7．3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7．3.1離散型隨機(jī)變量的均值課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過(guò)具體實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)字特征.2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值.通過(guò)研究離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)字特征，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究問(wèn)題上述情境中的計(jì)算是否合理，怎樣運(yùn)算才更合理？提示此種計(jì)算顯然不合理，忽略了不同住房面積的居民所占的比例，造成了“被平均”現(xiàn)象，通過(guò)本課時(shí)的學(xué)習(xí)我們可以找到正確的計(jì)算方法．1．離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為正確地求出離散型隨機(jī)變量的分布列是求解期望的關(guān)鍵Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn2．兩點(diǎn)分布的期望

一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝____；3．離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)

設(shè)X的分布列為_(kāi)_______________＝

pi，i＝1，2，…，n.

一般地，下面的結(jié)論成立：E(aX＋b)＝________________．pP(X＝xi)aE(X)＋b×√拓展深化[微判斷]1．隨機(jī)變量X的均值E(X)是個(gè)變量，其隨X的變化而變化．

(

)

提示

隨機(jī)變量X的均值E(X)是個(gè)定值，不隨X的變化而變化．2．隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值相同． (

)

提示隨機(jī)變量的均值與樣本的均值并非等價(jià)，因?yàn)闃颖敬淼氖遣糠值那闆r，不能完全與整體等價(jià)．3．若隨機(jī)變量X的均值E(X)＝2，則E(2X)＝4. (

)×[微訓(xùn)練]1．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為2．口袋中有編號(hào)分別為1，2，3的三個(gè)大小和形狀相同的小球，從中任取2個(gè)，則取出的球的最大編號(hào)X的期望為_(kāi)_________．2．口袋中有編號(hào)分別為1，2，3的三個(gè)大小和形狀相同的小球，從中任取2個(gè)，則取出的球的最大編號(hào)X的期望為_(kāi)_________．[微思考]

某商場(chǎng)要將單價(jià)分別為18元/kg、24元/kg、36元/kg的3種糖果按3∶2∶1的比例混合銷售，如何對(duì)混合糖果定價(jià)才合理？題型一利用定義求離散型隨機(jī)變量的均值【例1】袋中有4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機(jī)取出4只球，設(shè)取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，試求得分X的均值．

解取出4只球顏色及得分分布情況是：4紅得8分，3紅1黑得7分，2紅2黑得6分，1紅3黑得5分，因此，故X的分布列如下：規(guī)律方法求隨機(jī)變量的均值關(guān)鍵是寫出分布列，一般分為四步：(1)確定X的可能取值；(2)計(jì)算出P(X＝k)；(3)寫出分布列；(4)利用E(X)的計(jì)算公式計(jì)算E(X)．∴X的分布列為∴X的分布列為題型二離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)【例2】已知隨機(jī)變量X的分布列為：解析由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，

得【遷移1】

(變?cè)O(shè)問(wèn))本例條件不變，若Y＝2X－3,求E(Y)．∴a＝15.規(guī)律方法離散型隨機(jī)變量性質(zhì)有關(guān)問(wèn)題的解題思路若給出的隨機(jī)變量Y與X的關(guān)系為Y＝aX＋b，a，b為常數(shù)，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)．也可以利用X的分布列得到Y(jié)的分布列，關(guān)鍵是由X的取值計(jì)算Y的取值，對(duì)應(yīng)的概率相等，再由定義法求得E(Y)．【訓(xùn)練2】已知隨機(jī)變量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如下表，則m的值為(

)解析因?yàn)閅＝12X＋7，則E(Y)＝12E(X)＋7，答案A題型三離散型隨機(jī)變量均值的應(yīng)用(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤(rùn)為X萬(wàn)元，則X的可能取值為0，100，120，220.故所求的分布列為規(guī)律方法解答實(shí)際問(wèn)題時(shí)，(1)把實(shí)際問(wèn)題概率模型化；(2)利用有關(guān)概率的知識(shí)去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，并列出分布列；(3)利用公式求出相應(yīng)均值．解(1)X的所有取值為0，5，10，15，20，25，30.一、素養(yǎng)落地1．通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．求離散型隨機(jī)變量均值的步驟： (1)確定離散型隨機(jī)變量X的取值； (2)寫出分布列，并檢查分布列的正確與否； (3)根據(jù)公式寫出均值．3．若X，Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，且Y＝aX＋b，則E(Y)＝aE(X)＋b；如果一個(gè)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，可直接利用公式計(jì)算均值．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．袋中有10個(gè)大小相同的小球，其中記為0號(hào)的有4個(gè)，記為n號(hào)的有n個(gè)(n＝1，2，3)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取到球的標(biāo)號(hào)，則E(X)等于(

)解析由題意，可知X的所有可能取值為0，1，2，3.2．拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得－1分，則得分X的均值為(

)3．若p為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X的分布列為答案A4．隨機(jī)拋擲一枚骰子，則所得骰子點(diǎn)數(shù)X的均值為_(kāi)_____．解析拋擲一枚骰子所得點(diǎn)數(shù)X的分布列為5．袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n(n＝1，2，3，4)個(gè)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(hào)． (1)求X的分布列、均值； (2)若Y＝aX＋4，E(Y)＝1，求a的值．解(1)X的分布列為(2)E(Y)＝aE(X)＋4＝1，備用工具&資料5．袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n(n＝1，2，3，4)個(gè)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(hào)． (1)求X的分布列、均值； (2)若Y＝aX＋4，E(Y)＝1，求a的值．解(1)X的分布列為3．若p為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X的分布列為答案A∴X的分布列為題型一利用定義求離散型隨機(jī)變量的均值【例1】袋中有4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機(jī)取出4只球，設(shè)取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，試求得分X的均值．

解取出4只球顏色及得分分布情況是：4紅得8分，3紅1黑得7分，2紅2黑得6分，1紅3黑得5分，因此，2．兩點(diǎn)分布的期望

一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝____；3．離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)