專題18等腰、等邊三角形問(wèn)題

專題知識(shí)點(diǎn)概述

一、等腰三角形

1.定義：兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫腰，第三條邊叫底邊，兩腰的夾角叫頂

角，底邊和腰的夾角叫底角.

2.等腰三角形的性質(zhì)

性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）.

性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.

3.等腰三角形的性質(zhì)的作用

性質(zhì)1證明同一個(gè)三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個(gè)重要依據(jù).

性質(zhì)2用來(lái)證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等.

4.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形

等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對(duì)稱軸，通常情況只有一條對(duì)稱軸.

5.等腰三角形的判定

如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊“）.

要點(diǎn)詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的

相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.

二、等邊三角形

1.定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.

2.性質(zhì)

性質(zhì)1：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°；

性質(zhì)2：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且有三條對(duì)稱軸，分別為三邊的垂直平分線。

3.判定

（1）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

（2）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形；

（3）有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形。

三、解題方法要領(lǐng)

1.等腰（邊）三角形是一個(gè)特殊的三角形，具有較多的特殊性質(zhì)，有時(shí)幾何圖形中不存在

等腰（邊）三角形，可根據(jù)已知條件和圖形特征，適當(dāng)添加輔助線，使之構(gòu)成等腰（邊）三角形，然后利

用其定義和有關(guān)性質(zhì)，快捷地證出結(jié)論。

2.常用的輔助線有：（1）作頂角的平分線、底邊上的高線、中線。（2）在三角形的中線問(wèn)

題上，我們常將中線延長(zhǎng)一倍，這樣添輔助線有助于我們解決有關(guān)中線的問(wèn)題。

3.分類討論是等腰三角形問(wèn)題中常用的思想方法，在已知等腰三角形的邊和角的情況下求其他三角形的邊

或角，要對(duì)己知的邊和角進(jìn)行討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)一般是根據(jù)邊是腰還是底來(lái)分類。

【例題1】（2020?臨沂）如圖，在△ABC中，AB=AC,乙4=40°,CD//AB,則（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求NACB,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可求/BCD

?在△ABC中，AB=AC,ZA=40°,

AZACB=70°,

,:CD〃AB,

4c￡）=180°—140°,

，NBCD=ZACD-NAC8=70°.

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】如圖所示，點(diǎn)D是AABC的邊AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），AD=BD,則下列結(jié)論正確

的是（）

A.AOBCB.AC=BCC.ZA>ZABCD.NA=/ABC

【答案】A

【解析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩腰相等；等腰,三角形的兩個(gè)底角相

等；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.根據(jù)等腰三角形的

兩個(gè)底角相等，由AD=BD得到NA=NABD,所以NABO/A,則對(duì)各C、D選項(xiàng)進(jìn)行判斷；

根據(jù)大邊對(duì)大角可對(duì)A、B進(jìn)行判斷.

VAD=BD,

,ZA=ZABD,

AZABOZA,所以C選項(xiàng)和D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

AAOBC,所以A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

【例題2】（2020?寧波）△BQE和△FGH是兩個(gè)全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置在等邊三角

形ABC內(nèi).若求五邊形QECHF的周長(zhǎng)，則只需知道（）

D,

BGEC

A.△ABC的周長(zhǎng)B.△AFH的周長(zhǎng)

C.四邊形尸BG"的周長(zhǎng)D.四邊形ADEC的周長(zhǎng)

【答案】A

【解析】證明(A4S),得出AF=CH.由題意可知8E=FH,則得出五邊形。ECHF的周長(zhǎng)

=AB+BC,則可得出答案.

?.?△GFH為等邊三角形，

：.FH=GH,NF”G=60°,

；.NAHF+NGHC=120°,

?.?△A8C為等邊三角形，

：.AB=BC=AC,NAC8=ZA=60°,

/.ZGHC+ZHGC^120°,

二ZAHF=ZHGC,

.?.△AFH絲△CHG(A4S),

：.AF^CH.

和△FG”是兩個(gè)全等的等邊三角形，

：.BE=FH,

：.五邊形DECHF=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF,

=(BD+DF+AF)+(CE+B￡),

^AB+BC.

，只需知道△ABC的周長(zhǎng)即可.

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】如圖所示，在等邊三角形ABC的邊BC、AC上分別取點(diǎn)D、E,使BD=CE,AD與BE相交

于點(diǎn)P.則NAPE的度數(shù)為。.

【答案】60

【解析】根據(jù)BD=CE可得CD=AE,即可證明AACD段4BAE,得/CAD=NABE,再根據(jù)內(nèi)角和為1800

的性質(zhì)即可解題。

VBD=CE,

ABC-BD=AC-CE,

§PCD=AE,

'CD=AE

在4ACD與ABAE中，，ZACD=ZBAE,

,AB=AC

/.△ACD^ABAE(SAS),

.\ZCAD=ZABE,

VZCAD+ZAPE+ZAEB=180",

ZABE+ZBAE+ZAEB=180",

AZAPE=ZBAE=60°

【例題3】(2020?臺(tái)州)如圖，已知A8=AC,AD=AE,8。和CE相交于點(diǎn)O.

(1)求證：

(2)判斷△BOC的形狀，并說(shuō)明理由.

【答案】見解析。

【分析】(I)由"SAS”可證△ABOTZkACE；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得/ACE,由等腰三角形的性質(zhì)可得/A8C=NAC8,可求/O8C=

NOCB,可得BO=CO,即可得結(jié)論.

【解答】證明：(1)'：AB=AC,NBAD=NCAE,AD=AE,

：./XABD^/XACE(SAS)；

(2)△80C是等腰三角形，

理由如下：

,?AABD^AACE,

二NABD=ZACE,

\'AB=AC,

：.ZABC=NACB,

：.AABC-NABD=NACB-ZACE,

:.NOBC=NOCB,

:.BO=CO,

...△BOC是等腰三角形.

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】如圖，已知AC_LBC,BD1AD,AC與BD交于點(diǎn)O,AC=BD.求證:

(1)BC=AD；

(2)AOAB是等腰三角形.

【答案】見解析。

【解析】證明：(1)VAC±BC,BD±AD,

.*.ZD=ZC=90°.

在RtAACB和RtABDA中，＜

AC=BD,

.".△ACB^ABDA(HL).

:.BC=AD.

(2)由AACB絲ZiBDA,得/CAB=NDBA,

/.△OAB是等腰三角形.

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】己知：在AABC中，AB=AC,D為AC的中點(diǎn)，DELAB,DF±BC,垂足分別為點(diǎn)E,

且DE=DF.求證：Z\ABC是等邊三角形.

D

BFC

【答案】見解析。

【解析】只要證明RtAADE^RtACDF,推出NA=NC,推出BA=BC,又AB=AC,即可推出AB=BC=AC；

證明：?.?DELAB,DF1BC,垂足分別為點(diǎn)E,F,

二ZAED=ZCFD=90°,

?；D為AC的中點(diǎn)，

，AD=DC,

在RtAADE和RIZXCDF中，

[AD二DC

lDE=DF，

/.RtAADE^RtACDF,

，ZA=ZC,

；.BA=BC,：AB=AC,

，AB=BC=AC,

二.△ABC是等邊三角形.

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】如圖，ZSABC中，AB=AC,NA=36°,AC的垂直平分線交AB于E,D為垂足，連接EC.

(1)求NECD的度數(shù)；(2)若CE=5,求BC長(zhǎng).

E

BL-------------

【答案】(1)NECD的度數(shù)是36°；

(2)BC長(zhǎng)是5.

【解析】(1)???DE垂直平分AC

.'.CE=AE,

/.ZECD=ZA=36°

(2)VAB=AC,ZA=36°,

.\ZB=ZACB=72°,

AZBEC=ZA+ZECD=72°，

AZBEC=ZB,

???BC=EC=5.

專題點(diǎn)對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練

一、選擇題

1.（2020?聊城）如圖，在△ABC中，AB=ACfNC=65°,點(diǎn)。是8。邊上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。尸〃A8

交AC于點(diǎn)，則/rEC的度數(shù)是（）

A.120°B.130°C.145°D.150°

【答案】B

【解析】由等腰三角形的性質(zhì)得出N6=NC=65°,由平行線的性質(zhì)得出NCQE=/B=65°,再由三角形

的外角性質(zhì)即可得出答案.

9：AB=AC,ZC=65°,

AZB=ZC=65°,

'CDF//AB,

,NCDE=NB=65°,

AZFEC=ZCDE+ZC=650+65°=130°.

2.(2020?南充)如圖，在等腰△ABC中，BD為NABC的平分線，NA=36。，AB=AC=a,BC=b,則

CD=()

a+ba-b

A.-----B-C.a-bD.b-a

22

【答案】C

【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定得出8D=8C=A￡>,進(jìn)而解答即可.

,在等腰△A3C中，30為NA3C的平分線，ZA=36°,

AZABC=ZC=2ZABD=120,

：.ZA8D=36°=NA,

:?BD=AD,

：.ZBDC^ZA+ZABD^12°=NC,

:.BD=BC,

'：AB=AC=a,BC=h,

J.CD^AC-AD^a-b

3.（2020?徐州）如圖，AB是OO的弦，點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)B的切線上，OCJ_O4,OC交AB于點(diǎn)、P.若NBPC

=70°,則/A8C的度數(shù)等于（）

A.75°B.70°C.65°D.60°

【答案】B

【解析】先利用對(duì)頂角相等和互余得到/A=20°,再利用等腰三角形的性質(zhì)得到NO8A=/A=20°,然

后根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB±BC,從而利用互余計(jì)算出NA8C的度數(shù).

VOC±OA,：.ZAOC=90°,

?.?/APO=/8PC=70°,AZA=90°-70°=20°,

"：OA=OB,：.ZOBA=ZA=20°,

為。。的切線，：.OBLBC,：.ZOBC=90°,：.ZABC=9O0-20°=70°.

4.已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)P為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到三邊的距離之和為

（）

A.返B.色叵C.上D.不能確定

222

【答案】B

【解析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形的面積求點(diǎn)P到三邊的距離之和等于等

邊三角形的高是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀.

作出圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出高AH的長(zhǎng)，再根據(jù)三角龍的面積公式求出點(diǎn)P到

三邊的距離之和等于高線的長(zhǎng)度，從而得解.

如圖，?.?等邊三角形的邊長(zhǎng)為3,

/.高線AH=3x1?二色叵，

22

SAABC=—BrC?AH=—AB?PD+—BC?PE+—AC?PF,

2222

A—X3?AH=—X3?PD+—X3?PE+—X3.PF,

2222

PD+PE+PF=AH=3&,

2

即點(diǎn)p到三角形三邊距離之和為可③

2

5.（2019?浙江衢州）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的。借助如圖所示的“三等分角儀”

能三等分任一角。這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA,08組成，兩根棒在。點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)

固定，OC=CD=DE,點(diǎn)、D,E可在槽中滑動(dòng)，若NBDE=75°,則NCDE的度數(shù)是（）

A.60°B.65°C.75°D.80°

【答案】D

【解析】考點(diǎn)是三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)。

,:OC=CD=DEf

：.ZO=ZODC,NDCE=/DEC,

設(shè)NO=/O￡>C=x,

:.ZDCE=ZDEC=2xf

：.ZCDE=180°-ZDCE-ZDEC=180°-4x,

ZBDE=15°f

：.ZODC+ZCDE+ZBDE=180°,

BPx+180°-4x+75°=180°,

解得：尸25。，

ZCDE=180°-4x=80°.

6.（2019?湖南長(zhǎng)沙）如圖，心ZV1BC中，NC=90°,NB=30°,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于

2

的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN,交3c于點(diǎn)。，連接AZ）,則NCAZ）的度數(shù)是（）

A.20°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【解析】在△48C中，VZB=30°,ZC=90°,

/.ZBAC=180°-ZB-ZC=60°,

由作圖可知MN為AB的中垂線，

：.DA=DB,

；.NDAB=NB=30°,

：.ZCAD=ZBAC-NZM8=30°

二、填空題

7.（2020?臺(tái)州）如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長(zhǎng)為6,E,尸是邊BC上的三等分點(diǎn).分別過(guò)點(diǎn)E,F沿

著平行于8A,CA方向各剪一刀，則剪下的△QEF的周長(zhǎng)是—.

【答案】6

【解析】根據(jù)三等分點(diǎn)的定義可求EF的長(zhǎng)，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)即可求解.

?.?等邊三角形紙片A8C的邊長(zhǎng)為6,E,尸是邊8c上的三等分點(diǎn)，

；.EF=2,

'：DE//AB,DF//AC,

.?.△OEF是等邊三角形，

二剪下的△QEF的周長(zhǎng)是2X3=6.

8.（2020?牡丹江）如圖，在RtZVIBC中，CA^CB,M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。在上，AE1.CD,BFLCD,

垂足分別為E,F,連接EM.則下列結(jié)論中：

①BF=CE；

②NAEM=NDEM；

③AE-CE=近ME；

（4）D￡2+DF2=2DM2；

⑤若AE平分NBAC,則EF：BF=V2：1；

⑥CF，DM=BM,DE,

正確的有.（只填序號(hào)）

【解析】①②③④⑤⑥.

【分析】證明△BCFgZXCAE,得到8f=CE,可判斷①；再證明從而判斷△EA/尸為等

腰直角三角形，得至1」律=魚07,可判斷③，同時(shí)得到NMEF=NMFE=45°,可判斷②：再證明△/）,

分NEM,得到△ZM/N為等腰直角三角形，得到DN=VLDM,可判斷④；根據(jù)角平分線的定義可逐步

EPEFEF\[2EMr-

推斷出再證明△ADEg△4CE,得到。E=CE,則有一=—=—=-----=，2,從而判斷

BFCEDEDE

…CMDM

⑤；最后證明△CDMSAOE,得到一=—,結(jié)合3M=CM,AE=CF可判斷⑥.

AEDEf

【解析】；NACB=90°,

AZBCF+ZACE=90a,

VZBCF+ZCBF=90Q,

ZACE^ZCBF,

又?.?/8戶。=90°=NAEC,AC=BC,

:.△BCFWXCAE(A4S),

：.BF=CE,故①正確；

由全等可得：AE^CF,BF=CE,

：.AE-CE=CF=CE=EF,

連接FM,CM,

?.?點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，

：.CM=^AB=BM=AM,CMA,AB,

在△BOF和△COM中，/BFD=NCMD,NBDF=NCDM,

：.ZDBF=ZDCM,

又BM=CM,BF=CE,

:.ABFM與ACEM(SAS),

：.FM=EM,NBMF=NCME,

；NBMC=90°,

：.ZEMF=90°,即△￡■“尸為等腰直角三角形，

：.EF=V2EM=AE-CE,故③正確，NMEF=NMFE=45°,

VZAEC=90°,

AZMEF=ZAEM=45°,故②正確，

設(shè)AE與CM交于點(diǎn)N,連接。M

VZDMF=ZNME,FM=EM,ZDFM=ZDEM=ZAEM=45°,

，叢DFM^ANEM(ASA),

：.DF=EN,DM=MN,

...△QMN為等腰直角三角形，

：.DN=\[2DM,而N￡)EA=90°,

?.0^+0^=DN1=2DM1,故④正確；

\'AC=BC,NACB=90°,

：.ZCAB=45°,

平分N8AC,

AZDAE=ZCAE=22.5°,ZADE=67.5°,

?；NDEM=45°,

:./EMD=675°,BPDE=EMf

9

：AE=AEfZAED=ZAEC,ZDAE=ZCAE,

：.AADE^AACE(ASA),

:?DE=CE,

???/XMEF為等腰直角三角形,

：.EF=V2EM,

EFEFEF

e42OEEM—4r2,故—⑤正—確“;

??BF~CE~DE~

*：ZCDM=ZADE,ZCMD=ZAED=9O0,

??.△CDMSADE,

.CDCMDM

AD~AE~DE'

*：BM=CM,AE=CF,

.BMDM

?.=,

CFDE

???Cn故⑥正確。

B

9.如圖所示，D是等邊4ABC的AC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，DE=DB,AABC的周長(zhǎng)是9,

則NE=。，CE=.

【答案】30;1

【解析】由AABC為等邊三角形，且BD為邊AC的中線,根據(jù)"三線合一"得到BD平分/ABC,而/ABC

為60。，得到/DBE為30。，又因?yàn)镈E=DB,根據(jù)等邊對(duì)等角得到/E與/DBE相等，故/E也為30。；

由等邊三角形的三邊相等且周長(zhǎng)為9,求出AC的長(zhǎng)為3,且NACB為60。，根據(jù)NACB為4DCE的外角，

根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，求出/CDE也為30。，根據(jù)等角對(duì)等邊得到CD=CE,

都等于邊長(zhǎng)AC的一半，從而求出CE的值

解：???△ABC為等邊三角形，D為AC邊上的中點(diǎn)，

...BD為NABC的平分線,且NABC=60。，

即NDBE=30。,又DE=DB,

/.ZE=ZDBE=30°,

???等邊△ABC的周長(zhǎng)為9,.?.AC=3,且/ACB=60。，

.\ZCDE=ZACB-ZE=30°,§PZCDE=ZE,

.?.CD=CE」AC=2.

22

10.（2019黑龍江綏化）如圖,在4ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD,則NA=度.

A

【答案】16

【解析】；BD=AD,設(shè)NA=NABD=x,NBDC=2x,：BD=BC,NC=NBDC=2x,?.，AB=AC,，NABC=NC

=2x,/.x+2x+2x=180°,r.x=36".

三、解答題

11.（2020?紹興）問(wèn)題：如圖，在△A3。中，BA=BD.在8。的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,C,作△AEC,使EA=

EC.若/BAE=90°,ZB=45°,求ND4C的度數(shù).

答案：ZDAC=45°.

思考：（1）如果把以上“問(wèn)題”中的條件“/8=45°”去掉，其余條件不變，那么ND4C的度數(shù)會(huì)改變嗎？

說(shuō)明理由.

（2）如果把以上“問(wèn)題”中的條件“NB=45°”去掉，再將"NBAE=90°”改為”，其余

條件不變，求/D4C的度數(shù).

【答案】見解析。

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NAE￡>=2NC,①求得NOAE=90°-ZZ?AD=90°-(45°+

ZC)=45°-NC,②由①，②即可得到結(jié)論；

(2)設(shè)NABC="?°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解析】(1)ND4C的度數(shù)不會(huì)改變；

'：EA=EC,

.?./4EO=2NC,①

VZBAE=90°,

1

：.ZBAD=1[I8O°-(90°-2/C)]=45°+NC,

/.Z￡)AE=90o-/8AC=90°-(45°+ZC)=45°-ZC,②

由①，②得，ZDAC=ZDAE+ZCAE=45°；

(2)設(shè)乙4BC=M,

11

則N8AO=*(180°-in)=90°,ZAEB=180°-n-m°,

1

：.ZDAE=n°-ZBAD=n°-90°+豺。，

'：EA=EC,

：.ZCAE=^zAEB=90a-5〃°-加,