2023-2024學年度下學期泉州市高中教學質(zhì)量監(jiān)測高一數(shù)學2024.07本試卷共19題，滿分150分，共8頁?？荚囉脮r120分鐘。注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2，考生作答時，將答案答在答題卡上。請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。在草稿紙、試題卷上答題無效。3．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚。4．保持答題卡卡面清潔，不折疊、不破損?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數(shù)滿足（i為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．52．從甲、乙、丙三所學校中隨機抽取210名學生，接受省級高中體育與健康教育質(zhì)量監(jiān)測．已知甲、乙、丙三所學校的學生人數(shù)分別為400，700，1000，若按各校人數(shù)分層抽樣，則從甲學校中應抽取的學生人數(shù)為（）A．40 B．50 C．60 D．703．單位向量滿足，則和的夾角為（）A． B． C． D．4．在中，，則（）A． B． C． D．5．如圖是一個鮮花包裝盒，形狀近似于高為12cm的正四棱臺，其兩個底面邊長分別為8cm和10cm．若忽略材料厚度，則該包裝盒的容積為（）A． B． C． D．6．已知數(shù)據(jù)的均值為3，方差為1，則數(shù)據(jù)的均值和方差分別為（）A．9，5 B．6，5 C．9，4 D．6，47．已知直線，平面，則的充分條件可以是（）A． B．C． D．8．《周易·系辭》曰：易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦．如圖1是八卦模型圖，圖2是根據(jù)八卦圖抽象而得的正八邊形與其內(nèi)部的圓，其中，圓的直徑為為正八邊形的中心，為正八邊形邊上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對得部分分。9．已知為復數(shù)，則下列命題正礎的是（）A．若，則 B．C．若，則 D．10．第75屆聯(lián)合國大會上，我國向世界鄭重承諾力爭在2030年前實現(xiàn)碳達峰，努力爭取在2060年前實現(xiàn)碳中和.2021年全國兩會的政府工作報告明確提出要扎實做好碳達峰、碳中和的各項工作，大力發(fā)展新能源．常見的新能源主要有潮汐能、風能、太陽能和地熱能等．下圖為2015年與2020年我國新增電力裝機結(jié)構(gòu)對比，則（）A．2015年我國新增電力裝機中，火電裝機占比最大B．2020年我國新增電力裝機中，風電裝機數(shù)多于火電裝機數(shù)C．2020年我國水電新增裝機數(shù)少于2015年D．2020年我國新增電力裝機結(jié)構(gòu)中，新能源裝機占比大于2015年11．正方體中，分別為的中點，為側(cè)面內(nèi)一點，則（）A．存在點，使得平面B．線段上不存在點，使與所成角為30°C．當平面時，的最大值為D．當點為側(cè)面中心時，平面截正方體所得的截面為五邊形三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知，若，則______．13．已知中，，向量在向量上的投影向量為，則______．14．已知圓錐的頂點和底面圓周都在球的球面上，且母線長為2，為其底面圓周上的兩點，若面積的最大值為，則球的表面積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）如圖，的內(nèi)角所對的邊分別為為外一點，，．（1）求；（2）若，求的面積．16．（15分）盒子中有4個大小質(zhì)地完全相同的小球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，從盒子中有放回地隨機兩次摸出小球，每次摸出一個小球．（1）求兩次摸到的小球數(shù)字之和為偶數(shù)的概率；（2）設事件“兩次摸到的小球數(shù)字之和是質(zhì)數(shù)”，事件“第1次摸到的小球數(shù)字為奇數(shù)”，事件“第2次摸到的小球數(shù)字為奇數(shù)”，求．17．（15分）如圖，在三棱柱中，平面平面，，．（1）求三棱柱的體積；（2）求證：．18．（17分“泉州：宋元中國的世界海洋商貿(mào)中心"于2021年7月25日成功列入《世界遺產(chǎn)名錄》，成為中國第56處世界遺產(chǎn)，泉州在持續(xù)做好世界遺產(chǎn)保護的同時，積極推動文化和旅游的深度融合，在2024年“五一”假期期間，為了解全國各地游客對泉州某景點的滿意度，景區(qū)在該景點向游客做隨機問卷調(diào)查，收集了1000份問卷，并統(tǒng)計每份問卷的得分（百分制），繪制了如下頻率分布直方圖：（1）求a；（2）估計該滿意度得分的第一四分位數(shù)和總體平均數(shù)；（3）已知填寫問卷的游客中，兒童、中青年人、老年人的比例為1∶7∶2，其中兒童游客滿意度得分的平均數(shù)為86，方差為45.15；老年人游客滿意度得分的平均數(shù)為96，方差為10.55．請結(jié)合頻率分布直方圖，估計中青年游客對該景點滿意度得分的平均數(shù)和方差．19．（17分）一般地，任何一個復數(shù)都可以表示成的形式，叫做復數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式．（1）寫出復數(shù)的三角形式；（2）閱讀材料：數(shù)學家布魯克·泰勒提出利用多項式函數(shù)曲線來逼近任意一個原函數(shù)曲線的泰勒公式，在近似計算、函數(shù)擬合和計算機科學上有著舉足輕重的作用．如下列常見函數(shù)的階泰勒展開式為：，，，其中，讀作的階乘．數(shù)學家萊昂哈德·歐拉在泰勒公式的靈感下，把自然對數(shù)的底數(shù)e，虛數(shù)單位i，三角函數(shù)聯(lián)系在一起創(chuàng)造了歐拉公式：，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)集，在復變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽為數(shù)學中的天橋．數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，則．特別地，如果，那么，這個結(jié)論叫做棣莫弗定理，該定理為概率論的發(fā)展做出重要的貢獻．（ⅰ）利用泰勒展開式求的近似值（精確到0.001）；（ⅱ）設，求集合的元素個數(shù)．2023-2024學年度下學期泉州市高中教學質(zhì)量監(jiān)測高一數(shù)學參考答案及評分細則2024.07一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．【命題意圖】本小題主要考查復數(shù)的概念、四則運算等基礎知識：考查運算求解能力、推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想；體現(xiàn)基礎性，導向?qū)?shù)學運算等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】解法一：設，由，得，解得，所以．解法二：由，得，所以．解法三：由，得，所以．解法四：由，得，所以，故選C．2．【命題意圖】本小題主要考查抽樣方法，分層抽樣等基礎知識；考查運算求解，推理論證等能力，體現(xiàn)基礎性、應用性，導向?qū)Πl(fā)展數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】由分層抽樣，從甲學校中應抽取的人數(shù)為人．故選A．3．【命題意圖】本小題主要考查向量的數(shù)量積等基礎知識，考查運算求解等能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化等思想，體現(xiàn)基礎性，導向?qū)Πl(fā)展數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】由兩邊平方可得，整理得，所以的夾角為60°．故選B．【附：本題也可通過考察平幾圖形，快速得解】4．【命題意圖】本小題主要考查向量的加法、減法和數(shù)乘等基礎知識，考查運算求解等能力，考查數(shù)形結(jié)合和化歸與轉(zhuǎn)化等思想，體現(xiàn)基礎性，導向?qū)Πl(fā)展數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】如圖．故選D．5．【命題意圖】本小題主要考查棱臺的體積公式，考查運算求解能力、空間想象能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想；考查數(shù)學抽象、數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎性、應用性．【試題解析】解法一：根據(jù)四棱臺的體積公式．解法二：若公式記不住，也可考慮補臺為錐的辦法快速求解根據(jù)三角形相似可知，則，即，所以故選B．6．【命題意圖】本小題主要考查數(shù)據(jù)的數(shù)字特征中均值和方差的性質(zhì)，考查運算求解的能力；考查轉(zhuǎn)化與化歸思想；考查數(shù)學運算和邏輯推理等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎性．【試題解析】設數(shù)據(jù)的均值為，方差為，則，由得的均值為：；的方差為：另解（高二學習的公式）：由均值，方差，可知．故選C．7．【命題意圖】本小題主要考查空間線線、線面和面面關系等基礎知識；考查空間想象、邏輯推理能力等；考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想等；體現(xiàn)基礎性，導向發(fā)展直觀想象等核心素養(yǎng)的命題立意．【試題解析】對于A，記直線平面，直線平面；但直線與直線為異面直線，故A錯誤；對于B，平面平面，直線平面，直線平面；但直線與直線為異面直線，故B錯誤；對于D，平面平面，直線平面，直線平面，但直線與直線為異面直線，故D錯誤．對于C，，作平面，使得，則，作平面，使得，則，所以，所以且，所以，所以，故C正確；故選C．8．【命題意圖】本小題主要考查向量的數(shù)量積、余弦定理等基礎知識，考查推理論證、運算求解等能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等思想，體現(xiàn)綜合性、應用性，導向?qū)Πl(fā)展數(shù)學直觀、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】如圖，過點作交于，則由正八邊行的對稱性可知為的最小值，則，，所以最小值為，的長度解法提供以下三種解法：解法一：延長交于，連結(jié)由正八邊形的對稱性顯然有，且易得為等腰直角三角形．依題可知，所以．，所以所以最小值為解法二：在中，，設，由余弦定理得，解得，所求最小值為．解法三：由（或解得）由，解得，所求最小值為．故選B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對得部分分。9．【命題意圖】本小題主要考查復數(shù)的概念、四則運算等基礎知識：考查邏輯推理、運算求解等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等思想；體現(xiàn)基礎性和應用型；導向?qū)?shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】設復數(shù)，對于A，若，則，所以，所以，故A正確；對于B，令，則，故B錯誤；對于C，令，此時滿足，但，故C錯誤；對于D，解法一：，解法二：假設復數(shù)為三角形式，再根據(jù)復數(shù)的乘法法則，易證明（過程略），故D正確．故選AD．10．【命題意圖】查扇形統(tǒng)計圖的基礎知識：考查數(shù)學問題與統(tǒng)計圖表的閱讀理解能力，數(shù)據(jù)處理、運算求解能力；體現(xiàn)基礎性，導向?qū)?shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】對于A，2015年我國新增電力裝機中火電裝機占比50.65%，顯然占比最大，故A正確；對于B，2020年我國新增電力裝機中風電裝機占比37.55%，火電裝機占比29.53%，所以新增電力裝機中風電裝機數(shù)大于火電裝機數(shù)，故B正確；對于C，雖然相對于2015年，2020年我國核電新增裝機占比減少，但由于總裝機數(shù)不確定，所以不能得出核電裝機數(shù)減少的結(jié)論，故C錯誤；對于D，2015年我國新增電力裝機中火電裝機占比50.65%，所以新能源裝機占比不超過50%，但2020年我國風電和太陽能新增裝機占比和為62.8%大于50%，所以2020年我國新增電力裝機結(jié)構(gòu)中清潔能源占比增加，故D正確．故選ABD．11．【命題意圖】本小題以正方體為載體，考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識；考查空間想象能力、推理論證能力等；導向?qū)χ庇^想象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的關注；體現(xiàn)基礎性與綜合性．【試題解析】設正方體的棱長為2對于A，若存在平面，因為平面，則平面平面，矛盾，故不存在點使平面，故A錯誤；對于B，因為，則是異面直線與所成角，因為平面平面，為直角三角形，，，則，所以不存在點使與所成角為，故B正確；對于C，取中點中點，則，平面平面，則平面，因為平面平面，則平面，，所以平面平面，因為四點共面，平面平面，所以平面時，平面，平面平面，在中，邊上的高滿足，則，，故C正確；對于D，過作交于，過作交于，且，延長相交于平面，為中點，且為中點，所以且，即三點共線且，連接并延長，與相交于點，與的延長線相交于點，，所以，連接與相交于點，所以，連接與相交于點，由對稱性可得，連接，則平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，故D正確．故選BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．【命題意圖】本小題主要考查向量的數(shù)量積、向量的坐標表示等基礎知識，考查運算求解等能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化等思想，體現(xiàn)基礎性，導向?qū)Πl(fā)展數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】由可知，則．故答案為．13．【命題意圖】本小題主要考查向量的投影向量等基礎知識，考查運算求解等能力，考查數(shù)形結(jié)合等思想，體現(xiàn)綜合性，導向?qū)Πl(fā)展數(shù)學直觀等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】解法一：因為向量在向量上的投影向量為，則，即或．解法二：如圖作延長線于點，由題可知向量在向量上的投影向量為，即，因為，所以或故答案為（或）．14．【命題意圖】本小題主要考查球的表面積、三角形面積、圓錐的母線與軸截面等基礎知識，考查運算求解、數(shù)形結(jié)合的能力，體現(xiàn)綜合性，導向?qū)Πl(fā)展直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】如圖所示，因為，所以當為軸截面時，最大，因為的面積最大值為，則，所以，即圓錐的軸截面為等邊三角形，解法一：因為圓錐的母線長為2，所以，因為，在直角中，，即，解得，解法二：因為為的外心，所以外接球直徑，即，所以外接球表面積．故答案為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．【命題意圖】本小題主要考查解三角形、正余弦定理等基礎知識，考查推理論證、運算求解等能力，考查數(shù)形結(jié)合和化歸與轉(zhuǎn)化等思想，體現(xiàn)綜合性與應用性，導向?qū)Πl(fā)展直觀想象、邏輯推理及數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】解法一：（1）在中，由余弦定理得：，代入得，解得或（舍去），所以．（2）在中，由正弦定理得：可化為，所以，整理得，又因為，所以，所以為等腰直角三角形，則的面積為．解法二：（1）在中，由正弦定理得：，所以，即，所以，由勾股定理得，，所以．（2）在中，由余弦定理得：可化為，整理得，由勾股定理的逆定理得為等腰直角三角形，則的面積為．16．【命題意圖】本小題主要是對古典概型、有放回事件、事件的關系和運算等基礎知識的考查；考查了學生推理論證能力、運算求解能力、數(shù)學應用能力等；考查或然與必然基本思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想方法，導向?qū)虒W對數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的關注，體現(xiàn)基礎性、綜合性、應用性．【試題解析】（1）解法一：從盒中有放回依次隨機摸出兩個小球的樣本空間是，（也可以采用列表、樹狀圖等方法枚舉）所以，共有16個樣本點．記事件“兩次摸到的小球數(shù)字之和為偶數(shù)”，則，所以，共有8個樣本點．因為樣本空間的每個樣本點具有等可能性，所以，即兩次摸出的小球數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為．解法二：記事件“兩次摸到的小球數(shù)字之和為偶數(shù)”．每一次從盒中摸出小球，小球的數(shù)字都有概率相同的4種可能，故有放回地摸兩次，兩次的小球數(shù)字相加情況共有種可能，1，2，3，4中共有2個偶數(shù)和2個奇數(shù)，事件發(fā)生有種可能（2次都摸到偶數(shù)和2次都摸到奇數(shù)），因為上述各種情況發(fā)生的可能性都相同，所以．（2）解法一：因為，則，，，所以，則，因為事件不會同時發(fā)生，所以兩兩互斥，所以，又因為，所以即可得．解法二：因為，，，，，可以得到，，，所以，共有8個樣本點，即．17．【命題意圖】本小題主要考查直線、平面間的平行、垂直等基礎知識：考查空間想象能力、推理論證及運算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等；體現(xiàn)基礎性、綜合性與應用性，導向?qū)Πl(fā)展邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng)的關注．【試題解析】解法一：（1）過點做，垂足為平面，因為平面平面，平面平面，所以平面，在中，，所以為直角三角形，在中，由，解得，所以；（2）在中，，即，在中，，因為平面平面，所以，在中，，則，所以，因為，所以．解法二：（1）同解法一；（2）在中，，即，在中，，，則，又因為平面平面，則，且平面，所以平面，平面，則，因為，所以．解法三：（1）取中點，連接，因為，所以，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，在中，，，所以為直角三角形，在中，，，所以．【以為底面，以為高，算錯扣2分】（2）在中，，