第2課時(shí)離散型隨機(jī)變量的方差的綜合問(wèn)題第七章7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差1.掌握離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì).2.會(huì)用離散型隨機(jī)變量的均值和方差解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練內(nèi)容索引一、方差的性質(zhì)二、方差的實(shí)際應(yīng)用三、決策問(wèn)題一、方差的性質(zhì)例1已知X的分布列如表所示：(1)求X2的分布列；所以X2的分布列為(2)計(jì)算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.解因?yàn)閅＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.解因?yàn)閅＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.反思感悟求隨機(jī)變量Y＝aX＋b方差的方法求隨機(jī)變量Y＝aX＋b的方差，一種方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一種方法是應(yīng)用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解.跟蹤訓(xùn)練1設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為√若Y＝2X＋2，則D(Y)等于解析由題意知，二、方差的實(shí)際應(yīng)用例2

A，B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X1和X2，根據(jù)市場(chǎng)分析，X1和X2的分布列分別為X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B兩個(gè)投資項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，Y1和Y2分別表示投資項(xiàng)目A和B所得的利潤(rùn)，求方差D(Y1)，D(Y2)；例2

A，B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X1和X2，根據(jù)市場(chǎng)分析，X1和X2的分布列分別為X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B兩個(gè)投資項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，Y1和Y2分別表示投資項(xiàng)目A和B所得的利潤(rùn)，求方差D(Y1)，D(Y2)；解根據(jù)題意，知Y1和Y2的分布列分別為則E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4，E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3(2)將x(0≤x≤100)萬(wàn)元投資項(xiàng)目A，(100－x)萬(wàn)元投資項(xiàng)目B，f(x)表示投資項(xiàng)目A所得利潤(rùn)的方差與投資項(xiàng)目B所得利潤(rùn)的方差的和.求f(x)的最小值，并指出x為何值時(shí)，f(x)取得最小值.當(dāng)x＝75時(shí)，f(x)取得最小值3.反思感悟隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫(huà)了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，若均值相同，再用方差來(lái)決定.跟蹤訓(xùn)練2甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相等，而兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)生違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為甲保護(hù)區(qū)：ξ0123P0.30.30.20.2η012P0.10.50.4乙保護(hù)區(qū)：試評(píng)定兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平.解甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)ξ的均值和方差分別為E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，D(ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)η的均值和方差分別為E(η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，D(η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因?yàn)镋(ξ)＝E(η)，D(ξ)＞D(η)，所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同，但甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對(duì)分散和波動(dòng)，乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定.三、決策問(wèn)題例3某保險(xiǎn)公司對(duì)一個(gè)擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金，保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位共分為A，B，C三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12000,6000,2000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的賠付頻率如表(并以此估計(jì)賠付概率)：已知A，B，C三類工種的職工每人每年保費(fèi)分別為25元、25元、40元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬(wàn)元、100萬(wàn)元、50萬(wàn)元，保險(xiǎn)公司在開(kāi)展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過(guò)程中的固定支出為每年10萬(wàn)元.(1)求保險(xiǎn)公司在該業(yè)務(wù)所獲利潤(rùn)的均值；解設(shè)工種A，B，C職工的每份保單保險(xiǎn)公司的收益為隨機(jī)變量X，Y，Z，則X，Y，Z的分布列分別為保險(xiǎn)公司所獲利潤(rùn)的均值為12000×15＋6000×5－2000×10－100000＝90000，所以保險(xiǎn)公司在該業(yè)務(wù)所獲利潤(rùn)的均值為9萬(wàn)元.(2)現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供企業(yè)選擇：方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，出意外企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠償付給意外職工，企業(yè)開(kāi)展這項(xiàng)工作的固定支出為每年12萬(wàn)元；方案2：企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的70%，職工個(gè)人負(fù)責(zé)保費(fèi)的30%，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，企業(yè)無(wú)額外專項(xiàng)開(kāi)支.請(qǐng)根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.解方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，則企業(yè)每年安全支出與固定開(kāi)支共為方案2：企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，則企業(yè)支出保險(xiǎn)金額為(12000×25＋6000×25＋2000×40)×0.7＝37.1×104.因?yàn)?6×104>37.1×104，所以建議企業(yè)選擇方案2.反思感悟均值、方差在決策中的作用(1)均值：均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高.(2)方差：方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的離散波動(dòng)程度，方差越大越不穩(wěn)定.(3)在決策中常結(jié)合實(shí)際情形依據(jù)均值、方差做出決斷.跟蹤訓(xùn)練3某投資公司對(duì)以下兩個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行前期市場(chǎng)調(diào)研.項(xiàng)目A：通信設(shè)備.根據(jù)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，所有可能結(jié)果為獲利40%、虧損20%、不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為

a.項(xiàng)目B：新能源汽車.根據(jù)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，所有可能結(jié)果為獲利30%、虧損10%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為b，c.經(jīng)測(cè)算，當(dāng)投入A，B兩個(gè)項(xiàng)目的資金相等時(shí)，它們所獲得的平均收益(即均值)也相等.(1)求a，b，c的值；設(shè)投到項(xiàng)目A，B的資金都為x萬(wàn)元，變量X1和X2分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)，則X1和X2的分布列分別為X20.3x－0.1xPbcE(X2)＝0.3bx－0.1cx，因?yàn)镋(X1)＝E(X2)，所以0.3bx－0.1cx＝0.2x，即0.3b－0.1c＝0.2. ①又b＋c＝1，

②(2)若將100萬(wàn)元全部投到其中一個(gè)項(xiàng)目，請(qǐng)你從投資回報(bào)穩(wěn)定性的角度考慮，為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說(shuō)明理由.解選擇項(xiàng)目B.理由如下：當(dāng)投入100萬(wàn)元資金時(shí)，由(1)知x＝100，所以E(X1)＝E(X2)＝20，因?yàn)镋(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，說(shuō)明雖然項(xiàng)目A和項(xiàng)目B的平均收益相等，但項(xiàng)目B更穩(wěn)妥，所以從風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)穩(wěn)定性的角度考慮，建議該投資公司選擇項(xiàng)目B.1.知識(shí)清單：(1)方差的性質(zhì).(2)方差的實(shí)際應(yīng)用.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸.3.常見(jiàn)誤區(qū)：公式計(jì)算錯(cuò)誤.課堂小結(jié)隨堂演練1.已知隨機(jī)變量X滿足D(X)＝2，則D(3X＋2)等于A.6 B.8

C.18 D.201234√解析∵D(X)＝2，∴D(3X＋2)＝9D(X)＝18.2.已知隨機(jī)變量ξ滿足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，則E(ξ)和D(ξ)的值分別為A.0.6和0.7 B.1.7和0.09C.0.3和0.7 D.1.7和0.211234√解析E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1－1.7)2×0.3＋(2－1.7)2×0.7＝0.21.則當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，A.D(ξ)減小 B.D(ξ)增大C.D(ξ)先減小后增大 D.D(ξ)先增大后減小12343.設(shè)0＜p＜1，隨機(jī)變量ξ的分布列為√1234解析由分布列可知所以D(ξ)是關(guān)于p的二次函數(shù)，其圖象開(kāi)口向下，12344.隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ－101Pabc1234課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1.(多選)對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，有關(guān)它的均值E(X)和方差D(X)，下列說(shuō)法正確的是A.E(X)是反映隨機(jī)變量的平均取值B.D(X)越小，說(shuō)明X越集中于E(X)C.E(aX＋b)＝aE(X)＋bD.D(aX＋b)＝a2D(X)＋b基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√√√解析離散型隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度，方差越小，說(shuō)明隨機(jī)變量的取值越集中于均值，即A，B正確；由均值和方差的性質(zhì)可得，E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)，即C正確，D錯(cuò).123456789101112131415162.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且成功的概率p＝0.5，則E(X)和D(X)分別為A.0.5和0.25 B.0.5和0.75C.1和0.25 D.1和0.7512345678910111213141516√解析∵X服從兩點(diǎn)分布，∴X的分布列為X01P0.50.5∴E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，D(X)＝0.52×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25.已知隨機(jī)變量Y＝aX＋b(a>0)且E(Y)＝10，D(Y)＝4，則a與b的值為A.a＝10，b＝3 B.a＝3，b＝10C.a＝5，b＝6 D.a＝6，b＝53.若隨機(jī)變量X的分布列為12345678910111213141516√X01P0.2m解析因?yàn)?.2＋m＝1，所以m＝0.8，所以E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8，D(X)＝0.2×0.8＝0.16.因?yàn)镋(Y)＝10，D(Y)＝4，所以E(Y)＝aE(X)＋b＝0.8a＋b＝10，

①D(Y)＝a2D(X)＝0.16a2＝4，

②由①②，解得a＝5，b＝6，故選C.12345678910111213141516ξkk－1Pa1－a4.已知0<a<1，隨機(jī)變量ξ的分布列如表所示，若E(ξ)＝D(ξ)，則下列結(jié)論中不可能成立的是12345678910111213141516√解析由題意得E(ξ)＝ka＋(k－1)(1－a)＝k－1＋a，D(ξ)＝[k－(k－1＋a)]2·a＋[k－1－(k－1＋a)]2·(1－a)＝a(1－a).因?yàn)镋(ξ)＝D(ξ)，所以k－1＋a＝a(1－a)，所以k＝1－a2，又0<a<1，所以k＝1－a2∈(0,1)，故k＝1不可能成立，而選項(xiàng)A，B，C均有可能成立，故選D.1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X＋1，則下列結(jié)果正確的有A.E(X)＝2 B.D(X)＝2.4C.D(X)＝2.8 D.D(Y)＝146.(多選)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為12345678910111213141516√√X01245Pq0.30.20.20.112345678910111213141516解析由離散型隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)，得q＝1－0.3－0.2－0.2－0.1＝0.2，則E(X)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.2＋4×0.2＋5×0.1＝2，D(X)＝(0－2)2×0.2＋(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＋(5－2)2×0.1＝2.8，∵Y＝2X＋1，∴D(Y)＝22D(X)＝4D(X)＝4×2.8＝11.2.解析X的所有可能取值為0,1,2，123456789101112131415167.兩封信隨機(jī)投入A，B，C三個(gè)空郵箱中，則A郵箱的信件數(shù)X的方差D(X)＝_____.123456789101112131415168.已知隨機(jī)變量X的分布列為且E(X)＝1.1，則D(X)＝________.0.4912345678910111213141516解析由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可得解得x＝2，123456789101112131415169.已知η的分布列為(1)求η的方差；1234567891011121314151612345678910111213141516(2)設(shè)Y＝2η－E(η)，求D(Y).解∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D[2η－E(η)]＝22D(η)＝4×384＝1536.1234567891011121314151610.已知海關(guān)大樓頂端鑲有A，B兩面大鐘，它們的日走時(shí)誤差分別為X1，X2(單位：s)，其分布列如表所示：X1－2－1012P0.050.050.80.050.05X2－2－1012P0.10.20.40.20.1根據(jù)這兩面大鐘日走時(shí)誤差的均值與方差比較這兩面大鐘的質(zhì)量.12345678910111213141516解由題意得，E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2).D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴D(X1)<D(X2).綜上可知，A大鐘的質(zhì)量較好.綜合運(yùn)用1234567891011121314151611.已知隨機(jī)變量X滿足E(1－X)＝5，D(1－X)＝5，則下列說(shuō)法正確的是A.E(X)＝－5，D(X)＝5B.E(X)＝－4，D(X)＝－4C.E(X)＝－5，D(X)＝－5D.E(X)＝－4，D(X)＝5√12345678910111213141516解析∵隨機(jī)變量X滿足E(1－X)＝5，D(1－X)＝5，所以E(1－X)＝1－E(X)＝5,12×D(X)＝5，解得E(X)＝－4，D(X)＝5，故選D.12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516√13.(多選)袋內(nèi)有大小完全相同的2個(gè)黑球和3個(gè)白球，從中不放回地每次任取1個(gè)小球，直至取到白球后停止取球，則√12345678910111213141516解析設(shè)取球次數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為1,2,3，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516拓廣探究12345678910111213141516A.E(2ξ1－1)<E(2ξ2－1)，D(2ξ1－1)<D(2ξ2－1)B.E(2ξ1－1)<E(2ξ2－1)，D(2ξ1－1)>D(2ξ2－1)C.E(2ξ1－1)>E(2ξ2－1)，D(2ξ1－1)<D(2ξ2－1)D.E(2ξ1－1)>E(2ξ2－1)，D(2ξ1－1)>D(2ξ2－1)√12345678910111213141516解析由均值與方差的性質(zhì)，可知E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，則E(2ξi－1)＝2E(ξi)－1，D(2ξi－1)＝4D(ξi).12345678910111213141516所以E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)，所以E(2ξ1－1)>E(2ξ2－1)，D(2ξ1－1)>D(2ξ2－1)，故選D.1234567891011121314151616.為了解與掌握一些基本的地震安全防護(hù)知識(shí)，某小學(xué)在9月份開(kāi)學(xué)初對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行了為期一周的知識(shí)講座，事后并進(jìn)行了測(cè)試(滿分100分)，根據(jù)測(cè)試成績(jī)?cè)u(píng)定為“合格”(60分以上包含60分)、“不合格”兩個(gè)等級(jí)，同時(shí)對(duì)相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化：“合格”定為10分，“不合格”定為5分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答卷，統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖如圖所示.12345678910111213141516(1)求a，b，c的值；12345678910111213141516解由頻率分布直方圖可知，得分在[20,40)的頻率為0.005×20＝0.1，又由頻率分布直方圖可知，得分在[80,100]的頻率為0.2，所以b＝60×0.2＝12.又6＋a＋24＋b＝60，得a＋b＝30，所以a＝18.123456789