2.4.2圓的一般方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解圓的一般方程及其特點(diǎn)2.掌握?qǐng)A的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化3.會(huì)求圓的一般方程以及與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單的軌跡方程問題

前面我們已討論了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,現(xiàn)將其展開可得：x2+y2-2ax-2bx+a2+b2-r2=0.可見,任何一個(gè)圓的方程都可以變形x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.

請(qǐng)大家思考一下,形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲線是不是圓?下面我們來探討這一方面的問題.問題導(dǎo)學(xué)

探究新知

一、圓的一般方程1.二元二次方程要想表示圓,需x2和y2的系數(shù)相同且不為0,沒有xy這樣的二次項(xiàng).2.幾個(gè)常見圓的一般方程(1)過原點(diǎn)的圓的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全為0),(2)圓心在y軸上的圓的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);(3)圓心在x軸上的圓的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);(4)圓心在x軸上且過原點(diǎn)的圓的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);(5)圓心在y軸上且過原點(diǎn)的圓的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).歸納總結(jié)3.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓需要滿足哪些條件?小試牛刀1.圓x2+y2-6x=0的圓心坐標(biāo)是

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答案：(3,0)2.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)為圓心,以4為半徑的圓,則F=

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答案：4答案：(1)A=C,且均不為0;(2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.例1

判斷方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圓.若能表示圓,求出圓心和半徑.典例解析解：(方法1)由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.因此,當(dāng)m=2時(shí),它表示一個(gè)點(diǎn);當(dāng)m≠2時(shí),原方程表示圓,此時(shí),圓的圓心為(2m,-m),(方法2)原方程可化為(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,因此,當(dāng)m=2時(shí),它表示一個(gè)點(diǎn);當(dāng)m≠2時(shí),原方程表示圓,此時(shí),圓的圓心為(2m,-m),(方法2)原方程可化為(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,因此,當(dāng)m=2時(shí),它表示一個(gè)點(diǎn);當(dāng)m≠2時(shí),原方程表示圓,此時(shí),圓的圓心為(2m,-m),

二元二次方程表示圓的判斷方法

任何一個(gè)圓的方程都可化為x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圓.判斷它是否表示圓可以有以下兩種方法:(1)計(jì)算D2+E2-4F,若其值為正,則表示圓;若其值為0,則表示一個(gè)點(diǎn);若其值為負(fù),則不表示任何圖形.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圓,求:(1)實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)圓心坐標(biāo)和半徑.跟蹤訓(xùn)練例2

圓C過點(diǎn)A(1,2),B(3,4),且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為6,求圓C的方程.解：設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圓C過A(1,2),B(3,4),∴D+2E+F=-5,①3D+4E+F=-25.②令y=0,得x2+Dx+F=0.設(shè)圓C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1,x2,則x1+x2=-D,x1x2=F.∵|x1-x2|=6,∴(x1+x2)2-4x1x2=36,即D2-4F=36.③由①②③得D=12,E=-22,F=27,或D=-8,E=-2,F=7.故圓C的方程為x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0.

圓的方程的求法

求圓的方程時(shí),如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問題,一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,再用待定系數(shù)法求出a,b,r;如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系,一般采用圓的一般方程,再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D,E,F.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練2

圓心在直線y=x上,且過點(diǎn)A(-1,1),B(3,-1)的圓的一般方程是

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解得D=E=-4,F=-2,即所求圓的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0.答案：x2+y2-4x-4y-2=0跟蹤訓(xùn)練2

圓心在直線y=x上,且過點(diǎn)A(-1,1),B(3,-1)的圓的一般方程是

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解得D=E=-4,F=-2,即所求圓的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0.答案：x2+y2-4x-4y-2=0例3已知等腰三角形的頂點(diǎn)是A(4,2),底邊一個(gè)端點(diǎn)是B(3,5),求另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程,并說明它的軌跡是什么圖形.解：設(shè)另一端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y).依題意,得|AC|=|AB|.由兩點(diǎn)間距離公式,得又因?yàn)锳,B,C為三角形的三個(gè)頂點(diǎn),所以A,B,C三點(diǎn)不共線,即點(diǎn)B,C不能重合,所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)x≠3,且點(diǎn)B,C不能為一直徑的兩端點(diǎn),所以變式：求本例中線段AC中點(diǎn)M的軌跡方程.解：設(shè)M(x,y),又A(4,2),M為線段AC的中點(diǎn),∴C(2x-4,2y-2).∵點(diǎn)C在圓(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,且x≠5)上,∴(2x-4-4)2+(2y-2-2)2=10,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用方法1.直接法:能直接根據(jù)題目提供的條件列出方程;2.代入法:找到所求動(dòng)點(diǎn)與已知?jiǎng)狱c(diǎn)的關(guān)系,代入已知?jiǎng)狱c(diǎn)所在的方程.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練3兩個(gè)定點(diǎn)的距離為6,點(diǎn)M到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和為26,求點(diǎn)M的軌跡方程.解：以兩定點(diǎn)A,B所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)A(-3,0),B(3,0),M(x,y),則|MA|2+|MB|2=26,∴(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=26,化簡(jiǎn)得M點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2=4跟蹤訓(xùn)練4

已知圓(x+1)2+y2=2上動(dòng)點(diǎn)A,x軸上定點(diǎn)B(2,0),將BA延長(zhǎng)到M,使AM=BA,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.解：設(shè)A(x1,y1),M(x,y),∵AM=BA,且M在BA的延長(zhǎng)線上,∴A為線段MB的中點(diǎn),化簡(jiǎn)得(x+4)2+y2=8,∴點(diǎn)M的軌跡方程為(x+4)2+y2=8.跟蹤訓(xùn)練5已知兩點(diǎn)P(-2,2),Q(0,2)以及一條直線l:y=x,設(shè)長(zhǎng)為

的線段AB在直線l移動(dòng),求直線PA與QB的交點(diǎn)M的軌跡方程.當(dāng)a=-2或a=-1時(shí),直線PA和QB的交點(diǎn)也滿足③,∴所求軌跡方程為x2-y2+2x-2y+8=0.當(dāng)a=0時(shí),直線PA與QB平行,兩直線無交點(diǎn),當(dāng)a≠0時(shí),直線PA與QB相交,設(shè)交點(diǎn)為M(x,y).由②式可得1.方程x2+y2-2x-4y+6=0表示的軌跡為(

)A.圓心為(1,2)的圓 B.圓心為(2,1)的圓C.圓心為(-1,-2)的圓 D.不表示任何圖形當(dāng)堂檢測(cè)解析：因?yàn)閤2+y2-2x-4y+6=0等價(jià)于(x-1)2+(y-2)2=-1,即方程無解,所以該方程不表示任何圖形,故選D.答案：D2.若圓x2+y2-2kx-4=0關(guān)于直線2x-y+3=0對(duì)稱,則k等于(

)答案：B3.已知一動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)A(-4,0)的距離是它到點(diǎn)B(2,0)的距離的2倍,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是

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整理,得x2+y2-8x=0.故所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2-8x=0.答案：x2+y2-8x=04.已知點(diǎn)A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求過A,B,C的圓的方程.解：設(shè)這個(gè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),把三點(diǎn)坐標(biāo)A(2,2),B(5,3),C(3,-1)代入得方程組所以這個(gè)圓的方程為x2+y2-8x-2y+12=0.課堂小結(jié)備用工具&資料4.已知點(diǎn)A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求過A,B,C的圓的方程.解：設(shè)這個(gè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),把三點(diǎn)坐標(biāo)A(2,2),B(5,3),C(3,-1)代入得方程組所以這個(gè)圓的方程為x2+y2-8x-2y+12=0.2.若圓x2+y2-2kx-4=0關(guān)于直線2x-y+3=0對(duì)稱,則k等于(

)答案：B

前面我們已討論了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,現(xiàn)將其展開可得：x2+y2-2ax-2bx+a2+b2-r2=0.可見,任何一個(gè)圓的方程都可以變形x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.

請(qǐng)大家思考一下,形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲線是不是圓?下面我們來探討這一方面的問題.問題導(dǎo)學(xué)探究新知

一、圓的一般方程3.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓需要滿足哪些條件?小試牛刀1.圓x2+y2-6x=0的圓心坐標(biāo)是

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答案：(3,0)2.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)為圓心,以4為半徑的圓,則F=

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答案：4答案：(1)A=C,且均不為0;(2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.1.二元二次方程要想表示圓,需x2和y2的系數(shù)相同且不為0,沒有