2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)常用邏輯用語

知識梳理1.充分性與必要性若

p

?

q

，則

p

是

q

的

條件，

q

是

p

的

?條件

p

是

q

的

?條件

p

?

q

且

q

p

p

是

q

的

?條件

p

q

且

q

?

p

p

是

q

的

?條件

p

?

q

p

是

q

的

?條件

p

q

且

q

p

充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要2.全稱量詞和存在量詞量詞名稱常見量詞符號表示全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個等?存在量詞存在一個、至少有一個、有些、某些等???3.全稱量詞命題和存在量詞命題全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對

M

中任意一個

x

，

p

（

x

）成立存在

M

中的元素

x

，

p

（

x

）成立簡記?

x

∈

M

，

p

（

x

）?

x

∈

M

，

p

（

x

）否定?

x

∈

M

，

p

（

x

）?

x

∈

M

，

p

（

x

）?

x

∈

M

，?p

（

x

）?

x

∈

M

，?

p

（

x

）常用結(jié)論1.已知集合

A

＝{

x

｜

x

滿足條件

p

}，集合

B

＝{

x

｜

x

滿足條件

q

}.如果

A

?

B

，那么

p

是

q

的

?條件；如果

B

?

A

，那么

p

是

q

的

?條件；如果

A

＝

B

，那么

p

是

q

的

條件.2.?

x

，

a

＝

f

（

x

）?

a

∈

f

（

x

）的值域；?

x

∈R，

ax

2＋

bx

＋

c

＝0?

a

＝

b

＝

c

＝0；?

x

∈

D

，

a

＞

f

（

x

）?

a

＞

f

（

x

）min，

x

∈

D

；?

x

∈

D

，

a

＞

f

（

x

）?

a

＞

f

（

x

）max，

x

∈

D

.

充分必要充要3.?

x

1，?

x

2，

f

（

x

1）＝

g

（

x

2）?{

y

｜

y

＝

f

（

x

）}∩{

y

｜

y

＝

g

（

x

）}≠?；?

x

1，?

x

2，

f

（

x

1）＝

g

（

x

2）?{

y

｜

y

＝

f

（

x

）}?{

y

｜

y

＝

g

（

x

）}；?

x

1，?

x

2，

f

（

x

1）＞

g

（

x

2）?

f

（

x

）max＞

g

（

x

）min；?

x

1，?

x

2，

f

（

x

1）＞

g

（

x

2）?

f

（

x

）min＞

g

（

x

）min；?

x

1，?

x

2，

f

（

x

1）＞

g

（

x

2）?

f

（

x

）max＞

g

（

x

）max；?

x

1，?

x

2，

f

（

x

1）＞

g

（

x

2）?

f

（

x

）min＞

g

（

x

）max.回歸課本1.判斷：（1）

（RA一P22練習(xí)第1（3）題改編）若

p

：

A

∩

B

為空集，

q

：

A

與

B

之一為空集，則

p

是

q

的充要條件.

（

?

）（2）

（RA一P17定義改編）當(dāng)

q

是

p

的必要條件時，

p

是

q

的充分條件.

（

√

）（3）

（RA一P28練習(xí)第1題改編）至少有一個三角形的內(nèi)角和為π是全

稱量詞命題.

（

?

）（4）

（RA一P29結(jié)論改編）全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.

（

√

）?√?√2.（RA一教參P52本章學(xué)業(yè)水平測試題第13題改編）若

p

：菱形的兩條

對角線相等，

q

：菱形是正方形，則

p

是

q

的（

C

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件C3.（RA一教參P52本章學(xué)業(yè)水平測試題第5題改編）設(shè)命題

p

：?

x

＜0，

tan2022

x

＞

x

3，則

p

的否定為（

C

）A.?

x

≥0，tan2022

x

＞

x

3B.?

x

≥0，tan2022

x

≤

x

3C.?

x

＜0，tan2022

x

≤

x

3D.?

x

＜0，tan2022

x

＜

x

3C4.（多選）（RA一教參P52本章學(xué)業(yè)水平測試題第4題改編）函數(shù)

y

＝

ax

＋

b

（

a

≠0）在R上單調(diào)遞增的充分不必要條件是（

CD

）A.

a

＞－1B.

a

＞0C.

a

＞1D.

a

＞2CD5.（RA一P35復(fù)習(xí)參考題1第6題改編）已知命題“?

x

∈[1，2]，

x

2－

m

≥0”.若此命題為真命題，則實數(shù)

m

的取值范圍是

?；若

此命題為假命題，則實數(shù)

m

的取值范圍是

?.（－∞，1]

（1，＋∞）

考點一

全稱量詞命題與存在量詞命題例1（1）

已知關(guān)于

x

的方程

x

2＋

ax

＋

b

＝0.給出下列命題：①

x

＝1是

該方程的根；②

x

＝3是該方程的根；③

該方程的兩根之和為2；④

該方

程的兩根異號.如果只有一個假命題，那么該命題是（

A

）A.①B.②C.③D.④A

總結(jié)提煉

1.解題中一定要注意關(guān)鍵詞是“任意”還是“存在”，是“等式”還

是“不等式”.此類問題解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為最值問題或值域問題.2.全稱量詞命題和存在量詞命題的求參數(shù)問題相對較難，要注意端點

值是否能取到.

[對點訓(xùn)練]

命題

p

：?

x

∈R，

x

2＋2

ax

＋2－

a

＝0；命題

q

：已知函數(shù)

f

（

x

）＝log2

（

a

－2

x

）＋

x

－2，

f

（

x

）存在零點.若命題

p

，

q

均為真命題，求實數(shù)

a

的取值范圍.

考點二

充分條件與必要條件的判斷例2（1）

已知α，β∈R，則“α＝

k

π＋（－1）

k

β，

k

∈Z”是“

sin

α

＝

sin

β”的（

C

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件C

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A[拓展探究]1.在△

ABC

中，“

A

＜

B

”是“

A

－

B

＜

cos

B

－

cos

A

”的（

C

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件C總結(jié)提煉

1.明確題目中哪個是條件，哪個是結(jié)論，可在條件上寫“

p

”，結(jié)論

上寫“

q

”，然后直接根據(jù)定義判斷，若

p

?

q

，則

p

是

q

的充分條件；

若

q

?

p

，則

p

是

q

的必要條件.2.要明確推出的含義，

p

成立

q

一定成立才能叫推出.

考點三

充分、必要條件的應(yīng)用例3設(shè)全集

U

＝R，集合

A

＝{

x

｜1≤

x

≤5}，集合

B

＝{

x

｜2－

a

≤

x

≤1＋2

a

}，其中

a

∈R.

（1）

若“

x

∈

A

”是“

x

∈

B

”的充分條件，求實數(shù)

a

的取值范圍；

（2）

若“

x

∈

A

”是“

x

∈

B

”的必要條件，求實數(shù)

a

的取值范圍.

[拓展探究]2.若

p

：－

a

＜

x

＜

a

＋1是

q

：－2＜

x

＜3的必要不充分條件，則實數(shù)

a

的取值范圍是

?.

（2，＋∞）總結(jié)提煉

1.當(dāng)充分、必要條件與集合結(jié)合在一起時，一定是小范圍推出大范

圍，而大范圍推不出小范圍.2.要會區(qū)分充分不必要條件與充分條件，必要不充分條件與必要條件.

對接高考1.（2020·山東適應(yīng)卷）設(shè)命題

p

：所有正方形都是平行四邊形，則

p

為（

C

）A.所有正方形都不是平行四邊形B.有的平行四邊形不是正方形C.有的正方形不是平行四邊形D.不是正方形的四邊形不是平行四邊形解：“所有”改為“存在”（或“有的”），“都是”改為“不都是”

（或“不是”），即為有的正方形不是平行四邊形.C

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件C1.

命題?

x

∈R，

x

2－1＜0的否定為（

D

）A.

?

x

∈R，

x

2－1≥0B.

不存在

x

∈R，

x

2－1≥0C.

?

x

∈R，

x

2－1＜0D.

?

x

∈R，

x

2－1≥0解：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定是將條件中的全稱量詞和存在

量詞互換，并否定結(jié)論.DA——基礎(chǔ)過關(guān)12345678910高效練習(xí)

A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件B

/123456789103.

若定義在R上的函數(shù)

f

（

x

）不是奇函數(shù)，則下列命題一定為真命題的

是（

C

）A.

?

x

∈R，

f

（

x

）＋

f

（－

x

）≠0B.

?

x

∈R，

f

（

x

）＝

f

（－

x

）C.

?

x

0∈R，

f

（

x

0）＋

f

（－

x

0）≠0D.

?

x

0∈R，

f

（

x

0）＝

f

（－

x

0）解：若定義在R上的函數(shù)

f

（

x

）是奇函數(shù)，則?

x

∈R，

f

（－

x

）＝－

f

（

x

），即

f

（－

x

）＋

f

（

x

）＝0.因為定義在R上的函數(shù)

f

（

x

）不是

奇函數(shù)，所以?

x

0∈R，

f

（

x

0）＋

f

（－

x

0）≠0一定為真命題.C123456789104.

已知

p

：4

x

－

m

＜0，

q

：－2≤

x

≤2.若

p

是

q

的一個必要不充分條

件，則實數(shù)

m

的取值范圍是

（

B

）A.

[8，＋∞）B.

（8，＋∞）C.

（－4，＋∞）D.

[－4，＋∞）

B123456789105.

（多選）下列四個命題中，屬于真命題的是（

CD

）A.

若

x

＞

y

，則

x

2＞

y

2B.

兩個三角形的面積相等是這兩個三角形全等的充分不必要條件C.

若

A

∪

B

＝

A

，則

B

?

A

CD12345678910

123456789106.

（多選）下列命題正確的有（

BCD

）A.

若?

x

∈[－1，2]，使得

x

2－

a

＝0，則

a

∈[1，4]B.

若?

x

∈[－1，2]，都有

x

2－

a

≥0，則

a

≤0C.

若?

x

∈[－1，2]，使得

x

2－

a

≥0，則

a

≤4D.

若?

x

∈[－1，2]，都有

x

2－

a

＝0，則

a

∈?BCD12345678910解：對于A，由題意，得

a

＝

x

2在區(qū)間[－1，2]上有解.令

f

（

x

）＝

x

2，

x

∈[－1，2]，則

f

（

x

）∈[0，4]，所以

a

∈[0，4].故A錯誤.對于B，由

題意，得

a

≤（

x

2）min＝0.故B正確.對于C，由題意，得

a

≤（

x

2）max

＝4.故C正確.對于D，不存在這樣的

a

，使得

x

2－

a

＝0對?

x

∈[－1，2]

都成立，所以

a

∈?.故D正確.123456789107.

（2023·南通海安?？迹┰O(shè)命題

p

：?

x

∈R，

ax

2－

x

＋1≤0，寫出一

個實數(shù)

a

＝

，使得

p

為真命題.

123456789108.

若不等式｜

x

－2

m

｜＜1成立的一個充分不必要條件是

x

∈（1，

2），則實數(shù)

m

的取值范圍是

?.

12345678910

12345678910（2）

若

p

是?

q

的必要不充分條件，求實數(shù)

k

的最大值.

12345678910

123456789101.

（RA一P34復(fù)習(xí)參考題1第4（3）題）已知

A

≠

B

，則“

x

∈

A

”是

“

x

∈

A

∩

B

”的（

B

）A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件解：因為

x

∈

A

?x∈

A

∩

B

，

x

∈

A

∩

B

?

x

∈

A

，所以“

x

∈

A

”是“

x

∈

A

∩

B

”的必要不充分條件.BB——能力提升/12345

A.

[－2，0）B