2024屆高三沖刺卷（五）數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上．2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．考試時間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)為虛數(shù)單位，則（

）A．i B． C． D．2．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．3．函數(shù)的大致圖象為（

）A． B． C． D．4．已知向量，則（

）A． B． C． D．5．已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．6．已知拋物線C：的焦點為F，點P為拋物線C上一點，過點P作拋物線的準線的垂線，垂足為M，且，則（

）A．2 B．4 C． D．7．某校組織校慶活動，負責人將任務(wù)分解為編號為的四個子任務(wù)，并將任務(wù)分配給甲、乙、丙3人，且每人至少分得一個子任務(wù)，則甲沒有分到編號為的子任務(wù)的分配方法共有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種8．若定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知命題“，”為真命題，則實數(shù)m的可能取值是（

）A． B．0 C．1 D．10．分形幾何學是美籍法國數(shù)學家伯努瓦·曼德爾布羅特在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新學科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路.下圖展示了如何按照圖①的分形規(guī)律生長成一個圖②的樹形圖，設(shè)圖②中第n行白心圈的個數(shù)為，黑心圈的個數(shù)為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．數(shù)列為等比數(shù)列D．圖②中第2023行的黑心圈的個數(shù)是11．某導航通訊的信號可以用函數(shù)近似模擬，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．將曲線向右平移個單位長度后所得圖象與原圖象重合C．若，則的最小值為D．若在上恰有3個極大值點，則三、填空題（每小題5分，共15分）12．的展開式中，含項的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）13．設(shè)，是雙曲線：的左、右焦點，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點，且，則雙曲線C的離心率為.若內(nèi)切圓圓心I的橫坐標為2，則的面積為.14．已知，若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是.四、解答題（15題13分，16、17每題15分，18、19每題17分，共77分）15．某校為了了解學生每周參加課外興趣班的情況，隨機調(diào)查了該校1000名學生在2023年最后一周參加課外興趣班的時長（單位：分鐘），得到如圖所示的頻率分布直方圖．若直方圖中成等差數(shù)列，時長落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為200．(1)求出直方圖中的值；(2)估計樣本時長的中位數(shù)（精確到0.1）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；(3)從參加課外興趣班的時長在和的學生按照分層抽樣的方法隨機抽取6人進行問卷調(diào)查，再從這6人中隨機抽取2人進行參加興趣班情況的深入調(diào)查，求被抽到的2人中參加課外興趣班的時長在的人數(shù)的分布列及期望．16．已知函數(shù).(1)若，求在處的切線方程；(2)者，討論函數(shù)的單調(diào)性.17．如圖，在以為頂點的五面體中，四邊形為正方形，四邊形為等腰梯形，，且平面平面．(1)證明：平面平面；(2)求平面和平面夾角的余弦值．18．已知橢圓的左、右焦點為為橢圓上一點，的面積的最大值為4，直線與橢圓交于兩點．(1)求橢圓的標準方程；(2)點，設(shè)直線和的斜率分別為，若，求的面積的最大值．19．已知n行n列的數(shù)表中，滿足：，.若數(shù)表滿足當時，總有，則稱此數(shù)表為典型數(shù)表，此時記.(1)若數(shù)表，，請直接寫出M，N是否是典型數(shù)表；(2)當時，是否存在典型數(shù)表A使得，若存在，請寫出一個數(shù)表A；若不存在，請說明理由；(3)若數(shù)表A為典型數(shù)表，求的最小值（直接寫出結(jié)果，不需要證明）.1．A【分析】考查復數(shù)乘除運算，先根據(jù)復數(shù)乘除運算將復數(shù)化簡得，再根據(jù)共軛復數(shù)為得結(jié)果.【詳解】由題意可得，所以.故選：A.2．D【分析】解不等式化簡集合B，再利用補集、交集的定義求解即得.【詳解】依題意，，所以.故選：D3．B【分析】根據(jù)定義域、特殊值可以對選項進行排除，從而得到正確選項.【詳解】因為的定義域為，故排除；又，故排除；，故排除D．故選：B．4．B【分析】根據(jù)題意先求出，然后由向量的數(shù)量積公式計算即可.【詳解】解：因為，所以，所以．故選：B．5．D【分析】利用三角函數(shù)的定義可求出的值，再根據(jù)誘導公式求解即可.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以，所以.故選：D.6．D【分析】根據(jù)題意，由拋物線的定義可得為等腰三角形，，然后代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】

由拋物線定義可知，所以為等腰三角形，記原點為，因為，所以，則，所以.故選：D7．C【分析】可以考慮用間接法先不考慮限制求出共有種方法，進一步由分類原理即可求解.【詳解】不考慮限制條件則共有種方法，若甲分到編號子任務(wù)，有兩種情況：甲分到一個子任務(wù)（即只有編號子任務(wù)），此時共有種方法；甲分到兩個子任務(wù)（即包含編號子任務(wù)），此時共有種方法；則所求的分配方法共有種.故選：C.8．A【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性，先得，從而得，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可判斷大小.【詳解】因為是定義在上偶函數(shù)，所以，因為，所以，因為在上單調(diào)遞增，所以，故選：A.9．AB【分析】先利用題給條件求得實數(shù)m的取值范圍，進而得到實數(shù)m的可能取值.【詳解】因為命題“，”為真命題，所以，，令，，則，可知為增函數(shù)，當時，有最小值，故實數(shù)m的取值范圍為，故選：AB.10．ACD【分析】求得，的值判斷選項AB；利用等比數(shù)列定義判斷選項C；求得圖②中第2023行的黑心圈的個數(shù)判斷選項D.【詳解】由題可得，，故A正確，B錯誤；，，，且有，，故有所以是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，為常數(shù)列，且，所以是以為首項，1為公比的等比數(shù)列，故C正確；由上可得故所以，故D正確.故選：ACD.11．BC【分析】結(jié)合對稱性知周期縮小一半，圖象平移“左加右減”，利用三角函數(shù)的對稱性求解，極值問題利用三角函數(shù)的極值為三角函數(shù)的頂點處的取值求解自變量的值即可.【詳解】因為的最小正周期為，故A錯誤；將的圖象向右平移個單位長度后，得到，故B正確；因為的值域為，若，則的最小值為，故C正確；結(jié)合圖象，令，，得，，即，若在上恰有3個極大值點，則，故D不正確.故選：BC.12．208【分析】求展開式中的項，即可求出結(jié)果.【詳解】展開式中含項為，所以展開式中含項的系數(shù)為208．故答案為：208.13．6【分析】利用題給條件結(jié)合雙曲線定義求得關(guān)系，進而求得雙曲線C的離心率；利用題給條件求得的值，進而求得的面積.【詳解】設(shè)以為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點設(shè)為，則，由雙曲線的定義可得，所以，，由勾股定理得，即有，∴.設(shè)內(nèi)切圓與x軸相切于M，M點橫坐標為t，則，則,解之得又由內(nèi)切圓圓心的橫坐標為2，得，故.

故答案為：，614．【分析】先用導數(shù)證明不等式，然后對和分類討論，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，從而當時，當時.所以在上遞減，在上遞增，故對任意有，即.一方面，當時，由于，故存在使得成立；另一方面，當時，由于對任意都有（這里用到，，），所以對任意都有.綜上，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于求取值范圍問題，本質(zhì)上就是要確定一個集合，使得命題成立的充要條件是參數(shù)屬于該集合.故本題中我們從兩個方面入手，證明了存在使得的充要條件是，即可解決問題.15．(1)，(2)中位數(shù)為71.7，平均數(shù)為73(3)分布列見解析，【分析】（1）由時長落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)可求出，由成等差數(shù)列且各組頻率之和為1可得的值；（2）由中位數(shù)的計算方法以及平均數(shù)計算公式直接計算即可求解；（3）首先得出參加課外興趣班的時長在內(nèi)的有4（人），參加課外興趣班的時長在內(nèi)的有2（人），然后根據(jù)超幾何分布的概率公式求出相應(yīng)的概率即可得分布列以及數(shù)學期望.【詳解】（1）由已知可得，則，即．又成等差數(shù)列，，解得．（2），設(shè)中位數(shù)為，且，，解得，即中位數(shù)為71.7，平均數(shù)為．（3）由（1）知，所以按照分層的方法抽樣隨機抽取的6人中，參加課外興趣班的時長在內(nèi)的有（人），參加課外興趣班的時長在內(nèi)的有（人）．參加課外興趣班的時長在內(nèi)的人數(shù)的可能取值為．，所以的分布列為012期望．16．(1)(2)答案見解析【分析】（1）求出、后可得在處切線方程.（2）就、、分類討論導數(shù)的符號后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1），則，，，，∴在處切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域為，.因為，所以，由得或，.①當時，，所以或，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當時，，則在上單調(diào)遞增；③當時，，所以或，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）有題意根據(jù)面面垂直性質(zhì)可得平面，故，再由邊長關(guān)系勾股定理可得，故平面，從而得證；（2）建立空間坐標系，求出平面和平面法向量，然后根據(jù)向量夾角公式求解即可.【詳解】（1）四邊形為正方形，．平面平面，且平面平面，平面．又平面，．在梯形中，作于，則，則，，即．平面，平面，又平面，平面平面．（2）如圖，以為坐標原點，作于點，分別以為軸正向建立空間直角坐標系．則．由（1）知，平面的一個法向量為．設(shè)是平面的一個法向量，則,即，則．所以平面和平面夾角的余弦值為．18．(1)(2)【分析】（1）由的面積的最大值聯(lián)立方程組解得的標準方程為；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，由韋達定理以及直線和橢圓的位置關(guān)系求得，得出的面積的表達式并利用基本不等式可求得最大值.【詳解】（1）（1）設(shè)橢圓的長半軸長為，半焦距為，由已知可得，解得故橢圓的標準方程為．（2）如下圖所示：設(shè)點，聯(lián)立可得，由題意知直線不過點，即．，可得且．由韋達定理可得，，同理可得，，化簡得，；所以，即，設(shè)直線過定點，則，當且僅當，即當時，等號成立．故的面積存在最大值，且最大值為.19．(1)不是典型數(shù)表，N是典型數(shù)表(2)不存在，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)典型數(shù)表的定義即可判斷.（2）假設(shè)存在這樣的典型數(shù)表，求解當取得最小時，即中數(shù)字需要最少，利用定義求解即可.（3）結(jié)合（2）及定義分類討論為奇數(shù)和為偶數(shù)時求解即可.【詳解】（1）M不是典型數(shù)表，N是典型數(shù)表.因為數(shù)表，所以，此時，，所以，不滿足當時，總有，故數(shù)表不是典型數(shù)表；因為數(shù)表，所以當時，，，所以，由于數(shù)表N的數(shù)據(jù)具有對稱性，所以當時，總有，故數(shù)表N是典型數(shù)表.（2）假設(shè)當時，存在典型數(shù)表A使得，則需滿足取得最小，即典型數(shù)表A中的“1”需要最少，由典型數(shù)表的定義可知：當時，總有，所以需要使得盡量多的橫列和，所以將表分成4個4×4數(shù)表，對角的兩個數(shù)表數(shù)值相同，但上下左右對稱的數(shù)表數(shù)值不同，此時可保證取得最小，而滿足上述條件的典型數(shù)表A如，此時滿足取得最小，但是的最小值為32，故不存在典型數(shù)表，使得.