第第頁PAGE【解析版】專題01復(fù)數(shù)及其四則運算在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上有一件有意思的事：數(shù)學(xué)家在研究三次方程求解的過程中，即使最終得到實根，過程中卻常常要對一些負(fù)數(shù)開平方，遇到了難以自圓其說的尷尬；于是，一種被稱作為“虛數(shù)”的新數(shù)于16世紀(jì)開始被引入了數(shù)學(xué)實數(shù)與虛數(shù)合稱為復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)是人類理性思維的演繹成果，它的產(chǎn)生首先是因為數(shù)學(xué)家解決數(shù)學(xué)自身問題的需要，在很長的一段時間內(nèi)，人們并不清楚它與現(xiàn)實世界到底有怎樣的聯(lián)系；后來，數(shù)學(xué)家建立了復(fù)數(shù)與向量，即復(fù)數(shù)與幾何的關(guān)聯(lián)，在大學(xué)學(xué)習(xí)力學(xué)和電磁學(xué)時，會看到復(fù)數(shù)在其中的重要作用，復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)及其他科學(xué)領(lǐng)域中也越來越體現(xiàn)出它的重要性；現(xiàn)在，復(fù)數(shù)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)工作者與許多領(lǐng)域的科技人員熟練掌握并廣泛應(yīng)用的基本數(shù)學(xué)工具；一、《必修第二冊》目錄與內(nèi)容提要【本章教材目錄】9.1復(fù)數(shù)及其四則運算9.1.1復(fù)數(shù)的引入與復(fù)數(shù)的四則運算；9.1.2復(fù)數(shù)的實部、虛部與共軛；9.2復(fù)數(shù)的幾何意義9.2.1復(fù)平面與復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示；9.2.2復(fù)數(shù)的向量表示；9.2.3復(fù)數(shù)加法的平行四邊形法則；9.2.4復(fù)數(shù)的模9.3實系數(shù)一元二次方程9.3.1實數(shù)的平方根；9.3.2實數(shù)系一元二次方程；*9.4復(fù)數(shù)的三角形式9.4.1復(fù)數(shù)的三角形式；9.4.2三角形式下復(fù)數(shù)的乘除運算；9.4.3三角形式下復(fù)數(shù)的乘方與開方【本章內(nèi)容提要】復(fù)數(shù)是我們繼自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)和實數(shù)的學(xué)習(xí)之后，新認(rèn)識的一種數(shù).1、復(fù)數(shù)系與相關(guān)概念（1）虛數(shù)單位，滿足.（2）復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：（）.（3）復(fù)數(shù)的相等：（）的充要條件是同時為；復(fù)數(shù)（）的充要條件是且.（4）復(fù)數(shù)的實部與虛部：復(fù)數(shù)（）的實部是，虛部是；虛部為的復(fù)數(shù)是實數(shù)，虛部不為的復(fù)數(shù)稱為虛數(shù)，實部為的虛數(shù)稱為純虛數(shù).；（5）復(fù)數(shù)的共軛：復(fù)數(shù)（）的共軛復(fù)數(shù)是；（6）復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)（）的模是；復(fù)數(shù)的模有如下性質(zhì)：對、、，，；；；（復(fù)數(shù)的三角不等式）.2、復(fù)數(shù)的四則運算（1）兩個復(fù)數(shù)進(jìn)行相加、相減或相乘時，仿照兩個二項式進(jìn)行相加、相減或相乘的規(guī)則計算，并用條件及合并同類項以化簡結(jié)果：設(shè)；．（2）兩個復(fù)數(shù)進(jìn)行除法（除數(shù)不為）運算時，將分子和分母同時乘分母的共軛復(fù)數(shù)，然后分子和分母分別做復(fù)數(shù)的乘法而得到運算結(jié)果：設(shè)，.本質(zhì)：化簡分式.（3）復(fù)數(shù)模對乘、除的分配性：復(fù)數(shù)積（商）的模等于模的積（商）：設(shè)；（）.3、復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示（1）復(fù)平面：表示復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)平面叫做復(fù)平面，其中軸叫做實軸，軸叫做虛軸.（2）復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示與向量表示：復(fù)數(shù)（）可用復(fù)平面上坐標(biāo)為的點來表示，也可以用從坐標(biāo)原點出發(fā)的向量來表示.（3）復(fù)數(shù)模的幾何意義：復(fù)數(shù)（）的模等于點與原點的距離，也等于向量的模.（4）兩個復(fù)數(shù)的和在復(fù)平面上所對應(yīng)的向量就是兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量按平行四邊形法則所得到的和向量.（5）兩復(fù)數(shù)差的模的幾何意義：兩復(fù)數(shù)、差的模是這兩個復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)點、之間的距離，即.4、實系數(shù)一元二次方程給定方程（，），并令為其判別式，則（1）當(dāng)時，方程有兩個不相等的實根；（2）當(dāng)時，方程有兩個相等的實根（二重根）（3）當(dāng)時，方程有一對共軛虛根*5、復(fù)數(shù)的三角形式（1）復(fù)數(shù)的輻角：設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點，則以原點為頂點、軸的正半軸為始邊、射線為終邊的角稱為的輻角，記作；滿足的輻角稱為的輻角主值，記為.（2）復(fù)數(shù)的三角形式：設(shè)復(fù)數(shù)的模為，輻角為，則，復(fù)數(shù)的這種表示形式稱為它的三角形式.（3）三角形式下復(fù)數(shù)的乘法與除法公式：給定三角形式的復(fù)數(shù)與，則，（）.（4）三角形式下復(fù)數(shù)的乘方與開方公式：給定三角形式的復(fù)數(shù)，則對任何正整數(shù)，有：；的次方根，；1、虛數(shù)單位及其規(guī)定（1）虛數(shù)單位：它的平方等于，即.（2）虛數(shù)單位可以與實數(shù)進(jìn)行加、乘運算：當(dāng)時，比如：，，并規(guī)定虛數(shù)單位與實數(shù)的乘法滿足交換律；化簡歸納得到形如：的數(shù)；2、復(fù)數(shù)的定義與代數(shù)表示形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實部，記作；叫復(fù)數(shù)的虛部，記作；全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母表示：即：；【注意】稱作復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；3、現(xiàn)行教材有關(guān)復(fù)數(shù)的約定對于復(fù)數(shù)集：（1）復(fù)數(shù)且；（2）復(fù)數(shù)且；【說明】1、如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等；2、一般地，兩個復(fù)只能說相等或不相等，而不能比較大小，只有當(dāng)兩個復(fù)數(shù)全是實數(shù)時才能比較大??；4、復(fù)數(shù)的四則運算復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)【說明】1、復(fù)數(shù)加法運算律：對任意z1，z2，z3∈C，有①z1＋z2＝z2＋z1；②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)‘’2、復(fù)數(shù)乘法的運算律：對于任意z1，z2，z3∈C，有：①交換律：z1·z2＝z2·z1；②結(jié)合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；③乘法對加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3；5、復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)的分類以及復(fù)數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及的關(guān)系對于復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時，復(fù)數(shù)是實數(shù)，；當(dāng)時，復(fù)數(shù)叫做虛數(shù)；當(dāng)且時，叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時，就是實數(shù)0.【說明】復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：；6、共軛復(fù)數(shù)1、實部相等而虛部互為相反數(shù)的兩個復(fù)數(shù)，叫做共軛復(fù)數(shù)，也稱這兩個復(fù)數(shù)互相共軛；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)用表示，也就是當(dāng)時，虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)；2、一般地，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)，虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)，z的共軛復(fù)數(shù)用eq\x\to(z)表示．若z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq\x\to(z)＝a－bi．3、設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，則eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i．題型1、準(zhǔn)確把握與理解虛數(shù)單位例1、（1）下列復(fù)數(shù)中，滿足方程x2+2=0的是()A．±1 B．±iC．±eq\r(2)QUOTE2i D．±2i【答案】C；【解析】由題意得，x2=－2=2i2，所以x=±eq\r(2)QUOTE2i；（2）計算：[(1＋2i)·i100－i]2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,\r(2))))30＝________.【答案】3i；【解析】原式＝[(1＋2i)－i]2－eq\f(215(－i),215)＝(1＋i)2＋i＝3i;【說明】1、虛數(shù)單位i的乘方具有周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈{正整數(shù)}；2、(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.題型2、準(zhǔn)確理解復(fù)數(shù)的相關(guān)概念例2、（1）給出下列三個命題：①若z∈C，則z2≥0；②2i－1的虛部是2i；③2i的實部是0.其中真命題的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3【答案】B；【解析】復(fù)數(shù)的平方不一定大于0，故①錯；2i－1的虛部為2，故②錯；2i的實部是0，③正確，故選B.（2）已知復(fù)數(shù)z＝a2－(2－b)i的實部和虛部分別是2和3，則實數(shù)a，b的值分別是__________．【答案】±eq\r(2)，5；【解析】由題意，得a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±eq\r(2)，b＝5；【說明】判斷與復(fù)數(shù)有關(guān)的命題是否正確的方法：1、舉反例：判斷一個命題為假命題，只要舉一個反例即可，所以解答這類題型時，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法進(jìn)行解答；2、化代數(shù)式：對于復(fù)數(shù)實部、虛部的確定，不但要把復(fù)數(shù)化為a＋bi的形式，更要注意這里a，b均為實數(shù)時，才能確定復(fù)數(shù)的實、虛部；題型3、理解復(fù)數(shù)相等的充要條件例3、已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i為虛數(shù)單位)，則a等于()A．－1B．1C．－3D．3【答案】C；【解析】方法1：因為(1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，所以－a＝3，解得a＝－3；方法2：因為(1＋ai)i＝3＋i，所以1＋ai＝eq\f(3＋i,i)＝1－3i，所以a＝－3；（2）若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求：實數(shù)x，y的值；【提示】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件求解；【解析】由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,y＝x＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(1,2).))【說明】復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，則z1＝z2?a＝c且b＝d；特別注意：其中a，b，c，d∈R；題型4、復(fù)數(shù)相等的充要條件的應(yīng)用例4、（1）已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，則a的值為________．【答案】0；【解析】由z1>z2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a2＋3a＝0，,a2＋a＝0，,－4a＋1>2a，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0或a＝－\f(3,2)，,a＝0或a＝－1，,a<\f(1,6).))解得a＝0.（2）關(guān)于x的方程3x2－eq\f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有實根，求實數(shù)a的值．【提示】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件求解；【解析】設(shè)方程的實根為x＝m，則原方程可變?yōu)?m2－eq\f(a,2)m－1＝(10－m－2m2)i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m2－\f(a,2)m－1＝0，,10－m－2m2＝0，))解得a＝11或a＝－eq\f(71,5).【說明】復(fù)數(shù)問題實數(shù)化是解決復(fù)數(shù)相等問題最基本的也是最重要的思想方法．轉(zhuǎn)化過程主要依據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件；基本思路是：1、等式兩邊整理為a＋bi(a，b∈R)的形式；2、由復(fù)數(shù)相等的充要條件可以得到由兩個實數(shù)等式所組成的方程組；3、解方程組，求出相應(yīng)的參數(shù)；題型5、用好復(fù)數(shù)的代數(shù)形式a＋bi(a，b∈R)例5、（1）使不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立的實數(shù)m的取值集合是________.【答案】{3}【解析】依題意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－3m＝0，,m2－4m＋3＝0，,m2<10.))解得m＝3，∴實數(shù)m的取值集合是{3}；（2）已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＋z＝1＋3i，求z.【解析】設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝eq\r(x2＋y2)，又|z|＋z＝1＋3i，所以eq\r(x2＋y2)＋x＋yi＝1＋3i，由復(fù)數(shù)相等得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋y2)＋x＝1，,y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝3，))所以z＝－4＋3i；【說明】當(dāng)一個等式中同時含有|z|與z時，一般要用待定系數(shù)法，設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)；化標(biāo)準(zhǔn)式：解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部；然后，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件列出實部和虛部滿足的方程(不等式)即可；題型6、復(fù)數(shù)的加減運算例6、（1）復(fù)數(shù)(2＋3i)－(1－i)＋(7＋i)＝______.【答案】8＋5i【解析】復(fù)數(shù)(2＋3i)－(1－i)＋(7＋i)＝(2－1＋7)＋(3＋1＋1)i＝8＋5i.（2）設(shè)m∈R，復(fù)數(shù)z1＝eq\f(m2＋m,m＋2)＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虛數(shù)，求m的取值范圍．【解析】∵z1＝eq\f(m2＋m,m＋2)＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，∴z1＋z2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2＋m,m＋2)－2))＋[(m－15)＋m(m－3)]i＝eq\f(m2－m－4,m＋2)＋(m2－2m－15)i.∵z1＋z2是虛數(shù)，∴m2－2m－15≠0且m＋2≠0.∴m≠5且m≠－3且m≠－2，m∈R.即m的取值范圍為(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．【說明】復(fù)數(shù)加、減運算的解題思路：兩個復(fù)數(shù)相加(減)，就是把兩個復(fù)數(shù)的實部相加(減)，虛部相加(減)．復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算．當(dāng)多個復(fù)數(shù)相加(減)時，可將這些復(fù)數(shù)的所有實部相加(減)，所有虛部相加(減)；題型7、復(fù)數(shù)的乘除運算例7、（1）計算：eq\f((1＋i)(4＋3i),(2－i)(1－i))＝________.【答案】－2＋i【解析】方法1：eq\f((1＋i)(4＋3i),(2－i)(1－i))＝eq\f(1＋7i,1－3i)＝eq\f((1＋7i)(1＋3i),10)＝－2＋i.方法2：eq\f((1＋i)(4＋3i),(2－i)(1－i))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4＋3i,2－i)))＝eq\f(i(4＋3i)(2＋i),5)＝eq\f((－3＋4i)(2＋i),5)＝eq\f(－10＋5i,5)＝－2＋i.（2）若復(fù)數(shù)z滿足z(2－i)＝11＋7i(i為虛數(shù)單位)，則z為()A．3＋5i B．3－5iC．－3＋5i D．－3－5i【答案】A【解析】∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝eq\f(11＋7i,2－i)＝eq\f(11＋7i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(15＋25i,5)＝3＋5i.【說明】1、兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算的一般步驟：（1）①首先按多項式的乘法展開；②再將i2換成－1；③然后再進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減運算．（2）常用公式①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)；②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；③(1±i)2＝±2i；2、復(fù)數(shù)的除法運算法則的應(yīng)用：復(fù)數(shù)的除法法則在實際操作中不方便使用，一般將除法寫成分式形式，采用“分母實數(shù)化”的方法，即將分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母成為實數(shù)，再計算；復(fù)數(shù)除法的法則是：(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．注意點：①在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運算時，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)寫成eq\f(a＋bi,c＋di)的形式．②復(fù)數(shù)的除法的實質(zhì)是分母實數(shù)化．若分母為a＋bi型，則分子、分母同乘a－bi；若分母為a－bi型，則分子、分母同乘a＋bi，即分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)．題型8、對復(fù)數(shù)的分類的理解例8、（1）復(fù)數(shù)z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)為純虛數(shù)的充要條件是()A．|a|＝|b|B．a(chǎn)<0且a＝－bC．a(chǎn)>0且a≠bD．a(chǎn)>0且a＝±b【提示】依據(jù)復(fù)數(shù)的分類列出方程(不等式)組求解；【答案】D；【解析】要使復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝0，,a＋|a|≠0，))∴a>0，a＝±b；故選D；（2）已知m∈R，復(fù)數(shù)z＝eq\f(mm＋2,m－1)＋(m2＋2m－3)i，當(dāng)m為何值時，①z為實數(shù)？②z為虛數(shù)？③z為純虛數(shù)？【提示】依據(jù)復(fù)數(shù)的分類列出方程(不等式)組求解；【解析】①要使z為實數(shù)，需滿足m2＋2m－3＝0，且eq\f(mm＋2,m－1)有意義，即m－1≠0，解得m＝－3.②要使z為虛數(shù)，需滿足m2＋2m－3≠0，且eq\f(mm＋2,m－1)有意義，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.③要使z為純虛數(shù)，需滿足eq\f(mm＋2,m－1)＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.【說明】利用復(fù)數(shù)的分類求參數(shù)時，要先確定構(gòu)成實部、虛部的式子有意義的條件，再結(jié)合實部與虛部的取值求解.要特別注意復(fù)數(shù)z＝a＋bia，b∈R為純虛數(shù)的充要條件是a＝0且b≠0；題型9、共軛復(fù)數(shù)的初步理解例9、（1）若復(fù)數(shù)z滿足2z＋eq\x\to(z)＝3－2i，其中i為虛數(shù)單位，則z＝()A．1＋2iB．1－2iC．－1＋2iD．－1－2i【答案】B；【解析】方法1：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則2z＋eq\x\to(z)＝2a＋2bi＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i.由復(fù)數(shù)相等的定義，得3a＝3，b＝－2，解得a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i.方法2：由已知條件2z＋eq\x\to(z)＝3－2i①，得2eq\x\to(z)＋z＝3＋2i②，解①②組成的關(guān)于z，eq\x\to(z)的方程組，得z＝1－2i；故選B；（2）已知復(fù)數(shù)z＝1＋i，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)eq\o(z,\s\up6(－))＝1－i，求實數(shù)a，b使az＋2beq\o(z,\s\up6(－))＝(a＋2z)2；【解析】∵z＝1＋i，eq\o(z,\s\up6(－))＝1－i，∴az＋2beq\o(z,\s\up6(－))＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.∵a，b都是實數(shù)，∴由az＋2beq\o(z,\s\up6(－))＝(a＋2z)2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝a2＋4a，,a－2b＝4a＋2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝2.))【說明】共軛復(fù)數(shù)的求解與應(yīng)用1、若復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式已知，則根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可以寫出eq\o(z,\s\up6(－))，再進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運算．必要時，需通過復(fù)數(shù)的運算先確定出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求eq\o(z,\s\up6(－)).2、共軛復(fù)數(shù)應(yīng)用的另一種常見題型是：已知關(guān)于z和eq\o(z,\s\up6(－))的方程，而復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式未知，求z.解此類題的常規(guī)思路為設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，代入所給等式，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，轉(zhuǎn)化為方程(組)求解．題型10、復(fù)數(shù)運算的綜合應(yīng)用例10、已知z1是虛數(shù)，z2＝z1＋eq\f(1,z1)是實數(shù)，且－1≤z2≤1.（1）求|z1|的值以及z1的實部的取值范圍；（2）若ω＝eq\f(1－z1,1＋z1)，求證：ω為純虛數(shù)．【解析】（1）z2＝z1＋eq\f(1,z1)＝a＋bi＋eq\f(1,a＋bi)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(a,a2＋b2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(b,a2＋b2)))i.因為z2是實數(shù)，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，所以z2＝2a，由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－eq\f(1,2)≤a≤eq\f(1,2)，即z1的實部的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).（2）ω＝eq\f(1－z1,1＋z1)＝eq\f(1－a－bi,1＋a＋bi)＝eq\f(1－a2－b2－2bi,1＋a2＋b2)＝－eq\f(b,a＋1)i.因為a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，b≠0，所以ω為純虛數(shù)．【說明】解決雙復(fù)數(shù)問題的方法：解決此類雙復(fù)數(shù)問題的關(guān)鍵是設(shè)出已知條件較多的一個復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，注意題目對a，b取值的限制，然后用a，b表示出另外的復(fù)數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化求解．此類題目難度較大，除需正確進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運算外，還需掌握復(fù)數(shù)的基本概念及復(fù)數(shù)模的定義；1、已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i為虛數(shù)單位)，則a等于【答案】－3；【解析】方法1：因為(1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，所以－a＝3，解得a＝－3.方法:2：因為(1＋ai)i＝3＋i，所以1＋ai＝eq\f(3＋i,i)＝1－3i，所以a＝－3.2、若eq\x\to(z)(1＋i)＝1－i，則z等于【答案】i【解析】因為eq\x\to(z)＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f((1－i)2,(1＋i)(1－i))＝－i，所以z＝i.3、已知eq\f(x,1＋i)＝1－yi，其中x，y是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則x＋yi的共軛復(fù)數(shù)為【答案】2－i【解析】由eq\f(x,1＋i)＝1－yi，得eq\f(x1－i,1＋i1－i)＝1－yi，即eq\f(x,2)－eq\f(x,2)i＝1－yi，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝1，,\f(x,2)＝y(tǒng)，))解得x＝2，y＝1，∴x＋yi＝2＋i，∴其共軛復(fù)數(shù)為2－i.4、已知z＝1－3i，則|eq\x\to(z)－i|＝________.【答案】eq\r(5)【解析】∵z＝1－3i，∴eq\x\to(z)＝1＋3i，∴eq\x\to(z)－i＝1＋3i－i＝1＋2i，∴|eq\x\to(z)－i|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).5、eq\f(2－i,1＋2i)等于【答案】－i【解析】eq\f(2－i,1＋2i)＝eq\f(2－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(－5i,5)＝－i.6、已知z是純虛數(shù)，eq\f(z－2,1＋i)是實數(shù)，則復(fù)數(shù)z=.【答案】－2i.【解析】設(shè)純虛數(shù)z＝bi(b