界)，由幾何概型的概率計(jì)算公式得P(A)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up12(2)×\f(1,2),1×1)＝eq\f(23,32)，故選B.2．A由logeq\s\do9(\f(1,2))(3x－2)≥1可得0＜3x－2≤eq\f(1,2)，即eq\f(2,3)＜x≤eq\f(5,6)，所以事務(wù)“l(fā)ogeq\s\do9(\f(1,2))(3x－2)≥1”發(fā)生的概率為P＝eq\f(\f(5,6)－\f(2,3),2)＝eq\f(1,12).3．B行人在紅燈亮起的25秒內(nèi)到達(dá)路口，即滿(mǎn)足至少須要15秒才出現(xiàn)綠燈，∴所求事務(wù)的概率P＝eq\f(25,40)＝eq\f(5,8).4．D4位同學(xué)各自由周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)有24種不同的情形，其中4位同學(xué)都選周六有1種不同的情形，都選周日有1種不同的情形，∴所求事務(wù)的概率P＝1－eq\f(2,24)＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).5．C解法一(將4個(gè)1和2個(gè)0視為完全不同的元素)4個(gè)1分別設(shè)為1A，1B，1C，1D，2個(gè)0分別設(shè)為0A，0B，將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))種排法，將1A，1B，1C，1D排成一行有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))種排法，再將0A，0B插空有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))種排法，所以2個(gè)0不相鄰的概率P＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)),Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6)))＝eq\f(2,3).解法二(含有相同元素的排列)將4個(gè)1和2個(gè)0支配在6個(gè)位置，則選擇2個(gè)位置支配0，共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))種排法；將4個(gè)1排成一行，把2個(gè)0插空，即在5個(gè)位置中選2個(gè)位置支配0，共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))種排法．所以2個(gè)0不相鄰的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)))＝eq\f(2,3).6．D由4個(gè)A不區(qū)分依次、2個(gè)B不區(qū)分依次，可得總狀況有eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6)),Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝15種，先排4個(gè)A有1種排法，在形成的3個(gè)中間的空中插入B即可，故2個(gè)B相鄰且不排在兩端的狀況有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝3種，故概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).7．C設(shè)用該試劑檢測(cè)呈現(xiàn)陽(yáng)性為事務(wù)B，被檢測(cè)者患病為事務(wù)A，未患病為事務(wù)eq\x\to(A)，則P(B|A)＝0.99，P(A)＝0.01，P(B|eq\x\to(A))＝0.1，P(eq\x\to(A))＝0.99，故所求概率P(B)＝0.99×0.01＋0.1×0.99＝0.1089.8．D從7名高校生中任選2人共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＝21種不同的方法，其中2人都會(huì)說(shuō)漢語(yǔ)的有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝3種不同的情形，∴所求事務(wù)的概率P＝eq\f(3,21)＝eq\f(1,7).9．D設(shè)8∶00為初始時(shí)刻0，則9∶00，10∶00，11∶00，12∶00分別為時(shí)刻1，2，3，4，設(shè)新的疫苗送達(dá)的時(shí)刻為x，某人到接種點(diǎn)的時(shí)刻為y，記他到達(dá)時(shí)疫苗已送達(dá)為事務(wù)A，則試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣福絳(x，y)|0≤x≤3，1≤y≤4}，事務(wù)A所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锳＝{(x，y)|y≥x，0≤x≤3，1≤y≤4}，如圖陰影區(qū)域，則P(A)＝eq\f(SA,SΩ)＝eq\f(3×3－\f(1,2)×2×2,3×3)＝eq\f(7,9).10.eq\f(3,10)解析：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，共有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝10(種)選法，甲、乙都入選有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝3(種)選法．依據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，甲、乙都入選的概率p＝eq\f(3,10).11.eq\f(6,35)解析：從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，全部的取法有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8))＝70(種)，4個(gè)點(diǎn)共面的取法共有12種(表面有6個(gè)四邊形，對(duì)角線可構(gòu)成6個(gè)長(zhǎng)方形，所以共有12種)，所以4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為eq\f(12,70)＝eq\f(6,35).12．0.98解析：經(jīng)停該站高鐵列車(chē)全部車(chē)次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.13．C5個(gè)快遞送到5個(gè)地方有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝120種方法，全送錯(cuò)的方法數(shù)：先分步：第一步快遞A送錯(cuò)有4種方法，其次步考慮A所送位置對(duì)應(yīng)的快遞，假設(shè)A送到丙地，其次步考慮快遞C，對(duì)C分類(lèi)，第一類(lèi)C送到甲地，則剩下B，D，E要均送錯(cuò)有2種可能(丁戊乙，戊乙丁)，其次類(lèi)C送到乙丁戊中的一個(gè)地方，有3種可能，如送到丁地，剩下的B，D，E只有甲乙戊三地可送，全送錯(cuò)有3種可能(甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲)，∴總的方法數(shù)為4×(1×2＋3×3)＝44，所求概率為P＝eq\f(44,120)＝eq\f(11,30).14．D從12幅作品中抽取規(guī)定作品和創(chuàng)意設(shè)計(jì)作品各2幅，共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝225種選法；若選手獲得“冰雪之韻”紀(jì)念品，共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\