2025數(shù)學(xué)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義人教A版第二章必刷小題4函數(shù)與方程必刷小題4函數(shù)與方程一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·信陽(yáng)模擬)函數(shù)f(x)＝2x＋lnx－4的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案B解析f(x)＝2x＋lnx－4，則f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(1)＝－2<0，f(2)＝ln2>0，所以f(x)的唯一零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)上．2．(2023·北京模擬)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,ex－2，x>0))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3答案C解析當(dāng)x≤0時(shí)，令f(x)＝x2＋2x－3＝0，則(x－1)(x＋3)＝0，解得x＝1(舍去)或x＝－3；當(dāng)x>0時(shí)，令ex－2＝0，解得x＝ln2，所以f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.3．(2023·大慶模擬)函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)答案C解析由題意可知，函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a在(1,2)上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(x)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，所以f(1)f(2)<0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(21－\f(2,1)－a))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(22－\f(2,2)－a))<0，解得0<a<3.4．(2023·無(wú)錫模擬)函數(shù)f(x)＝eq\f(2xlnx2,4x＋1)的部分圖象大致為()答案A解析f(x)＝eq\f(2xlnx2,4x＋1)變形為f(x)＝eq\f(lnx2,2x＋2－x)，定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝eq\f(ln－x2,2－x＋2x)＝eq\f(lnx2,2x＋2－x)＝f(x)，故f(x)為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<0，當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)≥0，故B，C錯(cuò)誤；又當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→0，故D錯(cuò)誤，A正確．5．若函數(shù)y1＝a·x2，y2＝c·2x，y3＝b·x3，則由表中數(shù)據(jù)確定f(x)，g(x)，h(x)依次對(duì)應(yīng)()xf(x)g(x)h(x)120.20.2550253.210200200102.4A.y1，y2，y3 B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2答案D解析因?yàn)閑q\f(f5,f1)＝25＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,1)))2，eq\f(f10,f5)＝4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,5)))2，所以f(x)＝y(tǒng)1；因?yàn)閑q\f(g5,g1)＝125＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,1)))3，eq\f(g10,g5)＝8＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,5)))3，所以g(x)＝y(tǒng)3；因?yàn)閑q\f(h5,h1)＝16＝eq\f(25,21)，eq\f(h10,h5)＝32＝eq\f(210,25)，所以h(x)＝y(tǒng)2.6．(2023·渭南模擬)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))－|lgx|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．2B．3C．4D．5答案C解析f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx與y＝|lgx|圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系下，兩個(gè)函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知，兩函數(shù)共有4個(gè)交點(diǎn)，故f(x)有4個(gè)零點(diǎn)．7．(2024·涼山模擬)成昆線(xiàn)復(fù)線(xiàn)是國(guó)家西部大開(kāi)發(fā)重點(diǎn)工程建設(shè)項(xiàng)目，是“一帶一路”建設(shè)中連接南亞、東南亞國(guó)際貿(mào)易口岸的重要通道．線(xiàn)路并行于既有成昆鐵路，全長(zhǎng)約860公里，設(shè)計(jì)時(shí)速160公里，于2022年12月26日正式開(kāi)通運(yùn)營(yíng)．西昌到成都的列車(chē)運(yùn)行時(shí)不僅速度比以前列車(chē)快而且噪聲更?。覀冇寐晱?qiáng)I(單位：W/m2)表示聲音在傳播途徑中每1平方米面積上聲能流密度，聲強(qiáng)級(jí)L(單位：dB)與聲強(qiáng)I的函數(shù)關(guān)系式為L(zhǎng)＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12))).若提速前列車(chē)的聲強(qiáng)級(jí)是100dB，提速后列車(chē)的聲強(qiáng)級(jí)是50dB，則提速前列車(chē)的聲強(qiáng)是提速后列車(chē)聲強(qiáng)的()A．106倍 B．105倍C．104倍 D．103倍答案B解析設(shè)提速前列車(chē)的聲強(qiáng)為I1，提速后列車(chē)的聲強(qiáng)為I2，由題意知，100＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I1,10－12)))，50＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I2,10－12)))，得lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I1,10－12)))＝10，lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I2,10－12)))＝5，則lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I1,10－12)))－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I2,10－12)))＝10－5＝5，即lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(I1,10－12),\f(I2,10－12))))＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I1,I2)))＝5，解得eq\f(I1,I2)＝105.8．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2－x，x<0，,2x＋21－x－a，x≥0))的所有零點(diǎn)之和為0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(2eq\r(2)，3] B．[2eq\r(2)，3]C．(2eq\r(2)，＋∞) D．[2eq\r(2)，＋∞)答案A解析當(dāng)x<0時(shí)，易得f(x)的零點(diǎn)為x0＝－1；當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋21－x－a，∵當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝f(1－x)，∴f(x)的圖象在[0,1]上關(guān)于直線(xiàn)x＝eq\f(1,2)對(duì)稱(chēng)．又f′(x)＝eq\f(22x－2ln2,2x)，當(dāng)x>eq\f(1,2)時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞增，當(dāng)0<x<eq\f(1,2)時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上單調(diào)遞減，且f(0)＝1＋2－a，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2eq\r(2)－a.∵f(x)的所有零點(diǎn)之和為0，故f(x)在[0，＋∞)上有2個(gè)不同的零點(diǎn)，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0≥0，,f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<0，))解得2eq\r(2)<a≤3.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2eq\r(2)，3]．二、多項(xiàng)選擇題9．設(shè)f(x)＝2x＋3x－7，某學(xué)生用二分法求方程f(x)＝0的近似解(精確度為0.1)，列出了它的對(duì)應(yīng)值如表：x011.251.3751.43751.52f(x)－6－2－0.87－0.280.020.333若依據(jù)此表格中的數(shù)據(jù)，則得到符合要求的方程的近似解可以為()A．1.31B．1.38C．1.43D．1.44答案BC解析∵y＝2x與y＝3x－7都是R上的增函數(shù)，∴f(x)＝2x＋3x－7是R上的增函數(shù)，∴f(x)在R上至多有一個(gè)零點(diǎn)，由表格中的數(shù)據(jù)可知，f(1.375)＝－0.28<0，f(1.4375)＝0.02>0，∴f(x)在R上有唯一零點(diǎn)，零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1.375,1.4375)，即方程f(x)＝0有且僅有一個(gè)解，且在區(qū)間(1.375,1.4375)內(nèi)，∵1.4375－1.375＝0.0625<0.1，∴[1.375,1.4375]內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)都可以作為方程的近似解，∵1.31?[1.375,1.4375]，1.38∈[1.375,1.4375]，1.43∈[1.375，1.4375]，1.44?[1.375,1.4375]，∴符合要求的方程的近似解可以是1.38和1.43.10．(2023·濟(jì)寧模擬)下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且存在零點(diǎn)的是()A．y＝x＋eq\f(1,x) B．y＝x3＋xC．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))) D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))答案BD解析對(duì)于A(yíng)，設(shè)f(x)＝x＋eq\f(1,x)，x≠0，則f(－x)＝－x＋eq\f(1,－x)＝－f(x)，得y＝x＋eq\f(1,x)為奇函數(shù)，令x＋eq\f(1,x)＝0，方程無(wú)解，即函數(shù)不存在零點(diǎn)，故A不符合；對(duì)于B，設(shè)f(x)＝x3＋x，x∈R，則f(－x)＝(－x)3－x＝－x3－x＝－f(x)，得y＝x3＋x為奇函數(shù)，令x3＋x＝0，得x＝0，即函數(shù)存在零點(diǎn)，故B符合；對(duì)于C，設(shè)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx，是R上的偶函數(shù)，故C不符合；對(duì)于D，設(shè)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－sinx，是R上的奇函數(shù)，且存在零點(diǎn)，故D符合．11．(2024·湛江模擬)某地下車(chē)庫(kù)在排氣扇發(fā)生故障的情況下測(cè)得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常，排氣4分鐘后測(cè)得車(chē)庫(kù)內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm，繼續(xù)排氣4分鐘后又測(cè)得濃度為32ppm.由檢驗(yàn)知該地下車(chē)庫(kù)一氧化碳濃度y(單位：ppm)與排氣時(shí)間t(單位：分)之間滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系y＝f(t)，其中eq\f(f′t,ft)＝R(R為常數(shù))．若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm，人就可以安全進(jìn)入車(chē)庫(kù)，則下列說(shuō)法正確的是()A．R＝B．R＝－eq\f(ln2,4)C．排氣12分鐘后，人可以安全進(jìn)入車(chē)庫(kù)D．排氣32分鐘后，人可以安全進(jìn)入車(chē)庫(kù)答案BD解析因?yàn)閑q\f(f′t,ft)＝R，所以可設(shè)f(t)＝a·eRt(a≠0)．又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·e4R＝64，,a·e8R＝32，))解得R＝－eq\f(ln2,4)，a＝128，故B正確，A錯(cuò)誤；所以f(t)＝，當(dāng)f(t)≤0.5，即≤0.5時(shí)，得≤eq\f(1,256)，所以－eq\f(ln2,4)t≤lneq\f(1,256)，即t≥eq\f(－4ln2－8,ln2)＝32，所以排氣32分鐘后，人可以安全進(jìn)入車(chē)庫(kù)，故D正確，C錯(cuò)誤．12．(2023·石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＋21－x－2，x≥0，,x2＋2x＋\f(1,2)，x<0，))若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，且x1<x2<x3<x4，則()A．x1＋x2＝－2 B．0<x3<1<x4<2C．x3x4≥1 D．x1＋x2＋x3＋x4＝0答案ABD解析如圖所示，作出f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＋21－x－2，x≥0，,x2＋2x＋\f(1,2)，x<0))和y＝t的圖象．當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝eq\f(1,2)＋2－2＝eq\f(1,2).因?yàn)榇嬖趚1，x2，x3，x4使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，所以0<t<eq\f(1,2).由圖象可知x1，x2關(guān)于x＝－1對(duì)稱(chēng)，所以eq\f(x1＋x2,2)＝－1，所以x1＋x2＝－2，故A正確；當(dāng)x≥0時(shí)，令f(x)＝eq\f(1,2)，即2x－1＋21－x－2＝eq\f(1,2)，解得x＝0或x＝2.所以由圖象可知0<x3<1<x4<2，故B正確；因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x－1＋21－x－2，所以f(1＋x)＝2x＋2－x－2，f(1－x)＝2－x＋2x－2，所以當(dāng)0≤x≤2時(shí)，有f(1＋x)＝f(1－x)，即f(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，所以x3，x4關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，所以eq\f(x3＋x4,2)＝1，所以x3＋x4＝2，即x4＝2－x3，所以x3x4＝(2－x3)x3＝－(x3－1)2＋1(0<x3<1)．因?yàn)閤3<1，所以x3x4<1，故C錯(cuò)誤；因?yàn)閤3＋x4＝2.又x1＋x2＝－2，所以x1＋x2＋x3＋x4＝0，故D正確．三、填空題13．已知函數(shù)f(x)的表達(dá)式為f(x)＝x－4log2x，用二分法計(jì)算此函數(shù)在區(qū)間[1,3]上零點(diǎn)的近似值，第一次計(jì)算f(1)，f(3)的值，第二次計(jì)算f(x1)的值，第三次計(jì)算f(x2)的值，則x2＝________.答案eq\f(3,2)解析因?yàn)閒(1)＝1－4log21＝1>0，f(3)＝3－4log23<3－4log22＝－1<0，根據(jù)二分法可得，x1＝2，且f(2)＝2－4log22＝－2<0，所以零點(diǎn)所在的區(qū)間為[1,2]，所以x2＝eq\f(3,2).14．(2023·濰坊模擬)寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿(mǎn)足下列三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)f(x)＝________.①f(x)是奇函數(shù)；②f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增；③f(x)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)．答案x(x＋1)(x－1)(答案不唯一)解析由f(x)是奇函數(shù)，不妨取f(0)＝0，且函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又f(x)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，所以原點(diǎn)兩側(cè)各有一個(gè)零點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若保證f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，顯然f(x)＝x(x＋1)(x－1)滿(mǎn)足題意．15．為了提高員工的工作積極性，某外貿(mào)公司想修訂新的“員工激勵(lì)計(jì)劃”．新的計(jì)劃有以下幾點(diǎn)要求：①獎(jiǎng)金隨著銷(xiāo)售業(yè)績(jī)的提高而提高；②銷(xiāo)售業(yè)績(jī)?cè)黾訒r(shí)，獎(jiǎng)金增加的幅度逐漸上升；③必須和原來(lái)的計(jì)劃接軌：銷(xiāo)售業(yè)績(jī)?yōu)?0萬(wàn)元或10萬(wàn)元以?xún)?nèi)時(shí)獎(jiǎng)金為0，超過(guò)10萬(wàn)元?jiǎng)t開(kāi)始計(jì)算獎(jiǎng)金，銷(xiāo)售業(yè)績(jī)?yōu)?0萬(wàn)元時(shí)獎(jiǎng)金為1千元．設(shè)業(yè)績(jī)?yōu)閤(10≤x≤300)萬(wàn)元時(shí)獎(jiǎng)金為f(x)千元，下面給出三個(gè)函數(shù)模型：①f(x)＝k·x＋b；②f(x)＝k·log2x＋b；③f(x)＝k·x2＋b.其中k>0，b∈R.請(qǐng)選擇合適的函數(shù)模型，計(jì)算當(dāng)業(yè)績(jī)?yōu)?00萬(wàn)元時(shí)，獎(jiǎng)金為_(kāi)_______千元．答案33解析根據(jù)題意，當(dāng)k>0，b∈R時(shí)，給出三個(gè)函數(shù)模型均滿(mǎn)足“獎(jiǎng)金隨著銷(xiāo)售業(yè)績(jī)的提高而提高”，而只有模型“f(x)＝k·x2＋b”滿(mǎn)足“銷(xiāo)售業(yè)績(jī)?cè)黾訒r(shí)，獎(jiǎng)金增加的幅度逐漸上升”，故選擇模型③：f(x)＝k·x2＋b.根據(jù)題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(100k＋b＝0，,400k＋b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,300)，,b＝－\f(1,3)，))所以f(x)＝eq\f(1,300)x2－eq\f(1,3)，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)＝eq\f(1,300)×1002－eq\f(1,3)＝33.16．(2024·長(zhǎng)春模擬)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x2＋5x＋4|，x≤0，,2|x－2|，x>0，))若y＝f(x)－a|x|恰有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是______．答案a＝0或a≥2解析由f(x)－a|x|＝0得f(x)＝a|x|，作出函數(shù)y＝f(x)，y＝a|x|的圖象，如圖所示．當(dāng)a＝0時(shí)，滿(mǎn)足條件，當(dāng)a≥2時(shí)，y＝a|x|與y＝f(x)有3個(gè)交點(diǎn)，故a的取值范圍是a＝0或a≥2.必刷小題3基本初等函數(shù)一、單項(xiàng)選擇題1．已知函數(shù)f(x)＝log3x與g(x)的圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱(chēng)，則g(－1)等于()A．3B.eq\f(1,3)C．1D．－1答案B解析由題意知g(x)是f(x)＝log3x的反函數(shù)，所以g(x)＝3x，所以g(－1)＝3－1＝eq\f(1,3).2．(2023·邯鄲質(zhì)檢)已知冪函數(shù)f(x)滿(mǎn)足eq\f(f6,f2)＝4，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的值為()A．2B.eq\f(1,4)C．－eq\f(1,4)D．－2答案B解析依題意，設(shè)f(x)＝xα，則eq\f(f6,f2)＝eq\f(6α,2α)＝3α＝4，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))α＝eq\f(1,3α)＝eq\f(1,4).3．函數(shù)y＝log0.5(2－x－x2)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))答案D解析由2－x－x2>0，解得－2<x<1，故函數(shù)的定義域是(－2,1)，因?yàn)楹瘮?shù)u＝2－x－x2在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))上單調(diào)遞減，且函數(shù)y＝log0.5u在定義域上是減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可知，函數(shù)y＝log0.5(2－x－x2)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).4．(2023·西安模擬)在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝a－x，y＝logax＋a(a>0且a≠1)的圖象可能是()答案A解析對(duì)于A(yíng)，B，若y＝a－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的圖象正確，則0<a<1，∴y＝logax＋a單調(diào)遞減，又當(dāng)x＝1時(shí)，y＝loga1＋a＝a>0，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，D，若y＝a－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的圖象正確，則a>1，∴y＝logax＋a單調(diào)遞增，故C，D錯(cuò)誤．5．函數(shù)f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值是()A．10B．1C．11D．lg11答案B解析設(shè)t＝4x－2x＋1＋11，則y＝lgt，因?yàn)閠＝4x－2x＋1＋11＝(2x)2－2·2x＋11＝(2x－1)2＋10≥10，所以y＝lgt≥lg10＝1，所以f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值為1.6．若實(shí)數(shù)m，n，p滿(mǎn)足，p＝eq\f(18,e2)，則()A．p<m<n B．p<n<mC．m<p<n D．n<p<m答案A解析∵實(shí)數(shù)m，n，p滿(mǎn)足，p＝eq\f(18,e2)，∴eq\f(m,n)＝<1，∴m<n；又eq\f(m,p)＝>1，∴m>p，∴p<m<n.7．已知函數(shù)f(x)＝loga(x2＋ax＋3)(a>0且a≠1)，若f(x)>1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(1,2)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))D．(2，＋∞)答案A解析令g(x)＝x2＋ax＋3，可得函數(shù)g(x)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，且對(duì)稱(chēng)軸為x＝－eq\f(a,2)，所以g(x)≥geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝3－eq\f(a2,4)，因?yàn)閒(x)>1恒成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,3－\f(a2,4)>a，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,a2＋4a－12<0，))解得1<a<2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2)．8．(2023·人大附中模擬)凈水機(jī)常采用分級(jí)過(guò)濾，其中第一級(jí)過(guò)濾一般由孔徑為5微米的PP棉濾芯(聚丙烯熔噴濾芯)構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)是多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì)．假設(shè)每一層PP棉濾芯可以過(guò)濾掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，過(guò)濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為25mg/L，若要滿(mǎn)足過(guò)濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過(guò)2.5mg/L，則PP棉濾芯層數(shù)最少為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48)()A．5B．6C．7D．8答案B解析設(shè)過(guò)濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量為ymg/L，則經(jīng)過(guò)x層過(guò)濾后，滿(mǎn)足y＝25×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))x＝25×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x，x∈N*，若要滿(mǎn)足過(guò)濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過(guò)2.5mg/L，則25×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x≤2.5，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x≤eq\f(1,10)，∵y＝lgx在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴l(xiāng)geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x≤lgeq\f(1,10)，∴xlgeq\f(2,3)≤－1，∴x(lg2－lg3)≤－1，∵lg2－lg3<0，∴x≥eq\f(－1,lg2－lg3)≈eq\f(1,0.18)≈5.6，∵x∈N*，∴x的最小值為6，∴PP棉濾芯層數(shù)最少為6.二、多項(xiàng)選擇題9．在下列四個(gè)圖形中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx與指數(shù)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))x的圖象可能是()答案ABD解析當(dāng)a>b>0時(shí)，A正確；當(dāng)b>a>0時(shí)，B正確；當(dāng)0>a>b時(shí)，D正確；當(dāng)0>b>a時(shí)，無(wú)此選項(xiàng)．10．若0<a<1，則下列關(guān)系成立的是()A．loga(1－a)>loga(1＋a)B．loga(1＋a)<0C．D．a(chǎn)1－a<1答案ABD解析因?yàn)?<a<1，所以0<1－a<1＋a，因此loga(1－a)>loga(1＋a)，故A正確；因?yàn)?<a<1，所以1<1＋a<2，因此loga(1＋a)<loga1＝0，故B正確；因?yàn)?<a<1，所以0<1－a<1，因此，故C不正確；因?yàn)?<a<1，所以0<1－a<1，因此a1－a<a0＝1，故D正確．11．(2024·綏化模擬)已知函數(shù)f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|＋b的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且無(wú)限接近直線(xiàn)y＝2，但又不與該直線(xiàn)相交，則下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)＋b＝0B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，則x＋y＝0C．若x<y<0，則f(x)<f(y)D．f(x)的值域?yàn)閇0,2)答案ABD解析∵函數(shù)f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|＋b的圖象過(guò)原點(diǎn)，∴a＋b＝0，故A正確；即b＝－a，f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|－a，∵函數(shù)f(x)的圖象無(wú)限接近直線(xiàn)y＝2，但又不與該直線(xiàn)相交，∴b＝2，即a＝－2，f(x)＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|＋2.由于f(x)為偶函數(shù)，故若f(x)＝f(y)，且x≠y，則x＝－y，即x＋y＝0，故B正確；由于f(x)＝－2·2x＋2在(－∞，0)上單調(diào)遞減，故若x<y<0，則f(x)>f(y)，故C錯(cuò)誤；由于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|∈(0,1]，∴f(x)＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|＋2∈[0,2)，故D正確．12．(2023·郴州質(zhì)檢)已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足2x＝3y＝6z，則()A.eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,z) B．2x>3y>6zC．xy<4z2 D．x＋y>4z答案AD解析令2x＝3y＝6z＝t，則t>1，可得x＝log2t，y＝log3t，z＝log6t.對(duì)于A(yíng)，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,log2t)＋eq\f(1,log3t)＝eq\f(lg2,lgt)＋eq\f(lg3,lgt)＝eq\f(lg6,lgt)＝logt6＝eq\f(1,z)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閠>1，所以lgt>0，2x－3y＝2log2t－3log3t＝eq\f(2lgt,lg2)－eq\f(3lgt,lg3)＝eq\f(lgtlg32－lg23,lg2·lg3)＝eq\f(lgt·lg\f(9,8),lg2·lg3)>0，即2x>3y；3y－6z＝3log3t－6log6t＝eq\f(3lgt,lg3)－eq\f(6lgt,lg6)＝eq\f(3lgtlg6－lg32,lg3·lg6)＝eq\f(3lgt·lg\f(2,3),lg3·lg6)<0，即3y<6z，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，xy＝log2t·log3t＝eq\f(lgt,lg2)·eq\f(lgt,lg3)＝eq\f(lgt2,lg2·lg3)，4z2＝4(log6t)2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lgt,lg6)))2＝eq\f(4lgt2,lg62)，lgt>0，因?yàn)?<lg2·lg3<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2＋lg3,2)))2＝eq\f(lg62,4)，所以eq\f(1,lg2·lg3)>eq\f(4,lg62)，則eq\f(lgt2,lg2·lg3)>eq\f(4lgt2,lg62)，即xy>4z2，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，x＋y＝log2t＋log3t＝eq\f(lgt,lg2)＋eq\f(lgt,lg3)＝eq\f(lg6·lgt,lg2·lg3)，4z＝4log6t＝eq\f(4lgt,lg6)，lgt>0，由C的分析可知eq\f(1,lg2·lg3)>eq\f(4,lg62)，則eq\f(lg6·lgt,lg2·lg3)>eq\f(4lg6·lgt,lg62)＝eq\f(4lgt,lg6)，即x＋y>4z，故D正確．三、填空題13．計(jì)算：＋πl(wèi)g1＋log2eq\f(2,3)－log4eq\f(16,9)＝________.答案eq\f(4,9)解析＋πl(wèi)g1＋log2eq\f(2,3)－log4eq\f(16,9)＝＋π0＋log2eq\f(2,3)－log2eq\f(4,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋1＋log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(3,4)))＝eq\f(4,9)＋1－1＝eq\f(4,9).14．方程logx10＋＝6的解為_(kāi)_______．答案x＝eq\r(4,10)解析由題意得logx10＋＝eq\f(lg10,lgx)＋eq\f(lg10,lgx2)＝eq\f(2＋1,2lgx)＝eq\f(3,2lgx)＝6，即lgx＝eq\f(1,4)，解得x＝eq\r(4,10).15．已知函數(shù)f(x)＝lg(|x|＋1)，則使不等式f(2x＋1)<f(3x)成立的x的取值范圍是________．答案eq\b