4.2.2等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式（精講）目錄第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第四部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及其應(yīng)用重點(diǎn)題型二：利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式判斷重點(diǎn)題型三：等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1：等差數(shù)列片段和性質(zhì)角度2：比值問(wèn)題（含同角標(biāo)和不同角標(biāo)）重點(diǎn)題型四：等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題重點(diǎn)題型五：求數(shù)列的前項(xiàng)和問(wèn)題重點(diǎn)題型六：數(shù)列求和角度1：倒序相加法角度2：裂項(xiàng)相消法重點(diǎn)題型七：數(shù)列求和在傳統(tǒng)文化中的應(yīng)用第五部分：高考（模擬）題體驗(yàn)第一部分：思第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式1、首項(xiàng)為，末項(xiàng)為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2、首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式知識(shí)點(diǎn)二：等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的函數(shù)特征等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可變形為.當(dāng)時(shí)，它是關(guān)于的二次函數(shù)，表示為(，為常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)三：等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)(1)若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,則數(shù)列也是等差數(shù)列,且公差為(2)設(shè)等差數(shù)列的公差為,為其前項(xiàng)和,則，，，,…組成公差為的等差數(shù)列(3)在等差數(shù)列，中，它們的前項(xiàng)和分別記為則(4)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為,則，。(5)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為,則，，，第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試1．(2023·四川綿陽(yáng)·高一期末）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，公差為d，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．82．(2023·四川省成都市第八中學(xué)校高一開學(xué)考試）將棱長(zhǎng)相等的正方體按如圖所示的形狀擺放，從上往下依次為第一層、第二層、第三層……，則第層正方體的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．3．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在各項(xiàng)不全為零的等差數(shù)列中，是其前n項(xiàng)和，且，，則正整數(shù)k＝（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．20234．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則______．5．(2023·浙江·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則__________.6．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則___________．第四部分：第四部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及其應(yīng)用典型例題例題1．(2023·安徽·高三開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C． D．例題2．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，公差，為其前項(xiàng)和，若，則首項(xiàng)（

）A．8 B．10 C．20 D．30例題3．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知在等差數(shù)列中，，，，則（

）A． B． C． D．例題4．(2023·四川成都·高一期中）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求．同類題型歸類練1．(2023·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．－10 B．－20 C．－120 D．－1102．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，，則（

）.A．110 B．120 C．130 D．1403．(2023·四川南充·高一期末（理））在等差數(shù)列中，已知，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，若，求n的值．重點(diǎn)題型二：利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式判斷典型例題例題1．(2023·北京市第三中學(xué)高二期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，則數(shù)列（

）A．是公差為2的等差數(shù)列 B．是公比為2的等比數(shù)列C．既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列例題2．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)當(dāng)時(shí)，求證：該數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，求滿足條件．同類題型歸類練1．(2023·北京·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則是（

）A．公差為2的等差數(shù)列 B．公差為3的等差數(shù)列C．公比為2的等比數(shù)列 D．公比為3的等比數(shù)列2．（多選）（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）下列條件中能確定數(shù)列為等差數(shù)列的有（

）A．b為常數(shù)，B．為常數(shù)，C．

D．前n項(xiàng)和（A，B，C為常數(shù)，）重點(diǎn)題型三：等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1：等差數(shù)列片段和性質(zhì)典型例題例題1．(2023·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高二開學(xué)考試）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）．A．27 B．45 C．18 D．36例題2．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______．例題3．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則___________.同類題型歸類練1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．20 B．30 C．40 D．502．(2023·黑龍江·哈爾濱市第三十二中學(xué)校高二期中）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，，則_____．角度2：比值問(wèn)題（含同角標(biāo)和不同角標(biāo)）典型例題例題1．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知、都是等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，為的前項(xiàng)和，且，則______．例題2．(2023·安徽滁州·高二期中）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．例題3．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的項(xiàng)和分別為，.若對(duì)于任意的正整數(shù)都有，則（

）A． B． C． D．同類題型歸類練1．(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）兩個(gè)等差數(shù)列和,其前項(xiàng)和分別為且,則等于（

）A． B． C． D．2．(2023·陜西·西安工業(yè)大學(xué)附中高一階段練習(xí)）有兩個(gè)等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為.（1）若，則___________.（2）若，則___________.重點(diǎn)題型四：等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題典型例題例題1．(2023·江西·高三階段練習(xí)（理））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則的最大值為（

）A． B．52 C．54 D．55例題2．(2023·江西贛州·高二階段練習(xí)（文））設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則當(dāng)最大時(shí)，（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．1013例題3．（多選）(2023·重慶·西南大學(xué)附中高二期中）已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則（

）A．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列C．當(dāng)時(shí)，取得最大值 D．當(dāng)時(shí)，的最小值為14例題4．(2023·福建·廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則使取得最大值的為__________．例題5．(2023·北京平谷·高二期末）已知是等差數(shù)列，，其前5項(xiàng)和.(1)求的通項(xiàng)；(2)求前項(xiàng)和的最大值.例題6．(2023·全國(guó)·高二）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，.（1）求公差的取值范圍；（2）問(wèn)前幾項(xiàng)的和最大，并說(shuō)明理由.同類題型歸類練1．（多選）(2023·河北·石家莊二中高二期末）等差數(shù)列中，，則下列命題中為真命題的是（

）A．公差 B．C．是各項(xiàng)中最大的項(xiàng) D．是中最大的值2．（多選）(2023·廣東·翠園中學(xué)高二期中）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則下列判斷正確的是（

）A．， B．，C．?dāng)?shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng)是 D．的最大值是3．（多選）(2023·廣東·南海中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，若，，，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C． D．，，…，中最大的是4．(2023·內(nèi)蒙古·赤峰二中高一階段練習(xí)（理））設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則滿足的最大的正整數(shù)n的值為__________．5．(2023·寧夏·平羅中學(xué)高一期中（理））已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差，，是數(shù)列的前n項(xiàng)和.(1)求通項(xiàng)；(2)當(dāng)n為多少時(shí)，有最小值？最小值是多少？6．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，.（1）求公差的取值范圍；（2）指出中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由.重點(diǎn)題型五：求數(shù)列的前項(xiàng)和問(wèn)題典型例題例題1．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．例題2．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的值．例題3．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，從條件①、條件②和條件③中選擇兩個(gè)能夠確定一個(gè)數(shù)列的條件，并完成解答．（條件①：；

條件②：；

條件③：.）選擇條件和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，并求數(shù)列的前項(xiàng)的和同類題型歸類練1．(2023·遼寧·高二期中）已知在前n項(xiàng)和為的等差數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前20項(xiàng)和．2．(2023·吉林·東北師大附中高二階段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．3．(2023·四川省遂寧市第二中學(xué)校高一期中（文））已知數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.重點(diǎn)題型六：數(shù)列求和角度1：倒序相加法典型例題例題1．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，該數(shù)列的前項(xiàng)和為，則______.例題2．(2023·湖南·麻陽(yáng)苗族自治縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子.在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成;因此，此方法也稱之為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．同類題型歸類練1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））設(shè)，A．4 B．5 C．6 D．102．(2023·江西九江·高二期末（文））德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響．他幼年時(shí)就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才，10歲時(shí)，他在進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數(shù)列，則（

）A．96 B．97 C．98 D．99角度2：裂項(xiàng)相消法典型例題例題1．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和（

）A． B． C． D．例題2．(2023·四川廣安·模擬預(yù)測(cè)（理））數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若該數(shù)列的前項(xiàng)之和等于，則_______.例題3．(2023·河南開封·高二期末（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．例題4．(2023·湖南師大附中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中為直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn).對(duì)任意三點(diǎn)共線.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：.同類題型歸類練1．(2023·江蘇南通·高一開學(xué)考試）計(jì)算的值為______.2．(2023·浙江·慈溪中學(xué)高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前項(xiàng)和，（且）.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式：(2)當(dāng)時(shí)，求證：.重點(diǎn)題型七：數(shù)列求和在傳統(tǒng)文化中的應(yīng)用典型例題1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中國(guó)古代詩(shī)詞中，有一道“八子分綿”的名題：“九百九十六斤綿，贈(zèng)分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言”．題意是把996斤綿分給8個(gè)兒子做盤纏，依次每人分到的比前一人多分17斤綿，則第八個(gè)兒子分到的綿是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤2．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將1到200這200個(gè)數(shù)中，能被4除余2且被6除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列各項(xiàng)之和為（

）A．1666 B．1676 C．1757 D．26463．(2023·山東濟(jì)南·三模）如圖1，洛書是一種關(guān)于天地空間變化脈絡(luò)的圖案，2014年正式入選國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，其數(shù)字結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，形成圖2中的九宮格，將自然數(shù)1，2，3，…，放置在n行n列的正方形圖表中，使其每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)字之和（簡(jiǎn)稱“幻和”）均相等，具有這種性質(zhì)的圖表稱為“n階幻方”．洛書就是一個(gè)3階幻方，其“幻和”為15．則7階幻方的“幻和”為（

）A．91 B．169 C．175 D．1804．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某鋼材公司積壓了部分圓鋼，經(jīng)清理知共有2009根，現(xiàn)將它們堆放在一起．(1)若堆放成縱截面為正三角形（每一層比上一層多1根），如圖1所示，并使剩余的圓鋼盡可能少，則剩余了多少根圓鋼？(2)若堆成縱截面為等腰梯形（每一層比上一層多1根），如圖2所示，圓鋼無(wú)剩余且堆放不少于七層，共有幾種不同的堆放方案？第第五部分：高考（模擬）題體驗(yàn)1．（2023·北京·高考真題）已知是各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（

）A．9 B．10 C．11 D．122．（2023·海南·高考真題）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為________．3．(2023·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．4．（2023·山東·高考真題）某男子擅長(zhǎng)走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和為390里.若從第2天起，每天比前一天多走的路程相同，問(wèn)該男子第5天走多少里.這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)嘗試解決.4.2.2等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式（精講）目錄第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第四部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及其應(yīng)用重點(diǎn)題型二：利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式判斷重點(diǎn)題型三：等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1：等差數(shù)列片段和性質(zhì)角度2：比值問(wèn)題（含同角標(biāo)和不同角標(biāo)）重點(diǎn)題型四：等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題重點(diǎn)題型五：求數(shù)列的前項(xiàng)和問(wèn)題重點(diǎn)題型六：數(shù)列求和角度1：倒序相加法角度2：裂項(xiàng)相消法重點(diǎn)題型七：數(shù)列求和在傳統(tǒng)文化中的應(yīng)用第五部分：高考（模擬）題體驗(yàn)第一部分：思第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式1、首項(xiàng)為，末項(xiàng)為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2、首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式知識(shí)點(diǎn)二：等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的函數(shù)特征等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可變形為.當(dāng)時(shí)，它是關(guān)于的二次函數(shù)，表示為(，為常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)三：等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)(1)若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,則數(shù)列也是等差數(shù)列,且公差為(2)設(shè)等差數(shù)列的公差為,為其前項(xiàng)和,則，，，,…組成公差為的等差數(shù)列(3)在等差數(shù)列，中，它們的前項(xiàng)和分別記為則(4)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為,則，。(5)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為,則，，，第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試1．(2023·四川綿陽(yáng)·高一期末）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，公差為d，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8答案：C【詳解】由得故選：C2．(2023·四川省成都市第八中學(xué)校高一開學(xué)考試）將棱長(zhǎng)相等的正方體按如圖所示的形狀擺放，從上往下依次為第一層、第二層、第三層……，則第層正方體的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．答案：A【詳解】觀察可得，第?層正方體的個(gè)數(shù)為?，第?層正方體的個(gè)數(shù)為?，比第?層多?個(gè)；第?層正方體的個(gè)數(shù)為?，比第?層多?個(gè)；...可得，每一層比上一層多的個(gè)數(shù)依次為?;故第?層正方體的個(gè)數(shù)?.故選：A3．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在各項(xiàng)不全為零的等差數(shù)列中，是其前n項(xiàng)和，且，，則正整數(shù)k＝（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023答案：C【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為，則，所以可看成關(guān)于n的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的對(duì)稱性及，，可得，解得k＝2022．故選：C4．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則______．答案：100【詳解】由可知是一個(gè)等差數(shù)列，且公差為，首項(xiàng)為19，所以，故答案為：1005．(2023·浙江·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則__________.答案：11【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和，所以；故答案為：6．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則___________．答案：6061【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，則解得：，，所以．故答案為：6061第四部分：第四部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及其應(yīng)用典型例題例題1．(2023·安徽·高三開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C． D．答案：B【詳解】由題意，設(shè)數(shù)列公差為，因?yàn)?，解得，所?故選：B.例題2．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，公差，為其前項(xiàng)和，若，則首項(xiàng)（

）A．8 B．10 C．20 D．30答案：B【詳解】解：由題意，即，化簡(jiǎn)得．故選：B．例題3．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知在等差數(shù)列中，，，，則（

）A． B． C． D．答案：A【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，，，所以，解得，則，，，，，…，構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為9的等差數(shù)列，則.故選：A．例題4．(2023·四川成都·高一期中）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求．答案：(1)或(2)或(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.(2)解：當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，.同類題型歸類練1．(2023·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．－10 B．－20 C．－120 D．－110答案：C【詳解】，，則.故選：C2．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，，則（

）.A．110 B．120 C．130 D．140答案：C【詳解】解：設(shè)公差為d，則，所以，所以.故選：C3．(2023·四川南充·高一期末（理））在等差數(shù)列中，已知，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，若，求n的值．答案：(1)(2)12(1)由題意得，得故．(2)因?yàn)榈那皀項(xiàng)和為，所以，整理得（3n＋7）（n－12）＝0﹐故（舍去）或n＝12．重點(diǎn)題型二：利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式判斷典型例題例題1．(2023·北京市第三中學(xué)高二期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，則數(shù)列（

）A．是公差為2的等差數(shù)列 B．是公比為2的等比數(shù)列C．既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列答案：A【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也符合上式，所以的通項(xiàng)公式為，故為首項(xiàng)是，公差為的等差數(shù)列，不是等比數(shù)列.故選：A例題2．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)當(dāng)時(shí)，求證：該數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，求滿足條件．答案：(1)證明見(jiàn)解析(2)(1)當(dāng)時(shí)，，令，，所以時(shí)，，所以，此時(shí)，所以，所以，可得數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.(2)，令，得，所以時(shí)，，所以，所以，可得時(shí)，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，若數(shù)列是等差數(shù)列，則，所以．同類題型歸類練1．(2023·北京·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則是（

）A．公差為2的等差數(shù)列 B．公差為3的等差數(shù)列C．公比為2的等比數(shù)列 D．公比為3的等比數(shù)列答案：A【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有，，得，當(dāng)時(shí)，適合上式，因?yàn)椋栽摂?shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，故選：A2．（多選）（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）下列條件中能確定數(shù)列為等差數(shù)列的有（

）A．b為常數(shù)，B．為常數(shù)，C．

D．前n項(xiàng)和（A，B，C為常數(shù)，）答案：AC【詳解】A選項(xiàng)，b為常數(shù)，，，所以是等差數(shù)列，故A正確；B選項(xiàng)，為常數(shù)，，不一定符合從第二項(xiàng)起，相鄰項(xiàng)的差為同一個(gè)常數(shù)，如，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，對(duì)于數(shù)列的關(guān)系式符合等差中項(xiàng)的形式，所以是等差數(shù)列，故C正確；D選項(xiàng)，前n項(xiàng)和（A，B，C為常數(shù)，），則當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，滿足上式，且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是等差數(shù)列，所以不一定是等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤．故選：AC．重點(diǎn)題型三：等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1：等差數(shù)列片段和性質(zhì)典型例題例題1．(2023·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高二開學(xué)考試）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）．A．27 B．45 C．18 D．36答案：B【詳解】由已知，，，即6，15，成等差數(shù)列，所以，所以，故選：B．例題2．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______．答案：2【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，解得，所以，故答案為?例題3．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則___________.答案：48【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，所以成等差數(shù)列，所以，因?yàn)?，，所以，解得，故答案為?8同類題型歸類練1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．20 B．30 C．40 D．50答案：B【詳解】解：由等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)可得：，，也成等差數(shù)列，，，解得．故選：B．2．(2023·黑龍江·哈爾濱市第三十二中學(xué)校高二期中）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，，則_____．答案：42【詳解】解：在等差數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，即7，14，成等差數(shù)列，所以，解得．故答案為：42．角度2：比值問(wèn)題（含同角標(biāo)和不同角標(biāo)）典型例題例題1．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知、都是等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，為的前項(xiàng)和，且，則______．答案：2【詳解】因?yàn)椤⒍际堑炔顢?shù)列，為的前n項(xiàng)和，為的前n項(xiàng)和，且，所以，故答案為：2例題2．(2023·安徽滁州·高二期中）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．答案：B【詳解】在等差數(shù)列中，由，得，故選：B例題3．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的項(xiàng)和分別為，.若對(duì)于任意的正整數(shù)都有，則（

）A． B． C． D．答案：B【詳解】設(shè)，，.則，，所以.故選：B.同類題型歸類練1．(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）兩個(gè)等差數(shù)列和,其前項(xiàng)和分別為且,則等于（

）A． B． C． D．答案：D【詳解】=.故選：D.2．(2023·陜西·西安工業(yè)大學(xué)附中高一階段練習(xí)）有兩個(gè)等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為.（1）若，則___________.（2）若，則___________.答案：

【詳解】若，則；若，則可設(shè)，所以，，所以，故答案為：；重點(diǎn)題型四：等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題典型例題例題1．(2023·江西·高三階段練習(xí)（理））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則的最大值為（

）A． B．52 C．54 D．55答案：D【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，故.又函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，而，故當(dāng)時(shí)，取得最大值.故選：D.例題2．(2023·江西贛州·高二階段練習(xí)（文））設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則當(dāng)最大時(shí)，（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．1013答案：B【詳解】由可得，即，由可得，即，故，則數(shù)列的前1011項(xiàng)為正數(shù)，從第1012項(xiàng)為負(fù)數(shù)的遞減數(shù)列，故當(dāng)最大時(shí)，1011，故選：B例題3．（多選）(2023·重慶·西南大學(xué)附中高二期中）已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則（

）A．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列C．當(dāng)時(shí)，取得最大值 D．當(dāng)時(shí)，的最小值為14答案：BD【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，所以公差，故?shù)列單調(diào)遞減，即選項(xiàng)B正確，A錯(cuò)誤；因?yàn)榍遥詴r(shí)，取得最大值，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，的最小值為14，即選項(xiàng)D正確．故選：BD．例題4．(2023·福建·廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則使取得最大值的為__________．答案：7【詳解】由題意，則，，故，等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，取得最大值故答案為：7例題5．(2023·北京平谷·高二期末）已知是等差數(shù)列，，其前5項(xiàng)和.(1)求的通項(xiàng)；(2)求前項(xiàng)和的最大值.答案：(1)(2)(1)為等差數(shù)列，，，.又，即，解得，故，即(2)因?yàn)椋S著的增大而減小，且，，故當(dāng)或時(shí)，有最大值.例題6．(2023·全國(guó)·高二）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，.（1）求公差的取值范圍；（2）問(wèn)前幾項(xiàng)的和最大，并說(shuō)明理由.答案：（1）；（2）數(shù)列前6項(xiàng)和最大，理由見(jiàn)解析.【詳解】（1）∵a3=12，∴a1=12-2d，∵S12>0，S13<0，∴，所以，所以.（2）∵S12>0，S13<0，所以，所以，所以，所以，又，所以數(shù)列前6項(xiàng)為正數(shù)，從第7項(xiàng)起為負(fù)數(shù).∴數(shù)列前6項(xiàng)和最大.同類題型歸類練1．（多選）(2023·河北·石家莊二中高二期末）等差數(shù)列中，，則下列命題中為真命題的是（

）A．公差 B．C．是各項(xiàng)中最大的項(xiàng) D．是中最大的值答案：ABD【詳解】由得：，所以，且各項(xiàng)中最大的項(xiàng)為，故A正確，C錯(cuò)誤；，所以，故B正確；因?yàn)?，等差?shù)列遞減，所以最大，故D正確；故選：ABD2．（多選）(2023·廣東·翠園中學(xué)高二期中）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則下列判斷正確的是（

）A．， B．，C．?dāng)?shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng)是 D．的最大值是答案：BCD【詳解】因?yàn)椋杂忠驗(yàn)?，所以，所?所以等差數(shù)列的，為遞減數(shù)列，所以，故B正確，A錯(cuò)誤.所以的最大值是，故D正確.因?yàn)?，結(jié)合數(shù)列等差數(shù)列單調(diào)性，所以，即，所以數(shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng)是，故C正確.故選：BCD3．（多選）(2023·廣東·南海中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，若，，，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C． D．，，…，中最大的是答案：BCD【詳解】對(duì)于A、C：因?yàn)?，且，所以，，又因?yàn)?，所以，解得；所以等差?shù)列是遞減數(shù)列，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；對(duì)于B：因?yàn)椋?，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榈炔顢?shù)列是遞減數(shù)列，且，，則，所以，即選項(xiàng)D正確.故選：BCD.4．(2023·內(nèi)蒙古·赤峰二中高一階段練習(xí)（理））設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則滿足的最大的正整數(shù)n的值為__________．答案：22【詳解】由已知，為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，所以，而，所以，所以，，所以，而，所以，所，，所以，而，所以，所以，，，，所以滿足的最大的正整數(shù)n的值為22.故答案為：22.5．(2023·寧夏·平羅中學(xué)高一期中（理））已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差，，是數(shù)列的前n項(xiàng)和.(1)求通項(xiàng)；(2)當(dāng)n為多少時(shí)，有最小值？最小值是多少？答案：(1)(2)當(dāng)時(shí)，有最小值且最小值為.(1)，故，故即.(2)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，有最小值且最小值為.6．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，.（1）求公差的取值范圍；（2）指出中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由.答案：（1）；（2）最大.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，則，由，，可得，即，，故公差的取值范圍為；（2）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋裕?，由上可得，又，所以?shù)列為遞減數(shù)列，故中最大.重點(diǎn)題型五：求數(shù)列的前項(xiàng)和問(wèn)題典型例題例題1．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．答案：【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得，．所以．由得，即數(shù)列的前5項(xiàng)為正，其余各項(xiàng)為負(fù)．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即．例題2．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的值．答案：(1)(2)8960（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為，由題意可知：，解得所以（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以例題3．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，從條件①、條件②和條件③中選擇兩個(gè)能夠確定一個(gè)數(shù)列的條件，并完成解答．（條件①：；

條件②：；

條件③：.）選擇條件和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，并求數(shù)列的前項(xiàng)的和答案：(1)(2)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)（1）選①②，由可知數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，又得，故選②③，由可知數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，由可知，選①③，無(wú)法確定數(shù)列.（2），其中,當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，數(shù)列是從第三項(xiàng)開始，以公差的等差數(shù)列.同類題型歸類練1．(2023·遼寧·高二期中）已知在前n項(xiàng)和為的等差數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前20項(xiàng)和．答案：(1)；(2).(1)由，則，由，則，所以，即，故，則.(2)由（1）知：，可得，即，故時(shí)，所以.2．(2023·吉林·東北師大附中高二階段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．答案：(1)；(2).(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，.(2)由（1）得：，；令，解得：；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；.3．(2023·四川省遂寧市第二中學(xué)校高一期中（文））已知數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：(1)(2)Tn=(1)解法一∵{an}是等差數(shù)列，公差為d，且a1+a7=-2，S3=15，∴解得a1=8，d=-3，∴an=a1+(n-1)d=8+(n-1)(-3)=-3n+11，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-3n+11(n∈N*).解法二∵{an}是等差數(shù)列，∴2a4=a1+a7=-2，∴a4=-1.∵S3=15，∴3a2=15，∴a2=5.∵a4=a2+2d，即-1=5+2d，∴d=-3，∴an=5+(n-2)(-3)=-3n+11.∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-3n+11(n∈N*).(2)令an≥0，則-3n+11≥0，∴3n≤11，∴n≤，又n∈N*，∴當(dāng)n≤3時(shí)，an>0;當(dāng)n≥4時(shí)，an<0.∵a1=8，an=-3n+11，∴當(dāng)n≤3時(shí)，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=，當(dāng)n≥4時(shí)，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+a3+(-a4-…-an)=2(a1+a2+a3)-(a1+a2+…+an)=2S3-Sn=2×15-，∴Tn=重點(diǎn)題型六：數(shù)列求和角度1：倒序相加法典型例題例題1．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，該數(shù)列的前項(xiàng)和為，則______.答案：【詳解】，.，又，兩式相加得，因此，.故答案為.例題2．(2023·湖南·麻陽(yáng)苗族自治縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子.在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成;因此，此方法也稱之為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．答案：B【詳解】解：因?yàn)?，且，?又，兩式相加得：，解得，故選：B同類題型歸類練1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））設(shè)，A．4 B．5 C．6 D．10答案：B【詳解】由于，故原式.2．(2023·江西九江·高二期末（文））德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響．他幼年時(shí)就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才，10歲時(shí)，他在進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數(shù)列，則（

）A．96 B．97 C．98 D．99答案：C【詳解】令，，兩式相加得：，∴，故選:C．角度2：裂項(xiàng)相消法典型例題例題1．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和（

）A． B． C． D．答案：A，.故選：A.例題2．(2023·四川廣安·模擬預(yù)測(cè)（理））數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若該數(shù)列的前項(xiàng)之和等于，則_______.答案：【詳解】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，因?yàn)?，所以，，解?故答案為：.例題3．(2023·河南開封·高二期末（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：A【詳解】因?yàn)閿?shù)列中，，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以的取值范圍為．故選：A．例題4．(2023·湖南師大附中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中為直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn).對(duì)任意三點(diǎn)共線.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：.答案：(1)(2)證明見(jiàn)解析（1）由題意得：，三點(diǎn)共線，則，可得，即.數(shù)列是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，所以.（2），所以同類題型歸類練1．(2023·江蘇南通·高一開學(xué)考試）計(jì)算的值為______.答案：【詳解】，故答案為：2．(2023·浙江·慈溪中學(xué)高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前項(xiàng)和，（且）.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式：(2)當(dāng)時(shí)，求證：.答案：(1)證明見(jiàn)解析，(2)證明見(jiàn)解析（1）∵（且），當(dāng)時(shí)，，，又，所以，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，，所以.當(dāng)時(shí)，，又滿足上式，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）當(dāng)時(shí)，，故所以對(duì)，都有.重點(diǎn)題型七：數(shù)列求和在傳統(tǒng)文化中的應(yīng)用典型例題1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中國(guó)古代詩(shī)詞中，有一道“八子分綿”的名題：“九百九十六斤綿，贈(zèng)分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言”．題意是把996斤綿分給8個(gè)兒子做盤纏，依次每人分到的比前一人多分17斤綿，則第八個(gè)兒子分到的綿是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤答案：D【詳解】設(shè)8個(gè)兒子依次分綿斤，斤，斤，…，斤，則數(shù)列是公差為17的等差數(shù)列，因?yàn)榫d的總重量為996斤，所以，解得，則第八個(gè)兒子分到的綿．故選：D．2．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將1到200這200個(gè)數(shù)中，能被4除余2且被