第三章

導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)用第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第5課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題【例1】(2024·邢臺(tái)模擬)已知函數(shù)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5.(1)求f(x)的極值；解：由題意可得f(x)的定義域?yàn)镽，f′(x)＝6x2－6x－12＝6(x＋1)(x－2)．由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞2；由f′(x)＜0，得－1＜x＜2，所以f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－1，2)上單調(diào)遞減．故f(x)極大值＝f(－1)＝12，f(x)極小值＝f(2)＝－15.核心考點(diǎn)提升“四能”討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(2)討論函數(shù)g(x)＝f(x)－m的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．解：由(1)可知f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－1，2)上單調(diào)遞減，f(－1)＝12，f(2)＝－15.當(dāng)x→－∞時(shí)，f(x)→－∞；當(dāng)x→＋∞，f(x)→＋∞.f(x)的大體圖象如圖所示．令g(x)＝f(x)－m＝0，則f(x)＝m.當(dāng)m＞12或m＜－15時(shí)，方程f(x)＝m有且僅有1個(gè)實(shí)根，即函數(shù)g(x)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m＝12或m＝－15時(shí)，方程f(x)＝m有2個(gè)實(shí)根，即函數(shù)g(x)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)－15＜m＜12時(shí)，方程f(x)＝m有3個(gè)實(shí)根，即函數(shù)g(x)有3個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)m＞12或m＜－15時(shí)，g(x)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m＝12或m＝－15時(shí)，g(x)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)－15＜m＜12時(shí)，g(x)有3個(gè)零點(diǎn)．反思感悟利用導(dǎo)數(shù)研究方程根(函數(shù)零點(diǎn))的一般方法(1)可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等來確定方程根的情況．(2)根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置．(3)數(shù)形結(jié)合去分析問題，可以使問題的求解過程有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)．

【例2】已知函數(shù)f(x)＝ex－a(x＋2)．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；解：當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1.令f′(x)＜0，解得x＜0；令f′(x)＞0，解得x＞0.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍

②當(dāng)a＜0時(shí)，令f′(x)＝ex＋a＝0，則x＝ln(－a)．當(dāng)x∈(－∞，ln(－a))時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(ln(－a)，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增．所以，當(dāng)x＝ln(－a)時(shí)，f(x)取得極小值，也是最小值．函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，等價(jià)于f(ln(－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)＞0，解得－e2＜a＜0.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－e2，0)．反思感悟與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題解題策略(1)函數(shù)在定義域上單調(diào)，滿足函數(shù)零點(diǎn)存在定理．(2)若函數(shù)不是嚴(yán)格的單調(diào)函數(shù)，則求最小值或最大值時(shí)可以結(jié)合函數(shù)圖象分析．(3)分離參數(shù)后，數(shù)形結(jié)合，討論參數(shù)所在直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)，g(x)的變化情況如下表：x(0，e2)e2(e2，16]g′(x)＋0－g(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減

利用函數(shù)的圖象刻畫實(shí)際問題又g′(e-2)＝－2(e-2－1)＞0，g′(1)＝－4＜0，所以?x0∈(e-2，1)，使得g′(x0)＝0，則當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，g′(x)＞0；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，g′(x)＜0.所以g(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以g(x)在x0處取得極大值，也是最大值，g(x)max＝g(x0)＞g(1)＝0.又當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，1－x2＞0，－2xlnx＞0，所以當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g(x)＞0，即f′(x)＞0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g(x)＜0，即f′(x)＜0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)．

反思感悟?qū)ΨQ化構(gòu)造函數(shù)證明極值點(diǎn)偏移問題的關(guān)鍵構(gòu)造函數(shù)H(x)