第三章

3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)第1課時(shí)橢圓的幾何性質(zhì)1.掌握橢圓的幾何性質(zhì)，了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b，c的幾何意義.2.會用橢圓的幾何意義解決相關(guān)問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO內(nèi)容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對點(diǎn)練1知識梳理PARTONE知識點(diǎn)橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程范圍________________________________________－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a頂點(diǎn)________________________________________________________________________________________軸長短軸長＝

，長軸長＝____焦點(diǎn)焦距|F1F2|＝

對稱性對稱軸：

對稱中心：_____離心率e＝

∈_____A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)2b2ax軸、y軸原點(diǎn)(0,1)思考離心率對橢圓扁圓程度有什么影響？思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU3.離心率相同的橢圓是同一個(gè)橢圓.(

)×××√2題型探究PARTTWO2題型探究PARTTWO一、橢圓的簡單幾何性質(zhì)例1設(shè)橢圓方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的離心率為

，試求橢圓的長軸長和短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo).反思感悟用標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)的步驟(1)將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式.(2)確定焦點(diǎn)位置.(焦點(diǎn)位置不確定的要分類討論)(3)求出a，b，c.(4)寫出橢圓的幾何性質(zhì).(1)求橢圓C1的長半軸長、短半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；(1)求橢圓C1的長半軸長、短半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；(2)寫出橢圓C2的方程，并研究其幾何性質(zhì).①范圍：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②對稱性：對稱軸：x軸、y軸，對稱中心：原點(diǎn)；③頂點(diǎn)：長軸端點(diǎn)(0,10)，(0，－10)，短軸端點(diǎn)(－8,0)，(8,0)；④焦點(diǎn)：(0,6)，(0，－6)；二、由橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6；如圖所示，△A1FA2為等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18，解當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由題意，得a＝3，由題意，得b＝3，把b＝3代入，得a2＝27，反思感悟利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)確定焦點(diǎn)位置.(2)設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù).(4)寫出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.跟蹤訓(xùn)練2

(1)若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，長軸長與短軸長的和為18，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________.因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，(2)已知橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個(gè)焦點(diǎn)，A是一個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的長軸長為6，且cos∠OFA＝

，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是___________________________.所以點(diǎn)A不是長軸的端點(diǎn)(是短軸的端點(diǎn)).所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，三、求橢圓的離心率解析方法一

由題意可設(shè)|PF2|＝m，方法二

由PF2⊥F1F2可知P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，延伸探究1.若將本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改為“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的離心率.解在△PF1F2中，∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，∴∠F1PF2＝60°，設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a，2.若將本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改為“C上存在點(diǎn)P，使∠F1PF2為鈍角”，求C的離心率的取值范圍.解由題意，知c>b，∴c2>b2.又b2＝a2－c2，反思感悟求橢圓離心率及取值范圍的兩種方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝

求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝

求解.(2)方程法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2＝b2＋c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍.√解析由題意知，A(－a，0)，B(0，b)，F(xiàn)(c，0)，∴c2－a2＋ac＝0，即e2＋e－1＝0，解析由PF1⊥PF2，知△F1PF2是直角三角形，3隨堂演練PARTTHREE則a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，√12345解析依題意知，所求橢圓的焦點(diǎn)位于x軸上，√123453.若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，則該橢圓的離心率為√解析不妨設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，B為橢圓的上頂點(diǎn).依題意可知，△BF1F2是正三角形.∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，123454.若橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，且長軸長是短軸長的2倍，則m的值為_____.12345解析∵橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，長軸長是短軸長的2倍，______________________.123451.知識清單：(1)橢圓的簡單幾何性質(zhì).(2)由橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程.(3)求橢圓的離心率.2.方法歸納：直接法、方程法(不等式法).3.常見誤區(qū)：忽略橢圓離心率的范圍0＜e＜1及長軸長與a的關(guān)系.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對點(diǎn)練PARTFOUR1.橢圓6x2＋y2＝6的長軸端點(diǎn)坐標(biāo)為√基礎(chǔ)鞏固∴a2＝6，且焦點(diǎn)在y軸上，12345678910111213141516√12345678910111213141516所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c2＝5，故A，C不正確；√12345678910111213141516又a2＝b2＋c2，所以解得a＝6，b＝4.√12345678910111213141516解析以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝a2，√123456789101112131415166.若橢圓的短軸長為6，焦點(diǎn)到長軸的一個(gè)端點(diǎn)的最近距離是1，則橢圓的離心率為_____.12345678910111213141516解析依題意，得b＝3，a－c＝1.又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，則1<a≤2，∴2<2a≤4，即長軸長的取值范圍是(2,4].12345678910111213141516(2,4]8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為

.過F1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長為16，那么橢圓C的方程為_______________.1234567891011121314151612345678910111213141516由于△ABF2的周長為|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，∴a＝4，∴b2＝8，1234567891011121314151612345678910111213141516(2)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離為8，兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－6,0)，(6,0)，求焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，∵2c＝8，∴c＝4，又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.12345678910111213141516A.2 B.3 C.6 D.8√12345678910111213141516綜合運(yùn)用解析由題意得點(diǎn)F(－1,0).設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，此二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x0＝－2.又－2≤x0≤2，所以當(dāng)x0＝2時(shí)，1234567891011121314151612.以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為直徑的端點(diǎn)的圓與橢圓交于四個(gè)不同的點(diǎn)，順次連接這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形，那么這個(gè)橢圓的離心率為√解析設(shè)橢圓的焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，圓與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)是A，B，C，D，12345678910111213141516____________________.12345678910111213141516將點(diǎn)M(1,2)代入橢圓方程得1234567891011121314151612345678910111213141516解析如圖，切線PA，PB互相垂直，又半徑OA垂直于PA，12345678910111213141516√12345678910111213141516拓廣探究解析設(shè)左焦點(diǎn)為F0，連接F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形.∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.12345678910111213141516故選A.16.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：

＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周長為16，求|AF2|；12345678910111213141516解由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因?yàn)椤鰽BF2的周長為16，所以由橢圓定義可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，故|AF2|＝8－3＝5.12345678910111213141516解設(shè)|F1B|＝k，則k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由橢圓定義可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，化簡可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2為等腰直角三角形.12345678910111213141516備用工具&資料12345678910111213141516解析設(shè)左焦點(diǎn)為F0，連接F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形.∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝