2024年新高考地區(qū)數(shù)學(xué)名校地市選填壓軸題好題匯編（二）一、單選題1．（2024·湖南·永州市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，得；最多一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，即時(shí)，，在，上遞增，最多一個(gè)零點(diǎn)．不合題意；當(dāng)，即時(shí)，令得，，函數(shù)遞增，令得，，函數(shù)遞減；函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn)；依據(jù)題意函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，在，上有2個(gè)零點(diǎn)，如圖：且，解得，，．故選．2．（2024·湖南·永州市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）天文學(xué)中為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯()在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念.星等的數(shù)值越小，星星就越亮；星等的數(shù)值越大，它的光就越暗.到了年，由于光度計(jì)在天體光度測量中的應(yīng)用，英國天文學(xué)家普森()又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿意.其中星等為的星的亮度為.已知“心宿二”的星等是，“天津四”的星等是，“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，則與最接近的是（

）(當(dāng)較小時(shí)，)A． B． C． D．【答案】C【解析】若“天津四”的亮度是，則“心宿二”的亮度是，∴，即，∴.故選：C.3．（2024·湖南·長沙一中高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，若方程在（0，）的解為，（），則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭堑膬筛Y(jié)合圖象可知，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故選：A.4．（2024·湖南·長沙一中高三開學(xué)考試）2024年北京冬奧會(huì)勝利舉辦，更加激發(fā)全國人民對冰雪運(yùn)動(dòng)的愛好，某地為響應(yīng)全民冰雪運(yùn)動(dòng)的號(hào)召，建立了一個(gè)滑雪場.該滑雪場中某滑道的示意圖如圖所示，點(diǎn)A，B分別為滑道的起點(diǎn)和終點(diǎn)，它們在豎直方向的高度差為20.兩點(diǎn)之間為滑雪彎道，相應(yīng)的曲線可近似看作某三次函數(shù)圖象的一部分.綜合滑行的平安性與趣味性，在滑道的最陡處，滑雪者的身體與地面所成的夾角約為44°.若還要兼顧滑道的美觀性與滑雪者的滑雪體驗(yàn)，則A，B兩點(diǎn)在水平方向的距離約為（

）A．23 B．25 C．27 D．29【答案】D【解析】以滑道的最陡處為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，為的中點(diǎn)，設(shè)三次函數(shù)的解析式為，其中，設(shè)點(diǎn)，則，，在滑道最陡處，，則的對稱軸為直線，則，可得0，則，在滑道最陡處，設(shè)滑雪者的身體與地面所成角為，則，所以，由圖可知可得，因?yàn)椋瑒t.故選：D.5．（2024·湖北·宜都二中高三開學(xué)考試）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，可得，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，可得，，所以，，所以，，即，.所以.故選：B.6．（2024·湖北·高三開學(xué)考試）已知直線是曲線與曲線的一條公切線，直線與曲線相切于點(diǎn)，則滿意的關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】記得,記得，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，由于是公切線，故可得，即化簡得，故選：C7．（2024·湖北·高三開學(xué)考試）在三棱錐中，，，，，則三棱錐外接球的表面積為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】，且，∴，在△PAC中，依據(jù)余弦定理得，，∴，∴，又，平面PAC，∴PB⊥平面PAC，故可將三棱錐B-APC補(bǔ)為直三棱柱，則直三棱柱的外接球即為三棱錐P-ABC的外接球，設(shè)△PAC外接圓圓心為，△的外接圓圓心為，則直三棱柱的外接球球心為中點(diǎn)O，OA即為外接球的半徑.在△PAC中，依據(jù)正弦定理可得，∴，∴，∴外接球表面積為：．故選：A．8．（2024·湖北·襄陽五中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋魧τ陔S意的，都存在，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，，，令，可得或，?dāng)時(shí)，，則，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，設(shè)，因?yàn)閷τ陔S意的，都存在，使得，所以對于隨意的，都存在，使得，所以函數(shù)在上的值域包含與函數(shù)在上值域，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)在上的值域?yàn)?，函?shù)在上的值域?yàn)椋院瘮?shù)在上的值域?yàn)?，由已知，所以，又，所以?注：由此可解除A，B，C)當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上的值域?yàn)?，函?shù)在上的值域?yàn)椋院瘮?shù)在上的值域?yàn)?，與已知沖突，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?，函?shù)在上的值域?yàn)?，所以函?shù)在上的值域?yàn)椋c已知沖突，當(dāng)時(shí)，，，，則，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上的值域?yàn)椋瘮?shù)在上的值域?yàn)?，所以函?shù)在上的值域?yàn)椋?，滿意要求當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增所以函數(shù)在上的值域?yàn)?，函?shù)在上的值域?yàn)?，所以函?shù)在上的值域?yàn)?，，滿意要求，綜上所述，，故選：D.9．（2024·湖北·高三階段練習(xí)）已知四面體中，，則體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)M為CD的中點(diǎn)，連接AM,BM,設(shè)四面體A-BCD的高為h，則,由于，故,則,設(shè)，則,所以，當(dāng)且僅當(dāng)平面ACD與平面BCD垂直且即時(shí)取等號(hào)，故選：C10．（2024·湖北·高三階段練習(xí)）恰有一個(gè)實(shí)數(shù)使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，不成立，所以不是方程的根，故對原方程轉(zhuǎn)化為，故轉(zhuǎn)化為與僅有一個(gè)交點(diǎn)，構(gòu)造，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，且時(shí)，，時(shí)，，故要使得與僅有一個(gè)交點(diǎn)，即的取值范圍是故選：B．11．（2024·湖北武漢·高三開學(xué)考試）已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過的直線與交于A，B兩點(diǎn).若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè),則,.由橢圓的定義可知,所以,所以,.在△ABF1中,.所以在△AF1F2中,,即整理可得：,所以故選：C12．（2024·湖北武漢·高三開學(xué)考試）若，其中，，則下列結(jié)論肯定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，其中，，所以，其中，，令，，故時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以故令，則等價(jià)于，因?yàn)?，故函?shù)在單調(diào)遞增，所以等價(jià)于，即所以，即.故選：D13．（2024·湖北·宜城市其次高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）已知，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以，又，所以，在成立，所以即，令，，在為減函數(shù)，所以，即，令，，在為減函數(shù)，所以，即，所以，成立，令，則上式變?yōu)椋运?，所?故答案為：B.14．（2024·湖北·宜城市其次高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)C滿意：對于隨意，均存在，使得，記C的最小值為，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】題設(shè)等價(jià)于對于隨意，均存在，使得，將在數(shù)軸上表示如下：當(dāng)與上述數(shù)軸上的點(diǎn)重合時(shí)，易得存在使得，又C為正實(shí)數(shù)，則成立；當(dāng)與上述數(shù)軸上的點(diǎn)不重合時(shí)，假設(shè)在相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間，則，當(dāng)且僅當(dāng)在相鄰的兩個(gè)點(diǎn)中點(diǎn)時(shí)取等，要使對于隨意，均存在，使得，則有，又?jǐn)?shù)軸上全部相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間距離最大為，此時(shí)在相鄰的兩個(gè)點(diǎn)或中點(diǎn)，則.以下說明數(shù)軸上全部相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間距離最大為，易得數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離為，當(dāng)或，和為相鄰的兩點(diǎn)，之間的距離為；當(dāng)時(shí)，則，即之間必存在點(diǎn)，可得相鄰的兩點(diǎn)之間的距離小于，綜上可得數(shù)軸上全部相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間距離最大為.故，故.故選：B.15．（2024·湖北·宜城市其次高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．已知某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)，，，，且球心在上，，，，則該鞠（球）的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，取AB的中點(diǎn)M，連接MP，由AC=BC=4，AC⊥BC得：，由，得：，連接CM并延長，交球O于點(diǎn)H，連接PH，因?yàn)镻C球O的直徑，設(shè)球的半徑為R，則PH⊥CH，，則，所以，解得：，球的表面積為.故選：C二、多選題16．（2024·湖南·永州市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．直線y=0為曲線y=f(x)的一條切線B．f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為3C．f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4D．若f()=f()(≠)，則+=0【答案】AB【解析】因?yàn)椋?，令，即，令，，在同一坐?biāo)系中作出兩函數(shù)的圖像，由圖像得：當(dāng)和時(shí)，，所以此時(shí)，所以在和上單調(diào)遞增；當(dāng)和時(shí)，，所以此時(shí)，所以在和上單調(diào)遞減；且，，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：對于A選項(xiàng)：依據(jù)函數(shù)的圖象，知A選項(xiàng)正確；對于B：由圖象得有3個(gè)不同的解，有3個(gè)極值點(diǎn)，故B正確；對于C：當(dāng)或時(shí)，，所以函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，故C不正確；對于D：因?yàn)?，所以函?shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)關(guān)于y軸對稱，若，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)即，故D不正確.故選：AB.17．（2024·湖南·永州市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知是定義在上的偶函數(shù)，且對隨意，有，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．是以4為周期的周期函數(shù)B．C．函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】依題意，為偶函數(shù)，且關(guān)于對稱，則，所以是周期為4的周期函數(shù)，A正確.因?yàn)榈闹芷跒?，則，，所以，B錯(cuò)誤；作函數(shù)和的圖象如下圖所示，由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，C正確；當(dāng)時(shí)，，則，D正確.故選：ACD18．（2024·湖南·長沙一中高三開學(xué)考試）已知，是圓O：上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若點(diǎn)O到直線AB的距離為，則C．若，則的最大值為D．若，則的最大值為4【答案】AD【解析】對于A，若，則可知點(diǎn)到的距離為，從而可知，故A正確；對于B，若點(diǎn)O到直線AB的距離為，則可知，從而得，故B錯(cuò)誤；對于C，D，的值可轉(zhuǎn)化為單位圓上的兩點(diǎn)到直線的距離之和，又，所以三角形是等腰直角三角形，設(shè)是的中點(diǎn)，則，且，則在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，兩點(diǎn)到直線的距離之和為的中點(diǎn)到直線的距離的兩倍.點(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，所以的最大值為.因此的最大值為4.從而可知C錯(cuò)誤，D正確..故選：AD.19．（2024·湖南·長沙一中高三開學(xué)考試）已知定義在R上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，.則（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．不等式的解集為D．不等式的解集為【答案】ABC【解析】對于選項(xiàng)，由，所以為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.故正確；對于選項(xiàng)B，由為偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增.故B正確；對于C、D選項(xiàng)，由，得，所以，即，所以.所以，解得.所以C正確，錯(cuò)誤，故選：.20．（2024·湖南·長沙一中高三開學(xué)考試）已知橢圓C：（）的離心率為，過點(diǎn)P（1，1）的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且滿意.動(dòng)點(diǎn)Q滿意，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為C．線段OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）長度的最小值為D．線段OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）長度的最小值為【答案】ABD【解析】對于A：由橢圓的離心率為，得，所以，故正確；對于B：設(shè)，由，得兩式相乘得，同理可得，由題意知且，否則與沖突，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，即直線，故正確；對于C、D：所以線段長度的最小值即為原點(diǎn)到直線的距離，min，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.21．（2024·湖北·宜都二中高三開學(xué)考試）已知函數(shù)滿意，有，且，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（

）A．B．時(shí)，單調(diào)遞增C．關(guān)于點(diǎn)對稱D．時(shí)，方程的全部根的和為【答案】CD【解析】由題設(shè)知：，故在上為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，又，即關(guān)于、，對稱，且最小周期為4，A：，錯(cuò)誤；B：等價(jià)于，由上易知：上遞減，上遞增，故不單調(diào)，錯(cuò)誤；C：由上知：關(guān)于對稱且，所以關(guān)于對稱，正確；D：由題意，只需確定與在的交點(diǎn)，推斷交點(diǎn)橫坐標(biāo)的對稱狀況即可求和，如下圖示，∴共有6個(gè)交點(diǎn)且關(guān)于對稱，則，∴全部根的和為，正確.故選：CD22．（2024·湖北·宜都二中高三開學(xué)考試）已知函數(shù).則（

）A．當(dāng)時(shí)，是上的減函數(shù)B．當(dāng)時(shí)，的最大值為C．可能有兩個(gè)極值點(diǎn)D．若存在實(shí)數(shù)，，使得為奇函數(shù)，則【答案】ABD【解析】A：當(dāng)時(shí)，，則，所以是上的減函數(shù)，故A正確；B：當(dāng)時(shí)，，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最大值為，故B正確；C：，令，即，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，而時(shí)，，時(shí)，，所以時(shí)，有一個(gè)根，故有1個(gè)極值點(diǎn)，時(shí)，無解，故無極值點(diǎn)，故不行能有2個(gè)極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；D：若，則，取，則，，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由C結(jié)合函數(shù)的圖象、單調(diào)性可得不存在實(shí)數(shù)，，使得為奇函數(shù)，故D正確.故選：ABD.23．（2024·湖北·高三開學(xué)考試）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．內(nèi)切圓的半徑為C．D．點(diǎn)到軸的距離為【答案】ABD【解析】由雙曲線的方程，得，，，所以雙曲線的漸近線方程為，A正確；因?yàn)椋?，，所以，，解得，故，C錯(cuò)誤；內(nèi)切圓的半徑為，B正確；設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，由的面積為，可得，解得.故選：ABD．24．（2024·湖北·高三開學(xué)考試）已知函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)，，滿意，則（

）A． B．C． D．的最小值是【答案】BC【解析】由題意，函數(shù)，，，令，得或，令，得，所以的微小值在處取得，極大值在處取得，即的微小值為，的極大值為，又因?yàn)椋瘮?shù)的三個(gè)零點(diǎn)分別為，，，且，所以，，，故A錯(cuò)誤，B、C正確；由題中條件可知，，因此，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以D錯(cuò)誤．故選：BC25．（2024·湖北·襄陽五中高三階段練習(xí)）已知圓臺(tái)的上下底面的圓周都在半徑為2的球面上，圓臺(tái)的下底面過球心，上底面半徑為，設(shè)圓臺(tái)的體積為，則下列選項(xiàng)中說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．存在最大值C．當(dāng)在區(qū)間內(nèi)改變時(shí)，漸漸減小D．當(dāng)在區(qū)間內(nèi)改變時(shí)，先增大后減小【答案】ABD【解析】設(shè)圓臺(tái)的上底面的圓心為，下底面的圓心為，點(diǎn)為上底面圓周上隨意一點(diǎn)，圓臺(tái)的高為，球的半徑為，則，對選項(xiàng)正確；，設(shè)，則，設(shè)可得，知，且當(dāng)；2)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，由，，使得，當(dāng)，即當(dāng)，即，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則B，D正確，C錯(cuò)誤，故選：.26．（2024·湖北·襄陽五中高三階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)且斜率大于0的直線交拋物線于兩點(diǎn)（其中在的上方），為坐標(biāo)原點(diǎn)，過線段的中點(diǎn)且與軸平行的直線依次交直線于點(diǎn).則（

）A．若，則直線的斜率為B．C．若是線段的三等分點(diǎn)，則直線的斜率為D．若不是線段的三等分點(diǎn)，則肯定有【答案】ABC【解析】拋物線焦點(diǎn)為，設(shè)直線方程為，，，由得，由韋達(dá)定理可知，，，因?yàn)椋瑒t可得,且，，所以，即，且，解得，得，所以，且所以，故A正確,又因?yàn)?，，故直線方程為，又因?yàn)楣簿€，所以，，同理可得，，，所以，,即，故B正確.若是線段的三等分點(diǎn)，則,，，又，，，，所以，解得，，故C正確.由，得，即，所以，，又，所以，，所以

，當(dāng)時(shí)，,故D錯(cuò)誤.故選:ABC.27．（2024·湖北·高三階段練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，O為正方體的中心，M為的中點(diǎn)，F(xiàn)為側(cè)面正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿意平面，則（

）A．若P為正方體表面上一點(diǎn)，則滿意的面積為的點(diǎn)有12個(gè)B．動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是一條線段C．三棱錐的體積是隨點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)而改變的D．若過A，M，三點(diǎn)作正方體的截面，Q為截面上一點(diǎn)，則線段長度的取值范圍為【答案】BD【解析】對于A：設(shè)為底面正方形ABCD的中心，連接，，，則，，所以的面積為，所以在底面ABCD上點(diǎn)P與點(diǎn)必重合，同理正方形的中心，正方形的中心都滿意題意.又當(dāng)點(diǎn)P為正方體各條棱的中點(diǎn)時(shí)也滿意的面積為，故A不正確；對于B：如圖①，分別取，的中點(diǎn)H，G，連接，，，．因?yàn)?，，平面，平面，平面，面，，所以平面平面，而平面，所以平面，所以點(diǎn)F的軌跡為線段GH，故B正確；對于C：由選項(xiàng)B可知，點(diǎn)F的軌跡為線段GH，因?yàn)槠矫?，則點(diǎn)F到平面的距離為定值，同時(shí)的面積也為定值，則三棱錐的體積為定值，故C不正確；對于D：如圖②，設(shè)平面與平面交于AN，N在上．因?yàn)榻孛嫫矫?，平面平面，所以．同理可證，所以截面為平行四邊形，所以點(diǎn)N為的中點(diǎn)．在四棱錐中，側(cè)棱最長，且．設(shè)棱錐的高為h，因?yàn)?，所以四邊形為菱形，所以的邊上的高為面對角線的一半，即為，又，則，，所以，解得．綜上，可知長度的取值范圍是，故D正確．故選：BD．28．（2024·湖北·高三階段練習(xí)）[多選題]已知拋物線的焦點(diǎn)為，，是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為B．若直線過點(diǎn)，則C．若，則的最小值為D．若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為【答案】BCD【解析】易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；依據(jù)拋物線的性質(zhì)知，過焦點(diǎn)時(shí)，，選項(xiàng)B正確；若，則過點(diǎn)，則的最小值即拋物線通徑的長，為，即，選項(xiàng)C正確，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)，，分別作準(zhǔn)線的垂線，，垂足分別為，，，所以，．所以，所以線段，所以線段的中點(diǎn)到軸的距離為，選項(xiàng)D正確．故選：BCD29．（2024·湖北·高三階段練習(xí)）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)覺：橢圓的兩條切線相互垂直，則兩切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同中心的圓上，稱此圓為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，直線，則（

）A．直線與蒙日圓相切B．的蒙日圓的方程為C．記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為D．若矩形的四條邊均與相切，則矩形的面積的最大值為【答案】AC【解析】當(dāng)兩切線分別與兩坐標(biāo)軸垂直時(shí)，兩切線的方程分別為、，所以，點(diǎn)在蒙日圓上，故蒙日圓的方程為，因?yàn)?，可?對于A選項(xiàng)，蒙日圓圓心到直線的距離為，所以，直線與蒙日圓相切，A對；對于B選項(xiàng)，的蒙日圓的方程為，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，由橢圓的定義可得，則，所以，，因?yàn)椋本€的方程為，點(diǎn)到直線的距離為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C對；對于D選項(xiàng)，若矩形的四條邊均與相切，則矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在蒙日圓上，所以，，所以，矩形的面積為，D錯(cuò).故選：AC.30．（2024·湖北武漢·高三開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，若在[0，2π]有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則（

）A．在（0，2π）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn) B．在（0，2π）有且僅有2個(gè)微小值點(diǎn)C．在（0，）單調(diào)遞增 D．的取值范圍是[，）【答案】AD【解析】，時(shí)，，在[0，2π]有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則，，D正確；此時(shí)，，時(shí)，取得極大值，A正確；，，即時(shí)，時(shí)，均取得微小值，B錯(cuò)；時(shí)，，，則，因此在上不遞增，C錯(cuò)．故選：AD．31．（2024·湖北武漢·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列滿意：，，下列說法正確的是（

）A．，成等差數(shù)列 B．C． D．，肯定不成等比數(shù)列【答案】BCD【解析】因?yàn)椋?，且，所以①，所以②所以，?①整理得：因?yàn)?，所以?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，即，故B選項(xiàng)正確；對于A選項(xiàng)，若，成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，由遞推關(guān)系得，明顯不滿意等差數(shù)列，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，從?項(xiàng)起，數(shù)列介于以為首項(xiàng)，公比分別為和為公比的等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)之間，所以，故C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，假設(shè)，成等比數(shù)列，則成等比數(shù)列，由遞推關(guān)系得，明顯不滿意等比數(shù)列定義，故D正確；.故選：BCD32．（2024·湖北·宜城市其次高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，ABCD是邊長為5的正方形，半圓面APD⊥平面ABCD．點(diǎn)P為半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，D不重合）．下列說法正確的是（

）A．三棱錐P－ABD的四個(gè)面都是直角三角形B．三棱錐P一ABD體積的最大值為C．異面直線PA與BC的距離為定值D．當(dāng)直線PB與平面ABCD所成角最大時(shí)，平面PAB截四棱錐P－ABCD外接球的截面面積為【答案】AC【解析】對于A選項(xiàng)，因?yàn)榈酌鏋檫呴L是4的正方形，則，又半圓平面，半圓平面，平面，則半圓，又平面，故，則為直角三角形，所以，因?yàn)槭菆A的直徑，則，故為直角三角形，所以，因?yàn)?，則是直角三角形，所以，在中，，則，所以為直角三角形，故三棱錐的每個(gè)側(cè)面三角形都是直角三角形，故選項(xiàng)A正確；對于B選項(xiàng)，在三棱錐中，半圓面，則是三棱錐的高，當(dāng)點(diǎn)是半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的底面積取得最大值，三棱錐的體積取得最大值為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)榘雸A面平面，，半圓面平面，所以半圓面，又半圓面，所以，又，所以為異面直線與的距離，所以異面直線與的距離為定值；故C正確；對于D選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，由選項(xiàng)A中的解析可得，，所以點(diǎn)為四棱錐外接球的球心，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，如圖所示，因?yàn)榘雸A面平面，半圓面平面，故平面，所以為在平面內(nèi)的射影，則為直線與平面所成的角，設(shè)，則，，在中，，，所以，故，令，則，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，則，所以直線與平面所成最大角的正弦值為，此時(shí)，，所以，，，過作于，，解得，所以球心到面的距離，設(shè)截面半徑為，則有，所以截面面積為，故D錯(cuò)誤；故選：AC．33．（2024·湖北·宜城市其次高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）雙曲線的虛軸長為2，為其左右焦點(diǎn)，是雙曲線上的三點(diǎn)，過作的切線交其漸近線于兩點(diǎn).已知的內(nèi)心到軸的距離為1.下列說法正確的是（

）A．外心的軌跡是一條直線B．當(dāng)改變時(shí)，外心的軌跡方程為C．當(dāng)改變時(shí)，存在使得的垂心在的漸近線上D．若分別是中點(diǎn)，則的外接圓過定點(diǎn)【答案】AD【解析】因?yàn)橐阎膬?nèi)心到軸的距離為1，雙曲線的虛軸長為2，所以的內(nèi)心橫坐標(biāo)，雙曲線方程：，，漸近線.設(shè).當(dāng)點(diǎn)在雙曲線上時(shí)：設(shè)直線與雙曲線交兩點(diǎn)

當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí)，此時(shí)切點(diǎn)滿意：切線設(shè)直線與漸近線交兩點(diǎn)

切點(diǎn)正是線段的中點(diǎn)，∴；線段中垂線是.中垂線與軸交于點(diǎn)，且.可設(shè)一方面，；另一方面，線段中點(diǎn)是考慮到∴，點(diǎn)

確系之外心！其軌跡是直線.選項(xiàng)A正確！依（1）設(shè)線段中點(diǎn)是線段中垂線是，即線段中垂線是，即∴，即外心的軌跡方程為.故選項(xiàng)B錯(cuò)?。?）對來講，若垂心在漸近線上可設(shè)坐標(biāo)是，進(jìn)而化簡得∴把代入并化簡得：考慮到不在漸近線上得，故∴，這不行能！垂心不能在上，同理不能在上，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；（4）設(shè)共圓！的外接圓過定點(diǎn)原點(diǎn)，選項(xiàng)D對.故選：AD34．（2024·湖北·宜城市其次高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．函數(shù)f（x）在（－2，1）上單調(diào)遞增B．函數(shù)f（x）的值域?yàn)镃．若關(guān)于x的方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是D．不等式在恰有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】ACD【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，，故數(shù)f（x）在（－2，1）上單調(diào)遞增，A正確；由A選項(xiàng)分析可知：在處取得微小值，，在處取得極大值，，又時(shí)，恒成立，時(shí)，恒成立，畫出，如圖：故f（x）的值域?yàn)椋珺錯(cuò)誤；由得：或畫出的圖象，如圖所示：從圖象可以看出有1個(gè)根，為，要想方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，須要須要有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且不等于-1，所以則實(shí)數(shù)a的取值范圍是，C正確；不等式在恰有兩個(gè)整數(shù)解，即在恰有兩個(gè)整數(shù)解，在同一坐標(biāo)系下畫出的圖象：當(dāng)介于直線之間時(shí)，滿意要求，其中，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是，D正確.故選：ACD三、填空題35．（2024·湖南·永州市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),且不等式恒成立,則的取值范圍是__________．【答案】【解析】,因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),所以方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根,于是有：,解得.,設(shè),,故在上單調(diào)遞增,故,所以.因此的取值范圍是故答案為36．（2024·湖南·永州市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)（且）有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，又，所以，所以為的周期函數(shù)，令，則，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)（且）有且僅有個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)有6個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)只有2個(gè)交點(diǎn)，不滿意題意；當(dāng)時(shí)，畫出圖像：如圖所示，要使函數(shù)與函數(shù)有6個(gè)交點(diǎn)，則，故答案為：.37．（2024·湖南·長沙一中高三開學(xué)考試）若直線l：為曲線與曲線的公切線（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，），則實(shí)數(shù)b=___________.【答案】或【解析】依據(jù)切線方程的求解，聯(lián)立方程即可解得切點(diǎn)，進(jìn)而可求.設(shè)與的切點(diǎn)為，則由，有.同理，設(shè)與的切點(diǎn)為，由，有.故由①式兩邊同時(shí)取對數(shù)得：，將③代入②中可得：，進(jìn)而解得或.則或故或.故答案為：或38．（2024·湖南·長沙一中高三開學(xué)考試）在四棱錐P?ABCD中，已知底面ABCD是邊長為的正方形，其頂點(diǎn)P究竟面ABCD的距離為3，該四棱錐的外接球O的半徑為5，若球心O在四棱錐P?ABCD內(nèi)，則頂點(diǎn)P的軌跡長度為___________.【答案】【解析】因?yàn)榈酌媸沁呴L為的正方形，所以該正方形外接圓半徑，所以球心究竟面的距離，又頂點(diǎn)究竟面的距離為3，所以點(diǎn)在與底面平行的截面圓的圓周上，由球心在四棱錐內(nèi)，可得截面圓的半徑，故頂點(diǎn)的軌跡長度為.故答案為：.39．（2024·湖北·宜都二中高三開學(xué)考試）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍________.【答案】【解析】，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，恒成立，即，恒成立，設(shè)，，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，所以，即.故答案為：40．（2024·湖北·高三開學(xué)考試）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則使得取得最小值時(shí)的值為________.【答案】16【解析】由得,當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，所以當(dāng)時(shí)，最小.故答案為：1641．（2024·湖北·襄陽五中高三階段練習(xí)）設(shè)，則的大小關(guān)系是___________.【答案】【解析】由已知可得，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以故答案為：.42．（2024·湖北·高三階段練習(xí)）有一個(gè)棱長為6的正四面體，其中有一半徑為的球自由運(yùn)動(dòng)，正四面體內(nèi)未被球掃過的體積為【答案】【解析】如圖設(shè)正四面體，當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到與平面、平面、平面相切時(shí)，可得此時(shí)球無法接著向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)切點(diǎn)分別為，則此時(shí)球面與正四面體頂點(diǎn)之間的部分球無法掃過，同理可得正四面體頂點(diǎn)均有相同的空間未被球掃過，作與平面平行且與此時(shí)球相切的平面，易得棱錐為正四面體，設(shè)棱長為，作平面于，則經(jīng)過球心，易得，則，則正四面體的體積，表面積，設(shè)球半徑為，則，即，解得，作，易得為中點(diǎn)，則，設(shè)4個(gè)頂點(diǎn)處未被球掃過空間的體積為，球的體積為，可得；當(dāng)球沿著方向運(yùn)動(dòng)且始終與二面角相切時(shí)，設(shè)球與平面、平面的切點(diǎn)始終為，過的大圓與交于，由垂徑定理知，又，易得，則即為二面角的平面角，易得未被球掃過的部分為柱體，且柱體的底面為扇形與四邊形之間的部分，設(shè)中點(diǎn)為，連接，易得，則即為二面角的平面角，又，由余弦定理得，則，則，則，，則，設(shè)扇形與四邊形之間部分面積為，扇形面積為，,則，由上知，又，則柱體的高為，正四面體的六條棱未被球掃過空間均為相同的柱體，設(shè)這部分體積為，則，則正四面體內(nèi)未被球掃過的體積為.故答案為：.43．（2024·湖北武漢·高三開學(xué)考試）已知正三棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球的表面積為，則該正三棱錐體積的最大值為___________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以正三棱錐外接球半徑，正三棱錐如圖所示，設(shè)外接球圓心為，過向底面作垂線垂足為，因?yàn)槭钦忮F，所以是的中心，所以，,又因?yàn)?，所以，所以，令，解得所以在遞增，在遞減，故當(dāng)時(shí)，取最大值，.故答案為：.44．（2024·湖北·宜城市其次高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O且相互垂直的兩條直線AC和BD與圓相交于A，C，B，D四點(diǎn)，M為弦AB的中點(diǎn)，有下列結(jié)論：①弦AC長度的最小值為；②線段BO長度的最大值為；③點(diǎn)M的軌跡是