數(shù)陣圖與幻方

一、數(shù)陣圖定義及分類(lèi)：

定義：把一些數(shù)字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類(lèi)問(wèn)題叫數(shù)陣圖.

數(shù)陣：是一種由幻方演變而來(lái)的數(shù)字圖.數(shù)陣圖的種類(lèi)繁多，這里只向大家介紹三種數(shù)陣圖：即封閉型

數(shù)陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復(fù)合型數(shù)陣圖.

二、解題方法：

解決數(shù)陣類(lèi)問(wèn)題可以采取從局部到整體再到局部的方法入手：

第一步：區(qū)分?jǐn)?shù)陣圖中的普通點(diǎn)（或方格）和關(guān)鍵點(diǎn)（或方格）；

第二步：在數(shù)陣圖的少數(shù)關(guān)鍵點(diǎn)（一般是交叉點(diǎn)）上設(shè)置未知數(shù)，計(jì)算這些關(guān)鍵點(diǎn)與相關(guān)點(diǎn)的數(shù)量關(guān)系，

得到關(guān)鍵點(diǎn)上所填數(shù)的范圍；

第三步：運(yùn)用已經(jīng)得到的信息進(jìn)行嘗試.這個(gè)步驟并不是對(duì)所有數(shù)陣題都適用，很多數(shù)陣題更需要對(duì)

數(shù)學(xué)方法的綜合運(yùn)用.

三、幻方起源:

幻方也叫縱橫圖，也就是把數(shù)字縱橫排列成正方形，因此縱橫圖又叫幻方.幻方起源于我國(guó)，古

人還為它編撰了一些神話.傳說(shuō)在大禹治水的年代，陜西的洛水經(jīng)常大肆泛濫，無(wú)論怎樣祭祀河神都

無(wú)濟(jì)于事，每年人們擺好祭品之后，河中都會(huì)爬出一只大烏龜，烏龜殼有九大塊，橫著數(shù)是3行，豎

著數(shù)是3列，每塊烏龜殼上都有幾個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，正好湊成1至9的數(shù)字，可是誰(shuí)也弄不清這些小點(diǎn)點(diǎn)是什

么意思.一次，大烏龜又從河里爬上來(lái)，一個(gè)看熱鬧的小孩驚叫起來(lái)：“瞧多有趣啊，這些點(diǎn)點(diǎn)不論

橫著加、豎著加還是斜著加，結(jié)果都等于十五！”于是人們趕緊把十五份祭品獻(xiàn)給河神，說(shuō)來(lái)也怪，

河水果然從此不再泛濫了.這個(gè)神奇的圖案叫做"幻方"，由于它有3行3列，所以叫做“三階幻方"，

這個(gè)相等的和叫做"幻和洛書(shū)"就是幻和為15的三階幻方.如下圖：

1+I

我國(guó)北周時(shí)期的數(shù)學(xué)家甄鸞在《算數(shù)記遺》里有一段注解：“九宮者，二四為肩，六八為足，左

三右七，戴九履一，五居中央.”這段文字說(shuō)明了九個(gè)數(shù)字的排列情況，可見(jiàn)幻方在我國(guó)歷史悠久.三

階幻方又叫做九宮圖，九宮圖的幻方民間歌謠是這樣的：“四海三山八仙洞，九龍五子一枝連；二七

六郎賞月半，周?chē)逶聢F(tuán)圓幻方的種類(lèi)還很多，這節(jié)課我們將學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)了解它們.

四、幻方定義:

幻方是指橫行、豎列、對(duì)角線上數(shù)的和都相等的數(shù)的方陣，具有這一性質(zhì)的3x3的數(shù)陣稱作三階

幻方，4x4的數(shù)陣稱作四階幻方，5x5的稱作五階幻方......如圖為三階幻方、四階幻方的標(biāo)準(zhǔn)式樣,

115144

12679

810115

133216

五、解決這幻方常用的方法：

⑴適用于所有奇數(shù)階幻方的填法有羅伯法.口訣是：一居上行正中央，后數(shù)依次右上連.上出框時(shí)往

下填，右出框時(shí)往左填.排重便在下格填，右上排重一個(gè)樣.

⑵適用于三階幻方的三大法則有：

①求幻和：所有數(shù)的和十行數(shù)(或列數(shù))

②求中心數(shù)：我們把幻方中對(duì)角線交點(diǎn)的數(shù)叫"中心數(shù)"，中心數(shù)=幻和+3.

③角上的數(shù)=與它不同行、不同列、不同對(duì)角線的兩數(shù)和+2.

六'數(shù)獨(dú)簡(jiǎn)介：

數(shù)獨(dú)前身為“九宮格”，最早起源于中國(guó)。數(shù)千年前，我們的祖先就發(fā)明了洛書(shū)，其特點(diǎn)較之現(xiàn)在

的數(shù)獨(dú)更為復(fù)雜，要求縱向、橫向、斜向上的三個(gè)數(shù)字之和等于15,而非簡(jiǎn)單的九個(gè)數(shù)字不能重復(fù)。

中國(guó)古籍《易經(jīng)》中的"九宮圖"也源于此，故稱“洛書(shū)九宮圖"。而"九宮"之名也因《易經(jīng)》在中華文

化發(fā)展史上的重要地位而保存、沿用至今。

1783年，瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德?歐拉發(fā)明了一種當(dāng)時(shí)稱作"拉丁方塊"(LatinSquare)的游戲，這個(gè)

游戲是一個(gè)nxn的數(shù)字方陣，每一行和每一列都是由不重復(fù)的n個(gè)數(shù)字或者字母組成的。19世紀(jì)

70年代，美國(guó)的一家數(shù)學(xué)邏輯游戲雜志《戴爾鉛筆字謎和詞語(yǔ)游戲》(DellPuzzleMagazines)開(kāi)始刊

登現(xiàn)在稱為"數(shù)獨(dú)"的這種游戲，當(dāng)時(shí)人們稱之為"數(shù)字拼圖"(NumberPlace),在這個(gè)時(shí)候，9x9的81

格數(shù)字游戲才開(kāi)始成型。填充完整后1984年4月，在日本游戲雜志《字謎通訊Nikoil》通信

二nil》)上出現(xiàn)了"數(shù)獨(dú)”游戲，提出了“獨(dú)立的數(shù)字”的概念，意思就是“這個(gè)數(shù)字只能出現(xiàn)一次”或者

“這個(gè)數(shù)字必須是唯一的"，并將這個(gè)游戲命名為"數(shù)獨(dú)"(sudoku)。

一位前任香港高等法院的新西蘭籍法官高樂(lè)德(WayneGould)在1997年3月到日本東京旅游時(shí)，

無(wú)意中發(fā)現(xiàn)了。他首先在英國(guó)的《泰晤士報(bào)》上發(fā)表，不久其他報(bào)紙也發(fā)表，很快便風(fēng)靡全英國(guó)，之

后他用了6年時(shí)間編寫(xiě)了電腦程式，并將它放在網(wǎng)站上，使這個(gè)游戲很快在全世界流行。從此，這個(gè)

游戲開(kāi)始風(fēng)靡全球。后來(lái)更因數(shù)獨(dú)的流行衍生了許多類(lèi)似的數(shù)學(xué)智力拼圖游戲，例如：數(shù)和、殺手?jǐn)?shù)

獨(dú)。

中國(guó)大陸是在2007年2月28日正式引入數(shù)獨(dú).2007年2月28日，北京晚報(bào)智力休閑數(shù)獨(dú)俱樂(lè)部

(數(shù)獨(dú)聯(lián)盟sudokufederation前身)在新聞大廈舉行加入世界謎題聯(lián)合會(huì)的頒證儀式，會(huì)上謎題聯(lián)合會(huì)秘

書(shū)長(zhǎng)皮特-里米斯特和俱樂(lè)部會(huì)長(zhǎng)在證書(shū)上簽字，這標(biāo)志著北京晚報(bào)智力休閑俱樂(lè)部成為世界謎題聯(lián)合

會(huì)的39個(gè)成員之一，這也標(biāo)志著俱樂(lè)部走向國(guó)際舞臺(tái)，它將給數(shù)獨(dú)愛(ài)好者帶來(lái)更多與世界數(shù)獨(dú)愛(ài)好

者們交流的機(jī)會(huì)。

七'解題技巧：

數(shù)獨(dú)游戲中最常規(guī)的辦法就是利用每一個(gè)空格所在的三個(gè)單元中已經(jīng)出現(xiàn)的數(shù)字（大小數(shù)獨(dú)一個(gè)

空格只位于兩個(gè)單元之內(nèi)，但是同時(shí)多了一個(gè)大小關(guān)系作為限制條件）來(lái)縮小可選數(shù)字的范圍。

總結(jié)4個(gè)小技巧：

1、巧選突破口：數(shù)獨(dú)中未知的空格數(shù)目很多，如何尋找突破口呢？首先我們要通過(guò)規(guī)則的限制來(lái)

分析每一個(gè)空格的可選數(shù)字的個(gè)數(shù)，然后選擇可選數(shù)字最少的方格開(kāi)始，一般來(lái)說(shuō)，我們會(huì)選

擇所在行、所在列和所在九宮格中已知數(shù)字比較多的方格開(kāi)始，盡可能確定方格中的數(shù)字；而

大小數(shù)獨(dú)中已知的數(shù)字往往非常少，這個(gè)時(shí)候大小關(guān)系更加重要，我們除了利用已知數(shù)字之外

更加需要考慮大小關(guān)系的限制。

2、相對(duì)不確定法：有的時(shí)候我們不能確定2個(gè)方格中的數(shù)字，卻可以確定同一單元其他方格中肯

定不會(huì)出現(xiàn)什么數(shù)字，這個(gè)就是我們說(shuō)的相對(duì)不確定法。舉例說(shuō)明，A1可以填入1或者2,A2

也可以填入1或者2,那么我們可以確定，1和2必定出現(xiàn)在A1和A2兩者之中，A行其他位置

不可能出現(xiàn)1或者2.

3、相對(duì)排除法：某一單元中出現(xiàn)好幾個(gè)空格無(wú)法確定，但是我們可以通過(guò)比較這幾個(gè)空格的可選

數(shù)字進(jìn)行對(duì)比分析來(lái)確定它們中的某一個(gè)或者幾個(gè)空格。舉例說(shuō)明，A行中已經(jīng)確定5個(gè)數(shù)字，

還有4個(gè)數(shù)字（我們假設(shè)是1、2、3、4）沒(méi)有填入，通過(guò)這4個(gè)空格所在的其他單元我們知道

A1可以填入1、2、3、4,A2可以填入1、3,A3可以填入1、2、3,A4可以填入1、3,這個(gè)

時(shí)候我們可以分析，數(shù)字4只能填入A1中，所以A1可以確定填入4,我們就可以不用考慮A1,

這樣就可以發(fā)現(xiàn)2只能填入A3中，所以A3也能確定，A2和A4可以通過(guò)其他辦法進(jìn)行確定。

4、假設(shè)法：如果找不到能夠確定的空格，我們不妨進(jìn)行假設(shè)，當(dāng)然，假設(shè)也是原則的，我們不能

進(jìn)行無(wú)意義的假設(shè)，假設(shè)的原則是：如果通過(guò)假設(shè)一個(gè)空格的數(shù)字，可以確定和這個(gè)空格處在

同一個(gè)單元內(nèi)的其它某一個(gè)或者某幾個(gè)空格的數(shù)字，那么我們就以選擇這樣的空格來(lái)假設(shè)為佳。

舉例說(shuō)明，B3可以填入1或者2,A3可以填入2或者3,B4可以填入1或者2,這個(gè)時(shí)候我們

就應(yīng)該假設(shè)B3填入2,這樣就可以確定A3填入3,B4填入1,然后以這個(gè)為基礎(chǔ)進(jìn)行推理。

初題溺橙

一'數(shù)陣圖

【例112000個(gè)數(shù)寫(xiě)成一行，任意三個(gè)相鄰的數(shù)的和均相等，總和53324。去掉左起第1、第1949、第1975

及最后一個(gè)數(shù)，和成為53236,問(wèn)剩下的數(shù)中左起第50個(gè)數(shù)是o

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5星【題型】填空

【解析】第一個(gè)數(shù)+第二個(gè)數(shù)+第三個(gè)數(shù)=第二個(gè)數(shù)+第三個(gè)數(shù)+第四個(gè)數(shù)，所以第一個(gè)數(shù)=第四個(gè)數(shù)，

同理第二個(gè)數(shù)=第五個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)=第六個(gè)數(shù)，也就是這個(gè)數(shù)列是以3為周期的一個(gè)周期數(shù)列。

1949+3=649■2,1975+3=658……1,2000+3=666……2,也就是第一個(gè)數(shù)x2+第二個(gè)

數(shù)x2=53324—53236=88,所以第一個(gè)數(shù)+第二個(gè)數(shù)=44,又因?yàn)?000個(gè)數(shù)的和為53324,

53324=（第一個(gè)數(shù)+第二個(gè)數(shù)+第三個(gè)數(shù)）x666+第一個(gè)數(shù)+第二個(gè)數(shù)，從而求出第一個(gè)數(shù)+第

二個(gè)數(shù)+第三個(gè)數(shù)=80,所以第三個(gè)數(shù)=80-44=36,而50+3=16……2,所以剩下的數(shù)中左起

第50個(gè)數(shù)就是原數(shù)列中的第51個(gè)數(shù)，即原數(shù)列中的第3個(gè)數(shù)，等于36。

【答案】36?

【鞏固】如圖，在2006年的3月的日歷上，A+B+C+D=52,那么，3月份的第一個(gè)星期日是一號(hào)?

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5星【題型】填空

【解析】8比A大8,C比3大8,則C比A大16,。比C大8,則。比A大24,則有

A=（52—8—16-24）+4=1,A是星期三，則第一個(gè)星期日是1+4=5號(hào).

【答案】5號(hào)。

【例2】將1到8這8個(gè)自然數(shù)分別填入如圖數(shù)陣中的8個(gè)圓圈，使得數(shù)陣中各條直線上的三個(gè)數(shù)之和都

相等，那么A和3兩個(gè)圓圈中所填的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）是.

【考點(diǎn)】封閉型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空

【解析】方法一：如圖

用字母來(lái)表示各個(gè)圓圈中的數(shù)字，設(shè)各條直線上的三個(gè)數(shù)之和都為s,那么

a+b+c+d+e+f=2s,a+A+e+b+A+d+c+B+f=3s,所以2A+8=s,

a+/?+c+d+e+f+A+8=2s+A+B=5A+3B,而

a+b+c+d+e+f+A+B=l+2++8=36,所以5A+33=36,刃口么A是3的倍弟攵+□果A=3,

得8=7;如果A=6,得3=2,這兩種情況下4和B的差都為4,所以A和B兩個(gè)圓圈中所填

的數(shù)之差(大數(shù)減小數(shù))是4.

方法二：設(shè)各條直線上的三個(gè)數(shù)之和都為s,2Q+2+3++8)-B=5s,即72-8=5s,

?[3=2[B=l-c

所以4,<,由于(1+2+3++8)+A=3s,即36+A=3s,

5=145=13

B=1

s=1413八人q

因此有，綜合有《5=13,

A=6：3

4=3

所以A和3兩個(gè)圓圈中所填的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）是4.

【答案】4。

【鞏固】把2?11這10個(gè)數(shù)填到右圖的10個(gè)方格中，每格內(nèi)填一個(gè)數(shù)，要求圖中3個(gè)2x2的正方形中的

4個(gè)數(shù)之和相等.那么，這個(gè)和數(shù)的最小值是多少？

【考點(diǎn)】封閉型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空

【解析】第一步：首先確定數(shù)陣圖中的關(guān)鍵方格，即相鄰兩個(gè)正方形相交的兩個(gè)方格；第二步：計(jì)算三個(gè)

2x2正方形內(nèi)4個(gè)數(shù)之和的和，顯然這個(gè)和能被3整除，其中有兩個(gè)數(shù)被重復(fù)計(jì)算了兩次，而

2+3++11=65,除以3余2,因此被重復(fù)計(jì)算的兩個(gè)數(shù)的和被3除余1,這兩個(gè)數(shù)取2、5時(shí)，

這個(gè)和取得最小值；

第三步，由已知的兩個(gè)方格中的數(shù)，得到每個(gè)2x2正方形中的4個(gè)數(shù)之和的最小值為24,構(gòu)造

各個(gè)正方形中其他幾個(gè)數(shù)使每個(gè)正方形中的數(shù)的和為24,如圖，所以所求的最小值是24.

【答案】24。

【例3】下圖中有五個(gè)正方形和12個(gè)圓圈，將1?12填入圓圈中，使得每個(gè)正方形四角上圓圈中的數(shù)字之

和都相等.那么這個(gè)和是多少？

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空

【解析】設(shè)每個(gè)正方形四角上圓圈中的數(shù)字之和為x,則由5個(gè)正方形四角的數(shù)字之和，相當(dāng)于將1?12

相加，再將中間四個(gè)圓圈中的數(shù)加兩遍，可得：（1+2++12）+2x=5x,解得x=26,即這個(gè)

和為26.具體填法如右上圖。

【答案】26。

【鞏固】如圖，大、中、小三個(gè)正方形組成了8個(gè)三角形，現(xiàn)在把2、4、6、8四個(gè)數(shù)分別填在大正方形

的四個(gè)頂點(diǎn)；再把2、4、6、8分別填在中正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上；最后把2、4、6、8分別填在小

正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上.⑴能不能使8個(gè)三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和都相等？⑵能不能使8個(gè)三角形頂

點(diǎn)上數(shù)字之和各不相同？如果能，請(qǐng)畫(huà)圖填上滿足要求的數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】4星【題型】填空

【解析】（1）不能.如果這8個(gè)三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和都相等，設(shè)它們都等于S.考察外面的4個(gè)三角形，

每個(gè)三角形頂點(diǎn)上的數(shù)的和是S,在它們的和4S中，大正方形的2、4、6、8各出現(xiàn)一次，中正

方形的2、4、6、8各出現(xiàn)二次，即4s=（2+4+6+8）x3=60.得到S=60+4=15,但是三角形

每個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)都是偶數(shù)，和不可能是奇數(shù)15,因此這8個(gè)三角形頂點(diǎn)上的數(shù)字之和不可能都相

等.

⑵由于三角形3個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和最小為2+2+2=6,最大為8+8+8=24,可能為6、8、

10..........22、24,共有10個(gè)可能的值，而三角形只有8個(gè)，所以是有可能做到8個(gè)三角形的頂

點(diǎn)上數(shù)字之和互不相同的.

根據(jù)對(duì)稱性，不妨舍去這10個(gè)可能值的首尾兩個(gè)，把剩下8個(gè)值（8、10、12、14、16、18、20、

22）作為8個(gè)三角形的頂點(diǎn)上數(shù)字之和進(jìn)行嘗試，可以得到滿足條件的填法，右上圖就是一種填法.

【例4】一個(gè)3x3的方格表中，除中間一格無(wú)棋子外，其余梅格都有4枚一樣的棋子，這樣每邊三個(gè)格子

中都有12枚棋子，去掉4枚棋子，請(qǐng)你適當(dāng)調(diào)整一下，使每邊三格中任有12枚棋子，并且4個(gè)

角上的棋子數(shù)仍然相等（畫(huà)圖表示）。

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】4星【題型】填空

【解析】因?yàn)槊總€(gè)角上的棋子分別被兩條邊共用，根據(jù)這一特點(diǎn)可以將邊上的棋子減少，同時(shí)增加角上的

棋子數(shù)。具體操作如圖：

【鞏固】如果將右圖分成四塊，每塊上的數(shù)的和都相等，那么每塊的和是

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】4星【題型】填空

94

125

6119

611914

910.

91083

【解析】根據(jù)題目給的數(shù)字計(jì)算所有的數(shù)字和為：9+4+12+5+6+11+9+14+9+10+8+3=100,分成

四塊的，每塊的數(shù)字才口為：100+4=25,,所以9+4+12=25,5+11+9=25,6+9+10=25,

8+3+14=25,具體分法如上圖。

【例5】下圖是四個(gè)互相聯(lián)系的三角形。把1?9九個(gè)數(shù)字，填入。中，使每個(gè)三角形中數(shù)字的和都是15。

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】4星【題型】解答

【解析】每個(gè)三角形數(shù)字和都是15,四個(gè)三角形的數(shù)字和便是：15x4=60,而1?9九個(gè)數(shù)字和只有45。

45比60少15。怎樣才能使它增加15呢？靠數(shù)字重復(fù)使用才能解決。

中間的一個(gè)三角形，每個(gè)頂角都聯(lián)著其他三角形，每個(gè)數(shù)字都被重復(fù)使用兩次。因此，只要使中

間的一個(gè)三角形數(shù)字和為15,便可以符合條件。因此，它的三個(gè)頂角數(shù)字，可以分別為：

1、9、52、8、52、7、64、6、5

2、9、43、8、43、7、58、6、1

把中間的三角形各頂角數(shù)字先填出，其他各個(gè)三角形便容易解決了。

【答案】

【鞏固】把1?10十個(gè)數(shù)字，分別填入下圖。中，使每個(gè)三角形三個(gè)頂角的三個(gè)數(shù)字和相等。

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】4星【題型】解答

【解析】圖中有三個(gè)三角形，頂角數(shù)字互不聯(lián)系，中心的一個(gè)數(shù)獨(dú)立于各個(gè)三角形之外。因此，要使各三

角形頂角的數(shù)字和相等。去掉中心數(shù)后，數(shù)字總和應(yīng)是3的倍數(shù)，而且三角形頂角的數(shù)字三組中

不能出現(xiàn)重復(fù)。

如：以10為中心數(shù)，可填為如下圖樣。

g2

【答案】

［例6］把1?7分別填入左下圖中的七個(gè)空塊里，使每個(gè)圓圈里的四個(gè)數(shù)之和都等于13。

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】解答

【解析】這道題的“重疊數(shù)”很多。有重疊2次的（中心數(shù)，記為a）;有重疊1次的（三個(gè)數(shù)，分別記為b,c,

d）?根據(jù)題意應(yīng)有：（1+2+…+7）+a+a+b+c+d=13x3,即a+a+b+c+d=11。

因?yàn)?+2+3+4=10,11-10=1,所以只有a=l,b,c,d分別為2,3,4才符合題意，填法見(jiàn)右上圖。

【鞏固】把1,3,5,7,9,11,13分別填入左圖中的七個(gè)空塊中，使得每個(gè)圓內(nèi)的四個(gè)數(shù)之和都等于34。

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】解答

【解析】

經(jīng)試驗(yàn)填法如上圖。（填法不唯一）

愉

【答案】填法不唯一。

［例7］右圖是一部古怪的電話，中間的十二個(gè)鍵分別為四個(gè)圓形、四個(gè)橢圓形和四個(gè)正方形.若想打電話,

必須首先將1?12這十二個(gè)數(shù)填入其中，使四個(gè)橢圓、四個(gè)圓形、四個(gè)正方形以及四條直線上的

四個(gè)數(shù)之和都為26,假如你要打電話，那么你將怎樣填數(shù)？

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】4星【題型】解答

【解析】略。

【鞏固】在下列圖中三個(gè)正方形中，每個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，只填入1,2,3,4四數(shù)，使圖中八個(gè)三

角形頂點(diǎn)數(shù)字和互不相同。

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】4星【題型】解答

【解析】圖中，頂角在大正方形邊上的四個(gè)三角形，頂角都分別為兩個(gè)三角形共用，只有正方形的四個(gè)角

分別只屬于一個(gè)三角形，所以，四個(gè)三角形頂點(diǎn)數(shù)字的和應(yīng)等于：(1+2+3+4)x3=3O

30不是4的倍數(shù)，因而，外面的四個(gè)三角形頂點(diǎn)數(shù)字和不可能相等。同理，里面的四個(gè)三角形頂

點(diǎn)數(shù)字和也不可能相等。

題中要求，每個(gè)三角形頂點(diǎn)數(shù)字和不相同，1?4四個(gè)數(shù)之和最小值是1+1+2=4,最大值是4

+4+3=11,這樣共可組成八組數(shù)，將八組數(shù)分別填入各個(gè)三角形頂點(diǎn)，便可符合條件。

【答案】

二、數(shù)獨(dú)

【例8】將1、2、3、4分別填入4x4的方格網(wǎng)（如下圖所示）的16個(gè)小方格中，使得每一行每一列中的

4個(gè)數(shù)1、2、3、4恰好各出現(xiàn)一次，并且滿足與不等號(hào)相鄰的兩個(gè)數(shù)中小數(shù)是大數(shù)的約數(shù)，那么，

從左上到右下的對(duì)角線上4個(gè)數(shù)的和是。（左下圖是一個(gè)3x3的例子）

AA

/Xr\

AA

/\Vr\

?<

A

八A八V

A2

C.12

【考點(diǎn)】數(shù)獨(dú)【難度】5星【題型】選擇

【解析】C提示：填法如右圖。

3421

1342

2134

4213

【答案】C。

【鞏固】將1到5填入右圖的空白方塊中，每個(gè)方塊只能填一個(gè)數(shù)字，任何一行，一列都必須包含全部但

不重復(fù)的數(shù)字，并且，在有">"或者的對(duì)應(yīng)兩個(gè)空格必須滿足對(duì)應(yīng)的大小關(guān)系。

12345

A

B

C

D

E

【考點(diǎn)】數(shù)獨(dú)【難度】4星【題型】填空

【解析】這道題是一道數(shù)獨(dú)游戲的變體，我們稱之為“大小數(shù)獨(dú)已知數(shù)字很少，我們就要善于利用大

小關(guān)系條件。

1、首先我們觀察右下角密集的大于小于關(guān)系：E4<E3,E4<E5并且E4>D4,所以E4只能填入2

或者3,又因?yàn)锽4已經(jīng)填入2,所以E4只能填入3,進(jìn)而D4只能填入1（因?yàn)榈?列中已

經(jīng)有2）,C4只能填入4;

2、再觀察左半部的3個(gè)大于小于關(guān)系：B2>C2>D2,所以C2可以填入2、3、4,又因?yàn)镃3已

經(jīng)填入2,C4已經(jīng)填入4,所以C2只能填入3,進(jìn)而知道D2只能填2（D4已經(jīng)填入1）,C1

只能填入5（1是最小的數(shù)，不能填入Cl）,C5填1;

3、然后觀察第5列，C5為1,E5>D5,所以E5可以填入4或5,D5可以填入3或4,B5可以

填入3或4,A5可以填入2、3、4,發(fā)現(xiàn)只有A5可以填2,所以A5必然是2,又因?yàn)锽2、

B3和B5都不能填1,所以B1填入1：

4、觀察第3列，C3為2,B3、E3都大于某數(shù)，故都不能填1,D3所在行已經(jīng)有1,故也不能填

1,那么只有A3填1;

5、觀察E行，E3與E5都是填入4或5,所以4、5必然出現(xiàn)在E3與E5中，又因?yàn)镋1'所在列

的B1為1,所以E1只能填2,進(jìn)而知道E2填1,A2填4,B2填5,則B5不能填5,那么

只有E5填5,所以E3填4,B3填3,B5填4,D5填3,D3填5,D1填4,最后A1填3.

分析完畢，結(jié)果如右圖所示.

12345

A34152

B153：>24

C53241

D42513

E214：?3*

【例9】將1到5填入右圖的空白方塊中，每個(gè)方塊只能填一個(gè)數(shù)字，任何一行，一列都必須包含全部但

不重復(fù)的數(shù)字，并且，在有"）"或者"〈"的對(duì)應(yīng)兩個(gè)空格必須滿足對(duì)應(yīng)的大小關(guān)系。

【考點(diǎn)】數(shù)獨(dú)【難度】5星【題型】填空

【解析】這道題是一道數(shù)獨(dú)游戲的變體，我們稱之為“大小數(shù)獨(dú)已知數(shù)字很少，我們就要善于利用大小

關(guān)系條件。

1、首先看E行，因?yàn)镋4<3,所以E4只能填入1或者2,又因?yàn)镈4>D3>E3,再因?yàn)镋5為3,所

以E3只能填入1或者2,這樣，1和2就必然出現(xiàn)在E3和E4中，所以E1和E2只能填4和

5,再根據(jù)E1>E2,我們可以知道El為5,E2為4;

2、再看A行和第5列，因?yàn)锳3>A4>A5且Al為3,所以A5填1或者2,同理我們知道第5列

中B2也只能填1或者2,于是我們可以確定1和2必然出現(xiàn)在A5和B5之中，那么4和5

必然出現(xiàn)在C5和D5中，再根據(jù)D5>C5,我們推知C5填4,D5填5,又根據(jù)D4大于D3,

我們知道D4只能填4或者5,而5已經(jīng)出現(xiàn)在D5中，所以D4只能填4,進(jìn)而確定D3只能

填3,A4只能填2,A5填1,B5填2,A2填5（E5已經(jīng)填入4,A2不能再填4）,A3填4,

E4填1,E3填2,C3填1,B4填3,B2填1,C4填5,再由于E1為5,所以B1為4,B3

為5,進(jìn)而C1填2,D1填1,D2填2,C2填3.

分析完畢，答案如圖.

12345

A3541>2>1

B41532

C23154

D12<45

E5：>421*3

【答案】

【鞏固】請(qǐng)你在下面5x5表格的每格中填入1,2,3,4,5中的一個(gè)，使得每行、每列、每條對(duì)角線所填

的5個(gè)數(shù)各不相同，且A格中的數(shù)比3格中的數(shù)大，3格中的數(shù)比C格中的數(shù)大，C格中的數(shù)

比。格中的數(shù)大，E格中的數(shù)比F格中的數(shù)大，G格中的數(shù)比”格中的數(shù)大。那么，第二行的

5個(gè)數(shù)從左到右依次是.

【考點(diǎn)】數(shù)獨(dú)【難度】5星【題型】填空

【解析】本題基于日本比較流行的謎題“大小數(shù)獨(dú)”，所不同的是，除了限制行列為拉丁方以外還限制了兩

條大對(duì)角線也不能有重復(fù)數(shù)字。所以，和解通常的大小數(shù)獨(dú)相比，會(huì)有一些新的套路。解數(shù)獨(dú)的

時(shí)候，一般是先分析必然成立的，如果分析不出來(lái)了再去假設(shè)。為描述方便，將所有沒(méi)有標(biāo)出來(lái)

的方格用小寫(xiě)字母標(biāo)出。

iA：皿>Cj

V-

kImDn

oGF<P

-v-

qHrst

uVwXy

根據(jù)已知的大小關(guān)系可知:

A只能填4或5,B只能填3或4,C只能填2或3,。只能填1或2。除此之外，E和G都不能

填1,尸和H都不能填5。除此之外，觀察到。不能和A,B,C,j里面的任何一個(gè)數(shù)相同，所

以。只能和，相同。至此似乎無(wú)法繼續(xù)分析，可以進(jìn)行假設(shè)。但是，假設(shè)哪里比較好呢？注意到

本題和通常的大小數(shù)獨(dú)相比，多了對(duì)角線的要求，所以中間的方格F最特殊，可以以它為突破口。

注意，只有和中間格成“馬步”的格才可能和中間格填相同的數(shù)，這很關(guān)鍵。

(1)假設(shè)F填1,則i和/者不能填1,這樣第一行沒(méi)有任何一格能填1,矛盾；

(2)假設(shè)P填2,則。填1,i填1。第一行的2只能填在C,從而第五行的2只能填在外第三行

的1只能填在p,這樣第四、五兩行的1只能填在”和w,此時(shí)副對(duì)角線出現(xiàn)了。和”兩個(gè)1,

與題意不符，矛盾；

(3)假設(shè)F填3,則8填4,A填5,i和，填1和2。第一行的3只能填在C,從而第五行的3只

能填在u。G不能再填3或5,所以只能填2或4?！氨菺小，而且也不能填3,所以只能填1或

2,但此時(shí)，副對(duì)角線上的J,D,H三格都只能填1或2,矛盾；

(4)假設(shè)尸填4,則8填3,C填2,。填1,i填1,￡^^5。第一行的4只能填在A,從而第五

行的4只能填在X。第一行最后剩下,填5,第四列最后剩下s填3。之后就非常簡(jiǎn)單了，填完之

后的結(jié)果如下：

14>3>25

45213

24<1

5134

31542

所求結(jié)果為45213?

【答案】45213?

三、幻方

【例10】將九個(gè)數(shù)填入下圖的九個(gè)空格中，使得任一行、任一列以及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于

定數(shù)k,則中心方格中的數(shù)必為4+3.

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】4星【題型】解答

【解析】略.

【答案】因?yàn)槊啃械娜龜?shù)之和都等于％,共有三行，所以九個(gè)數(shù)之和等于女.如右上圖所示，經(jīng)過(guò)中心方

格的有四條虛線，每條虛線上的三個(gè)數(shù)之和都等于k,四條虛線上的所有數(shù)之和等于4k,其中只

有中心方格中的數(shù)是“重疊數(shù)”，九個(gè)數(shù)各被計(jì)算一次后，它又被重復(fù)計(jì)算了三次.所以有：

九數(shù)之和+中心方格中的數(shù)x3=4%,

3人+中心方格中的數(shù)x3=4A,

中心方格的數(shù)=A+3

注意：例題中對(duì)九個(gè)數(shù)及定數(shù)上都沒(méi)有特殊要求.這個(gè)結(jié)論對(duì)求解3x3方格中的數(shù)陣問(wèn)題很實(shí)用.

【鞏固】將九個(gè)數(shù)填入下圖的空格中，使得每行、每列以及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等，證明:

c=(a+6)+2。

Cc2d-b*

ada

bb2a-c

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】4星【題型】解答

【解析】略

【答案】設(shè)中心數(shù)為d（如上圖），因此每行、每列以及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于3d,第一行中間

的數(shù)為右下角的數(shù)為2d-c.根據(jù)第一行和第三列可求出右上圖中*的數(shù)，由此可得：

3d-c-Qd-b）=3d—a-Qd-c）

3d—c-2d+h=3d—a—2d+c

d-c+b=d-a+c

2c=a+b

所以c=(a+b)+2o

【隨練1】請(qǐng)你在六階拉丁幻方中的空白方格內(nèi)填入相應(yīng)的數(shù)字，使得每一行、每一列及兩條對(duì)角線上恰

好出現(xiàn)1、2、3、4、5、6。（07年迎春杯初賽第8題）

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】4星【題型】解答

【解析】這也是一道邏輯推問(wèn)題，它雷同于風(fēng)靡一時(shí)的數(shù)獨(dú)游戲。在這個(gè)拉丁幻方中，從右上到左下的對(duì)

角線上已給出4個(gè)數(shù)字，還少了數(shù)字4和5,而4在第三列中已經(jīng)出現(xiàn)了，所以4只能填入第一

列，5則自然而然的出現(xiàn)在第三列。

再看自上而下的第六行，還少了數(shù)字3、4和5,而4、5在第六列出現(xiàn)，所以只能填3。同理5

在第四列中已經(jīng)出現(xiàn)了，所以5只能填入第H列，4則自然而然的出現(xiàn)在第四列。

再看自上而下的第三行，還少了數(shù)字1,2,3和6,而3在第三、五、六列中已經(jīng)出現(xiàn)了，所以

3只能填入第二列，1在第三、五列中已經(jīng)出現(xiàn)了，所以1只能填入第六列，6在第五列中已經(jīng)出

現(xiàn)了，所以6只能填入第三列，2則自然而然的出現(xiàn)在第五列。再看第六列，可確定第四行填6,

第五行填2。

依次類(lèi)推可以得到最后的結(jié)果，如圖所示：

125634

642315

436521

513246

364152

251463

125634

642315

436521

513246

364152

251463

【答案】

【隨練2】將1?16分別填入下圖（1）中圓圈內(nèi)，要求每個(gè)扇形上四個(gè)數(shù)之和及中間正方形的四個(gè)數(shù)之和

都為34,圖中已填好八個(gè)數(shù)，請(qǐng)將其余的數(shù)填完.

(1)

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】4星【題型】填空

【解析】為了敘述方便，將圓圈內(nèi)先填上字母，如圖（2）所示:

(2)

9+15+a+c=34,5+10+e+g=34,7+14+b+d=34,ll+8+f+h=34,c+d+e+f=34,

化簡(jiǎn)得：a+c=104+6=10.

e+g=193+16=19,6+13=19

b+d=131+12=13,

f+h