2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練專題17導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點、方程的根導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點、方程的根導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點、方程的根判斷函數(shù)零點個數(shù)有關(guān)函數(shù)零點個數(shù)的證明已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍已知方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍判斷方程根的個數(shù)已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍已知方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍判斷方程根的個數(shù)練高考明方向1.（多選題）(2023·新高考Ⅰ卷T10）已知函數(shù)，則（）A.有兩個極值點 B.有三個零點C.點是曲線的對稱中心 D.直線是曲線的切線2.(2023·全國乙（文）T20）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的最大值；（2）若恰有一個零點，求a的取值范圍．3.(2023·全國乙（理）T21）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．4．(2023年高考全國乙卷理科)設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．(1)求a；(2)設(shè)函數(shù)．證明:．5、【2019年高考浙江】已知，函數(shù)．若函數(shù)恰有3個零點，則A．a(chǎn)<–1，b<0 B．a(chǎn)<–1，b>0 C．a(chǎn)>–1，b<0 D．a(chǎn)>–1，b>06．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：(1)在區(qū)間存在唯一極大值點；(2)有且僅有2個零點．7．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：(1)在區(qū)間存在唯一極大值點；(2)有且僅有2個零點．8．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)已知函數(shù)．(1)若，證明：當(dāng)時，；(2)若在只有一個零點，求．9．(2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)(本小題滿分12分)已知函數(shù)(Ⅰ)當(dāng)為何值時，軸為曲線的切線；(Ⅱ)用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點的個數(shù)．10．(2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性;(2)若有兩個零點,求的取值范圍．11．(2023高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)已知函數(shù)=,若存在唯一的零點,且>0,則的取值范圍為 ()A．(2,+∞) B．(-∞,-2) C．(1,+∞) D．(-∞,-1)講典例備高考類型一、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點的個數(shù)基本題型：1．已知函數(shù)，（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)，討論的零點個數(shù)；2、已知函數(shù)f(x)＝ex－x－a(a∈R)．(1)當(dāng)a＝0時，求證：f(x)>x；(2)討論函數(shù)f(x)在R上的零點個數(shù)．基本方法：1、兩類零點問題的不同處理方法：利用零點存在性定理的條件為函數(shù)圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0.(1)直接法：判斷一個零點時，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則只需取值證明f(a)·f(b)<0；(2)分類討論法：判斷幾個零點時，需先結(jié)合單調(diào)性，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，再利用零點存在性定理，在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明f(a)·f(b)<0.2、討論零點個數(shù)，常用以下基本步驟：①利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的增減區(qū)間；②求出函數(shù)極值點；③判斷（討論）函數(shù)極值與零點個數(shù)關(guān)系.類型二、利用導(dǎo)數(shù)判斷方程根的個數(shù)基本題型：1、已知函數(shù)f(x)＝ex－1，g(x)＝eq\r(x)＋x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，e＝2.71828…。(1)證明：函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間(1,2)上有零點。(2)求方程f(x)＝g(x)的根的個數(shù)，并說明理由。2、設(shè)a，b∈R，已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)－alnx－bx的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且f′(－1)＝a－3。(1)當(dāng)a＝－3時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。(2)當(dāng)方程f(x)＋2x＝0有唯一實數(shù)根時，求實數(shù)a的取值范圍。類型三、已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍基礎(chǔ)知識：與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，并結(jié)合特殊點，從而判斷函數(shù)的大致圖象，討論其圖象與x軸的位置關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對方程等價變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題．具體思路為：(1)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值．對一般函數(shù)，可以直接求導(dǎo)并討論函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值；對較為復(fù)雜的函數(shù)，可以先構(gòu)造幾個函數(shù)，并分別借助導(dǎo)數(shù)討論這幾個函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值．(2)討論零點的相關(guān)問題．由(1)可以建立函數(shù)之間的相互關(guān)系，進(jìn)而確定函數(shù)的零點或方程的根的情況；也可以根據(jù)函數(shù)的零點或方程的根的情況建立關(guān)于相關(guān)參數(shù)的不等式(組)或方程(組)．基本題型：1、已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使得函數(shù)有6個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________.2.已知關(guān)于的函數(shù)．（）當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程．（）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（）若函數(shù)沒有零點，求實數(shù)的取值范圍．3．已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求的單調(diào)性和極值；（Ⅱ）若函數(shù)至少有1個零點，求的取值范圍．4．設(shè)函數(shù)，其中．（Ⅰ）已知函數(shù)為偶函數(shù)，求的值；（Ⅱ）若，證明：當(dāng)時，；（Ⅲ）若在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的零點，求的取值范圍．5．已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax－3，g(x)＝eq\f(klnx,x)，當(dāng)a＝2時，f(x)與g(x)的圖象在x＝1處的切線相同．(1)求k的值；(2)令F(x)＝f(x)－g(x)，若F(x)存在零點，求實數(shù)a的取值范圍．基本方法：1、已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.類型四、已知方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍基本題型：1．若關(guān)于x的方程|x2﹣4x|﹣kx﹣k＝0有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍為（）A．（0，6﹣2） B．（﹣∞，6﹣2）C．（0，6+2） D．（6﹣2，6+2）2．已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,2)ln2x－lnx＋1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若m>0，方程mf′(x)－x＋eq\f(m,x)＝0有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．類型五、有關(guān)函數(shù)零點個數(shù)的證明基本題型：1、已知函數(shù),為的導(dǎo)函數(shù).(1)求證:在上存在唯一零點;(2)求證:有且僅有兩個不同的零點.2．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）是否存在正數(shù)的值使得對任意恒成立？證明你的結(jié)論.（3）求證：在上有且僅有兩個零點.基本方法：新預(yù)測破高考1．已知函數(shù)（），若方程恰有3個不同的根，則的取值范圍是()A． B． C． D．2．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有兩個不同實數(shù)根，，則的最大值為（）A．2 B． C． D．3．已知函數(shù)，若函數(shù)有且僅有2個零點，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．14、（多選題）設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，.己知存在，且為函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))的一個零點，則實數(shù)的取值可能是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)恰有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍為______6．已知函數(shù)，若函數(shù)有四個零點，則實數(shù)的取值范圍是______.7．已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時，；（2）若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍.8.已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,2)ln2x－lnx＋1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若m>0，方程mf′(x)－x＋eq\f(m,x)＝0有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．9、已知函數(shù)f(x)＝2lnx－x2＋ax(a∈R)．(1)當(dāng)a＝2時，求f(x)的圖象在x＝1處的切線方程；(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－ax＋m在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．10.已知函數(shù).（1）若，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，在區(qū)間上有且只有兩個零點.11．函數(shù)f(x)＝ax＋xlnx在x＝1處取得極值．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若y＝f(x)－m－1在定義域內(nèi)有兩個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍．12、設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且.（1）求實數(shù)a、b的值；（2）若函數(shù)恰有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍.13．已知函數(shù)f(x)＝ex－ax(a∈R)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a＝2時，求函數(shù)g(x)＝f(x)－cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，＋∞))上的零點個數(shù)．14．已知函數(shù)，是實數(shù).（1）當(dāng)時，求證：在定義域內(nèi)是增函數(shù)；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).15、已知函數(shù)f(x)＝2a2lnx－x2(a>0)。(1)當(dāng)a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程。(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。(3)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，e2)上零點的個數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù))。2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練專題17導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點、方程的根導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點、方程的根導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點、方程的根判斷函數(shù)零點個數(shù)有關(guān)函數(shù)零點個數(shù)的證明已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍已知方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍判斷方程根的個數(shù)已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍已知方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍判斷方程根的個數(shù)練高考明方向1.（多選題）(2023·新高考Ⅰ卷T10）已知函數(shù)，則（）A.有兩個極值點 B.有三個零點C.點是曲線的對稱中心 D.直線是曲線的切線答案：AC【解析】分析：利用極值點的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以是極值點，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個零點，當(dāng)時，，即函數(shù)在上無零點，綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；令，該函數(shù)的定義域為，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點為時，切線方程為，當(dāng)切點為時，切線方程為，故D錯誤.2.(2023·全國乙（文）T20）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的最大值；（2）若恰有一個零點，求a的取值范圍．答案：（1）（2）【解析】分析：（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以；【小問2詳解】，則，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，當(dāng)x趨近正無窮大時，趨近于正無窮大，所以僅在有唯一零點，符合題意；當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時，又，當(dāng)n趨近正無窮大時，趨近負(fù)無窮，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點睛】解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.3.(2023·全國乙（理）T21）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．答案：（1）（2）【解析】分析：（1）先算出切點,再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對分類討論,對分兩部分研究【小問1詳解】的定義域為，當(dāng)時,,所以切點為,所以切線斜率為2，所以曲線在點處的切線方程為【小問2詳解】，，設(shè)若,當(dāng),即，所以在上單調(diào)遞增,，故在上沒有零點,不合題意若,當(dāng),則，所以在上單調(diào)遞增所以,即，所以在上單調(diào)遞增,，故在上沒有零點,不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增，，所以存在,使得,即，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以當(dāng)，當(dāng)，所以在上有唯一零點，又沒有零點,即在上有唯一零點(2)當(dāng)，設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，，所以存在,使得，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，又，所以存在,使得,即，當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，有，而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點,上無零點，即在上有唯一零點，所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個零點,求的取值范圍為【點睛】本題的關(guān)鍵是對的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.4．(2023年高考全國乙卷理科)設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．(1)求a；(2)設(shè)函數(shù)．證明:．答案：；證明見詳解解析：（1）由，，又是函數(shù)的極值點，所以，解得；（2）由（1）得，，且，當(dāng)時，要證，，，即證，化簡得；同理，當(dāng)時，要證，，，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當(dāng)時，，單減，假設(shè)能取到，則，故；當(dāng)時，，單增，假設(shè)能取到，則，故；綜上所述，在恒成立【點睛】本題為難題，根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0可求參數(shù)，第二問解法并不唯一，分類討論對函數(shù)進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化的過程，一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價性問題，構(gòu)造函數(shù)和換元法也常常用于解決復(fù)雜函數(shù)的最值與恒成立問題．5、【2019年高考浙江】已知，函數(shù)．若函數(shù)恰有3個零點，則A．a(chǎn)<–1，b<0 B．a(chǎn)<–1，b>0 C．a(chǎn)>–1，b<0 D．a(chǎn)>–1，b>0答案：C【解析】當(dāng)x＜0時，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=b1?a，則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個零點；當(dāng)x≥0時，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3?12（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=13x3?12當(dāng)a+1≤0，即a≤﹣1時，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上單調(diào)遞增，則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個零點，不合題意；當(dāng)a+1＞0，即a>﹣1時，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此時函數(shù)單調(diào)遞增，令y′＜0得x∈[0，a+1），此時函數(shù)單調(diào)遞減，則函數(shù)最多有2個零點.根據(jù)題意，函數(shù)y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3個零點?函數(shù)y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一個零點，在[0，+∞）上有2個零點，如圖：∴b1?a＜0且，解得b＜0，1﹣a＞0，b＞?16（則a>–1，b<0.6．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：(1)在區(qū)間存在唯一極大值點；(2)有且僅有2個零點．【解析】（1）設(shè)，則，．當(dāng)時，單調(diào)遞減，而，可得在有唯一零點，設(shè)為．則當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在存在唯一極大值點，即在存在唯一極大值點．（2）的定義域為．（i）當(dāng)時，由（1）知，在單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時，，故在單調(diào)遞減，又，從而是在的唯一零點．（ii）當(dāng)時，由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，，所以存在，使得，且當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．又，，所以當(dāng)時，．從而在沒有零點．（iii）當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減．而，，所以在有唯一零點．（iv）當(dāng)時，，所以<0，從而在沒有零點．綜上，有且僅有2個零點．7．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：(1)在區(qū)間存在唯一極大值點；(2)有且僅有2個零點．【解析】（1）設(shè)，則，．當(dāng)時，單調(diào)遞減，而，可得在有唯一零點，設(shè)為．則當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在存在唯一極大值點，即在存在唯一極大值點．（2）的定義域為．（i）當(dāng)時，由（1）知，在單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時，，故在單調(diào)遞減，又，從而是在的唯一零點．（ii）當(dāng)時，由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，，所以存在，使得，且當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．又，，所以當(dāng)時，．從而在沒有零點．（iii）當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減．而，，所以在有唯一零點．（iv）當(dāng)時，，所以<0，從而在沒有零點．綜上，有且僅有2個零點．8．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)已知函數(shù)．(1)若，證明：當(dāng)時，；(2)若在只有一個零點，求．【解析】（1）當(dāng)時，等價于．設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減．而，故當(dāng)時，，即．（2）設(shè)函數(shù)．在只有一個零點當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個零點．（i）當(dāng)時，，沒有零點．（ii）當(dāng)時，．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒有零點；②若，即，在只有一個零點；③若，即，由于，所以在有一個零點．由（1）知，當(dāng)時，，所以．故在有一個零點．因此在有兩個零點．綜上，在只有一個零點時，．9．(2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)(本小題滿分12分)已知函數(shù)(Ⅰ)當(dāng)為何值時，軸為曲線的切線；(Ⅱ)用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點的個數(shù)．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)或時，由一個零點；當(dāng)或時，有兩個零點；當(dāng)時，有三個零點．分析：（Ⅰ）先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點的方程組，解出切點坐標(biāo)與對應(yīng)的值；（Ⅱ）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)將分為研究的零點個數(shù)，若零點不容易求解，則對再分類討論．解析：（Ⅰ）設(shè)曲線與軸相切于點，則，，即，解得．因此，當(dāng)時，軸是曲線的切線．（Ⅱ）當(dāng)時，，從而，∴在（1，+∞）無零點．當(dāng)=1時，若，則，,故=1是的零點；若，則，,故=1不是的零點．當(dāng)時，，所以只需考慮在（0,1）的零點個數(shù)．（ⅰ）若或，則在（0,1）無零點，故在（0,1）單調(diào)，而，，所以當(dāng)時，在（0，1）有一個零點；當(dāng)0時，在（0，1）無零點．（ⅱ）若，則在（0，）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，故當(dāng)=時，取的最小值，最小值為=．①若＞0，即＜＜0，在（0,1）無零點．②若=0，即，則在（0,1）有唯一零點；③若＜0，即，由于，，所以當(dāng)時，在（0,1）有兩個零點；當(dāng)時，在（0,1）有一個零點．…10分綜上，當(dāng)或時，由一個零點；當(dāng)或時，有兩個零點；當(dāng)時，有三個零點．考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線；對新概念的理解；分段函數(shù)的零點；分類整合思想10．(2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性;(2)若有兩個零點,求的取值范圍．答案：(1)詳見解析;(2)．分析：(1)討論的單調(diào)性,首先進(jìn)行求導(dǎo),發(fā)現(xiàn)式子特點后要及時進(jìn)行因式分解,再對按、進(jìn)行討論,寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)根據(jù)第(1)問,若,至多有一個零點,若,當(dāng)時,取得最小值,求出最小值,根據(jù),進(jìn)行討論,可知當(dāng)有個零點,設(shè)正整數(shù)滿足,則,由于,因此在有一個零點,所以的取值范圍為．【解析】(1)的定義域為,(ⅰ)若,則,所以在單調(diào)遞減．(ⅱ)若,則由得．當(dāng)時,;當(dāng)時,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增．(2)(ⅰ)若,由(1)知,至多有一個零點．(ⅱ)若,由(1)知,當(dāng)時,取得最小值,最小值為．①當(dāng)時,由于,故只有一個零點;②當(dāng)時,由于,即,故沒有零點;③當(dāng)時,,即．又,故在有一個零點．設(shè)正整數(shù)滿足,則．由于,因此在有一個零點．綜上,的取值范圍為．【民間解析】:(1)函數(shù)的定義域為,且注意到當(dāng)時,,所以恒成立，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減當(dāng),由,由所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增綜上可知①時,在上單調(diào)遞減;②時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增(2)由(1)可知,時,在上單調(diào)遞減，此時至多一個零點,不符合題意當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增此時函數(shù)的最小值為要使有兩個零點,首先必須有即令,則有,故在上單調(diào)遞增,而所以另一方面取，而,在單調(diào)遞增所以函數(shù)在上有唯一一個零點,在沒有零點此時當(dāng)時,所以,而在上單調(diào)遞減所以函數(shù)在上沒有零點,在上有唯一零點綜上可知當(dāng)時,函數(shù)有兩個零點．【點評】研究函數(shù)零點問題常常與研究對應(yīng)方程的實根問題相互轉(zhuǎn)化．已知函數(shù)有個零點求參數(shù)的取值范圍,第一種方法是分離參數(shù),構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù),研究其單調(diào)性、極值、最值,判斷與其交點的個數(shù),從而求出的范圍;第二種方法是直接對含參函數(shù)進(jìn)行研究,研究其單調(diào)性、極值、最值,注意點是:若有個零點,且函數(shù)先減后增,則只需其最小值小于,且后面還需驗證有最小值的兩邊存在大于的點．11．(2023高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)已知函數(shù)=,若存在唯一的零點,且>0,則的取值范圍為 ()A．(2,+∞) B．(-∞,-2) C．(1,+∞) D．(-∞,-1)答案：B【解析】法一:由已知,,令,得或,當(dāng)時,;且,有小于零的零點,不符合題意．當(dāng)時,要使有唯一的零點且>0,只需,即,．選B法二:由已知,=有唯一的正零點,等價于有唯一的正零根,令,則問題又等價于有唯一的正零根,即與有唯一的交點且交點在在y軸右側(cè)記,,由,,,,要使有唯一的正零根,只需,選B講典例備高考類型一、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點的個數(shù)基本題型：1．已知函數(shù)，（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)，討論的零點個數(shù)；答案：（1）單調(diào)遞減區(qū)間為：，；單調(diào)遞增區(qū)間為：，；（2）當(dāng)時，在上有2個零點，當(dāng)時，在上無零點.【解析】（1）∵∴為偶函數(shù)，只需先研究，，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，所以根據(jù)偶函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）①時，在恒成立，∴在單調(diào)遞增又，所以在上無零點②時，，使得，即.又在單調(diào)遞減，所以，，，，所以，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，又，（i），即時，在上無零點，又為偶函數(shù)，所以在上無零點（ii），即，在上有1個零點，又為偶函數(shù)，所以在上有2個零點綜上所述，當(dāng)時，在上有2個零點，當(dāng)時，在上無零點.2、已知函數(shù)f(x)＝ex－x－a(a∈R)．(1)當(dāng)a＝0時，求證：f(x)>x；(2)討論函數(shù)f(x)在R上的零點個數(shù)．【解析】(1)證明：當(dāng)a＝0時，f(x)＝ex－x，令g(x)＝f(x)－x＝ex－x－x＝ex－2x，則g′(x)＝ex－2.令g′(x)＝0，得x＝ln2.當(dāng)x<ln2時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>ln2時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增．所以x＝ln2是g(x)的極小值點，也是最小值點，即g(x)min＝g(ln2)＝eln2－2ln2＝2lneq\f(e,2)>0，故當(dāng)a＝0時，f(x)>x成立．，由得，所以當(dāng)時，，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，f(x)單調(diào)遞增；所以當(dāng)是函數(shù)f(x)的極小值點，也是最小值點，即。當(dāng)1－a>0，即a<1時，f(x)在R上沒有零點．當(dāng)1－a＝0，即a＝1時，f(x)在R上只有一個零點．當(dāng)1－a<0，即a>1時，因為f(－a)＝e－a－(－a)－a＝e－a>0，所以函數(shù)f(x)在內(nèi)只有一個零點，由（1）得，令，得，所以f(a)＝ea－a－a＝ea－2a>0，于是f(x)在內(nèi)只有一個零點，因此，當(dāng)a>1時，f(x)在R上有兩個零點．綜上，當(dāng)a<1時，函數(shù)f(x)在R上沒有零點；當(dāng)a＝1時，函數(shù)f(x)在R上有一個零點；當(dāng)a>1時，函數(shù)f(x)在R上有兩個零點．基本方法：1、兩類零點問題的不同處理方法：利用零點存在性定理的條件為函數(shù)圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0.(1)直接法：判斷一個零點時，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則只需取值證明f(a)·f(b)<0；(2)分類討論法：判斷幾個零點時，需先結(jié)合單調(diào)性，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，再利用零點存在性定理，在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明f(a)·f(b)<0.2、討論零點個數(shù)，常用以下基本步驟：①利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的增減區(qū)間；②求出函數(shù)極值點；③判斷（討論）函數(shù)極值與零點個數(shù)關(guān)系.類型二、利用導(dǎo)數(shù)判斷方程根的個數(shù)基本題型：1、已知函數(shù)f(x)＝ex－1，g(x)＝eq\r(x)＋x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，e＝2.71828…。(1)證明：函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間(1,2)上有零點。(2)求方程f(x)＝g(x)的根的個數(shù)，并說明理由?！窘馕觥?1)證明：由h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－eq\r(x)－x得，h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－3－eq\r(2)>0，且h(x)在區(qū)間(1,2)上是連續(xù)的，所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(1,2)上有零點。(2)由(1)得h(x)＝ex－1－eq\r(x)－x。由g(x)＝eq\r(x)＋x知，x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，則x＝0為h(x)的一個零點，而h(x)在(1,2)內(nèi)有零點，因此h(x)在[0，＋∞)上至少有兩個零點。因為h′(x)＝ex－eq\f(1,2)x－eq\s\up5(\f(1,2))－1，記φ(x)＝ex－eq\f(1,2)x－eq\s\up5(\f(1,2))－1，則φ′(x)＝ex＋eq\f(1,4)x－eq\s\up5(\f(3,2))。當(dāng)x∈(0，＋∞)時，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則φ(x)在(0，＋∞)上至多只有一個零點，即h(x)在[0，＋∞)上至多有兩個零點。所以方程f(x)＝g(x)的根的個數(shù)為2。2、設(shè)a，b∈R，已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)－alnx－bx的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且f′(－1)＝a－3。(1)當(dāng)a＝－3時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。(2)當(dāng)方程f(x)＋2x＝0有唯一實數(shù)根時，求實數(shù)a的取值范圍?！窘馕觥坑蓷l件得，函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－eq\f(1,x2)－eq\f(a,x)－b。由f′(－1)＝a－3，得－1＋a－b＝a－3，則b＝2，所以f(x)＝eq\f(1,x)－alnx－2x。(1)當(dāng)a＝－3時，f′(x)＝－eq\f(1,x2)＋eq\f(3,x)－2＝－eq\f(2x2－3x＋1,x2)＝－eq\f(2x－1x－1,x2)，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,2)或x＝1，因為在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))和(1，＋∞)內(nèi)，f′(x)<0，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))和(1，＋∞)。(2)方程f(x)＋2x＝0有唯一實數(shù)根等價于alnx＝eq\f(1,x)有唯一的實數(shù)根。顯然a≠0，則可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程xlnx＝eq\f(1,a)有唯一的實數(shù)根。構(gòu)造函數(shù)φ(x)＝xlnx，則φ′(x)＝1＋lnx。令φ′(x)＝1＋lnx＝0，得x＝e－1。當(dāng)0<x<e－1時，φ′(x)<0，φ(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>e－1時，φ′(x)>0，φ(x)單調(diào)遞增，所以φ(x)的極小值為φ(e－1)＝－e－1。則要使方程xlnx＝eq\f(1,a)有唯一實根，只需直線y＝eq\f(1,a)與曲線y＝φ(x)有唯一的交點，則eq\f(1,a)＝－e－1或eq\f(1,a)>0，解得a＝－e或a>0，故實數(shù)a的取值范圍是{－e}∪(0，＋∞)。類型三、已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍基礎(chǔ)知識：與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，并結(jié)合特殊點，從而判斷函數(shù)的大致圖象，討論其圖象與x軸的位置關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對方程等價變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題．具體思路為：(1)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值．對一般函數(shù)，可以直接求導(dǎo)并討論函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值；對較為復(fù)雜的函數(shù)，可以先構(gòu)造幾個函數(shù)，并分別借助導(dǎo)數(shù)討論這幾個函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值．(2)討論零點的相關(guān)問題．由(1)可以建立函數(shù)之間的相互關(guān)系，進(jìn)而確定函數(shù)的零點或方程的根的情況；也可以根據(jù)函數(shù)的零點或方程的根的情況建立關(guān)于相關(guān)參數(shù)的不等式(組)或方程(組)．基本題型：1、已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使得函數(shù)有6個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________.答案：【解析】由題得函數(shù)的圖象和直線有六個交點.顯然有.,（），所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且.由題得，三點的高度應(yīng)滿足或,所以或，因為所以或，綜合得.2.已知關(guān)于的函數(shù)．（）當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程．（）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（）若函數(shù)沒有零點，求實數(shù)的取值范圍．分析：（1）時，求的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，點斜式寫出在處的切線方程；∵，分類討論當(dāng)時，當(dāng)時的單調(diào)性；（3）求的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判定的單調(diào)性與極值，從而確定使沒有零點時的取值．【解析】（）當(dāng)時，，，，∴，即在處的切線方程為．（）∵，，當(dāng)時，在上恒成立，∴在單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，解得，令，解得，∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（）∵沒有零點，即無解，∴與兩圖象無交點，設(shè)兩圖象相切于點，∴，∴，．∵兩圖象無交點，∴.3．已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求的單調(diào)性和極值；（Ⅱ）若函數(shù)至少有1個零點，求的取值范圍．答案：（Ⅰ）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極小值為-2，無極大值（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，，∴，當(dāng)時，，，∴∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在處取得極小值，極小值為，無極大值（Ⅱ）∵，由得令，則由得．令，當(dāng)時，，∴在單調(diào)遞增，∵，，∴存在，使得且當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即∵，，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在處取得最小值，∵，∴，即，∴，即，∴當(dāng)時，函數(shù)無零點，當(dāng)時，∵，∴函數(shù)至少有1個零點，故的取值范圍是.4．設(shè)函數(shù)，其中．（Ⅰ）已知函數(shù)為偶函數(shù)，求的值；（Ⅱ）若，證明：當(dāng)時，；（Ⅲ）若在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的零點，求的取值范圍．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，整理得對任意的恒成立，；（Ⅱ）當(dāng)時，，則，，則，，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，；（Ⅲ）由，得，設(shè)函數(shù)，，則，令，得．隨著變化，與的變化情況如下表所示：極大值所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又因為，，，且，如下圖所示：所以，當(dāng)時，方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同解，因此，所求實數(shù)的取值范圍為．5．已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax－3，g(x)＝eq\f(klnx,x)，當(dāng)a＝2時，f(x)與g(x)的圖象在x＝1處的切線相同．(1)求k的值；(2)令F(x)＝f(x)－g(x)，若F(x)存在零點，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)當(dāng)a＝2時，f(x)＝x2＋2x－3，f′(x)＝2x＋2，則f′(1)＝4.g′(x)＝eq\f(k1－lnx,x2)，g′(1)＝k，由題意可知k＝4.(2)若F(x)存在零點，則F(x)＝x2＋ax－3－eq\f(4lnx,x)＝0，即a＝eq\f(4lnx－x3＋3x,x2)有實數(shù)根，令h(x)＝eq\f(4lnx－x3＋3x,x2)＝eq\f(4lnx,x2)－x＋eq\f(3,x)，則h′(x)＝eq\f(4x－8xlnx,x4)－1－eq\f(3,x2)＝eq\f(4－8lnx－x3－3x,x3)，令φ(x)＝4－8lnx－x3－3x，則φ′(x)＝－eq\f(8,x)－3x2－3<0恒成立，所以φ(x)單調(diào)遞減，又φ(1)＝0，所以當(dāng)x>1時，φ(x)<0，當(dāng)x∈(0,1)時，φ(x)>0，所以當(dāng)x>1時，h′(x)<0，當(dāng)x∈(0,1)時，h′(x)>0，故h(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù)，在(0,1)上為增函數(shù)，即h(x)max＝h(1)＝2，易知當(dāng)x→＋∞時，h(x)→－∞，當(dāng)x→0時，h(x)→－∞，所以a≤2，即實數(shù)a的取值范圍為(－∞，2]．基本方法：1、已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.類型四、已知方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍基本題型：1．若關(guān)于x的方程|x2﹣4x|﹣kx﹣k＝0有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍為（）A．（0，6﹣2） B．（﹣∞，6﹣2）C．（0，6+2） D．（6﹣2，6+2）答案：A分析：將方程根有四個根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象有四個交點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合即可求得結(jié)果.【詳解】關(guān)于x的方程|x2﹣4x|﹣kx﹣k＝0有四個不同的實數(shù)根，即方程有四個不同的實數(shù)根，不妨設(shè)，則只需有四個交點即可，又表示斜率為，且過點的直線.畫出的圖象如下所示：數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線與在時相切為臨界情況.設(shè)切點為，顯然又相切時，，故可得，解得，則相切時斜率.故要滿足題意，只需.2．已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,2)ln2x－lnx＋1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若m>0，方程mf′(x)－x＋eq\f(m,x)＝0有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)依題意函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1＋eq\f(lnx,x)－eq\f(1,x)＝eq\f(x＋lnx－1,x)，令g(x)＝x＋lnx－1，則g′(x)＝1＋eq\f(1,x)>0，故g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈(0,1)時，g(x)<0，即f′(x)<0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g(x)>0，即f′(x)>0，故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增.(2)方程mf′(x)－x＋eq\f(m,x)＝0化簡可得m(x＋lnx)＝x2，所以方程mf′(x)－x＋eq\f(m,x)＝0有兩解等價于方程eq\f(x＋lnx,x2)＝eq\f(1,m)有兩解，設(shè)F(x)＝eq\f(x＋lnx,x2)，則F′(x)＝eq\f(1－x－2lnx,x3)，令h(x)＝1－x－2lnx，由于h′(x)＝－1－eq\f(2,x)<0，所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又h(1)＝0，所以當(dāng)x∈(0,1)時，h(x)>0,即F′(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，h(x)<0，即F′(x)<0.故F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．所以F(x)在x＝1時取得最大值F(1)＝1>0，又Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝e－e2<0，所以存在x1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，使得F(x1)＝0，故當(dāng)x∈(0，x1)時，F(xiàn)(x)<0；當(dāng)x∈(x1,1)時，F(xiàn)(x)>0.易知x∈(1，＋∞)時，F(xiàn)(x)＝eq\f(x＋lnx,x2)>0，從而F(x)∈(0,1)．所以方程eq\f(x＋lnx,x2)＝eq\f(1,m)有兩解只須滿足0<eq\f(1,m)<1，解得m>1.故實數(shù)m的取值范圍是(1，＋∞)．類型五、有關(guān)函數(shù)零點個數(shù)的證明基本題型：1、已知函數(shù),為的導(dǎo)函數(shù).(1)求證:在上存在唯一零點;(2)求證:有且僅有兩個不同的零點.答案：(1)證明見解析;(2)證明見解析.分析：(1)設(shè)，然后判斷函數(shù)在上的符號，得出的單調(diào)性，再利用零點存在定理判斷在上是否存在唯一零點即可；(2)分，，和三種情況分別考慮的零點存在情況，從而得證．【詳解】(1)設(shè)，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，又因為，所以在上有唯一的零點。(2)①由(1)知：當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增;當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減;所以在上存在唯一的極大值點，所以又因為，所以在上恰有一個零點．又因為，所以在上也恰有一個零點．②當(dāng)時，，，設(shè)，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時，恒成立，所以在上沒有零點．③當(dāng)時，，設(shè)，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時，恒成立，所以在上沒有零點．綜上，有且僅有兩個零點．2．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）是否存在正數(shù)的值使得對任意恒成立？證明你的結(jié)論.（3）求證：在上有且僅有兩個零點.分析：（1）先求導(dǎo)，分別求出斜率和切點坐標(biāo)，代入直線的點斜式方程即可得解；（2）假設(shè)時，有對任意恒成立，先利用導(dǎo)數(shù)證得，再由三角函數(shù)的有界性可得，兩不等式相加即可證得結(jié)論；（3）對進(jìn)行分類討論，分為，兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)研究每段區(qū)間上的零點即可證得結(jié)論.【詳解】（1）因為，所以，又切點為，所以函數(shù)在處的切線力程為，（2）存在，，證明過程如下：當(dāng)時，即，令（），則，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，又，所以對任意恒成立；（3）當(dāng)時，，所以在上無零點；當(dāng)時，令，所以，由，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，，，所以在上有且僅有兩個零點，所以在上有且僅有兩個零點.基本方法：新預(yù)測破高考1．已知函數(shù)（），若方程恰有3個不同的根，則的取值范圍是()A． B． C． D．答案：B分析：由題意可知，當(dāng)時顯然方程有一個根，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，有2個根，即與的圖象有2個交點，求出特殊位置相切時斜率即可求解.【詳解】當(dāng)時，即為，即，所以方程有1根，又方程恰有3個不同的根，所以當(dāng)時，有2個根，即有2個根，所以與的圖象有2個交點，設(shè)過原點與相切的直線切點為，則切線斜率，解得，所以，所以與有2個交點則需，即，2．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有兩個不同實數(shù)根，，則的最大值為（）A．2 B． C． D．答案：B分析：根據(jù)題意，求出，將轉(zhuǎn)化為一個變量的函數(shù)，從而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求得最大值.【詳解】根據(jù)題意，繪制的圖像如下：由圖可知，故方程有兩個實根，等價于有兩個實根，不妨令，則，要使得原方程有兩個實數(shù)根，只需有兩個實數(shù)根，解得，故,，令，解得，故當(dāng)，時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，故.3．已知函數(shù)，若函數(shù)有且僅有2個零點，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．1答案：A分析：先畫出函數(shù)的大致圖像，由題意，得到函數(shù)與直線的圖像有且僅有兩個交點，結(jié)合圖像，得到直線與相切，與曲線相交，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果.【詳解】畫出函數(shù)的大致圖像如下，因為函數(shù)有且僅有2個零點，所以方程有兩不等實根，即函數(shù)與直線的圖像有且僅有兩個交點，由圖像可得，只需直線與相切，與曲線相交，設(shè)直線與相切于點，因為，所以，因此曲線在點處的切線方程為：，即，因為即為該切線方程，所以，解得.4、（多選題）設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，.己知存在，且為函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))的一個零點，則實數(shù)的取值可能是（）A． B． C． D．答案：BCD【解析】令函數(shù)，因為，，為奇函數(shù)，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減．存在，得，，即，；，為函數(shù)的一個零點；當(dāng)時，，函數(shù)在時單調(diào)遞減，由選項知，取，又，要使在時有一個零點，只需使，解得，的取值范圍為．5．已知函數(shù)恰有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍為______答案：分析：函數(shù)有三個零點，可轉(zhuǎn)化為與直線有三個交點，對分類討論，當(dāng)時不滿足條件，當(dāng)時求出過原點與函數(shù)在上的切線，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】如圖，函數(shù)恰有三個零點，等價于方程，有三個解，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個交點，又有為過原點的直線，由圖可知，當(dāng)時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒有有三個交點，不滿足條件.當(dāng)時,當(dāng)且僅當(dāng)為的切線的時候，方程恰有兩個解，故而，令為的切線，設(shè)切點為，則切線的方程為，由于切線過原點，所以，即，此時直線的斜率為，由題意知，即.6．已知函數(shù)，若函數(shù)有四個零點，則實數(shù)的取值范圍是______.答案：分析：根據(jù)題意，得到和有四個交點，結(jié)合函數(shù)圖象，分別討論，兩種情況，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的方法，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解即可.【詳解】若函數(shù)有四個零點，需和有四個交點，作出函數(shù)和的圖象如下圖所示，當(dāng)時，由圖象可得，顯然不滿足題意；當(dāng)時，因為直線恒過點，設(shè)與相切于點，則，，由，得，所以，解得，，即當(dāng)時，函數(shù)和有兩個交點.當(dāng)時，若與有兩個交點，需方程有兩個不相等的實根，即方程有兩個不相等的實根，所以只需，解得或，所以；綜上時，函數(shù)有四個零點.7．已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時，；（2）若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍.答案：（1）見解析；（2）【解析】（1）令，則，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.（2）由已知，，依題意，有3個零點，即有3個根，顯然0不是其根，所以有3個根，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，作出的圖象，易得.故實數(shù)的取值范圍為.8.已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,2)ln2x－lnx＋1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若m>0，方程mf′(x)－x＋eq\f(m,x)＝0有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)依題意函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1＋eq\f(lnx,x)－eq\f(1,x)＝eq\f(x＋lnx－1,x)，令g(x)＝x＋lnx－1，則g′(x)＝1＋eq\f(1,x)>0，故g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又g(1)＝0，所以當(dāng)x∈(0,1)時，g(x)<0，即f′(x)<0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g(x)>0，即f′(x)>0，故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增.(2)方程mf′(x)－x＋eq\f(m,x)＝0化簡可得m(x＋lnx)＝x2，所以方程mf′(x)－x＋eq\f(m,x)＝0有兩解等價于方程eq\f(x＋lnx,x2)＝eq\f(1,m)有兩解，設(shè)F(x)＝eq\f(x＋lnx,x2)，則F′(x)＝eq\f(1－x－2lnx,x3)，令h(x)＝1－x－2lnx，由于h′(x)＝－1－eq\f(2,x)<0，所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又h(1)＝0，所以當(dāng)x∈(0,1)時，h(x)>0,即F′(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，h(x)<0，即F′(x)<0.故F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．所以F(x)在x＝1時取得最大值F(1)＝1>0，又Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝e－e2<0，所以存在x1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，使得F(x1)＝0，故當(dāng)x∈(0，x1)時，F(xiàn)(x)<0；當(dāng)x∈(x1,1)時，F(xiàn)(x)>0.易知x∈(1，＋∞)時，F(xiàn)(x)＝eq\f(x＋lnx,x2)>0，從而F(x)∈(0,1)．所以方程eq\f(x＋lnx,x2)＝eq\f(1,m)有兩解只須滿足0<eq\f(1,m)<1，解得m>1.故實數(shù)m的取值范圍是(1，＋∞)．9、已知函數(shù)f(x)＝2lnx－x2＋ax(a∈R)．(1)當(dāng)a＝2時，求f(x)的圖象在x＝1處的切線方程；(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－ax＋m在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)當(dāng)a＝2時，f(x)＝2lnx－x2＋2x，則f′(x)＝eq\f(2,x)－2x＋2，切點坐標(biāo)為(1,1)，則切線的斜率k＝f′(1)＝2，所以函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處的切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(2)g(x)＝f(x)－ax＋m＝2lnx－x2＋m，則g′(x)＝eq\f(2,x)－2x＝eq\f(－2x＋1x－1,x)，因為x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))，所以由g′(x)＝0，得x＝1.當(dāng)eq\f(1,e)≤x<1時，g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)1<x≤e時，g′(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝1時，函數(shù)g(x)取得極大值g(1)＝m－1，又geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝m－2－eq\f(1,e2)，g(e)＝m＋2－e2，所以g(x)＝f(x)－ax＋m在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有兩個零點需滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1＝m－1>0，,g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝m－2－\f(1,e2)≤0，))解得1<m≤2＋eq\f(1,e2).故實數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，2＋\f(1,e2))).10.已知函數(shù).（1）若，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，在區(qū)間上有且只有兩個零點.解析：（1）若，則，當(dāng)時，，，，，由得在上單調(diào)遞減，又，所以，所以在上單調(diào)遞增.（2）①當(dāng)，時，，，，所以在上單調(diào)遞減，.（?。┤?，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以在上有唯一零點.（ⅱ）若，則，，所以存在，使得，且當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，所以在上有唯一零點.②當(dāng)，時，，，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以在上有唯一零點.③當(dāng)，時，，，，所以，所以在上無零點.綜上，時，在上有且只有兩個零點.11．函數(shù)f(x)＝ax＋xlnx在x＝1處取得極值．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若y＝f(x)－m－1在定義域內(nèi)有兩個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)函數(shù)f(x)＝ax＋xlnx的定義域為(0，＋∞)．f′(x)＝a＋lnx＋1.因為f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1.當(dāng)a＝－1時，f(x)＝－x＋xlnx，則f′(x)＝lnx．令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)．(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)內(nèi)有兩個不同的零點，可轉(zhuǎn)化為y＝f(x)與y＝m＋1的圖象有兩個不同的交點．由(1)知，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(1)＝－1，由題意得，m＋1>－1，即m>－2， ①當(dāng)0<x<e時，f(x)＝x(－1＋lnx)<0；當(dāng)x>e時，f(x)>0.當(dāng)x→0＋時，f(x)→0；當(dāng)x→＋∞時，顯然f(x)→＋∞.由圖象可知，m＋1<0，即m<－1， ②由①②可得－2<m<－1.所以m的取值范圍是(－2，－1)．12、設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且.（1）求實數(shù)a、b的值；（2）若函數(shù)恰有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍.答案：（1），；（2）分析：(1)先求,再借助已知代入即可解出.(2)由（1）得：求得可知函數(shù)在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù),再求出極值,只需極大值為正,極小值為負(fù),即可使恰有三個零點.即可求出實數(shù)m的取值范圍.【詳解】（1）由，得：，則其對稱軸為，因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，，所以則，又由可得，.（2）由（1）得：，所以，當(dāng)時，，時，，時，.故函數(shù)在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以，函數(shù)的極大值為，極小值為.而函數(shù)恰有三個零點，故必有，解得.所以，使函數(shù)恰有三個零點的實數(shù)m的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,考查極值點的應(yīng)用,考查已知函數(shù)的零點求參數(shù)問題,難度一般.13．已知函數(shù)f(x)＝ex－ax(a∈R)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a＝2時，求函數(shù)g(x)＝f(x)－cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，＋∞))上的零點個數(shù)．【解析】(1)f(x)＝ex－ax，其定義域為R，f′(x)＝ex－a.①當(dāng)a≤0時，因為f′(x)>0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增;②當(dāng)a>0時，令f′(x)>0，得x>lna，令f′(x)<0，得x<lna，所以f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)a≤0時，f(x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時，f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)由題意，g(x)＝ex－2x－cosx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，＋∞))，則g′(x)＝ex＋sinx－2.①當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))時，因為g′(x)＝(ex－1)＋(sinx－1)<0，所以g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上單調(diào)遞減，從而g(x)>g(0)＝0，故g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上