7.1.2

全概率公式【選擇性必修第三冊】2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合古典概型,會利用全概率公式計算概率.重點：利用全概率公式計算概率.難點：正確理解全概率公式.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模、邏輯抽象、數(shù)學(xué)運算.2.了解貝葉斯公式.3復(fù)習(xí)回顧1.條件概率(P(A)>0)(0≤P(B|A)≤1)(4)當(dāng)且僅當(dāng)事件A與B相互獨立時,則

P(B|A)=P(B).3.概率的性質(zhì)(P(A)>0)(1)P(Ω|A)=1;(2)如果B和C是兩個互斥事件,則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);P(AB)=P(A)

P(B|A).2.概率的乘法公式(P(A)>0)(3)設(shè)和B是兩個對立事件,則P(|A)=1-P(B|A).

由抽簽的公平性可知,第2次摸到紅球的概率也應(yīng)是.但此結(jié)果并不顯然,因第2次摸球的結(jié)果受第1次摸球結(jié)果的影響.4從有a個紅球和b個藍(lán)球的袋子中,每次隨機(jī)摸出1個球,摸出的球不再放回.顯然,第1次摸到紅球的概率為.那么第2次摸到紅球的概率是多大？如何計算這個概率呢？用Ri表示事件“第i次摸到紅球”,Bi表示事件“第i次摸到藍(lán)球”,i=1,2.如圖7.1-2所示,事件R2可按第1次可能的摸球結(jié)果(紅或藍(lán))表示為兩個互斥事件的并,即P(R2)=P(R1R2∪B1R2)R2=R1R2∪B1R2.利用概率的加法公式和乘法公式,得R1R2B1R2B2B2R1R2R1B2B1R2B1B2P(R1)P(B1)P(R2|R1)P(B2|R1)P(R2|B1)P(B2|B1)圖7.1-2=P(R1R2)+P(B1R2)5=P(R1)P(R2|R1)+P(B1)P(R2|B1)

上述過程采用的方法是：按照某種標(biāo)準(zhǔn),將一個復(fù)雜事件表示為兩個互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式求得這個復(fù)雜事件的概率.6(1)注意公式滿足的條件是：①A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,②A1∪A2∪…∪An=Ω,③目標(biāo)事件B是由Ω中若干個基本事件構(gòu)成的.一、全概率公式

一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,……,n,則對任意的事件B

Ω,有上面的公式為全概率公式.它是概率論中最基本的公式之一.(2)先有Ai后有B,Ai的發(fā)生對B的發(fā)生均有一定作用,只有Ai發(fā)生了,才有B發(fā)生的可能性,Ai是B發(fā)生的全部“原因”.因此,我們可視為公式的直觀作用是“由因求果”.7分析:第2天去哪家餐廳用餐的概率受第1天在哪家餐廳用餐的影響,可根據(jù)第1天可能去的餐廳,將樣本空間表示為“第1天去A餐廳”和“第1天去B餐廳”兩個互斥事件的并,利用全概率公式求解.例4

某學(xué)校有A,B兩家餐廳,王同學(xué)第1天午餐時隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳,那么第2天去A餐廳的概率為0.6;如果第1天去B餐廳,那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率.解：設(shè)A1=“第1天去A餐廳用餐”,B1=

“第1天去B餐廳用餐”,A2=“第2天去A餐廳用餐”,則Ω=A1∪B1,且A1與B1互斥.根據(jù)題意得P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.8.由全概率公式,得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7.因此,王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為0.7.81.

現(xiàn)有12道四選一的單選題,學(xué)生張君對其中9道題有思路,3道題完全沒有思路.有思路的題做對的概率為0.9,沒有思路的題只好猜一個答案,猜對的概率為0.25.張君從這12道題中隨機(jī)選擇1題,求他做對該題的概率.P(B|A)=0.9,由全概率公式,得=0.7375.

即王同學(xué)做對該題的概率為0.7375.解:設(shè)事件A=“對所選的題有思路”,=“對所選的題完全沒有思路”,事件B=“做對所選題目”,則Ω=A∪,且A與互斥.根據(jù)題意得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)9例5

有3臺車床加工同一型號的零件,第1臺加工的次品率為6%,第2、3臺加工的次品率均為5%,加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.解：設(shè)B=“任取一零件為次品”,Ai=“零件為第i臺車床加工”(i=1,2,3),則Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3互斥.根據(jù)題意得(1)任取一個零件,計算它是次品的概率;(2)如果取到的零件是次品,計算它是第i(i=1,2,3)臺車床加工的概率.分析:取到的零件可能來自第1臺車床,也可能來自第2、3臺車床,有3種可能.設(shè)B=“任取一零件為次品”,Ai=“零件為第i臺車床加工”(i=1,2,3),如圖7.1-3所示,可將事件B表示為3個兩兩互斥事件的并,利用全概率公式可以計算出事件B的概率.圖7.1-3A1A2A3A3BA1BA2BB注釋：P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=P(B)P(A1|B).P(A1|B)=10P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=P(B|A3)=0.05.P(A2|B)=

(1)由全概率公式,得類似地,可得P(A3|B)=

圖7.1-3A1A2A3A3BA1BA2BBP(A1)=

0.25,P(A2)=0.30,P(A3)=0.45,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.06+0.30×0.05+0.45×0.05(2)“如果取到的零件是次品,計算它是第i(i=1,2,3)臺車床加工的概率”就是計算在B發(fā)生的條件下,事件Ai發(fā)生的概率.=0.0525.“由果索因”11P(Ai)是試驗之前就已知的概率,它是第i臺車床加工的零件所占的比例,稱為先驗概率.當(dāng)已知抽到的零件是次品(B發(fā)生),P(Ai|B)是這件次品來自第i臺車床加工的可能性大小,通常稱為后驗概率.若對加工的次品要求操作員承擔(dān)相應(yīng)的責(zé)任,則就分別是第1,2,3臺車床操作員應(yīng)承擔(dān)責(zé)任的份額.二、先驗概率與后驗概率三、貝葉斯公式P(Ai|B)=設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,……,n,則對任意的事件B

Ω,P(B)>0,有i=1,2,……,n.

例5中P(Ai),P(Ai|B)的實際意義是什么？“由果索因”12(1)分別求接收的信號為0和1的概率;分析:設(shè)A=“發(fā)送的信號為0”,B=“接收的信號為0”,例6

在數(shù)字通信中,信號是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干擾,發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤接收為1或0.已知發(fā)送信號0時,接收為0和1的概率分別為0.9和0.1;發(fā)送信號1時,接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的.(2)已知接收的信號為0,求發(fā)送的信號為1的概率.發(fā)送0(A)發(fā)送1()接收0(B)接收1()P(B|A)=0.9圖7.1-4為便于求解,我們可將題目中所包含的各種信息用圖7.1-4直觀表示.則=“發(fā)送的信號為1”,=“接收的信號為1”.13=0.5×0.9+0.5×0.05=0.475.(2)由貝葉斯公式,得解:設(shè)A=“發(fā)送的信號為0”,B=“接收的信號為0”,則=“發(fā)送的信號為1”,=“接收的信號為1”.由題意得

P(A)=P()=

0.5,P(B|A)=0.9,P(|A)=0.1,P(B|)=0.05,P(|)=

0.95.P()=1-P(B)=1-0.475=0.525.

先用全概率公式求P(B)(由因求果),再用貝葉斯公式求P(|B)(由果索因).(1)P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)(2)已知取到的是合格品,求它取自第一批產(chǎn)品的概率.(1)求這件產(chǎn)品是合格品的概率;14解:設(shè)事件B=“任取一件產(chǎn)品是合格品”,Ai=“產(chǎn)品取自第i批”(i=1,2),則Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥.根據(jù)題意得2.兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品,第一批占40%,次品率為5%;第二批占60%,次品率為4%.將兩批產(chǎn)品混合,從混合產(chǎn)品中任取一件.P(B|A1)=0.95,P(B|A2)=0.96.(1)由全概率公式,得P(A1)=

0.4,P(A2)=0.6,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.4×0.95+0.6×0.96=0.956.(2)由貝葉斯公式,得≈0.3697.

先用全概率公式求P(B)(由因求果),再用貝葉斯公式求P(|B)(由果索因).15一、全概率公式

一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的