專題12.4《概率、隨機變量及其分布列》真題+模擬試卷第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（2023·全國·高考真題（文））兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是A． B． C． D．2．（2023·全國·高考真題（文））生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標，若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為A． B．C． D．3．(2023·浙江省嘉善中學高三階段練習）某冷飲店的冰淇淋在一天中銷量為200個，三種口味各自銷量如表所示：把頻率視作概率，從賣出的冰淇淋中隨機抽取10個，記其中草莓味的個數(shù)為X，則（

）冰淇淋口味草莓味巧克力味原味銷量（個）4060100A．5 B．3 C．2 D．14．(2023·湖南師大附中高三階段練習）自5月初，麓山之巔觀日出在抖音走紅后，每天都有上千人披星戴月登頂岳麓山看日出，登頂游客中外地游客占，外地游客中有乘觀光車登頂，本地游客中有乘觀光車登頂，乘觀光車登頂?shù)钠眱r為20元.若某天有1200人登頂觀日出，則觀光車營運公司這天的登頂觀日出項目的營運票價收入是（

）A．4800元 B．5600元 C．6400元 D．7200元5．(2023·福建師大附中高三階段練習）已知某地區(qū)成年女性身高(單位：cm)近似服從正態(tài)分布，且，則隨機抽取該地區(qū)1000名成年女性，其中身高不超過162cm的人數(shù)大約為（

）A．200 B．400 C．600 D．7006．(2023·浙江·紹興魯迅中學高三階段練習）甲?乙兩人到一商店購買飲料，他們準備分別從加多寶?農(nóng)夫山泉?雪碧這3種飲品中隨機選擇一種，且兩人的選擇結(jié)果互不影響.記事件“甲選擇農(nóng)夫山泉”，事件“甲和乙選擇的飲品不同”，則（

）A． B． C． D．7．(2023·河南·南陽中學高三階段練習（理））某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，，且，則（

）A．6 B．5 C．4 D．38．(2023·全國·高三專題練習）在某獨立重復實驗中，事件，相互獨立，且在一次實驗中，事件發(fā)生的概率為，事件發(fā)生的概率為，其中.若進行次實驗，記事件發(fā)生的次數(shù)為，事件發(fā)生的次數(shù)為，事件發(fā)生的次數(shù)為，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.9．(2023·江蘇淮安·模擬預(yù)測）設(shè)，這兩個概率密度曲線（如圖），下列說法正確的是（

）A．B．C．對任意實數(shù)D．若，則10．（2023·全國·高三專題練習）若袋子中有2個白球，3個黑球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機取球4次，每次取一個球，取到白球記1分，取到黑球記0分，記4次取球的總分數(shù)為X，則（

）A． B．C．X的期望 D．X的方差11．(2023·重慶一中高三階段練習）已知隨機變量服從正態(tài)分布，定義函數(shù)為取值不超過的概率，即.若，則下列說法正確的有（

）A． B．C．在上是增函數(shù) D．12．（2023·全國·高三專題練習）學校食坣每天中都會提供兩種套餐供學生選擇（學生只能選擇其中的一種），經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：學生第一天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為.而前一天選擇了套餐的學生第二天詵擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為；前一天選擇套餐的學生第一天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率也是，如此往復.記某同學第天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為.一個月（30天）后，記甲?乙?丙3位同學選擇套餐的人數(shù)為，則下列說法正確的是（

）A． B．數(shù)列是等比數(shù)列C． D．第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2023·江蘇·高考真題）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是_____.14．(2023·浙江·高考真題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則__________，_________．15．（2023·全國·高三專題練習）現(xiàn)有一摸球游戲，規(guī)則如下：袋子里有形狀和大小完全一樣的標有1～6號的6個小球，游戲參與者每次從袋中不放回地摸1個球，若摸到1號球或6號球得2分，摸到3號球、4號球或5號球得1分，摸到2號球得0分，若參與者摸到2號球或摸了三次后不管有沒有摸到2號球游戲均結(jié)束．記隨機變量X為參與者摸球結(jié)束后獲得的分數(shù)，則X的數(shù)學期望是__________．16．（2023·全國·高三專題練習）2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我國其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有特效治療方法，防控難度很大，武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者?疑似的新冠肺炎患者?無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強化網(wǎng)格化管理，不落一戶?不漏一人，在排查期間，一戶4口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員隨機地逐一進行“核酸”檢測，若出現(xiàn)陽性，則該家庭為“感染高危戶”，設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨立，該家庭至少檢測了3個人才能確定為“感染高危戶”的概率為，當時，最大，則___________.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2023·全國·高考真題（理））11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.18．（2023·北京·高考真題（文））改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：（Ⅰ）估計該校學生中上個月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)；（Ⅱ）從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人，求該學生上個月支付金額大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元．結(jié)合（Ⅱ）的結(jié)果，能否認為樣本僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．19．（2023·北京·高考真題（理））改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：交付金額（元）支付方式（0,1000]（1000,2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（Ⅰ）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率；（Ⅱ）從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；（Ⅲ）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．20．(2023·山東·汶上縣第一中學高三開學考試）為了響應(yīng)2022年全國文明城市建設(shè)的號召，某市文明辦對市民進行了一次文明創(chuàng)建知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機會.該市文明辦隨機抽取了人的得分（滿分：分），統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：組別頻數(shù)(1)若此次調(diào)查問卷的得分服從正態(tài)分布，近似等于樣本的平均成績（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替），求；(2)該市文明辦為鼓勵市民積極參與調(diào)查問卷，規(guī)定：調(diào)查問卷得分不低于的可以用本人手機隨機抽取次手機話費獎勵，次抽取互不影響，有三種話費獎勵金額，每種金額每次被抽到的概率如下表：話費金額/元如果某市民參加調(diào)查問卷的得分不低于，記“該市民獲得手機話費獎勵總金額為”.（i）求時的概率；（ii）證明：.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.21．（2023·江蘇·高考真題）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn．（1）求p1，q1和p2，q2；（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學期望E(Xn)(用n表示)．22．(2023·河南·安陽一中高三階段練習（理））根據(jù)社會人口學研究發(fā)現(xiàn)，一個家庭有個孩子的概率模型為：1230概率其中.每個孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為且相互獨立，事件表示一個家庭有個孩子，事件表示一個家庭的男孩比女孩多（例如：一個家庭恰有一個男孩，則該家庭男孩多）.(1)若，求和；(2)為了調(diào)控未來人口結(jié)構(gòu)，其中參數(shù)受到各種因素的影響（例如生育保險的增加，教育?醫(yī)療福利的增加等）.①若希望增大，如何調(diào)控的值？②是否存在的值使得，請說明理由.專題12.4《概率、隨機變量及其分布列》真題+模擬試卷第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（2023·全國·高考真題（文））兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是A． B． C． D．答案：D【解析】男女生人數(shù)相同可利用整體發(fā)分析出兩位女生相鄰的概率，進而得解.【詳解】兩位男同學和兩位女同學排成一列，因為男生和女生人數(shù)相等，兩位女生相鄰與不相鄰的排法種數(shù)相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是．故選D．2．（2023·全國·高考真題（文））生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標，若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為A． B．C． D．答案：B分析：本題首先用列舉法寫出所有基本事件，從中確定符合條件的基本事件數(shù)，應(yīng)用古典概率的計算公式求解．【詳解】設(shè)其中做過測試的3只兔子為，剩余的2只為，則從這5只中任取3只的所有取法有，共10種．其中恰有2只做過測試的取法有共6種，所以恰有2只做過測試的概率為，選B．3．(2023·浙江省嘉善中學高三階段練習）某冷飲店的冰淇淋在一天中銷量為200個，三種口味各自銷量如表所示：把頻率視作概率，從賣出的冰淇淋中隨機抽取10個，記其中草莓味的個數(shù)為X，則（

）冰淇淋口味草莓味巧克力味原味銷量（個）4060100A．5 B．3 C．2 D．1答案：C【詳解】按照所給的數(shù)據(jù)，賣出草莓味冰淇淋的頻率為，抽取的草莓味的冰淇淋個數(shù)分布列服從超幾何分布，按照超幾何分布的公式計算即可.分析：由題意可得賣出草莓味冰淇淋的頻率為，由于把頻率視作概率，故賣出草莓味冰淇淋的概率為，已知Ⅹ表示抽取賣出的冰淇淋中草莓味的個數(shù)，則X服從超幾何分布，且，，，由超幾何分布的定義知，，．所以；故選：C．4．(2023·湖南師大附中高三階段練習）自5月初，麓山之巔觀日出在抖音走紅后，每天都有上千人披星戴月登頂岳麓山看日出，登頂游客中外地游客占，外地游客中有乘觀光車登頂，本地游客中有乘觀光車登頂，乘觀光車登頂?shù)钠眱r為20元.若某天有1200人登頂觀日出，則觀光車營運公司這天的登頂觀日出項目的營運票價收入是（

）A．4800元 B．5600元 C．6400元 D．7200元答案：C分析：根據(jù)全概率公式先求任選一人，他是乘觀光車登頂?shù)母怕蕿?，再結(jié)合二項分布求每天的營運票價收入．【詳解】從登頂觀日出的人中任選一人，他是乘觀光車登頂?shù)母怕蕜t觀光車營運公司這天的登頂觀日出項目的營運票價收入是元）故選：C．5．(2023·福建師大附中高三階段練習）已知某地區(qū)成年女性身高(單位：cm)近似服從正態(tài)分布，且，則隨機抽取該地區(qū)1000名成年女性，其中身高不超過162cm的人數(shù)大約為（

）A．200 B．400 C．600 D．700答案：D分析：根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求出身高不超過162cm的概率為，再求出該地區(qū)1000名成年女性身高不超過162cm的大約人數(shù).【詳解】因為，所以，則隨機抽取該地區(qū)1000名成年女性，其中身高不超過的人數(shù)服從，所以.故選:D．6．(2023·浙江·紹興魯迅中學高三階段練習）甲?乙兩人到一商店購買飲料，他們準備分別從加多寶?農(nóng)夫山泉?雪碧這3種飲品中隨機選擇一種，且兩人的選擇結(jié)果互不影響.記事件“甲選擇農(nóng)夫山泉”，事件“甲和乙選擇的飲品不同”，則（

）A． B． C． D．答案：D分析：利用條件概率公式求解即可．【詳解】解：事件“甲選擇農(nóng)夫山泉”，則事件“甲和乙選擇的飲品不同”，則事件=“甲選擇農(nóng)夫山泉，乙選擇的是加多寶或者雪碧”所以所以，故選：D7．(2023·河南·南陽中學高三階段練習（理））某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，，且，則（

）A．6 B．5 C．4 D．3答案：A分析：由二項分布的方差公式可求出或，又因為可得，所以可求出，再由二項分布的期望即可求出答案.【詳解】解：由二項分布的方差公式有，解得:或.而即，解得:所以，從而.故選:A8．(2023·全國·高三專題練習）在某獨立重復實驗中，事件，相互獨立，且在一次實驗中，事件發(fā)生的概率為，事件發(fā)生的概率為，其中.若進行次實驗，記事件發(fā)生的次數(shù)為，事件發(fā)生的次數(shù)為，事件發(fā)生的次數(shù)為，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．答案：C分析：由題意可知，X、Y、Z均滿足二項分布，分別求出，，，，對照四個選項一一驗證.【詳解】因為，，所以.故A錯誤；因為，，.故B錯誤；因為，獨立，所以，所以.故C正確；因為，，所以.故D錯誤.故選：C.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.9．(2023·江蘇淮安·模擬預(yù)測）設(shè)，這兩個概率密度曲線（如圖），下列說法正確的是（

）A．B．C．對任意實數(shù)D．若，則答案：AC分析：根據(jù)正太分布的相關(guān)性質(zhì)逐一判斷即可【詳解】因為越小圖象越瘦高，所以，故A正確，B錯誤由圖可知，當時，所以，故C正確當時，當時，故D錯誤故選:AC10．（2023·全國·高三專題練習）若袋子中有2個白球，3個黑球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機取球4次，每次取一個球，取到白球記1分，取到黑球記0分，記4次取球的總分數(shù)為X，則（

）A． B．C．X的期望 D．X的方差答案：CD分析：由題意可知4次取球的總分數(shù)為X，即為4次取球取到白球的個數(shù)，故可確定判斷A;由此可計算，判斷B;利用二項分布的期望和方差公式計算期望和方差，即可判斷C,D.【詳解】由題意知從袋子中有放回地隨機取球4次，每次取到白球的概率為，取到白球記1分，取到黑球的概率為，取到黑球記0分，則記4次取球的總分數(shù)為X，即為4次取球取到白球的個數(shù)，則知，A錯誤；，B錯誤；X的期望，C正確；X的方差，D正確，故選：CD．11．(2023·重慶一中高三階段練習）已知隨機變量服從正態(tài)分布，定義函數(shù)為取值不超過的概率，即.若，則下列說法正確的有（

）A． B．C．在上是增函數(shù) D．答案：ACD分析：根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)和逐個分析判斷即可.【詳解】對于A，因為隨機變量服從正態(tài)分布，，所以，所以A正確，對于B，因為，，所以B錯誤，對于C，因為隨機變量服從正態(tài)分布，，所以當時，隨的增大，的值在增大，所以在上是增函數(shù)，所以C正確，對于D，因為，所以，所以D正確，故選：ACD12．（2023·全國·高三專題練習）學校食坣每天中都會提供兩種套餐供學生選擇（學生只能選擇其中的一種），經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：學生第一天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為.而前一天選擇了套餐的學生第二天詵擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為；前一天選擇套餐的學生第一天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率也是，如此往復.記某同學第天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為.一個月（30天）后，記甲?乙?丙3位同學選擇套餐的人數(shù)為，則下列說法正確的是（

）A． B．數(shù)列是等比數(shù)列C． D．答案：ABC分析：對于A選項，由于每人每次只能選擇兩種套餐中的一種，則，所以A正確；對于B選項，依題意，利用等比數(shù)列的定義即可判斷數(shù)列是等比數(shù)列；對于C，D選項，利用B選項的結(jié)論可解得，則當時，，所以，所以C正確，錯誤.【詳解】由于每人每次只能選擇兩種套餐中的一種，所以，故A正確；依題意，，則.又時，，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故B正確所以，當時，，所以，所以C正確，錯誤.故選：ABC.第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2023·江蘇·高考真題）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是_____.答案：分析：分別求出基本事件總數(shù)，點數(shù)和為5的種數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．【詳解】根據(jù)題意可得基本事件數(shù)總為個.點數(shù)和為5的基本事件有，，，共4個.∴出現(xiàn)向上的點數(shù)和為5的概率為.故答案為：.14．(2023·浙江·高考真題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則__________，_________．答案：

，

##分析：利用古典概型概率公式求，由條件求分布列，再由期望公式求其期望.【詳解】從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，，，，

所以,故答案為：，.15．（2023·全國·高三專題練習）現(xiàn)有一摸球游戲，規(guī)則如下：袋子里有形狀和大小完全一樣的標有1～6號的6個小球，游戲參與者每次從袋中不放回地摸1個球，若摸到1號球或6號球得2分，摸到3號球、4號球或5號球得1分，摸到2號球得0分，若參與者摸到2號球或摸了三次后不管有沒有摸到2號球游戲均結(jié)束．記隨機變量X為參與者摸球結(jié)束后獲得的分數(shù)，則X的數(shù)學期望是__________．答案：##2.8分析：由題知X的可能取值：0，1，2，3，4，5，求得X的分布列，繼而運用期望公式可求得答案.【詳解】解：由題知X的可能取值：0，1，2，3，4，5，則，．所以X的分布列為：X012345P所以X的數(shù)學期望為：．故答案為：．16．（2023·全國·高三專題練習）2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我國其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有特效治療方法，防控難度很大，武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者?疑似的新冠肺炎患者?無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強化網(wǎng)格化管理，不落一戶?不漏一人，在排查期間，一戶4口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員隨機地逐一進行“核酸”檢測，若出現(xiàn)陽性，則該家庭為“感染高危戶”，設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨立，該家庭至少檢測了3個人才能確定為“感染高危戶”的概率為，當時，最大，則___________.答案：分析：根據(jù)分類加法原理求出檢測出3人或檢測出4人確定為“感染高危戶”的概率，相加得，利用導數(shù)求得最大值，從而得結(jié)論．【詳解】設(shè)事件A為：檢測了3個人確定為“感染高危戶”，事件B為：檢測了4個人確定為“感染高危戶”；∴，即，，時，，時，，∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，時，最大．即.故答案為：．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2023·全國·高考真題（理））11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.答案：（1）；（2）0.1分析：(1)本題首先可以通過題意推導出所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果；(2)本題首先可以通過題意推導出所包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果．【詳解】(1)由題意可知，所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”所以(2)由題意可知，包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”所以18．（2023·北京·高考真題（文））改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：（Ⅰ）估計該校學生中上個月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)；（Ⅱ）從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人，求該學生上個月支付金額大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元．結(jié)合（Ⅱ）的結(jié)果，能否認為樣本僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．答案：（Ⅰ）400人；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析.分析：(Ⅰ)由題意利用頻率近似概率可得滿足題意的人數(shù)；(Ⅱ)利用古典概型計算公式可得上個月支付金額大于2000元的概率；(Ⅲ)結(jié)合概率統(tǒng)計相關(guān)定義給出結(jié)論即可.【詳解】（Ⅰ）由圖表可知僅使用A的人數(shù)有30人，僅使用B的人數(shù)有25人，由題意知A,B兩種支付方式都不使用的有5人，所以樣本中兩種支付方式都使用的有，所以全校學生中兩種支付方式都使用的有（人）.（Ⅱ）因為樣本中僅使用B的學生共有25人，只有1人支付金額大于2000元，所以該學生上個月支付金額大于2000元的概率為.（Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金額大于2000元的概率為，因為從僅使用B的學生中隨機調(diào)查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元，依據(jù)小概率事件它在一次試驗中是幾乎不可能發(fā)生的，所以可以認為僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化，且比上個月多.19．（2023·北京·高考真題（理））改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：交付金額（元）支付方式（0,1000]（1000,2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（Ⅰ）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率；（Ⅱ）從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；（Ⅲ）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)見解析；(Ⅲ)見解析.分析：(Ⅰ)由題意利用古典概型計算公式可得滿足題意的概率值；(Ⅱ)首先確定X可能的取值，然后求得相應(yīng)的概率值可得分布列，最后求解數(shù)學期望即可.(Ⅲ)由題意結(jié)合概率的定義給出結(jié)論即可.【詳解】(Ⅰ)由題意可知，兩種支付方式都是用的人數(shù)為：人，則：該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率.(Ⅱ)由題意可知，僅使用A支付方法的學生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占，僅使用B支付方法的學生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占，且X可能的取值為0,1,2.，，，X的分布列為：X012其數(shù)學期望：.(Ⅲ)我們不認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化.理由如下：隨機事件在一次隨機實驗中是否發(fā)生是隨機的，是不能預(yù)知的，隨著試驗次數(shù)的增多，頻率越來越穩(wěn)定于概率．學校是一個相對消費穩(wěn)定的地方，每個學生根據(jù)自己的實際情況每個月的消費應(yīng)該相對固定，出現(xiàn)題中這種現(xiàn)象可能是發(fā)生了“小概率事件”.20．(2023·山東·汶上縣第一中學高三開學考試）為了響應(yīng)2022年全國文明城市建設(shè)的號召，某市文明辦對市民進行了一次文明創(chuàng)建知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機會.該市文明辦隨機抽取了人的得分（滿分：分），統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：組別頻數(shù)(1)若此次調(diào)查問卷的得分服從正態(tài)分布，近似等于樣本的平均成績（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替），求；(2)該市文明辦為鼓勵市民積極參與調(diào)查問卷，