1．一元二次方程的有關(guān)概念：（1）一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.（2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0這種形式叫一元二次方程的一般形式.其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c可取任意實(shí)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)，這是因?yàn)楫?dāng)a=0時(shí)，方程中就沒(méi)有二次項(xiàng)了，所以，此方程就不是一元二次方程了.（3）一元二次方程的根：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.2.一元二次方程的解法：（1）直接開(kāi)平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開(kāi)平方的方法解一元二次方程.（2）配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開(kāi)平方法來(lái)求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解.（3）公式法：把x=叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c的值（注意符號(hào)②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程無(wú)實(shí)數(shù)根③在b2-4ac≥0的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根.注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①a≠0；②b2-4ac≥0.（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法.因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解.3.一元二次方程根的判別式：利用一元二次方程根的判別式(△=b2-4ac）判斷方程的根的情況.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.上面的結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立.4.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時(shí)，x1+x2=-p，x1x2=q反過(guò)來(lái)可得p=-（x1+x2q=x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問(wèn)題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù).（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，,反過(guò)來(lái)也成立，x1+x2=—，x1x2=（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問(wèn)題：①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根.②已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù).③不解方程求關(guān)于根的式的值，如求，x12+x22等等.④判斷兩根的符號(hào).⑤求作新方程.⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問(wèn)題比較綜合，解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮a≠0，△≥0這兩個(gè)前提條件.【考點(diǎn)1】一元二次方程的定義【例1】（2022·安徽·滁州市第六中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）若（m+3）xm?1?(m?3）x?5=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為()【答案】【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出方程即可求出答案.【詳解】解：由題意可知：|m|?1=2，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解一元二次方程的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型.【變式1.1】（2021·天津市晟楷中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）下列關(guān)于x的方程中，一定是一元二A．a(chǎn)x2+bx+c=0B．x2?4=(x+3)2【答案】【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義（只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程，叫做一元二次方程）逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】解：A、當(dāng)a=0,b≠0時(shí)，方程ax2+bx+c=0是一元一次方程，則此項(xiàng)不符合題意；B、方程x2?4=x+32整理為6x+9=?4，是一元一次方程，則此項(xiàng)不符合題意；C、方程x2+?5=0中的不是整式，不是一元二次方程，則此項(xiàng)不符合題意；D、方程3xx?4=0整理為3x2?12x=0，是一元二次方程，則此項(xiàng)符合題意；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，熟記一元二次方程的定義是解題關(guān)鍵.【變式1.2】（2022·新疆·和碩縣第二中學(xué)九年級(jí)期末）關(guān)于x的方程(a+2是一元二次方程，則a的值是()A．a(chǎn)=±2B．a(chǎn)=?2C．a(chǎn)=2D．a(chǎn)為任意實(shí)數(shù)【答案】【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得a2?2=2且a+2≠0，求解即可.【詳解】解：由題意，得a2?2=2且a+2≠0，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的方程叫做一元二次方程.【變式1.3】（2022·江蘇南通·八年級(jí)期末）若關(guān)于x的方程(a?1)x2+x=0是一元二次方【答案】【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，結(jié)合“關(guān)于x的方程（a-1）x2+2x-1=0是一元二次方程”，得到關(guān)于a的不等式，解之即可.【詳解】解：∵關(guān)于x的方程（a-1）x2+x=0是一元二次方程，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，正確掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)2】一元二次方程的一般形式【例2】（2022·浙江溫州·八年級(jí)期末）把一元二次方程x(2x?1)=x?3化為一般形式，正C．2x2?x+2=0【答案】【答案】D【分析】將方程整理為一般式即可.【詳解】解：x2x?1=x?3，2x2?x=x?3，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式的形式為ax2+bx+c=0(a≠0)是解題的關(guān)鍵.【變式2.1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）將一元二次方程（x+1x+20化成一般形式后的常數(shù)項(xiàng)是.【答案】【答案】2【分析】首先利用多項(xiàng)式乘法計(jì)算方程的左邊，可化為x2+3x+2=0，進(jìn)而可得到常數(shù)項(xiàng).【詳解】解x+1x+2）=0，x2+3x+2=0，常數(shù)項(xiàng)為2，【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關(guān)鍵是掌握一元二次方程的一般形式.【變式2.2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）一元二次方程(2+x)(3x?4)=5化為一般形式為，它的二次項(xiàng)是，一次項(xiàng)是，常數(shù)項(xiàng)是.【答案】【答案】3x2+2x?13=03x22x?13【分析】先利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算方程等號(hào)的左邊，再移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)即可化為一般形式，由此即可得出答案.【詳解】解：2+x3x?4=5，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得3x2+2x?13=0，則一元二次方程2+x3x?4=5化為一般形式為3x2+2x?13=0，它的二次項(xiàng)是3x2，一次項(xiàng)是2x，常數(shù)項(xiàng)是?13，故答案為：3x2+2x?13=0，3x2，2x，?13.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，關(guān)鍵是掌握一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a,b,c都是常數(shù)且a≠0在一般形式中ax2是二次項(xiàng)，bx是一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng).【變式2.3】（2022·山東淄博·八年級(jí)期末）關(guān)于x的一元二次方程(m?3)x2+m2x=9x+5化為一般形式后不含一次項(xiàng)，則m的值為.【答案】【答案】-3【分析】先將一元二次方程化為一般式，再根據(jù)一元二次方程的定義和不含一次項(xiàng)得出m?3≠0且m2?9=0，繼而求解即可.【詳解】解：(m?3)x2+m2x=9x+5，(m?3)x2+m2x?9x?5=0，∵一元二次方程(m?3)x2+m2x=9x+5化為一般形式后不含一次項(xiàng)，解得：m=?3，故答案為：故答案為：?3.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程化為一般式和一元二次方程的定義，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)3】一元二次方程的根【例3】（2022·河北保定師范附屬學(xué)校九年級(jí)期末）若x=﹣1是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一個(gè)根，則2022﹣2a+2b的值為.【答案】【答案】2020【分析】把x=?1代入方程ax2+bx?1=0(a≠0)得a?b=1，再把2022?2a+2b變形為2022?2(a?b)，然后利用整體代入的方法計(jì)算.【詳解】解：把x=?1代入方程ax2+bx?1=0(a≠0)得a?b?1=0，=2020.故答案為：2020.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是理解能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.【變式3.1】（2022·廣西崇左·八年級(jí)期末）已知x=1是一元二次方程x2+ax?2=0的一個(gè)根，則a的值為.【答案】【答案】1【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義，將x=1代入x2+ax?2=0，得到關(guān)于a的一元一次方程，解方程即可求解.【詳解】將x=1代入該方程，得：1+a?2=0，解得：a=1.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解的定義．掌握方程的解就是使等式成立的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵.【變式3.2】（2022·浙江紹興·八年級(jí)期末）若a是方程2x2?x?5=0的一個(gè)根，則代數(shù)式2a?4a2+1的值是.【答案】【答案】-9【分析】由題意可得2a2-a=5，再由2a-4a2+1=-2（2a2-a）+1，即可求解.【詳解】解：∵a是方程2x2-x-5=0的一個(gè)根，∴∴2a2-a-5=0，∴2a2-a=5，∴2a-4a2+1=-10+1=-9，故答案為：-9.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，代數(shù)式求值，恰當(dāng)?shù)淖冃问墙忸}的關(guān)鍵.【變式3.3】（2022·福建·莆田哲理中學(xué)九年級(jí)期末）關(guān)于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b為實(shí)數(shù)且a≠0a恰好是該方程的根，則a+b的值為.【答案】【答案】-2【分析】將x=a代入原方程，再整理，即可求出a+b的值.【詳解】∵a是該方程的根，故答案為：-2.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解．掌握方程的解就是使等式成立的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵.【考點(diǎn)4】一元二次方程的解法—配方法選填題【例4】（2022·西藏·江達(dá)縣第二初級(jí)中學(xué)校九年級(jí)期末）將一元二次方程x2?6x?6=0配方后可寫為 .【答案】【答案】(x?3)2=15【分析】根據(jù)配方法要求即可變形.【詳解】解：x2?6x?6=0，故答案為：x?32=15.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的變形，屬于簡(jiǎn)單題，熟悉完全平方公式是解題關(guān)鍵.2的形式，則m+n的值為.【答案】【答案】14【分析】將一元二次方程進(jìn)行配方，即可對(duì)應(yīng)得到m和n的值.【詳解】解：x2?4x?8=0，即x2?4x=8，故答案為：14.【點(diǎn)睛】本題考查配方法，利用完全平方公式對(duì)方程進(jìn)行配方時(shí)，注意運(yùn)算準(zhǔn)確.【變式4.2】（2022·四川宜賓·九年級(jí)期末）將方程x2?mx+8=0用配方法化為（x?3)2=n，則m+n的值是.【答案】【答案】7【分析】將方程（x?3)2=n化成一般式得x2-6x+9-n=0，根據(jù)兩方程對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等求出m、n的值，即可求解.【詳解】解：∵（x?3)2=n，2-6x+9-n=0，∴-m=-6，9-n=8，則m=6，n=1.∴m+n=6+1=7【點(diǎn)睛】本題考查了用配方法解一元二次方程和求代數(shù)式的值，能夠把完全平方式化成一般式是解此題的關(guān)鍵.【變式4.3】（2022·山東威?！ぐ四昙?jí)期中）對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+6x+3，若x取值為m，則二次三項(xiàng)式的最小值為n，那么m+n的值為.【答案】【答案】-9【分析】先將原式進(jìn)行配方后即可得出m，n的值，再代入計(jì)算即可.【詳解】解：x2+6x+3=x2+6x+9?6=(x+3)2?6，∴x2+6x+3≥?6，即當(dāng)x=?3時(shí)，二次三項(xiàng)式x2+6x+3的最小值為-6，故答案為：-9.【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，正確進(jìn)行配方是解答本題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)s】一元二次方程的解法—因式分解法選填題【例5】（2022·甘肅·張掖育才中學(xué)九年級(jí)期末）一元二次方程(2x?3)2＝9(x+1)2的根為x1=,x2=.【答案】【答案】0﹣6【分析】先移項(xiàng)，再用因式分解法求解即可.【分析】先移項(xiàng)，再用因式分解法求解即可.【詳解】解：2x?32＝9x+12，[（2x﹣3）+3（x+1）][（2x﹣3）﹣3（x+1）]＝0，）＝解得x1＝0，x2=﹣6.故答案為：0；﹣6.【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握用因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵.【變式5.1】（2021·四川·榮縣一中九年級(jí)階段練習(xí)）x2=2x的根為.【答案】【答案】x1=0，x2=2【分析】移項(xiàng)后利用因式分解法求解可得.【詳解】解：∵x2=2x解得x1=0，x2=2，故答案為：x1=0，x2=2【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵.【變式5.2】（2021·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)期末）若一個(gè)一元二次方程x2?5x+6=0的兩個(gè)根分別是Rt△ABC的兩條直角邊長(zhǎng)，則Rt△ABC斜邊長(zhǎng)為.【答案】【答案】13【分析】解一元二次方程求出x1=2，x2=3，根據(jù)勾股定理求出斜邊長(zhǎng)即可.【詳解】解：∵x2?5x+6=0，∴（x-2x-3）=0，解得x1=2，x2=3，∴Rt△ABC斜邊長(zhǎng)為22+32=13，故答案為：13.【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程，勾股定理，正確掌握解方程的方法及勾股定理的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.【變式5.3】（2021·河南·鄧州市城區(qū)第五初級(jí)中學(xué)校.九年級(jí)階段練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“◎”如下：a◎b=a+b2?a?b2．若（m+2）◎（m﹣3）=24，則m=.【答案】【答案】﹣3或4【分析】利用新定義得到(m+2+m?3)]2?(m+2?m?3)]2=24，整理得到(2m?1)2?49=0，然后利用因式分解法解方程.【詳解】解：根據(jù)題意得(m+2+m?3)]2?(m+2?m?3)]2=24，∴（2m﹣1+72m﹣1﹣7）=0，：﹣【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解一元二次方程，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)6】一元二次方程的解法—解答題【例6】（2022·山東省泰安南關(guān)中學(xué)八年級(jí)期中）解下列方程(1)2x2?4x+1=0（用配方法(2)3x2?4x?1=0（公式法【答案】(1)【答案】(1)x1=1+，x2=1?;(2)x1=，x2=【分析】（1）先把1移到方程的右邊，再把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后配方求解即可；（2）先求出Δ的值，再利用求根公式求解即可.解：3x2?4x?1=0，【點(diǎn)睛】本題考查了配方法和公式法解一元二【點(diǎn)睛】本題考查了配方法和公式法解一元二次方程，熟練掌握配方法的步驟和求根公式是解題的關(guān)鍵.【變式6.1】（2022·山東·泰安市泰山區(qū)樹(shù)人外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中）按照指定方法解下列方程：(1)x2＋4x＋1＝13（配方法(2)3x2﹣4x﹣1＝0（公式法(3)（x＋1）2＝3（x＋1）(4)（x﹣3x＋26【答案】(1)x1=2,x2=?6(4)x1=?3,x2=4【分析】（1）移項(xiàng)，利用配方法求解可得答案；（2）利用公式法求解可得答案；（3）移項(xiàng)，利用因式分解法求解可得答案；（4）整理成一般式后，利用因式分解法求解可得答案.x2＋4x＋1＝13x2＋4x＝13?1x2＋4x+4＝13?1+4（x＋1）2＝3（x＋1）（x＋1）2-3（x＋1）＝0（x﹣3x＋26x2?x?12=0【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵.【變式6.2】（2022·浙江·吳寧第三中學(xué)八年級(jí)期中）解方程：(1)2x2+2x=1(2)2x2?3x?5=0【答案】(1)x1=?+,x2=??(2)x1=?1,x2=【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得.x2+x=，22(x+1)(2x?5)=0，52=252=2【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的常用方法（直接開(kāi)平方法、配方法、因式分解法、公式法、換元法等）是解題關(guān)鍵.【變式6.3】（2022·安徽·滁州市第六中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）閱讀下面的材料，解答問(wèn)題.材料：解含絕對(duì)值的方程：x2?3|x|?10=0.解：分兩種情況：（1）當(dāng)x≥0時(shí)，原方程化為x2?3x?10=0，解得x1=5，x2=﹣2（舍去（2）當(dāng)x＜0時(shí)，原方程化為x2+3x?10=0，解得x1=﹣5，x2=2（舍去綜上所述，原方程的解是x1=5，x2=﹣5.問(wèn)題：仿照上面的方法，解方程：x2?2|2x+3|+9=0.【答案】x1=1，x2=3.【分析】分當(dāng)2x+3≥0和2x+3＜0兩種情況討論，再利用解一元二次方程的方法求解即可.【詳解】解：分兩種情況：2原方程化為x2?22x+3+9=0，2綜上所述，原方程的解是x1=1，x2=3.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值符號(hào)的一元二次方程的解；能夠通過(guò)絕對(duì)值的性質(zhì)，去掉絕對(duì)值符號(hào)將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)7】根的判別式【例7】（2022·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x(x?2)=k.(1)若k=3，求此方程的解；(2)當(dāng)k≥?1時(shí)，試判斷方程的根的情況.【答案】【答案】(1)x1=3,x2=?1(2)此時(shí)該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根【分析】（1）將k=3代入，然后利用直接開(kāi)方法求解即可；（（2）將方程化簡(jiǎn)為一般式，然后利用根的判別式求解即可.解：當(dāng)k=3時(shí)，方程為x(x?2)=3由一元二次方程x(x?2)=k得x2?2x?k=0，∴此時(shí)該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.【點(diǎn)睛】題目主要考查利用直接開(kāi)方法求解一元二次方程及其根的判別式，熟練掌握運(yùn)用一元二次方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.【變式7.1】（2022·江蘇南通·八年級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程(a?1)x2+(2a+(1)求證：此方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)如果這個(gè)方程根的判別式的值等于9，求a的值.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)a=0【分析】（1）表示出根的判別式，判斷其值大于0即可得證；（2）表示出根的判別式，讓其值為9求出a的值即可.∴此方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；22【點(diǎn)睛】此題考查了根的判別式，以及一元二次方程的定義，熟練掌握根的判別式與根的情況之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.【變式7.2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）已知關(guān)于x的方程px2+(2p+1)x+(p?1)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，判斷關(guān)于x的方程x2?3x?2p=0的根的情況.【答案】有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.【答案】有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.【分析】先根據(jù)一元二次方程根的判別式Δ=b2?4ac結(jié)合第一個(gè)方程，可確定p的取值范圍．再由不等式的性質(zhì)可求出第二個(gè)方程的根的判別式Δ=b2?4ac的符號(hào)，即可確定其根的情況.【詳解】∵關(guān)于x的方程px2+2p+1x+p?1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，解得：p>?且p≠0.∴關(guān)于x的方程x2?3x?2p=0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式．解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式為Δ=b2?4ac，當(dāng)Δ>0時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ<0時(shí)，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.【變式7.3】（2022·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程kx2+(3k+1)x+2k+(1)求證：無(wú)論x取何值，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若該方程的兩根都是整數(shù)，求整數(shù)k的值.【答案】【答案】(1)見(jiàn)解析(2)±1【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式，即可求解；（2）用公式法求出方程的兩根，x1=1?,x2=?2，再由該方程的兩根都是整數(shù)，且k為整數(shù)，可得1?1為整數(shù)，即可求解.k解：根據(jù)題意得：Δ=3k+12?4k2k+2∴無(wú)論x取何值，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；∵該方程的兩根都是整數(shù)，且k為整數(shù)，k∴整數(shù)k為±1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，當(dāng)Δ=b2?4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=b2?4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=b2?4ac<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵.2【考點(diǎn)8】根與系數(shù)的關(guān)系【例8】（2022·廣西玉林·二模）關(guān)于x的一元二次方程x2?(k?3)x?2k+2=0.(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩根分為x1、x2，且x+x+x1x2=19，求k的值.【答案】【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)k=6或k=-2.【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式可得出Δ=（k+1）2≥0，由此可證出方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可以得到x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，再將它們代入x+x+x1x2=19，即可求出k的值.2-4ac=[-（k-3）]2-4×1×（-2k+2）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；由根與系數(shù)關(guān)系得x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，∵x+x+x1x2=19，∴x1+x22?x1x2=19，解得：k=6或k=-2.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)點(diǎn)1）Δ>0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2）Δ=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根x1+x2=-，x1?x2=.【變式8.1】（2022·陜西·西安鐵一中分校九年級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求k的取值范圍；(2)若方程的兩根x1，x2滿足x1＋x2＝12，請(qǐng)求出方程的兩根.【答案】(1)k<1且k≠0；9>0，然后求出兩不等式的公共部分即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2==12，解得k=，當(dāng)k=時(shí)，原方程變形為x2?12x=?18，然后利用配方法求解方程.解得：k<1，解：根據(jù)題意得x1+x2==12，解得當(dāng)k=1時(shí)，原方程變形為1x2?6x+9=0，【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2?4ac有如下關(guān)系，當(dāng)△>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系.【變式8.2】（2022·山東淄博·八年級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?2kx+k?(1)判斷該方程根的情況，并說(shuō)明理由；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和等于兩根之積，求k的值.【答案】【答案】(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，理由見(jiàn)解析1(2)k(2)k=?【分析】（1）表示出根的判別式，判斷正負(fù)即可得到結(jié)果；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之和與兩根之積，令其值相等求出k的值即可.2222∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；設(shè)方程的兩根為x1，x2，則有x1+x2=2k,x1x2=k?，∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和等于兩根之積，2解得：k=?1.2【點(diǎn)睛】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，以及根的判別式，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.【變式8.3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(m+2)x+m=0，(1)求證：無(wú)論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)若x1，x2是原方程的兩根，且+=?2，求m的值.【答案】【答案】(1)見(jiàn)解析(2)m=2【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式Δ=b2?4ac，證明Δ=b2?4ac恒大于0即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=?,x1x2=，代入即可求出m的值.證明：∵Δ=b2?4ac=(m+2)2?4m=m2+4＞0，∴無(wú)論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；解：由題可知，x1+x2=?(m+2)，x1x2=m，解得m=2，經(jīng)檢驗(yàn)m=2有意義.【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程中根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程中根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系是本題的關(guān)鍵.中根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系是本題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)9】配方法的綜合應(yīng)用【例9】（2022·福建·福州十八中八年級(jí)期末）請(qǐng)閱讀下列材料：我們可以通過(guò)以下方法求代數(shù)式x2+6x+5的最小值．x2+6x+5＝x2+2?x?3+32﹣32+5＝(x+3)2∵(x+3)2≥0∴當(dāng)x=﹣3時(shí)，x2+6x+5有最小值﹣4.請(qǐng)根據(jù)上述方法，解答下列問(wèn)題：(1)x2+5x﹣1＝(x+a)2+b，則ab的值是.(2)求證：無(wú)論x取何值，代數(shù)式x2+26x+7的值都是正數(shù)；(3)若代數(shù)式2x2+kx+7的最小值為2，求k的值.(2)(2)見(jiàn)解析；【分析】（1）利用配方法根據(jù)一次項(xiàng)的系數(shù)求出a與b的值，再相乘即可；（2）先進(jìn)行配方，然后根據(jù)偶次方的非負(fù)性求出代數(shù)式的取值范圍即可；（3）先將代數(shù)式中的二次線系數(shù)提出來(lái)化為1，再進(jìn)行配方，根據(jù)最小值為2求出k的值即可.解：x2+5x?1解得a=，b=-，∴代數(shù)式x2+26x+7的值都是正數(shù)；2x2+kx+7k2=2(x2+x)+72∴代數(shù)式2x2+kx+7有最小值為∵代數(shù)式2x2+kx+7的最小值為2，解得：k=±210.【點(diǎn)睛】本題考查的是將多項(xiàng)式進(jìn)行配方化為完全平方式的形式，再利用偶次方的非負(fù)性求代數(shù)式的最大或最小值，準(zhǔn)確的進(jìn)行配方是解題的關(guān)鍵.【變式9.1】（2022·廣西北海·七年級(jí)期中）閱讀材料：把代數(shù)式x2?6x?7因式分解，可以分解如下：22=(x?3+4)(x?3?4)=(x+1)(x?7)(1)探究：請(qǐng)你仿照上面的方法，把代數(shù)式x2?8x+7因式分解.(2)拓展：當(dāng)代數(shù)式x2+2xy?3y